第二章作业答案

Y (s)
5s3 7
10s2 15s 18
U(s) s3 2s2 3s 5 5 s3 2s2 3s 5
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
可直接求得系统状态空间表达式为
x&1 0 1 0 x1 0

x&2
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
解：设 x1(s) y1(s) x2(s) y2(s)
则由系统方框图可得
x1
(s)

u1 ( s )

x2
(
s)
s
c
a
d x2(s) u2(s) x1(s) s b
进行拉氏反变换得
x&1(t ) ax1(t ) cx2(t) cu1(t) x&2 (t) dx1(t) bx2(t) du2(t) y1(t ) x1(t ) y2(t) x2(t)
v11 v12


0 0

v1

v11 v12


1 1
b 对于 2 5 有
2 I

A v2

5

5
1
1

v21
v22


0 0

v2

v21
v22


1 5
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
1
I A
( 6) 5 ( 5)( 1) 0
5 6
1 1, 2 5
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第二章作业答案
② 求特征向量
a 对于 1 1 有
1 I

A v1

1

5
1
5

R2C1 1
R2C2

u1
y 1
0

x1 x2


u1
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第二章作业答案
P61 2.8 已知系统的微分方程
(1) &y&& &y& 4 y& 5 y 3u
(3) &y&& 2&y& 3 y& 5 y 5&u&& 7u
状态变量图如下
第二章作业答案
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第二章作业答案
P62 2.10 用串联分解法建立下列传递函数的状态 空间表达式，并画出状态变量图。
6 s 1
(1)
g(s) s s 2s 3
解：(1) 先将传递函数分解成子系统串联的形式
g(s)
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第二章作业答案
现代控制理论
Modern Control Theory
中南大学 信息科学与工程学院自动化专业
2020年3月1日
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第二章作业答案
P60 2.1有电路如图所示，设输入为u1，输出为u2， 试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。
试列写出它们的状态空间表达式。
解：(1)选择状态变量 y x1 y& x2 &y& x3
则有
x&1 x2

x&2

x3

x&3

5 x1

4 x2

x3

3u
y x1
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
状态空间表达式为
x&1 0 1 0 x1 0
第二章作业答案
可得
x&1 u

x&2 x&3

2 3
x2 x3

u u
y x1 3x2 4x3
状态表达式为
x&1 0 0 0 x1 1

x&2

0
2
0


x2


1
u
x&3 0 0 3 x3 1
3
s
3
1
1 s 5
g(s) C(sI A)1 B d

1
1
(s 2)(s 4)

1

0Hale Waihona Puke Baidu
0 5
5
B
P 1B
4


1 4
1
1
4 1
4

0 1


4

1 4

第二章作业答案
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
则得对角标准形
x&
1

0
1
0 5
x


R1
u1
u C1
R2
uC2
u2
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第二章作业答案
解：此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列 写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状 态空间表达式。也可以先由电路图求得系统传递函 数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。这里 采用机理分析法。
设C1两端电压为uc1，C2两端的电压为uc2，则
令 则有

x1 ( s )

1 s
u(s)

x2
(
s)


1 s
u(s) 2

1
x3 (s)

s
u(s) 3
y(s) 1 u(s) 3 u(s) 4 u(s)
s
s2
s3
x1(s) 3x2(s) 4x3(s)
第二章作业答案
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
x1
y 1
3
4

x2

x3
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
状态变量图为
第二章作业答案
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第二章作业答案
P62 2.13 列写如图所示系统的状态空间表达式。
u1
c
y1
-
sa
u2 -
d
y2
sb
uc1
1 R2C1
uc 2

1 R2C1
u1
duc 2 dt


1 R2C2
uc1

1 R2C2
uc 2

1 R2C2
u1
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第二章作业答案
状态空间表达式为

x&1



R1 R2C1 R1 R2C1
x1

1 R2C1
x2

1 R2C1
u1


0
0
1


x2


0
u
x&3 5 3 2 x3 1
第二章作业答案
x1
y 1
0
0

x2


5u
x3
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第二章作业答案
P61 2.9 已知下列传递函数，试用直接分解法建立 其状态空间表达式，并画出状态变量图。
0 u1
d

u2

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第二章作业答案
P62 2.14 试将下列状态方程化为对角标准形。
(1)

x&1 x&2

0 5
1 6

x1 x2


0 1
u
(1) 解：① 求特征值

6 s

s
1
2

s s

1 3

6 s

s
1
2


1

2 s3

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可得状态变量图如下
第二章作业答案
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第二章作业答案
若指定图中每个积分器的输出量均为状态变量，则 由系统的状态变量图可直接得到状态空间表达式为
3
1 1 ,
B

2 5 ,
C

1
2, d 4
G(s) C(sI A)1 B d
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第二章作业答案
则
s 5 1
sI A
3
s 1
(sI

A)1

(s

1 5)(s
1)

③ 构造P，求P-1
第二章作业答案
1 1
P v1
v2



1
5
5 1

P 1


4
4


1 4

1 4

说明：A为友矩阵，特征值互异，可直接写出P为 范德蒙矩阵。
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④ 求 A, B
A

P 1 AP
x1
y 0
1
2

x2

x3
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第二章作业答案
P62 2.11 用并联分解法重做题2.10。
(1)
6 s 1 g(s) s s 2s 3
解：(1) 先将传递函数分解成部分分式
g(s) c1 c2 c3 s s2 s3
第二章作业答案
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
则系统状态空间表达式为
第二章作业答案

x&1 x&2

a d
c b


x1 x2


c 0

y1 y2


1 0
0 x1
1

x2

4

1 4

u
第二章作业答案
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第二章作业答案
P62 2.16 已知系统的状态空间表达式为
x&
5

3
1 2 1 x 5 u
y 1 2 x 4u
求其对应的传递函数。
解：
5
A


x&1 6u

x&2

x1

2 x2

x&3

x2

3 x3
y x2 2x3
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即
第二章作业答案
x&1 0 0 0 x1 6

x&2

1
2
0


x2


0
u
x&3 0 1 3 x3 0
uc1
C2
duc 2 dt
R2
uc2

u1
(1)
C1
duc1 dt

uc1 R1
C2
duc 2 dt
(2)
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第二章作业答案
选择状态变量为 由式(1)和(2)得
x1 uc1 x2 uc2
duc1 dt


R1 R2C1 R1 R2C1
s3Y (s) 2s2Y (s) 3sY (s) 5Y (s) 5s3U (s) 7U (s)
Y (s)
5s3 7
U(s) s3 2s2 3s 5
在用传递函数求系统的状态空间表达式时，一定要
注意传递函数是否为严格真有理分式，即m是否小 于n，若m=n需作如下处理

x&2



1 R2C2
x1

1 R2C2
x2

1 R2C2
u1

y

u2

u1

x1
即


x&1 x&2


R1 R2C1 R1 R2C1
1
R2C2
1
1
R2C1 1
R2C
2


x1 x2



(1)
s3 s 1 g(s) s3 6s2 11s 6
解：(1) 首先将传函化为严格真有理式即
g(s)

Y (s) U(s)

1
6s2 10s 5 s3 6s2 11s 6

1
g( s )
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能控标准形状态空间表达式

x&2


0
0
1


x2


0
u
x&3 5 4 1 x3 3
x1
y 1
0
0

x2

x3
第二章作业答案
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第二章作业答案
(3) 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方 程(3)在零初始条件下取拉氏变换得
x&1 0 1 0 x1 0

x&2


0
0
1


x2


0
u
x&3 6 11 6 x3 1
x1
y 5
10
6

x2


u
x3
第二章作业答案
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
6ss 1
c1

lim
s0
s

s

2

s

3

1
6s 2s 1
c2

lim
s2
ss

2s

3

3
6s 3s 1
c3

lim
s3
s

s

2
s

3

4
g(s) 1 3 4 s s2 s3
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