《试验设计与建模》-5 均匀设计

|
1 2
|
x
ji
1|1 22
xki
x ji
.
22
(b) 可卷偏差:
K w (z,t)
s j 1
3 2
|
zj
t
j
|
|
z
j
t
j
|2
23
(c) 离散偏差:
s
K d (z, t) K j (z j , t j ) j 1
K
j
(z
j
,
t
j
)
a, b,
若 若
zj tj, zj tj,
z j , t j {0,
31
均匀设计的理论解
单因素试验 中心化偏差
可卷偏差
不同的偏差，其相应的均匀设计可以不同也可以相同
32
均匀设计的近似解
U 型设计
若 n× s 矩阵U = (uij) 中第j 列的取值为1, 2, ···, qj 且这 qj 个数出现的次数相同，该设计称为U 型设计， 记为 U(n; q1, ···, qs)。
x
x
Jx
比率 = 5/30 = 0.167
面积 = 0.16Байду номын сангаас5
Jx
比率 = 9/30 = 0.3
面积 = 0.2875
x
Jx
比率 = 6/30 = 0.2
面积 = 0.2438
12
L2 –星偏差
D2 (P)
2 3-s 21s n n k 1
s
(1 xk2i )
i 1
n n s
产生一个 (n +1) s 矩阵 U(n+1, h1,, hs). 去掉 第 n+1 行得到设计 U(n,h), 其全体记为 Un,s .
3 选择 U* 使得 U* Un,s 有最小偏差 则 U* 为(近似) 均匀设计.
41
例 (续)
当 n = 6, 得 H7 = {1,2,3,4,5,6}
近似均匀设计 U6(62)
12 n k 1 j1 i1
1 max(xki , x ji ) .
其中 xk (xk1, , xks ) '.
Lp- 星偏差的缺点:
Dp(P) 旋转不可逆， 原点 0 占有非常重要的位置
没有考虑投影的均匀性
13
设计的旋转 D(P)
(a) D(P) = 0.1611
(b) D(P) = 0.1500
1
目录
引言 总体均值模型 均匀性度量-偏差 均匀设计的构造 好格子点法及其推广 随机优化法 均匀设计的应用 正交性与均匀性的联系
2
5.1 引言
传统试验设计中的未知参数
正交设计：主效应和二阶交互效应的个数为 f (s, q) s(q 1) 1 s(s 1)(q 1)2 2
最优回归设计：多元二次模型的未知参数个数为
39
例 当 n = 6, H6 = {1,5}，其元素个数只有 2. 则好格子 点法得到的设计 U6(62) 均匀性不好.
因此, 由 H6 更不可能得到 U6(6s), s > 2
40
修正的好格子点法
1 寻找备选的正整数集 Hn+1 2 在 Hn+1 中选择 s 个不同元素 h=(h1, h2,, hs),
取中位数对应的模型如下图
5
6
5.2 总体均值模型
试验区域上的总体均值
E( y | ) g(x)dx
用试验点集 P ={x1, ···, xn} 上的响应值的样本均值估计
Koksma-Hlawka 不等式：
E(y | ) y(P) V (g)D*(P)
(5.8)
其中 V(g) 是函数的全变差，D*(P) 为设计的星偏差。 均匀设计可以满足要求，且稳健。
7
5.3 均匀性度量
试验区域: Cs = [0,1]s，P= {x1, , xn} : Cs 上的 n 个点. 例
8
均匀性度量的要求：
D(XP) 在X 的行交换或列交换是不变的，即改变试验点的 编号，或改变因素的编号，不影响D(XP) 的值；
若将XP 关于平面 xj = 1/2 反射，即将XP 的任一列 (x1j , ···, xnj)′变为(1 − x1j , ···, 1 − xnj)′，则它们有共同的D(XP)；
37
1
2
1
1
11
2
2
7
3
3
3
4
4
14
5
5
10
6
6
6
7
7
2
8
8
13
9
9
9
10
10
5
11
11
1
12
12
12
13
13
8
14
14
4
15
15
15
在中心化偏差意义下， 当生成向量 h* = (1,11) 时，U(15, h*) 的偏差 最小，故得均匀设计 U15(152).
h* = (1,11) CL22 = 0.001600
, q j 1}, a b 0
式中，当 xij = xkj 时δxijxkj = 1，否则为 0。
24
(d) Lee 偏差:
s
K d (x, w) K j (x j , wj ) j 1
K j (x j , wj ) 1 min{| x w |,1 | x w |}
式中βijk = min{|xik − xjk|, 1 − |xik − xjk|}
U(n,h), 其中 h=(h1,,hs) 称为 U 的生成向量. 记 Un,s 为所
有 U(n,h) 的设计.
3
在 Un,s 中选择使得偏差值最小的设计即为所求的(近似)
均匀设计Un(ns).
36
例 5.5
对于 n = 15，s = 2
g.c.d {3,15} = 3 g.c.d {2,15} = 1 g.c.d {1,15} = 1
不同的 Jx 会导致不同的偏差定义.
15
中心化偏差对应的 Jx Jx J (ax , x), ax (ax1 , , axs ) {0,1}s
Jx x
x
Jx
比率 = 5/30 = 0.167
面积 = 0.1615
比率 = 2/30 = 0.0667
面积 = 0.0478
x
Jx
比率 = 2/30 = 0.0667
30
均匀设计
给定试验的诸元素 (n, s,X) 及均匀性测度 D，若一
个设计 P∗ ∈PX 具有最小的偏差值，即
D(P∗) = min D(P),
则称P∗ 为在 (n, s,X,D) 下的均匀设计，或简称为均
匀设计。
求解均匀设计的方法分类：
(A) 理论求解； (B) 优化数值求解； (C) 求近似解。
35
Glpm 构造 Un(ns) 的步骤
1
寻找备选的正整数集 Hn={h: h<n, gcd(n, h) = 1.}，若 Hn 中元素个数不小于s，转步骤2，否则glpm 无法构造需要
的均匀设计，退出程序
2
在 Hn 中选取 h1, h2,, hs, 产生一个 ns 的矩阵 U=(uij)，
其中 uij=ihj (mod n) , 其中模运算要求 1uij n. 记 U 为
D(XP) 不仅能度量XP 的均匀性，而且也能度量XP 投影至 Rs 中任意子空间的均匀性。
满足Koksma-Hlawka 不等式(5.8)； 易于计算； 与其它的试验设计准则有一定的联系，例如混杂、正交性，
平衡性，等等；
9
Lp-星偏差
D*p (P) Fu FP
Cs
1
Fu (x) FP (x) p dx p ,
sup xCs
|
Fu
(
x)
FP
(
x)
|,
1 p p
其中，Fu(x)=x1… xs 为 Cs 上的均匀分布函数， x=(x1,…,xs). FP(x) 表示设计 P={x1, ···, xn}的经验 分布函数。
10
局部偏差函数
disc*(x) Fu (x) FP (x) Vol[0, x) | P
2 对每个a ∈ An,s，按下面方法生成 U 型设计Ua = (uija):
uija = iaj−1 (mod n), i = 1, ···, n; j = 1, ···, s.
这里同余运算是把数减去n 的适当的倍数后落入区间 [1, n]。
3
在所有的Ua 中选择a∗ ∈ An,s 使得Ua∗ 的具有最小的
2 s s(s 1) / 2
3
模型未知
y g(x) g(x1, , xs ) ,
(x1, , xs ) a1,b1 as ,bs
E( ) 0, Var( ) 2.
(5.2)
g: 未知函数;
x1,, xs : s 个因素;
T = [a1, b1][as, bs] : 试验区域, 其中 aj xj bj, j = 1,,s
面积 = 0.0741
16
可卷偏差 (WD)
R(
y,
x)
[ y, x], [0, x] [
y,1],
yx x y
17
再生核希尔伯特空间
希尔伯特空间：完备的内积空间 核函数：
18
可分核： 再生核
19
再生核希尔伯特空间
20
偏差定义： 在偏差的定义中，目标函数取 X 上的均匀分布 Fu。 此时，偏差(5.25) 式的具体计算公式为
好格子点法 U6 (62)
修正的好格子点法 U6*(62)
所有 U6(6s), s 6 的近似均匀设计可用 H7 得到.
42
方幂好格子点法构造 Un(ns) 的步骤
1
寻找正整数集 An,s = {a : a < n, gcd(a, n) = 1, 且a, a2 ···, as 在
模 n 的意义下互不相同}.
21
(a) 中心化偏差:
K c (z,t) 2s
s j 1
1
1| 2
zj
1| 2
1 2 |tj
1 || 2
zj
tj
|
CD(P)2
13 12
s
2 n
n k 1
s i 1
1
1 2
|
xki
1 2
|
1 2
|
xki
1 2
|2
1
n2
n k 1
n j 1
s i 1
1
1 2
|
xki
1 2
偏差。则Ua∗ 即为(近似) 均匀设计Un(ns)。
43
切割法构造 Un(ns) 的步骤
25
例 5.2 不同5水平设计的偏差的比较
表5.2. 两因素五水平的设计不同的偏差值
26
27
例 5.3 不同6水平设计的偏差的比较
表5.3. 两因素六水平的设计
28
例 5.3 (续)
29
5.4 均匀设计的构造
均匀设计的基本要素 因素个数和试验个数：s，n 试验范围：超矩形、单纯性 均匀性测度：某种偏差 试验设计空间：全体试验设计 PX
38
好格子点法的注意事项
生成向量中元素与 n 互质的的目的是使得向量 hj =(hj , 2hj , ···, nhj) (mod n) 构成 {1, 2, ···, n} 的 一个置换；
给定 n，其唯一的素数分解为
，
与其互质的正整数的个数为欧拉函数 ϕ(n)
欧拉函数 ϕ(n) 的个数多少对最后选择出来的设计 的均匀性有很大影响。
(c) D(P) = 0.1411
(d) D(P) = 0.1389
14
改进的偏差
Dp (P) p u
Cu
P Jxu n
Vol (J xu )
p
d xu
其中，需在 Rs 的所有低维上求和 u : {1,2,,s} 的非空子集;
xu : X 在 Cu 上的投影； Jx : 预先由 x 确定的区域; Jxu : Jx 在 Cu 上的投影。
[0, x) | n
其中
[0, x) [0, x1) [0, x2 ) [0, xs ) ;
| P [0, x) |: 设计 P 中落入 [0, x) 的点数;
则Lp-星偏差为
D*p (P) Cs
disc* (P)
1
p dx
p
,
sup | disc*(P) |,
xCs
1 p p
11
[0,x) 中的局部偏差函数
33
缩小设计空间
利用U 型设计，寻求均匀设计的设计空间可大大 缩小如下：
Ũ(n; ns) 为设计 U(n; ns) 的导出矩阵，即
U = (uij) = U(n; ns)
Ũ(n; ns) = (xij) 其中 xij = (uij - 0.5) / n
34
5.5 好格子点法
给定n 和s，若设计的第一列选取为自然顺序1, 2, ···, n，则总共有 (n!)s−1 个U 型设计 U(n; ns)，即使 n 和 s 不算太大，(n!)s−1 也是难以用穷举法来寻找均匀设计。 好格子点法(glpm) 是有效的 quasi-Monte Carlo 方法 (N. M. Korobov (1959), E. Hlawka (1962), H. Niederreiter (1978), L. K. Hua, Y. Wang (1981), J. E. N. Shaw (1988) , K. T. Fang and Y. Wang (1994).
设计：均匀布点 建模：寻找近似模型
4
例1.6 (续)
y g(x) 1 x u3eudu ,
60
(5.3)
0 x 10, ~ N (0, 0.062 ).
事先假设模型未知 试验次数 n=12, 取 q(= 2, 3, 4, 6, 12) 个不同的
均匀的试验点，并作适当重复(n/q 次)。 采用 d 阶多项式回归模型 重复 N=501 次试验，得到各模型的 N 个 MSE。