高中数学选修1-2精品学案6：2.2.1 综合法和分析法

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高中数学选修1-2优质学案：2.2.1 综合法和分析法

2．2.1 综合法和分析法学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．知识点一综合法思考阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc . 证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以a (b 2＋c 2)≥2abc . 又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0，所以b (c 2＋a 2)≥2abc . 因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .梳理 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学________、________、________等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的________成立，这种证明方法叫做综合法． (2)综合法的框图表示P ⇒Q 1―→Q 1⇒Q 2―→Q 2⇒Q 3―→…―→Q n ⇒Q(P 表示______________、已有的________、________、________等，Q 表示____________________) 知识点二分析法思考阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？已知a ，b >0，求证：a ＋b 2≥ab .证明：要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ，只需证a ＋b －2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．梳理 (1)定义：从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(____________、________、________、________等)，这种证明方法叫做分析法． (2)分析法的框图表示Q ⇐P 1―→P 1⇐P 2―→P 2⇐P 3―→…―→得到一个明显成立的条件类型一综合法命题角度1 用综合法证明不等式例1 已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.反思与感悟 (1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角．通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则． (2)用综合法证明不等式时常用的结论： ①ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；②a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc >3.命题角度2 用综合法证明等式例2 求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β)．反思与感悟证明三角恒等式的主要依据(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式．(2)和、差、倍角的三角函数公式．(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理．(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．跟踪训练2在△ABC中，ACAB＝cos Bcos C，证明：B＝C.类型二分析法例3已知a>0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.反思与感悟分析法的应用范围及方法跟踪训练3(1)求证：a－a－1<a－2－a－3 (a≥3)；(2)在锐角△ABC中，求证：tan A tan B>1.1．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 的大小关系为( ) A ．a >b B ．a ＝b C ．a <bD ．无法确定2．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x 中最大的是( )A ．cB ．bC ．aD ．随x 取值不同而不同3．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2 C ．(2＋7)2<(3＋6)2 D ．(2－3－6)2<(－7)24.3－2________2－1.(填“>”或“<”)5．设x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )(1＋1y )≥9.1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．[答案]精析问题导学知识点一思考利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论．梳理 (1)定义公理定理推理论证结论 (2)已知条件定义公理定理所要证明的结论知识点二思考从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．梳理 (1)结论充分条件已知条件定理定义公理题型探究例1 证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2， ∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)，即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等， ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.跟踪训练1 证明因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca－3. 又a ，b ，c 为不全相等的正实数，而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋ca ≥2，且上述三式等号不能同时成立，所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3>6－3＝3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c>3.例2 证明因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin [(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin [(α＋β)－α]＝sin β. 所以原等式成立．跟踪训练2 证明在△ABC 中，由正弦定理及已知，得 sin B sin C ＝cos Bcos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0，所以B ＝C . 例3 证明要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a >0，故只需要证( a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22(a ＋1a )＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)，只需要证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1a2)，即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．跟踪训练3 证明 (1)方法一要证a －a －1<a －2－a －3，只需证a ＋a －3<a －2＋a －1，只需证(a ＋a －3)2<(a －2＋a －1)2，只需证2a －3＋2a 2－3a <2a －3＋2a 2－3a ＋2，只需证a 2－3a <a 2－3a ＋2，只需证0<2，而0<2显然成立， ∴a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)．方法二 ∵a ＋a －1>a －2＋a －3，∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3，∴a －a －1<a －2－a －3.(2)要证tan A tan B >1，只需证sin A sin Bcos A cos B>1，∵A 、B 均为锐角，∴cos A >0，cos B >0. 即证sin A sin B >cos A cos B ，即cos A cos B －sin A sin B <0，只需证cos(A ＋B )<0.∵△ABC 为锐角三角形，∴90°<A ＋B <180°， ∴cos(A ＋B )<0，因此tan A tan B >1. 当堂训练1．A [∵a ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1， b ＝e x <e 0＝1，∴a >b .]2．A [∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x >2x ＝a ， ∵11－x －(x ＋1)＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x >0，∴c >b >a .] 3．C [根据不等式性质，当a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证2＋7<6＋3，即证(2＋7)2<(3＋6)2.] 4．<5．证明方法一 (综合法)左边＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋x y )＝4＋2(y x ＋xy )＋1≥5＋4＝9＝右边，原不等式得证．方法二 (分析法)要证(1＋1x )(1＋1y)≥9成立，高中数学选修1-211 ∵x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ，只需证明(1＋1x )(1＋11－x )≥9，即证(1＋x )(1－x ＋1)≥9x (1－x )，即证2＋x －x 2≥9x －9x 2，即证4x 2－4x ＋1≥0，即证(2x －1)2≥0，此式显然成立． ∴原不等式成立．。

高中数学2.2.1综合法与分析法学案新人教B版选修

高中数学2.2.1综合法与分析法学案新人教B版选修2、2、1 综合法与分析法1、理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点、(重点、易混点)2、会用综合法、分析法解决问题、(重点、难点)[基础初探]教材整理1 综合法阅读教材P63，完成下列问题、1、直接证明(1)直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的__________、__________、__________，直接推证结论的真实性、(2)常用的直接证明方法有__________与__________、【答案】1、(1)定义公理定理(2)综合法分析法2、综合法(1)定义：综合法是从__________推导到__________的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论、(2)符号表示：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论)、【答案】2、(1)原因结果已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：≥8、证明过程如下：∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，∴＝≥＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立、这种证法是__________(填综合法、分析法)、【解析】本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种证法是综合法、【答案】综合法教材整理2 分析法阅读教材P64～P65，完成下列问题、1、定义：分析法是一种从__________追溯到产生这一结果的__________的思维方法、也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的__________条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实、2、符号表示：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知)【答案】1、结果原因充分判断(正确的打“√”，错误的打“”)(1)综合法是执果索因的逆推证法、()(2)分析法就是从结论推向已知、()(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程、分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程、( )【答案】(1) (2) (3)√[质疑手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]综合法的应用(1)在△ABC中，已知cos Acos B>sin Asin B，则△ABC的形状一定是__________、(2)已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m－n|＝__________、(3)下面的四个不等式：①a2＋b2＋3≥ab＋(a＋b)；②a(1－a)≤；③＋≥2；④(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2、其中恒成立的有__________、【自主解答】(1)∵cos Acos B>sin Asin B，∴cos Acos B－sin AsinB>0，∴cos(A＋B)>0，即cos(π－C)>0，∴cos C<0，又0<C<π，∴<C<π，所以△ABC是钝角三角形、(2)设方程的四个根分别为x1，x2，x3，x4，则由题意可知，x1＝，x1x4＝x2x3＝2，∴x4＝4、设公比为q，则x4＝x1q3，∴4＝q3，∴q＝2，∴x2＝1，x3＝2，由根与系数的关系可得，m＝x1＋x4＝，n＝x2＋x3＝3，∴|m－n|＝、(3)①a2＋b2＋3＝＋＋＋＋＋≥2＋2＋2＝ab＋(a＋b)(当且仅当a2＝b2＝3时，等号成立)、②a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋≤、③当a与b异号时，不成立、④∵a2d2＋b2c2≥2abcd，∴(ac＋bd)2＝a2c2＋b2d2＋2ab cd≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝(a2＋b2)(c2＋d2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立、【答案】(1)钝角三角形(2) (3)①②④1、综合法处理问题的三个步骤2、用综合法证明不等式时常用的结论(1)ab≤2≤(a，b∈R)；(2)a＋b≥2(a≥0，b≥0)、[再练一题]1、综合法是()【导学号：】A、执果索因的逆推证法B、由因导果的顺推证法C、因果分别互推的两头凑法D、原命题的证明方法【答案】B分析法的应用设a，b为实数，求证：≥(a＋b)、【精彩点拨】待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键、【自主解答】当a＋b≤0时，∵≥0，∴≥(a＋b)成立、当a＋b>0时，用分析法证明如下：要证≥(a＋b)，只需证()2≥2，即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab、∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴≥(a＋b)成立、综上所述，不等式成立、1、当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误、2、逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解、[再练一题]2、已知a>0，－>1，求证：>、【证明】由已知－>1及a>0可知0<b<1，要证>，只需证>1，只需证1＋a－b－ab>1，只需证a－b－ab>0，即>1，即－>1，这是已知条件，所以原不等式得证、[探究共研型]综合法与分析法的综合应用探究1 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？【提示】综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”、探究2 综合法与分析法有什么区别？【提示】综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因、已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1、【精彩点拨】先求出角B，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决、【自主解答】法一：(分析法)要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证＋＝，只需证＋＝3，化简，得＋＝1，即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，所以只需证c2＋a2＝b2＋ac、因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60，所以cos B＝＝，即a2＋c2－b2＝ac成立、∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立、法二：(综合法)因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，所以B＝60、由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60、所以c2＋a2＝ac＋b2，两边加ab＋bc，得c(b＋c)＋a(a ＋b)＝(a＋b)(b＋c)，两边同时除以(a＋b)(b＋c)，得＋＝1，所以＋＝3，即＋＝，所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1、综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程、[再练一题]3、设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy、【证明】因为x≥1，y≥1，所以要证明x＋y＋≤＋＋xy，只需证明xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2、将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)、因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而可得不等式x＋y＋≤＋＋xy成立、[构建体系]1、下面叙述正确的是()A、综合法、分析法是直接证明的方法B、综合法是直接证法，分析法是间接证法C、综合法、分析法所用语气都是肯定的D、综合法、分析法所用语气都是假定的【解析】直接证明包括综合法和分析法、【答案】 A2、欲证不等式－＜＜成立，只需证()A、(－)2＜(－)2B、(－)2＜(－)2C、(＋)2＜(＋)2D、(－－)2＜(－)2【解析】要证－＜－成立，只需证＋＜＋成立，只需证(＋)2＜(＋)2成立、【答案】 C3、将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证__________，即证__________、由于__________显然成立，因此原不等式成立、【解析】用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0、由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立、【答案】a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥04、设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________、【导学号：】【解析】因为a＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，所以＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝3＋6＝9、当且仅当a＝b＝c时等号成立、【答案】95、已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋、(要求用两种方法证明)【证明】法一：(综合法)因为a＞0，b＞0，所以＋－－＝＋＝＋＝(a－b)＝≥0，所以＋≥＋、法二：(分析法)要证＋≥＋，只需证a＋b≥a＋b，即证(a－b)(－)≥0，因为a＞0，b＞0，所以a－b与－符号相同，不等式(a－b)(－)≥0成立，所以原不等式成立、我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1、在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4 θ＝cos2θ”的过程：“cos4 θ－sin4 θ＝(cos2 θ＋sin2θ)(cos2 θ－sin2 θ)＝cos2 θ－sin2 θ＝cos2θ”中应用了()A、分析法B、综合法C、分析法和综合法综合使用D、间接证法【解析】此证明符合综合法的证明思路、故选B、【答案】 B2、要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证()A、2ab－1－a2b2≤0B、a2＋b2－1－≤0C、－1－a2b2≤0D、(a2－1)(b2－1)≥0【解析】要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证a2b2－a2－b2＋1≥0，只需证(a2－1)(b2－1)≥0，故选D、【答案】 D3、在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：那么，d⊗(a⊕c)等于()A、aB、bC、cD、d【解析】由⊕运算可知，a⊕c＝c，∴d⊗(a⊕c)＝d⊗c、由⊗运算可知，d⊗c＝a、故选A、【答案】 A4、欲证－<－成立，只需证()A、(－)2<(－)2B、(－)2<(－)2C、(＋)2<(＋)2D、(－－)2<(－)2【解析】∵－<0，－<0，故－<－⇔＋<＋⇔(＋)2<(＋)2、故选C、【答案】 C5、对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是()A、si n(α＋β)>sin α＋sin βB、sin(α＋β)>cos α＋cos βC、cos(α＋β)>sin α＋sin βD、cos(α＋β)<cos α＋cos β【解析】因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，若≤α＋β<π，则cos(α＋β)≤0，因为cos α>0，cos β>0、所以cos α＋cos β>cos (α＋β)、若0<α＋β<，则α＋β>α且α＋β>β，因为cos(α＋β)<cos α，cos(α＋β)<cos β，所以cos(α＋β)<cos α＋cos β，总之，对任意的锐角α，β有cos(α＋β)<cos α＋cos β、【答案】 D二、填空题6、命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法、【解析】该证明方法是“由因导果”法、【答案】综合法7、如果a>b，则实数a，b应满足的条件是__________、【解析】要使a>b，只需使a>0，b>0，(a)2>(b)2，即a>b>0、【答案】a>b>08、若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是__________、【导学号：】【解析】若对任意x>0，≤a恒成立，只需求y＝的最大值，且令a不小于这个最大值即可、因为x>0，所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，所以a的取值范围是、【答案】三、解答题9、已知倾斜角为60的直线L经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，其中O为坐标原点、(1)求弦AB的长；(2)求三角形ABO的面积、【解】(1)由题意得，直线L的方程为y＝(x－1)，代入y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0、设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝、由抛物线的定义，得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝、(2)点O到直线AB的距离d＝＝，所以三角形OAB的面积为S＝|AB|d＝、10、已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S、【证明】要证a2＋b2＋c2≥4S，只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcosC)≥2 absin C，即证a2＋b2≥2absin(C＋30)，因为2absin(C＋30)≤2ab，只需证a2＋b2≥2ab，显然上式成立、所以a2＋b2＋c2≥4S、[能力提升]1、设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为()A、8B、4C、1D、【解析】是3a与3b的等比中项⇒3a3b＝3⇒3a＋b＝3⇒a＋b＝1，因为a>0，b>0，所以≤＝⇒ab≤，所以＋＝＝≥＝4、【答案】 B2、(xx石家庄高二检测)已知关于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k的取值范围是( )A、(－1,2)B、(－2,1)C、(－∞，－1)∪(2，＋∞)D、(－∞，－2)∪(1，＋∞)【解析】令f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2、因为其图象开口向上，由题意可知f(1)<0，即f(1)＝1＋(k－3)＋k2＝k2＋k－2<0，解得－2<k<1、【答案】 B3、如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是__________、【导学号：】【解析】a＋b>a＋b⇔a－a>b－b⇔a(－)>b(－)⇔(a－b)(－)>0⇔(＋)(－)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可、【答案】a≥0，b≥0且a≠b4、(xx天津高二检测)已知α，β≠kπ＋，(k∈Z)且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin2β、求证：＝、【证明】要证＝成立，即证＝、即证cos2α－sin2α＝(cos2β－sin2β)，即证1－2sin2α＝(1－2sin2β)，即证4sin2α－2sin2β＝1，因为sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin2β，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝4sin2α，所以1＋2sin2β＝4si n2 α，即4sin2α－2sin2β＝1、故原结论正确、。

人教(A版)高中数学选修1-2教学设计：2. 2 .1 综合法和分析法(2)--分析法

（1）通过实例引导学生理解分析法的思考过程与特点；（2）引导学生归纳出分析法证明的操作流程图；（3）通过实例引导学生灵活选用证明的方法.
情感、态度与价值观：
（1）通过分析法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性.（2）通过分析法的学习，养成审慎思维的习惯；（3）通过证明方法的选择，与两种证明方法的结合使用，培养学生综合解决问题的能力.
分析法的特点是：执果索因，即寻找使结论成立的条件.
分析法的书写格式：
要证明命题B为真，
只需要证明命题为真，从而有……
这只需要证明命题为真，从而又有……
……
这只需要证明命题A为真
而已知A为真，故命题B必为真
例2：求证 .
分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件.
证明：因为，所以将 ① ② 代入，可得
. ③
另一方面，要证
，
即证，
即证
，
即证
，
即证 .
由于上式与③相同，于是问题得证.
例4．用分析法证明：若，则．
解：要证原不等式，只需证．
，两边均大于零．
因此只需证，
只需证，
只需证，即证，而显然成立，
原不等式成立．
四、课堂小结、巩固反思：
1、分析法的特点是：执果索因，即寻找使结论成立的条件.
例3（课本P41例6）：已知，且
①
②
求证： .
分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去 .观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系，于是，由 ①2一2×② 得．把与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为 ,再与比较，发现只要把中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的．

高中数学《2.2.1综合法和分析法》导学案2 新人教A版选修1-2

§2.2.1 综合法和分析法（3）学习目标1. 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点;2. 学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系;3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质. 学习过程一、课前准备5051 复习1：综合法是由导 ; 复习2：分析法是由索 .二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：综合法和分析法的综合运用问题：已知,()2k k Z παβπ≠+∈,且2sin cos 2sin ,sin cos sin ,θθαθθβ+=∙=求证:22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++.新知：用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：试试：已知tan sin ,tan sin a b αααα+=-=，求证：222()16a b ab -=.反思：在解决一些复杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用.※ 典型例题例1 已知,A B 都是锐角，且2A B π+≠，(1tan )(1tan )2A B ++=，求证：45A B +=︒变式：已知1tan 12tan αα-=+，求证：3sin 24cos 2αα=-.小结：牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提，本例中，三角公式发挥着重要作用.例2 在四面体P ABC -中，PD ABC ⊥∆，AC BC =，D 是AB 的中点，求证：AB PC ⊥.变式：如果,0a b >，则lg lg lg 22a b a b++≥.小结：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明. ※ 动手试试练 1. 设实数,,a b c 成等比数列，非零实数,x y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，求证2a c x y +=.练2. 已知54A B π+=，且,()2A B k k Z ππ≠+∈，求证：(1tan )(1tan )2A B ++=.三、总结提升 ※ 学习小结1. 直接证明包括综合法和分析法.2. 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.※ 知识拓展综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决问题的问题中，综合运用，效果会更好，综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐，在历年的高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 给出下列函数①3y x x =-，②sin cos ,y x x x =+③sin cos ,y x x =④22,x x y -=+其中是偶函数的有（）.A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个2. m 、n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题（）. ①//////αββγαγ⎧⇒⎨⎩ ；②//m m αββα⊥⎧⇒⊥⎨⎩ ③//m m ααββ⊥⎧⇒⊥⎨⎩ ；④////m nm n αα⎧⇒⎨⊂⎩其中为真命题的是（）A ．①④ B. ①③ C ．②③ D ．②④3. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是（）. A ．a ，b 均为负数，则2a b ba+≥B 22≥C ．lg log 102x x +≥D ．1,(1)(1)4a R a a+∈++≥4. 设α、β、r 是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出四个命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β ②若α⊥r，β⊥r，则α∥β③若m⊥α，m∥β，则α⊥β ④若m∥α，n⊥α，则m⊥n5. 已知:23)0p <, 则p 是q 的条件.1. 已知,,a b c R +∈，,,a b c 互不相等且1abc =.111a b c<++.2. 已知,,,a b c d 都是实数，且22221,1a b c d +=+=，求证：||1ac bc +≤.。

高二数学人教A版选修1-2课件：2.2.1《综合法与分析法》

只需证11－＋ccssooiinnss2222xxxx＝211－＋cscsoioinsns2222yyyy，
即证ccooss22xx－＋ssiinn22xx＝2（ccooss22yy－＋ssiinn22yy），
栏目
即证 cos2x－sin2x＝12(cos2y－sin2y),
链接
∵BB1∩AB＝B，∴CB⊥平面AA1B1B.
又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴CB⊥AB1.
∵四边形A1ABB1为菱形，
∴AB1⊥A1B.
栏
∵CB∩A1B＝B，
目链
∴AB1⊥平面A1BC.
接
(2) 若
x，y≠kπ
＋
π 2
(k∈Z)
，
试
用
分
析
法
证
明
：
1－tan2x 1＋tan2x
＝
1－tan2y 2（1＋tan2y）.
证明：(1)∵ sin θ与 cos θ的等差中项是 sin x，等比中项是 sin
y，
∴ sin θ＋cos θ＝2sin x，①
sin θcos θ＝sin2y，②
①2－②×2，可得
栏目
(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝4sin2x－2sin2y，
链
即 4sin2x－2sin2y＝1.
接
∴ 4×1－c2os 2x－2×1－c2os 2y＝1,
即 2－2cos 2x－(1－cos 2y)＝1.
故证得 2cos 2x＝cos 2y.
(2)要证11＋－ttaann22xx＝2（11－＋ttaann22yy），
只需证 cos 2x＝21cos 2y.
由(1)的结论可知，cos 2x＝12cos 2y 显然成立．

高中数学 2.2.1综合法与分析法教案新人教版选修1-2

的思考过程、特点
共同解决；
感态度价值观
根据问题的特点，选择适当的证明方法
1.
证明基本不等式
为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止
要点：逆推证法；
> 0
别运用分析法、综合法证明
. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）
通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管
的正方形边长为
只需证：
讨论：能用综合法证明吗？如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？
（注意格式）
再讨论：能用综合法证明吗？
P44
分析。

苏教版数学高二- 选修1-2教案 2.2综合法与分析法1

课题2.2.1综合法与分析法授课时间课型教学目标知识与技能结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.过程与方法引导学生自主完成自学任务，给出问题现有学生自己解决，再小组讨论后师生共同解决；情感态度价值观会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教材分析重难点根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学设想教法三主互位导学法学法合作交流教具多媒体课堂设计一、目标展示1. 提问：基本不等式的形式？2. 讨论：如何证明基本不等式(0,0)2a bab a b+≥>>.（讨论→ 板演→ 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、预习检测提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示：要点：逆推证法；执果索因三、质疑探究设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y+>+.先讨论方法→ 分别运用分析法、综合法证明.④出示例4：见教材P48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）四、精讲点拨通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为2lπ，截面积为2()2lππ，周长为l的正方形边长为4l，截面积为2()4l，问题只需证：2()2lππ> 2()4l.五、当堂检测求证3526+>+.讨论：能用综合法证明吗？→ 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？→ 板演证明过程（注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？→ 比较：两种证法六、作业布置课本P44 第1.2题。

高中数学《2.2.1综合法和分析法》教案新人教A版选修12

- 1 - 一课时2.2.1 综合法和分析法（一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) >6abc .分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示：要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角关系？→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B 为锐角，且tan tan 3tan 3A B A B ++=，求证：60A B +=o . （提示：算tan()A B +）② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题）（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++. 3. 作业：教材P 54 A 组 1题.。

人教B版高中数学选修1-2 2-2-1 综合法和分析法学案

2．2．1 综合法和分析法（学案）一、知识梳理1、直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；直接证明的两种基本方法____________和_____________.⑴ 综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的_____________，最后推导出所要证明的结论_______________，这种证明方法叫综合法。

框图表示：（其中P 表示条件，Q 表示要证的结论）。

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

⑵分析法：从要证明的____________出发，逐步寻找使它成立的_______________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫分析法。

框图表示：分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式：要证明命题B 为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题A 为真，而已知A 为真，故命题B 必为真。

二、情境导学探究任务一：综合法问题：已知,0a b >,求证:2222()()4a b c b c a abc +++≥.新知：一般地,利用 ,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.要点：顺推证法；由因导果.探究任务二：分析法问题：如何证明基本不等式(0,0)2a b a b +>>新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因三、典例解析例1已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥变式：已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c ---≥.小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.例2 求证+>变式：求证:+<小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.练习 ,A B 为锐角，且tan tan tan A B A B +=，求证：60A B +=.四、当堂检测1. 给出下列函数①3y x x =-，②sin cos ,y x x x =+③sin cos ,y x x =④22,x x y -=+其中是偶函数的有（）.A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个2.不等式①233x x +>;②2b a a b+≥,其中恒成立的是 A.① B.② C.①② D.都不正确3.已知0y x >>,且1x y +=,那么 A.22x y x y xy +<<< B.22x y xy x y +<<<C.22x y x xy y +<<<D.22x y x xy y +<<< 4. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是（）.A ．a ，b 均为负数，则2a b b a +≥ B ．22≥C ．lg log 102x x +≥D ．1,(1)(1)4a R a a +∈++≥ 5. m 、n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题 ①//////αββγαγ⎧⇒⎨⎩ ；②//m m αββα⊥⎧⇒⊥⎨⎩③//m m ααββ⊥⎧⇒⊥⎨⎩ ；④////m n m n αα⎧⇒⎨⊂⎩ 其中为真命题的是（）A ．①④ B. ①③ C ．②③ D ．②④6.已知:231,:(3)0p x q x x -<-<, 则p 是q 的条件. 。

高中数学选修1-2教案6：2.2.1 综合法和分析法教学设计

2.2.1 综合法和分析法教材分析《直接证明与间接证明》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子．教学目标1．知识与技能目标(1)了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法．(2)了解分析法和综合法的思维过程和特点．2．过程与方法目标(1)通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力．(2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度及价值观通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．重点难点重点：分析法和综合法的思维过程及特点．难点：分析法和综合法的应用．教学过程创设情境、引入新课提出问题1：前面我们学习了两种重要的推理方法，请同学们回忆，我们学习了什么推理方法，它们各自的特点和作用各是什么？活动设计：学生思考并举手回答，教师提问．活动成果：前面已经学习了合情推理和演绎推理．合情推理是提出新问题、获得新知识的主要推理方式，特点是结论不一定可靠；演绎推理是证明结论的主要推理方式，特点是只要大前提正确，推理形式正确，结论一定正确．提出问题2：使用演绎推理证明，怎样才能保证推理形式正确？活动设计：设问引出将要学习的内容是证明方法．提出问题3：我们先来看看我们已经证明过的两个问题，试找出证明过程的差异．1．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，求证：A′C⊥BD.证明：连接AC.∵ABCD—A′B′C′D′是正方体，∴AA′⊥平面ABCD.又∵BD⊂平面ABCD，∴AA′⊥BD.又∵AC⊥BD，AA′∩AC＝A，∴BD⊥平面A′AC.又∵A′C⊂平面A′AC，∴A′C⊥BD.2．已知直线a，和直线外一点A，求证：过点A有且只有一条直线平行于a.证明：假设过点A有两条不同的直线AB、AC都平行于直线a，即AB∥a，AC∥a，由平行公理可得AB∥AC，这与AB∩AC＝A矛盾，∴过点A有且只有一条直线平行于a.活动设计：学生先独立思考，后合作交流，然后请学生回答．活动成果：第一个是直接证明结论，第二个是先假设结论不成立，得出矛盾．从而引出单元标题《直接证明与间接证明》．探究新知提出问题1：再来看第一个小题，试总结证明过程的特点．活动设计：先独立思考，再小组交流，然后请学生回答．活动成果：证明过程是从原因推导到结果．提出问题2：我们把这种证明方法叫做综合法，请同学们试给综合法下个较为准确的定义．活动设计：请几个同学总结补充，最后教师总结给出定义．活动成果：从原因推导到结果的思维方法叫综合法(又叫顺推法)．提出问题3：如果条件用P来表示，结论用Q来表示，请同学们试把综合法的证明过程用符号语言表示出来．活动设计：先独立思考，再小组交流，然后请学生回答．活动成果：用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：提出问题4：你能用更简练的语言概括综合法的特点吗？活动设计：请几个同学总结补充，最后教师总结给出特点．活动成果：综合法的特点：由因导果．理解新知1已知a>0，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(a2＋c2)≥4abc.活动设计：学生到黑板板演．活动成果：证明：∵b2＋c2≥2bc，a>0，∴a(b2＋c2)≥2abc.又∵c2＋a2≥2ac，b>0，∴b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.提出问题：这是用的什么证明方法？活动设计：提问．活动成果：综合法．加深学生对综合法的理解．探究新知2求证：3＋7<2 5.活动设计：找两个学生到黑板板演．活动成果：证明：因为3＋7和25都是正数，所以要证3＋7<25，只需证(3＋7)2<(25)2，只需证10＋221<20，只需证21<5，只需证21<25，而21<25显然成立，所以3＋7<2 5.提出问题1：这种证明方法是综合法吗？你能总结出这种证明方法的证明过程的特点吗？活动设计：先独立思考，再小组交流，然后请学生回答．活动成果：不是综合法．是从结论入手逐步寻找到一个明显成立的条件的证明过程，我们把它称为分析法．提出问题2：请试着给分析法下个准确的定义．活动设计：请几个同学总结补充，最后教师总结给出定义．活动成果：一般地，从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．提出问题3：如果条件用P来表示，结论用Q来表示，请同学们试把分析法的证明过程用符号语言表示出来．活动设计：先独立思考，再小组交流，然后请学生回答．活动成果：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：提出问题4：你能用更简练的语言概括分析法的特点吗？活动设计：请几个同学总结补充，最后教师总结给出特点．活动成果：分析法的特点：执果索因．理解新知提出问题：请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点．活动设计：请几个同学总结补充，最后教师总结给出特点．活动成果：综合法“由因导果”，宜于表达；分析法“执果索因”，利于思考．应用新知1．已知函数f(x)＝x3，x∈(1，＋∞)，求证：f(x)在(1，＋∞)上是增函数．证明：∵f′(x)＝3x2，x∈(1，＋∞)，∴f′(x)>0.∴f(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数．提出问题1：这是使用的什么证明方法？活动设计：集体回答．活动成果：综合法．2．求证：a－a－1<a－2－a－3 (a≥3)．证明：要证a－a－1<a－2－a－3，只需证a＋a－3<a－2＋a－1，只需证(a＋a－3)2<(a－2＋a－1)2，只需证2a－3＋2a2－3a<2a－3＋2a2－3a＋2，只需证a2－3a<a2－3a＋2，只需证0<2，而0<2显然成立，所以a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)．提出问题2：这是使用的什么证明方法？还有别的方法吗？活动设计：先独立思考，后小组交流．活动成果：证明：∵a ＋a －1>a －2＋a －3， ∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3， ∴a －a －1<a －2－a －3.提出问题3：你得到什么启示？活动设计：请几个同学总结，教师补充．活动成果：1.证明时，既可以使用综合法也可以使用分析法．2．将分析法的过程倒过来就是综合法．拓展提高已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．活动设计：先独立思考，后小组讨论．活动成果：证明：要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12， ∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1. ∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．提出问题：从证明过程中，你得到什么启示？活动设计：请几个同学总结，教师补充．活动成果：在证明过程中，分析法和综合法可以综合使用．课堂小结提出问题：在本节课的学习中，你有什么收获？活动设计：请几个同学总结，教师补充．活动成果：1．本节课所学的知识结构：2．我的收获：证明的严谨性，团队合作的精神．。

高中数学选修1-2学案：2.2.1 综合法和分析法

2．2 直接证明与间接证明2．2.1 综合法和分析法[学习目标] 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．[知识链接]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”2．必修5中基本不等式a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？答要证a ＋b 2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ，只需证a ＋b －2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．[预习导引]1．综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．2．分析法分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.要点一综合法的应用例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4.证明方法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4. 方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1b ≥2 1ab>0， ∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4. 方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2 b a ·a b＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号．规律方法利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法．跟踪演练1 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .①因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3.③ 由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，因此a ＝c ，从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．要点二分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．证明当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证．规律方法分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的．它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”．跟踪演练2 如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .证明要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为EF ⊥SC )，只需证AE ⊥平面SBC ，只需证AE ⊥BC (因为AE ⊥SB )，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为AB ⊥BC )．由SA ⊥平面ABC 可知上式成立，所以AF ⊥SC .要点三综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c . 证明要证明：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )．由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc . 由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0，又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立． ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．规律方法综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．跟踪演练3 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋c y＝2. 证明由已知条件得b 2＝ac ，①2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋c y＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ，只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ，4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ，所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证.1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y 2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y 2<y [答案] D[解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38， ∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D. 2．欲证2－3<6－7成立，只需证( )A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2[答案] C[解析] 根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2，∴只需证：2＋7<6＋3，只需证：(2＋7)2<(3＋6)2.3．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 证明因为1log b a＝log a b ，所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360.因为log 19360<log 19361＝2，所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12， ∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立， ∴结论得证．1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．3．在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它．。

高中数学 2.2.1 第1课时综合法和分析法教案选修1-2

2．2.1 综合法和分析法第1课时综合法及其应用(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能结合学过的数学实，了解直接证明的基本方法：综合法．了解综合法的思维过程、特点．2．过程与方法会用综合法证明数学问题，培养学生的分析问题、解决问题的能力，提高学生思维能力．3．情感、态度与价值观通过学生参与，激发学生学习数学的兴趣，端正学生严谨治学的态度，提高其思维论证能力．●重点难点重点：掌握综合法的思维过程、特点及其解题步骤，会用综合法证明数学问题．难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，应用综合法证明较复杂的数学问题．综合法是从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后得出所要证明问题．所以分析解读已知条件、挖掘隐含条件是解决问题的关键因素，在教学过程中指导学生正确审题，合理应用已知条件可达到事半功倍的效果．(教师用书独具)●教学建议建议本节课采取探究式教学方法，教师主要作用在“引导”“点拨”，让学生自主思考综合法的证明特点，总结解题步骤，对于不同类型的问题如何思考、如何推理，教师应给出必要的指导．另外应注意引导学生学会分析和利用已知条件，阐明如何挖掘题目的隐含条件，如何联想与所证问题有关的定理、公理、公式等．证明过程中要注意每一步证明的充分性，注重由因导果推理方式的思路引领．在解答每一个例证前，最好先引导学生分析出思维路线图．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识直接证明的方法之一——综合法．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解综合法的证明格式、步骤、作用等．引导学生分析例题1的已知条件，师生共同探究证明思路，学生自主完成证明过程，教师指导完善．完成变式训练．学生分组探究例题2解法，总结用综合法证明立体几何问题的规律方法．完成互动探究．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法，老师组织解法展示．引导学生总结解题规律．课标解读1.了解直接证明的证明方法——综合法，掌握其证明方法、步骤．(重点)2.理解综合法的思考过程、特点，会用综合法证明数学问题．(难点)综合法【问题导思】阅读下列证明过程，回答问题．已知实数x ，y 满足x ＋y ＝1，求证：2x＋2y≥2 2. 证明：因为x ＋y ＝1，所以2x＋2y≥22x·2y＝22x ＋y＝22，故2x＋2y≥22成立． 1．本题的条件和结论是什么？【提示】条件：x ＋y ＝1，结论2x＋2y≥2 2. 2．本题的证明顺序是什么？【提示】从已知条件利用基本不等式到待证结论． 1．综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．2．综合法的框图表示P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论)用综合法证明不等式问题已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4.【思路探究】解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法，即可得出结论．【自主解答】法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ＞0(当且仅当a ＝b 时，取等号)．又0＜ab ≤12，0＜ab ≤14，∴1ab ≥4，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4.法二 ∵a ，b 是正数， ∴a ＋b ≥2ab ＞0， 1a ＋1b ≥21ab＞0(当且仅当a ＝b 时，上两式取等号)．∴(a ＋b )(1a ＋1b)≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4.法三 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2b a ·ab＝4(当且仅当a ＝b 时，取等号)． 1．解答本题时，关键是灵活运用条件a ＋b ＝1. 2．综合法证题的一般步骤是：(1)分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件，组织过程．把题目的已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．(2013·新乡高二检测)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －bb＋a ＋b －cc＞3. 【证明】左边＝(b a ＋a b )＋(c b ＋b c )＋(a c ＋c a)－3，因为a ，b ，c 为不全相等的正实数，所以b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋c a≥2，且上述三式的等号不能同时成立，所以(b a ＋a b )＋(c b ＋b c )＋(a c ＋c a)－3＞6－3＝3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＞3.用综合法证明几何问题如图2－2－1，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1C 1＝A 1C 1，AC 1⊥A 1B ，M ，N 分别是A 1B 1，AB 的中点．图2－2－1求证：(1)C 1M ⊥平面AA 1B 1B . (2)A 1B ⊥AM .(3)平面AC 1M ∥平面B 1NC .【思路探究】 (1)由B 1C 1＝A 1C 1，M 为A 1B 1的中点可知C 1M ⊥A 1B 1，再根据C 1M ⊥A 1A 即可得证．(2)要证A 1B ⊥AM ，可转化为证明A 1B ⊥平面AC 1M . (3)要证面面平行，应转化证明线面平行．【自主解答】 (1)∵在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1C 1＝A 1C 1，M 是A 1B 1的中点，∴C 1M ⊥A 1B 1.又∵C 1M ⊥A 1A ，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，A 1A ，A 1B 1⊂平面AA 1B 1B ， ∴C 1M ⊥平面AA 1B 1B .(2)∵A 1B ⊂平面AA 1B 1B ，由(1)知C 1M ⊥平面AA 1B 1B ， ∴A 1B ⊥C 1M .又A 1B ⊥AC 1，AC 1，C 1M ⊂平面AC 1M ，AC 1∩C 1M ＝C 1， ∴A 1B ⊥平面AC 1M . 又∵AM ⊂平面AC 1M ， ∴A 1B ⊥AM .(3)在矩形AA 1B 1B 中，易知AM ∥B 1N ，AM ⊄平面B 1NC ，B 1N ⊂平面B 1NC ，∴AM ∥平面B 1NC .又C 1M ∥CN ，CN ⊂平面B 1NC ，C 1M ⊄平面B 1NC ，∴C 1M ∥平面B 1NC .又∵C 1M ∩AM ＝M ，C 1M ，AM ⊂平面AC 1M ， ∴平面AC 1M ∥平面B 1NC . 平行与垂直关系的转化：本例重点强调在证明空间线线垂直、线线平行、线面垂直、线面平行、面面平行或垂直问题时，要特别注意平行与垂直之间的相互转化，如：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ⊥c ⇒a ⊥c ，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ⊥α⇒a ⊥α，⎭⎪⎬⎪⎫α∥ββ⊥γ⇒α⊥γ等．其中线面平行和线面垂直一般起到关键作用，如本例(2)中通过证明A 1B ⊥平面AC 1M 来证明A 1B ⊥AM ；本例(3)中，通过证明AM ∥平面B 1NC ，C 1M ∥平面B 1NC ，来证明平面AC 1M ∥平面B 1NC .将本例条件“B 1C 1＝A 1C 1，AC 1⊥A 1B ，M ，N 分别是A 1B 1，AB 的中点”改为“AB ＝BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点”，求证：(1)B 1C ∥平面A 1BD .(2)B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.【证明】 (1)如图，连接AB 1. 令AB 1∩A 1B ＝O ，则O 为AB 1的中点．连接OD ，∵D 为AC 的中点， ∴在△ACB 1中，有OD ∥B 1C . 又∵OD ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，∴B 1C ∥平面A 1BD .(2)∵AB ＝B 1B ，三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴四边形ABB 1A 1为正方形． ∴A 1B ⊥AB 1，又∵AC 1⊥平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ， ∴AC 1⊥A 1B .又∵AC 1⊂平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，AC 1∩AB 1＝A ，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1. 又∵B 1C 1⊂平面AB 1C 1， ∴A 1B ⊥B 1C 1.又∵A 1A ⊥平面A 1B 1C 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1， ∴A 1A ⊥B 1C 1.又∵A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B ⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B ＝A 1，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.用综合法证明数学中的其他问题设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N *)，其中m 为常数，且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：{1b n}为等差数列．【思路探究】通过变形利用等差、等比数列的定义证明即可，在证明过程中，恰当处理递推关系是本题证明的关键．【自主解答】 (1)由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3得 (3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3.两式相减得(3＋m )a n ＋1＝2ma n (m ≠－3)， ∴a n ＋1a n ＝2m m ＋3，且a 1＝1， ∴{a n }是等比数列． (2)b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2mm ＋3， ∴n ≥2，n ∈N *时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3⇒b n b n －1＋3b n ＝3b n －1⇒1b n －1b n －1＝13.∴数列{1b n }为首项为1，公差为13的等差数列．1．综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件． 2．综合法不但是数学证明中的重要方法之一，也是其他解答题步骤书写的重要方法，其特点是“执因索果”．综合法在数学证明中的应用非常广泛，用它不但可以证明不等式、立体几何、解析几何问题，也可以证明三角恒等式、数列问题、函数问题等等．设数列{a n }的每一项都不为0，证明：数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 【证明】必要性：设等差数列{a n }的公差为d . 若d ＝0，则所述等式显然成立；若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d (a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1)＝1d [(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3)＋…＋(1a n －1a n ＋1)]＝1d (1a 1－1a n ＋1)＝1d ·a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1.充分性：依题意有 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2.② ②－①得 1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－na 1a n ＋1，两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③ 同理可得：a 1＝na n －(n －1)a n ＋1.④ ③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n )，即2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以数列{a n }为等差数列．命题得证.综合法的简单应用(12分)在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列．求证：a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .【思路点拨】利用二倍角公式及余弦定理，将三角形角的问题转化为边的问题进行证明．【规范解答】 ∵左边＝a 1＋cos C2＋c 1－cos A2＝12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A )4分＝12(a ＋c )＋12(a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc )8分＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b 2＝b ＋b 2＝32b ＝右边， ∴a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .12分通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，也可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则．1．综合法证题是从条件出发，由因导果，从已知看可知，逐步推出未知．2．综合法适用的范围：(1)定义明确的题型，如证明函数单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等．(2)已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．1．设P ＝1log 211＋1log 311＋1log 411＋1log 511，则( )A ．0<P <1B ．1<P <2C ．2<P <3D ．3<P <4【解析】 P ＝log 112＋log 113＋log 114＋log 115 ＝log 11120,1＝log 1111<log 11120<log 11121＝2，即1<P <2. 【答案】 B2．A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】若A >B ，则a >b ，又a sin A ＝bsin B ，∴sin A >sin B ，若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ，∴A >B .【答案】 C3．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________．【解析】 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c ，又∵c b＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b .【答案】 a >c >b4．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝x ，x ∈R ，数列{a n }，{b n }满足条件：a 1＝1，a n ＝f (b n )＝g (b n ＋1)，n ∈N *.求证：数列{b n ＋1}为等比数列．【证明】由题意得2b n ＋1＝b n ＋1， ∴b n ＋1＋1＝2b n ＋2＝2(b n ＋1)， ∴b n ＋1＋1b n ＋1＝2，又∵a 1＝2b 1＋1＝1， ∴b 1＝0，b 1＋1＝1≠0.故数列{b n ＋1}是以1为首项，2为公比的等比数列.一、选择题1．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22 B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22<ab <1【解析】 ∵a ≠b ，∴a 2＋b 2>2ab ，即a 2＋b 22>ab ，可排除A 、D. 又a 2＋b 22＝a 2＋b 24＋a 2＋b 24>a 2＋b 24＋2ab4＝a ＋b24＝1.故B 正确．【答案】 B2．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面【解析】在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D 错．【答案】 B3．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y【解析】 ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y2<y ，故选D. 【答案】 D4．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－b C.1b D ．－1b【解析】 f (x )定义域为(－1,1)，f (－a )＝lg1＋a 1－a ＝lg(1－a 1＋a )－1＝－lg 1－a1＋a＝－f (a )＝－b . 【答案】 B5．已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线( ) A ．只有一条，不在平面α内 B ．有无数条，不一定在平面α内 C ．只有一条，且在平面α内 D ．有无数条，一定在平面α内【解析】由直线l 与点P 可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m ，因为l ∥α，所以l ∥m ，故过点P 且平行于直线l 的直线只有一条，且在平面α内．【答案】 C 二、填空题6.3－2________2－1.(填“＞”或“＜”) 【解析】 ∵13－2＝3＋23－23＋2＝3＋2，12－1＝2＋12－12＋1＝2＋1，显然3＋2＞2＋1，∴3－2＜2－1. 【答案】＜ 7．已知sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，则tan(x －π4)＝________. 【解析】 ∵sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，∴cos x ＝－45， ∴tan x ＝－12，∴tan(x －π4)＝tan x －11＋tan x ＝－3.【答案】－38．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是________．(用序号及“⇒”表示)【解析】 ∵αβ>0，|α|>22，|β|>2 2. ∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25.∴|α＋β|>5.【答案】 ①③⇒②三、解答题9．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．【证明】由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .①因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3.③ 由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，因此a ＝c ，从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形． 10．设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 在R 上满足f (x )＝f (－x )， (1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上是增函数．【解】 (1)依题意，对一切x ∈R 有f (x )＝f (－x )，即e x a ＋a e x ＝1a e x ＋a e x ，所以(a －1a )(e x －1e x )＝0对一切x ∈R 成立．由此可得a －1a＝0，即a 2＝1. 又因为a >0，所以a ＝1.(2)证明：设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(e x 2－e x 1)(1e x 1＋x 2－1) ＝(e x 2－e x 1)·1－e x 1＋x 2e x 1＋x 2. 由x 1>0，x 2>0，得x 1＋x 2>0，e x2－e x1>0,1－e x1＋x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．11．如图2－2－2，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.图2－2－2(1)求证：B1B∥平面D1AC；(2)求证：平面D1AC⊥平面B1BDD1.【证明】(1)设AC∩BD＝E，连接D1E，∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1.∴B1D1∥BE，∵B1D1＝BE＝2，∴四边形B1D1EB是平行四边形，所以B1B∥D1E.又因为B1B⊄平面D1AC，D1E⊂平面D1AC，所以B1B∥平面D1AC(2)侧棱DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1.∵下底ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，∴AC⊥平面B1BDD1，∵AC⊂平面D1AC，∴平面D1AC⊥平面B1BDD1.(教师用书独具)图1是由菱形BCDE和△ABC组成的五边形，其中P为AB的中点，现沿BC将菱形BCDE 折起，使得AD＝AB，得到如图2所示的几何体．图1 图2证明：(1)AD∥平面PCE；(2)平面ABD⊥平面ACE.【思路探究】(1)由于P为AB的中点，故可考虑借助三角形的中位线定理证明；(2)要证平面ABD⊥平面ACE，可证明BD⊥平面ACE.【自主解答】(1)如图，设菱形BCDE的两条对角线交于点Q，连接AQ，PQ.在△ABD中，Q为BD的中点，P为AB的中点，则AD∥PQ.又∵PQ⊂平面PCE，AD⊄平面PCE，∴AD∥平面PCE.(2)∵四边形BCDE为菱形，∴BD⊥CE，且BQ＝DQ.又在△ABD中，AB＝AD，BQ＝DQ，∴AQ⊥BD.又AQ∩CE＝Q，∴BD⊥平面ACE.又BD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACE.要正确解答本题，关键是要明确折叠前后的图形之间的关系．设a、b、c∈R＋，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．【证明】∵a2＋b2≥2ab，a、b∈R＋，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，∴a2＋b2≥a＋b2 2，∴a2＋b2≥22(a＋b)．同理：b2＋c2≥22(b＋c)，c2＋a2≥22(c＋a)，∴a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥22(2a＋2b＋2c)＝2(a＋b＋c)．(当且仅当a＝b＝c时取等号) 故a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．。

【优化课堂】高二数学人教A版选修1-2学案：2.2.1 综合法和分析法

_2.2直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法[提出问题]阅读下列证明过程，回答问题．求证：π是函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的一个周期．证明：因为f (x ＋π)＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π)＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝f (x )，所以由周期函数的定义可知，π是函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的一个周期．问题1：本题的条件和结论各是什么？提示：条件：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4；结论：π是f (x )的一个周期．问题2：本题的证明顺序是什么？提示：从已知利用诱导公式到待证结论． [导入新知] 1．综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．2．综合法的框图表示P ⇒Q 1―→Q 1⇒Q 2―→Q 2⇒Q 3―→…―→Q n ⇒Q(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论) [化解疑难]综合法的特点(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件．(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明.[提出问题]阅读下列证明过程，回答问题．求证：6＋7≥22＋ 5.证明：要证原不等式成立，只需证(6＋7)2≥(22＋5)2，即证242≥240，该式显然成立，因此原不等式成立．问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始．问题2：证明思路是什么？提示：寻求每一步成立的充分条件．[导入新知]1．分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．2．分析法的框图表示Q⇐P1→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件[化解疑难]分析法的特点(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件．(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等．[例1]已知a，b a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.[证明]∵a，b，c是正数，∴b2＋c2≥2bc，∴a(b2＋c2)≥2abc.①同理，b(c2＋a2)≥2abc，②c(a2＋b2)≥2abc.③∵a，b，c不全相等，∴b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，a 2＋b 2≥2ab 三式中不能同时取到“＝”． ∴①②③式相加得a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)＞6abc . [类题通法]综合法的证明步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等； (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程． [活学活用]已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证：4a ＋1b ≥9.证明：∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴4a ＋1b ＝4(a ＋b )a ＋a ＋b b ＝4＋4b a ＋a b ＋1＝5＋4b a ＋a b ≥5＋2 4b a ×ab＝5＋4＝9.当且仅当4b a ＝ab，即a ＝2b 时“＝”成立.[例2] 设a ＞b ＞．[证明] 因为a ＞b ＞0，所以a 2＞ab ＞b 2，所以ab －b 2＞0. 要证a 2－b 2＋ab －b 2＞ a (a － b )，只需证a 2－aba 2－b 2－ab －b 2＞a 2－aba 2＋ab ，只需证 a 2－b 2－ab －b 2＜a 2＋ab .而 a 2－b 2＜a 2＋ab ＋ ab －b 2显然成立．所以a 2－b 2＋ab －b 2＞ a (a －b )成立．[类题通法]分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．(2)书写形式：要证…，只需证…，即证…，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．[活学活用]在锐角△ABC 中，求证：tan A tan B ＞1.证明：要证tan A tan B ＞1，只需证sin A sin Bcos A cos B ＞1，∵A 、B 均为锐角，∴cos A ＞0，cos B ＞0. 即证sin A sin B ＞cos A cos B ，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，只需证cos(A ＋B )＜0. ∵△ABC 为锐角三角形，∴90°＜A ＋B ＜180°， ∴cos(A ＋B )＜0，因此tan A tan B ＞1.[例3]分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.[证明] 法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )，所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立． ∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立．法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2，两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，所以⎝⎛⎭⎫c a ＋b ＋1＋⎝⎛⎭⎫ab ＋c ＋1＝3，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1. [类题通法]综合法与分析法的适用范围(1)综合法适用的范围：①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等； ②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型． (2)分析法适用的范围：分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题． [活学活用]设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2. 证明：法一：(分析法) 要证a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2成立，即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )成立．又因a ＋b ＞0，故只需证a 2－ab ＋b 2＞ab 成立，即需证a 2－2ab ＋b 2＞0成立，即需证(a －b )2＞0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2＞0显然成立．由此命题得证．法二：(综合法)a ≠b ⇔a －b ≠0⇔(a －b )2＞0⇔a 2－2ab ＋b 2＞0 ⇔a 2－ab ＋b 2＞ab .∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＞0，(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )． ∴a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.2.综合法、分析法的综合应用[典例] (12分)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)的图像与f (x )的图像关于y 轴对称．求证：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数． [解题流程]求证：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数，需证明f ⎝⎛⎭⎫－x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12(1)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(2)y ＝f (x ＋1)的图像与y ＝f (x )的图像关于y 轴对称用分析法转化所证问题―→用综合法证明结论[规范解答]法一：要证f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数，只需证明其对称轴为直线x ＝0，(2分)[活学活用]已知a ≥－12，b ≥－12，a ＋b ＝1，求证：2a ＋1＋2b ＋1≤2 2.证明：要证2a ＋1＋2b ＋1≤22，只需证2(a ＋b )＋2＋22a ＋1·2b ＋1≤8.因为a ＋b ＝1，即证2a ＋1·2b ＋1≤2.因为a ≥－12，b ≥－12，所以2a ＋1≥0,2b ＋1≥0，所以2a ＋1·2b ＋1≤(2a ＋1)＋(2b ＋1)2＝2(a ＋b ＋1)2＝2.即2a ＋1·2b ＋1≤2成立，因此原不等式成立．[随堂即时演练]1．下面叙述正确的是( )A ．综合法、分析法是直接证明的方法B ．综合法是直接证法，分析法是间接证法C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的D ．综合法、分析法所用语气都是假定的解析：选A 直接证明包括综合法和分析法．2．欲证不等式 3－5＜ 6－8成立，只需证( ) A ．(3－5)2＜(6－8)2 B ．(3－6)2＜(5－8)2 C ．(3＋8)2＜(6＋5)2 D ．(3－5－6)2＜(－8)2解析：选C 要证 3－5＜ 6－8成立，只需证 3＋8＜6＋5成立，只需证(3＋8)2＜(6＋5)2成立．3．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8. 证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a ＞0，1b －1＝a ＋c b ＞0，1c －1＝a ＋b c＞0， ∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立．这种证法是________(填综合法、分析法)．解析：本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法．答案：综合法4．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．解析：用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥0 5．已知a ＞0，b ＞0，求证：a b ＋ba≥ a ＋b .(要求用两种方法证明) 证明：法一：(综合法)因为a ＞0，b ＞0，所以a b ＋ba－a －b ＝⎝⎛⎭⎫a b －b ＋⎝⎛⎭⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a ＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以a b ＋b a≥a ＋b .法二：(分析法)要证a b ＋ba≥ a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0，因为a ＞0，b ＞0，所以a －b 与a －b 符号相同，不等式(a －b )(a －b )≥0成立，所以原不等式成立．。

高中数学 2.2.1(2)综合法和分析法(2)教学案新人教A版选修1-2

§2.2.1 综合法和分析法(二)1. 会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. ..难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.【知识链接】（预习教材P 48~ P 50，找出疑惑之处）复习1：综合法是由导 ;复习2：基本不等式:【学习过程】※ 学习探究探究任务一：分析法问题：如何证明基本不等式(0,0)2a b a b +>>新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示要点：逆推证法；执果索因※ 典型例题例1变式：求证小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例2 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.变式：设,,a b c 为一个三角形的三边,1()2s a b c =++,且22s ab =,试证2s a <.小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.※ 动手试试练1. 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.练2. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：2224--+≥c a b ab【学习反思】※学习小结,P P⋅⋅⋅，直到所有的已知P 分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知12,都成立.※知识拓展证明过程中分析法和综合法的区别:在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的.分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. ,其中最合理的是A.综合法B.分析法C.反证法D. 归纳法2.不等式①233x x +>;②2b a a b+≥,其中恒成立的是 A.① B.② C.①② D.都不正确3.已知0y x >>,且1x y +=,那么 A.22x y x y xy +<<< B.22x y xy x y +<<< C.22x y x xy y +<<< D.22x y x xy y +<<< 4.若,,a b c R ∈,则222a b c ++ ab bc ac ++.5.将a 千克的白糖加水配制成b 千克的糖水(0)b a >>,则其浓度为 ;若再加入m 千克的白糖(0)m >,糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式: .求证:22()()828a b a b a b a b-+-<.2. 设,a b R +∈,且a b ≠,求证:3322a b a b ab +>+。

2018版高中数学人教B版选修1-2学案：2-2-1 综合法与分析法精品

2.2直接证明与间接证明2．2.1综合法与分析法[学习目标]1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．[知识链接]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．必修五中基本不等式a＋b2≥ab(a>0，b>0)是怎样证明的？答要证a＋b2≥ab，只需证a＋b≥2ab，只需证a＋b－2ab≥0，只需证(a－b)2≥0，因为(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．[预习导引]1．直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直接证明方法有综合法和分析法．2．综合法(1)定义：一般地，从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，这种证明方法叫做综合法．(2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q3．分析法(1)定义：从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实，这种证明方法叫做分析法．(2)框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件要点一综合法的应用例1在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C 成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C.①因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝π3.③由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac. 再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此a＝c，从而有A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝π3.所以△ABC为等边三角形．规律方法利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法；(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路；(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．跟踪演练1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ≥4. 证明法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4. 法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0， 1a ＋1b ≥21ab >0，∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ≥4.法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2 b a ·a b ＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号．要点二分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．证明当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证．规律方法用分析法证明不等式时应注意(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．跟踪演练2 已知a ，b 是正实数，求证：a b ＋ba≥a ＋b . 证明要证a b ＋ba≥a ＋b ，只要证a a ＋b b ≥ab ·(a ＋b )．即证(a ＋b －ab )(a ＋b )≥ab (a ＋b )，因为a ，b 是正实数，即证a ＋b －ab ≥ab ，也就是要证a ＋b ≥2ab ，即(a －b )2≥0. 该式显然成立，所以a b ＋ba≥a ＋b . 要点三综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c . 证明要证明：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )．由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0，又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立．∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．规律方法综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．跟踪演练3 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋c y ＝2. 证明由已知条件得b 2＝ac ，① 2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋cy ＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ，只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ，所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证.1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y2<y答案 D解析 ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D. 2．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2 C ．(2＋7)2<(3＋6)2 D ．(2－3－6)2<(－7)2 答案 C解析根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证：2＋7<6＋3，只需证：(2＋7)2<(3＋6)2. 3．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2.证明因为1log b a ＝log a b ，所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360. 因为log 19360<log 19361＝2，所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2.4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12， ∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．3．在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.。

人教B版选修高中数学《综合法与分析法》word教案

数学：2.2.1《综合法和分析法》教案教学目标：（一）知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

（二）过程与方法: 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；（三）情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc . 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示：要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B 为锐角，且tan tan 3tan 3A B A B +=60A B +=. （提示：算tan()A B +）② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c +≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 100 练习 1题）（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c +=++++. 3. 作业：教材P 102 A 组 2、3题.第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2. 讨论：如何证明基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：求证3526+>+.讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ → 板演证明过程（注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例2：见教材P 97. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例3：见教材P 99. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4l . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：222443c a b ab S --+≥. 略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 423sin ab C ab ab C -+≥，即证：2cos 23sin C C -≥，即：3sin cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+≤（成立）.2. 作业：教材P 100 练习 2、3题.第三课时 2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2. 提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点，则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上，即O 是l 与m 的交点。

人教(A版)高中数学选修1-2教学设计：2. 2 .1 综合法和分析法(1)--综合法

情感、态度与价值观：
（1）通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性.
（2）通过综合法的学习，养成审核思维的习惯.
教学重点
了解综合法的思考过程、特点
教学难点
对综合法的思考过程、特点的概括
课型
新课
主要教学方法
自主学习、思考、交流、讨论、讲解
教学模式
合作探究，归纳总结
教学手段与教具
几何画板、智慧黑板．
证明：采用差值比较法：
=
= =
=
∴ 成立
∴
例5．设函数对任意，都有，且时，．
（1）证明为奇函数；
（2）证明在上为减函数．
证明：（1），，
令，，
，令，代入，得，
而，，
是奇函数；
（2）任取，且，
则，
．
又，
为奇函数，
，
，即，
在上是减函数．
三、课堂小结，巩固反思：
分析：将A , B , C成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =；a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．
证明：由A, B, C成等差数列，有2B=A + C．①
因为A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=．②
由①②，得B= ．③
由a, b，c成等比数列，有．④
由余弦定理及③，可得