第七章 二次型汇总

第七章 二次型二次型是型论的内容之一，是非线性的.二次型的研究源于解析几何中对有心二次曲线和二次曲面方程的化简.由于实二次型的讨论,可以转化为对实对称矩阵的讨论,所以将它纳入线性代数的内容,本章内容可以看作矩阵化简理论一个方面的应用.本章的重点是实二次型化标准形及正定二次型.7.1 二次型及其矩阵定义1 数域F 上的一个二次齐次多项式n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,(+++=n n x x a x a x x a 2222221221++++++22211n nn n n n n x a x x a x x a +++∑∑===n i nj j i ij x x a 11, (1)称为F 上的一个n 元二次型.),,2,1,(n j i F a ij =∈称二次型),,,(21n x x x f 的系数.由于i j j i x x x x =,令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211, 其中n j i a a ji ij ,,2,1,, ==.即A 为对称矩阵:A A T=.那么(1)可表为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x x x x f 212122221112112121),,,(),,,( AX X T=, (2)其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21.(2)称为(1)的矩阵表示式,称A 为二次型),,,(21n x x x f 的矩阵. A 的秩称为该二次型的秩.显然,每一个n 元二次型都对应一个n 阶对称矩阵.例1 三元二次型23322121321232),,(x x x x x x x x x f ++-=的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=20010112323A .下面我们主要讨论实数域R 上的二次型,即对实对称矩阵进行讨论.我们的目的是化实对称矩阵为对角形矩阵.实对称矩阵有如下性质:性质1 实对称矩阵的特征值都是实数.证 设A 是n 阶实对称矩阵,λ为A 的特征值,Tn x x x ),,,(21 =α是属于特征值λ的特征向量.即有.λαα=A (3)令α为α的共轭向量,A 为A 的共轭矩阵（由A 的元素ij a 的共轭数ij a 构成）.由(3)两边取共轭有λαα=A ,即αλα=A .因A A =,所以αλα=A . (4)对(4)两边取转置,得T T T A αλα=. (5)用α右乘(5)两边,得ααλααααααλTT T T T A A ===.于是0)(=-ααλλT .由222212211||||||n n T x x x x x x x x x +++=+++= αα,而0≠α,则有ααT＞0.因此0=-λλ,即λλ=,故λ为实数.性质2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.证 设21,λλ是实对称矩阵A 的两个不同的特征值,21,αα是分别属于21,λλ的特征向量（实n 元列向量）,即有111αλα=A , 222αλα=A ,那么><>=>=<<21121121,,,ααλααλααA .又><====>=<21221221212121,)(,ααλααλααααααααT T T T T A A A A . 于是0,)(2121>=<-ααλλ.而021≠-λλ,故0,21>=<αα,即21,αα正交.性质3 n 阶实对称矩阵相似于n 阶对角形矩阵. 证 对n 采用归纳法. 2=n ,令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b b a A .若0=b ,A 已是对角形矩阵.若0≠b ,由22)(||b ac c a cb ba A E -++-=----=-λλλλλ. (6)(6)式右端为λ的二次三项式,其判别式22224)()(4)(b c a b ac c a +-=--+=∆＞0.因而A 有两个不同的特征值,由定理6.3.1的推论,A 可对角化.设对1-n 阶实对称矩阵,结论成立.当A 为n 阶实对称矩阵时,设111αλα=A .由于0≠k ,1αk 也属于1λ的特征向量,于是可取1α为单位向量.令),,,(211n p ααα =为正交矩阵,则有),,,(212111111n T n T T TA A A AP p AP p αααααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-,212221212111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T n T n T nn TT T n T T T A A A A A A A A A αααααααααααααααααα该矩阵仍为对称矩阵.而.1,1,0,,111111≠=⎩⎨⎧>=<==j j A j Tj T j λααλαλααα 于是.00001111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-BAp p λ 其中B 为1-n 阶对称矩阵.由归纳假设,有(1-n )阶可逆矩阵Q ,使得.321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n BQ Q λλλ令,0012⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q p且令21p p p =,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==----Q B Q p Ap p p Ap p 00100001112111121λ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n λλλ 21. (7)实对称矩阵的讨论可以放在欧氏空间中进行.一个实对称矩阵A 化对角形矩阵,先求出A 的全部特征值(它即为对角矩阵中的元素)及相应的特征向量.将A 的属于同一特征值的特征向量正交化,单位化,仍为A 的属于该特征值的特征向量.由于属于不同特征值的特征向量正交,那么,此时A 的这n 个特征向量均为单位向量,且两两正交.以它们为列构成(7)式中的p ,则p 为正交矩阵.于是有定理7.1.1 A 是n 阶实对称矩阵,则一定存在n 阶正交矩阵U ,使得AU U T为对角形矩阵.定义2 设A ,B 是数域F 上两个n 阶矩阵,如果存在F 上的一个n 阶可逆矩阵p ,使得B AP P T = (8)那么就称A 与B 合同,记为A ≈B .矩阵的合同关系具有以下性质:1°自反性: A ≈A . 在(8)中取E P =即可.2°对称性: 若A ≈B ,则有可逆矩阵P ,使B AP P T =.于是11)(--BPP TTP )(1-=A BP =-1.即有B ≈A .3°传递性: 若A ≈B ,B ≈C ,则有可逆矩阵P ,Q ,使得B AP P T =, C BQ Q T=.于是C BQ Q APQ P Q PQ A PQ TT T T ===)()(,即有A ≈C .若A ≈B ,显然秩(A )=秩(B ).定理7.1.1说明,任意一个实对称矩阵都合同于一个对角形矩阵.例2 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A求正交矩阵U ,使AU U T为对角形.解 A 的特征多项式)2)(4)(1(20212022+--=--=-λλλλλλλA E , 特征值为:2,4,1-===λλλ. 对,1=λ求得齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+-0202202323121x x x x x x 的基础解系T)2,1,2(1--=α.对应,42=λ23-=λ的齐次线性方程组分别求得基础解系: T )1,2,2(2-=α,T )2,2,1(3=α.将321,,ααα单位化得:T )32,31,32(1--=η, T )31,32,32(2-=η, T )32,32,31(3=η.于是 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=21222112231U ,而 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=241AU U T .习 题1.写出下列实二次型的矩阵.(1) ;4232),,(233222312121321x x x x x x x x x x x x f --+-+=(2) 433241312143216532),,,(x x x x x x x x x x x x x x g +-+-=;(3) 232221321432),,(x x x x x x h +-=.2.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=320222021A ,求可逆矩阵AP P P T使,为对角形.3.设A 是一个可逆对称矩阵.证明,1-A ≈A .4.A 为四阶实对称矩阵,秩(A )2=,问与A 合同的对角形矩阵有哪几种情况?*5. 设σ是欧氏空间V 的一个线性变换,若V ∈∀ηξ,有>>=<<)(,),(ησξηξσ,则称σ是一个对称变换.证明对称变换σ在V 的任一个标准正交基下的矩阵是对称矩阵.7.2 实二次型的标准形我们已经知道,如果A 是n 阶实对称矩阵,秩r A =)(≤n ,那么,总存在n 阶可逆矩阵P ,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0021rTd d d AP P . (1) 显然,与(1)中这个对角形矩阵相应的二次型只含有变量的平方项,即为.2222211r r y d y d y d +++ 称此二次型为与A 相应的二次型的标准形.如何将一个二次型化为标准形,定理7.1.1已经给出了一个方法.事实上,设实二次型AX X x x x f T n =),,,(21 .其中,21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X TA A =.由定理7.1.1,则有正交矩阵P ,使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T AP P λλλ21. 令,PY X =,),,,(21Tn y y y Y =那么)()(),,,(21PY A PY AX X x x x f TT n ==),,,()(21n TT y y y Y AP P Y ==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y 21. (2) (2)中A n 为λλλ,,,21 的全部特征值.P 的第j 列为属于j λ的特征向量正交化、单位化后所得的特征向量.上述这种化二次型为标准形的方法,称为正交变换法.如果不考虑求正交矩阵P ,那么,求出实二次型矩阵的全部特征值后,便可得到该二次型的标准形.在正交变换法中,PY X =( P 为正交矩阵),称为坐标的正交变换.解析几何中.就是通过这种坐标的正交变换,将有心二次曲线或二次曲面方程化为标准形式的.正交变换法中,如果要求出正交矩阵P ,显然是比较麻烦的.下面我们再给出两种化二次型为标准形的方法.1.初等变换法 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T d d d AP P21, 由P 可逆,令s p p p P 21=,),,2,1(s i p i =为初等矩阵,那么有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s S TT T s d d d P P AP P P P212112. (3) 又P P P EP s = 21. (4)(3)与 (4)说明,对A 施行某一类行初等变换后,同时施行相应的列的初等变换,并且对单位矩阵A E 随施行同样的列变换,当A 化成对角矩阵时,那么E 化为可逆矩阵P .综合(3)、(4),可表成如下形式:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛P D E A ,其中D 为对角形矩阵.这种化实二次型为标准形的方法称为初等变换法.例1 用初等变换法化下列二次型为标准形32312123222132142224),,(x x x x x x x x x x x x f +++---=.解 ),,(321x x x f 的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=221241111A .−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++)1()3()1()2(100010001221241111E A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100010111130330001−−→−+)2()3(⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100110211200030001. 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100110211P ,而经可逆变量替换PY X =,23222132123),,(y y y x x x f +--=.2.配方法.配方法是将二次型的一些项,配成全完平方项,逐步通过可逆的变量替换,最后化成只含新变量的平方项的二次型例2 用配方法化下列二次型为标准形2332312122213214642),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=.解 3223213212)]2([),,(x x x x x x x x f +++=令32112x x x y ++=, 32112y y y x --=, 22x y =,或22y x =,33x y =.33y x =.经变量替换Y p X 1=,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321y y y Y , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1000102111p ,有 32213212),,(y y y x x x f +=.再令11z y =, 2y = 32z z +,=3y 32z z -.经变量替换 ,2Z P Y =其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101100012p , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321z z z Z ,有 3322212121222z z z y y y -+=+.令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==11011013121p p p ,那么,经可逆变量替换PZ X =有23222132122),,(z z z x x x f -+=.采用初等变换法或配方法化二次型为标准形,由于变换过程不同,或者选择配方的变量不一样,所化得的标准形可能不同,但标准形中,所含变量的平方项的个数都是一样的,这是因为两个相似或合同的矩阵有相同的秩.一个二次型经过变量的替换后,化成一个含新变量的二次型,那么,称这两个二次型是等价的.于是可以说,一个实二次型与它的标准形等价.为了避免实二次型的标准形可能出现的不唯一性,我们需要将它的标准形作进一步的规范.设n A 是阶实对称矩阵,秩)(A =r (0＜r ＜n ),P 为实可逆矩阵,且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0021r Td d d AP P .必要时,交换对角矩阵中的两列和两行(相当于对它右乘以ij R 左乘以Tij R ),因而,总可以假定p d d ,,1 ＞0; r p d d ,,1 +＜0, 0≤p ≤r .令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11||1||11 r d d Q , 则有.0000000⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-Pr PT T E E APQ P Q 于是我们得到定理7.2.1 任意一个秩为r 的实n 元二次型,都与如下一个二次型等价:.221221r P P y y y y ---+++ (5)二次型(5)称为实二次型的规范形.下面我们进一步证明(5)中的P 也是唯一确定的,即有定理7.2.2(惯性定理) 实二次型的规范形是唯一的.证 设实二次型),,,(21n x x x f 的秩为r ，且经过可逆变量替换BY X =和CZ X =分别化为22122121),,(r p p n y y y y x x x f ---++=+ 和22122121),,(r q q n z z z z x x x f ---++=+ . 即经 BY C Z 1-=,有221221221221r p p r q q y y y y z z z z ---++=---++++ (6)假设p ＞q ,令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-nn n n n n t t t t t tt t t B C 2122221112111. 那么,BY C Z 1-= 即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.22112222121212121111n nn n n n nn nn y t y t y t z y t y t y t z y t y t y t z (7)考虑齐次线性方程组:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===+++=++++,0000122111212111n p n qn q q n n y y y t y t y t y t y t y t (8)(8)中方程个数为 )()(q p n p n q --=-+＜n ,因而有非零解:),,,,,(11n p p k k k k +，其中,01===+n p k k .将它代入(6)的右端得221p k k ++ ＞0,又代入(8)的前q 个方程知(7)中有01===q z z ,于是(6)的左端221r q z z ---+ ≤0,矛盾.因而p ≤q ,同法可得q ≤p ,从而q p =.规范形(5)中的p 称实二次型的正惯性指数,p r -称为负惯性指数,r p p r p -=--2)(称为二次型的符号差,记为s ,即r p s -=2.由惯性定理得,推论 两个实二次型等价,当且仅当它们有相同的秩和符号差.习 题1.用正交变换法,化二次型为标准形31232221321422),,(x x x x x x x x f +-+=.2.分别用初等变换法和配方法,将二次型2332222121321242),,(x x x x x x x x x x f -+-+=化为标准形.3.求下列二次型的秩、正惯性指数和符号差. (1);262),,(313221321x x x x x x x x x f +-=(2).4242),,(3221232221321x x x x x x x x x x f ++++=4.将等价的二次型作为一类,证明,所有的n 元实二次型共有)2)(1(21++n n 个类.7.3 正定二次型一个n 元实二次型AX X x x x f Tn =),,,(21 ,实际上可以看成定义在实数域R 上的一个n 元实函数.用Tn c c c X ),,,(210 =取代X ,得到一个唯一确定的实数0021),,,(AX X c c c f Tn = ,称该实数为),,(1n x x f 在0X X =时的值.定义 1 设有n 元实二次型AX X x x x f Tn =),,,(21 ,如果对于任何一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ,都有),,,(21n c c c f ＞0,那么称),,,(21n x x x f 是正定二次型.正定二次型的矩阵A 称为正定矩阵(A 是正定矩阵简称A 正定).定理7.3.1 n 元实二次型AX X x x x f Tn =),,,(21 正定的充分必要条件是它的正惯性指数n p =.证 若),,,(21n x x x f 的正惯性指数n p =,则经可逆变量替换PY X =,可化为规范形2222121),,,(n n y y y x x x f +++= . (1)任取0),,,(210≠=Tn c c c X ,代入X PY =,得线性方程组0X PY =.由p 可逆及00≠X ,可得唯一非零解010X p Y -=.令.0),,,(210≠=T n b b b Y 得2222121),,,(n n b b b c c c f +++= ＞0.故),,,(21n x x x f 是正定二次型.反之,若AX X x x x f Tn =),,,(21 正定,而正惯性指数p ＜n .1＝.设秩p A =)(,则该二次型经可逆变量替换Z Q X 1=,化为规范形:.),,,(221222121n n n z z z z x x x f -+++=- (2)取Tp n p Z )1,,1,0,,0(0个个-=,得010Z Q X =.由00≠Z 且1Q 可逆,知00≠X .令0),,,(210≠=T n k k k X ,代入(2),得0),,,(21=n k k k f ,与),,,(21n x x x f 正定矛盾.2).设秩()p r A >=,则该二次型经可逆变量替换W Q X 2=化为规范形:.),,,(22122121r p p n w w w w x x x f ---++=+取Tp n p W )1,,1,0,,0(0个个-=.同样可得.0),,,(210≠=T n t t t X 而,0)(),,,(21<--=p r t t t f n 必与),,,(21n x x x f 正定矛盾.故.n p =由定理7.3.1,可得推论1 n A 是阶实对称矩阵,A 正定的充分必要条件是A 的所有特征值都大于零. 推论2 n 阶实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是A 合同于单位矩阵n E . 由推论1,2可知, A 是正定矩阵,那么A 对应的二次型是正定二次型.这样,对正定二次型的讨论可以转化为对正定矩阵的讨论,下面给出正定矩阵的几个性质.性质1 实对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在可逆的实矩阵Q ,使得Q Q A T=.事实上,若A 正定,那么有可逆矩阵p ,使n T E AP P =.于是.)()(1111----==P P PP A T T令1-=P Q ,则有Q Q A T =.反过来,若Q Q A T=,且Q 可逆,那么.)()(1111E AQ Q AQ Q T T==----令1-=Q P ,便有E AP p T=,由定理7.3.1的推论2知,A 正定.性质2 实对称矩阵A 正定,则||A ＞0事实上,在性质1中,对Q Q A T=两边取行列式即得.为了直接从A 来判定A 是否正定,我们先给出定义2 设n a A ij 是)(=阶实对称矩阵,由A 的前k 行,前k 列的元构成的k 阶子式kkk k kk a a a a a a a a a212222111211,称为A 的k 阶主子式(或称k 阶顺序主子式).取,,,2,1n k =便得到A 的所有主子式.定理7.3.2 A 是n 阶实对称矩阵, A 正定的充分必要条件是A 的所有主子式都大于零.证 设),,,(21k k x x x f 为k 元二次型,其矩阵为k k ij k a A ⨯=)(.任取0),,,(210≠=T k c c c X 代入k f ,有∑==kj i jiij k k c c a c c c f 1,21.),,,(令Tk n k c c X )0,,0,,,(11个-=,则01≠X .由),,,(21n x x x f 正定,有),,,()0,,0,,,(211k k k c c c f c c f =＞0,因此),,,(21k k x x x f 正定,从而k A 正定,由性质2, |k A |＞0,.,,2,1n k =反之，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211. A 的所有主子式||k A ＞0,n k ,,2,1 =.从第二行起,逐步对A 的第i 行,第i 列施行同样的第三类初等变换,首先有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→0000111B a A , 其中11a ＞0,1B 仍为对称矩阵(因为122112)(P P P P P AP P P P s T T S T T s =TT P AP 21 i T S P P , 为第三类初等矩阵).如此下去,最后得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→n d d a A211. (3) 由行列式的性质得知||111A a =＞0,||2211A d a =＞0,…,||211A d d a n = ＞0,因此11a ＞0,i d ＞0,n i ,,2 =.而(3)相当于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T d d a AP P211, 其中p 为第三类初等矩阵的乘积,而A 对应的二次型经可逆变量替换PY X =,有.),,(222221111n n n y d y d y a x x f +++=),,,(21n x x x f 的正惯性指数n p =,因而),,(1n x x f正定,故A 正定.例1 证明A 是正定矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=521241111A . 证 由于A 的主子式1||1=A ＞0,34111||2==A ＞0,1||=A ＞0.所以A 正定.例2 λ为何值时,二次型3231212322213214225),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=λ是正定二次型.解 ),,(321x x x f 的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=5212111λλA .A 的主子式11=A , 22111λλλ-==A ,.45521211123λλλλ--=--=A由⎩⎨⎧---λλλ45122 ＞0＞0解得54-＜λ＜0.即当54-＜λ＜0时,所给二次型为正定二次型. 与正定二次型相仿,我们可以定义负定二次型,半正定二次型.即对任意的0),,(2,1≠=T n x x x X ,若AX X x x x f T n =),,,(21 ＜0,那么称),,(2,1n x x x f 为负定二次型;若有AX X x x x f T n =),,,(21 ≥0,那么称),,(2,1n x x x f 为半正定二次型.习 题1.下列矩阵中,哪些是正定矩阵(1) ;5221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ (2);4331⎪⎪⎭⎫⎝⎛ (3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛510142022.2.下列二次型中,哪些是正定二次型(1) 3121232221443210x x x x x x x +++-; (2) 32312123222148455x x x x x x x x x --+++.3.λ取何值时,下列二次型是正定的.313221232221222)(x x x x x x x x x --+++λ.4.证明:如果A 正定,那么1-A 、)0(>k kA 、*A 也正定.5.如果n B A 为,阶正定矩阵,证明B A +也是正定矩阵.。