高中数学向量基础知识

高中数学的平面向量知识

向量的概念

既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），向量可以用a, b, c, .............................................................. 表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。只有大小没有方向的量叫做数量（物

理学中叫做标量）。在自然界中，有许多量既有大小又有方向，如力、速度等。我们为了研究这些量的这个共性，在它们的基础上提取出了向量这个概念。这样，研究清楚了向量的性质，当然用它来研究其它量，就会方便许多。

向量的几何表示

具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作ABo（AB是印刷体, 也就是粗体字母，书写体是上面加个f）

有向线段AB的长度叫做向量的模，记作| AB| o

有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。

相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量：

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，

向量a、b平行，记作all b，零向量与任意向量平行，即0〃a，

在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量）

长度等于0的向量叫做零向量，记作0。（注意粗体格式，实数“ 0”和向量“ 0”是有区别的）

零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都平行，垂直。

模等于1个单位长度的向量叫做单位向量。

平面向量的坐标表示

在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作

一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

a=xi +yj

我们把（x, y）叫做向量a的（直角）坐标，记作

a= （x，y），

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。

注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。而点的坐标是绝对

的。若一向量的起点在原点，例如该向量为（1，2）那么该向量上的所有点都可以用（a，2a）

向量的运算

加法运算

向量加法的定义

已知向量 a 、b ,在平面上任意取一点 A ，作AB=a , BC=b ,再作向量 AC ，则向量 AC 叫做a 与b 的和，

记做 a+b ，即 a+b=AB+BC=AC

AB +BC = AC ，这种计算法则叫做

向量加法的三角形法则 。（首尾相连，连接首尾，指向终点 ）同样，作

AB=a,且AD=BC,再作平行 AD 的BC=b ,连接 DC ，因为 AD // BC ,且 AD=BC ，所以四边形 ABCD 为平行 四边形，AC 叫做a 与b 的和，

表示为： AC=a+b.这种方法叫做 向量加法的平行四边形法则。 （共起点，对

角连）。

已知两个从同一点

0出发的两个向量 0A 、OB ，以0A 、OB 为邻边作平行四边形

OACB ，则以0为起

点的对角线 0C 就是向量 0A 、0B 的和，这种计算法则叫做

向量加法的平行四边形法则 。

对于零向量和任意向量

a ，有：0+ a =a + 0= a 。

|a + b | W|+|b |。

向量的加法 满足所有的加法运算定律 。

表示。即, 的

的

减法运算

AB-AC=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则。(共起点，连终点，方向指向被减向量)

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，一(一a)= a，零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(—a )=( —a)+ a =0 ( 2) a —b =a+(—b)。

数乘运算

实数入与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作Za, | la|=|入ai,当入＞ 0时，入a的方

向和a的方向相同，当入＜ 0时，l a的方向和a的方向相反，当入=0时，l a = 0。

设入、□是实数，那么： (1)(入®)入(a) ( 2)(入+ a ) l a + pa ( 3)入a±)) = a ± b (4) (—i a =—

(l) = —(a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

坐标运算

已知a= (x1 , y1 ) , b= (x2 , y2),则

a +

b = (x1 i +y1 j) + (x2 i +y2 j)

=(x1+x2) i+(y1+y2) j

即a + b = ( x1+x2 , y1+y2 )。

同理可得a-b = ( x1-x2 , y1-y2 )。

这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

由此可以得到：

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。

根据上面的结论又可得

若a=(x,y),贝U 入a=(入x,入y)

这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

向量的数量积

向量数量积定义：

(1)向量a与向量b的夹角：已知两个非零向量，过0点做向量OA= a,向量0B= b，则角AOB书叫做向量a与b的夹角。

(2)已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos B叫做a与b的数量积或内积，记作ab, B是a与b的夹角，|a|cos ( |b|cos另叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。

a b的几何意义：数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若 a =(x1,y1), b=(x2,y2),则a b =x1x2+y1y2