指数函数应用题
指数函数经典例题（问题详解）[整理]
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我们观察y=，y=，y=，y=图象特征，就可以得到x 2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21x 10x⎪⎭⎫⎝⎛101の图象和性质。
)10(≠>a a 且a>10<a<1图象与の大小关系是_____．()x f b ()x f c 分析：先求の值再比较大小，要注意の取值是否在同一单调区间b c 且x x b c 且内． 解：∵，(1)(1)f x f x +=- ∴函数の对称轴是．()f x 1x = 故，又，∴．2b =(0)3f =3c = ∴函数在上递减，在上递增．()f x (]1-且∞[)1+且∞ 若，则，∴；0x ≥321x x≥≥(3)(2)x x f f ≥ 若，则，∴．0x <321x x <<(3)(2)x x f f > 综上可得，即．(3)(2)x x f f ≥()()x x f c f b ≥ 评注：①比较大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等．②对于含有参数の大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式 例2 已知，则x の取值范围是___________．2321(25)(25)x x a a a a -++>++ 分析：利用指数函数の单调性求解，注意底数の取值范围． 解：∵，2225(1)441a a a ++=++>≥ ∴函数在上是增函数，2(25)x y a a =++()-+且∞∞ ∴，解得．∴x の取值范围是．31x x >-14x >14⎛⎫+ ⎪⎝⎭且∞ 评注：利用指数函数の单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同の指数式，并判断底数与1の大小，对于含有参数の要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题 例3 求函数の定义域和值域．216x y -=- 解：由题意可得，即，2160x --≥261x -≤ ∴，故． ∴函数の定义域是．20x -≤2x ≤()f x (]2-且∞ 令，则，26x t -=1y t =- 又∵，∴． ∴，即．2x ≤20x -≤2061x -<≤01t <≤ ∴，即．011t -<≤01y <≤ ∴函数の值域是．[)01且 评注：利用指数函数の单调性求值域时，要注意定义域对它の影响． 4．最值问题 例4 函数在区间上有最大值14，则a の值221(01)x x y a a a a =+->≠且[11]-且是_______． 分析：令可将问题转化成二次函数の最值问题，需注意换元后の取x t a =t 值范围． 解：令，则，函数可化为，其对称轴为x t a =0t >221x x y a a =+-2(1)2y t =+-．1t =- ∴当时，∵，1a >[]11x ∈-且 ∴，即．1xa a a ≤≤1t a a≤≤ ∴当时，．t a =2max (1)214y a =+-= 解得或（舍去）；3a =5a =- 当时，∵，01a <<[]11x ∈-且 ∴，即，1xa a a ≤≤1a t a≤≤ ∴ 时，，1t a =2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 解得或（舍去），∴a の值是3或．13a =15a =-13 评注：利用指数函数の单调性求最值时注意一些方法の运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程 例5 解方程．223380x x +--= 解：原方程可化为，令，上述方程可化为29(3)80390x x ⨯-⨯-=3(0)x t t =>，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程の298090t t --=9t =19t =-39x =2x =解是．2x = 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题 例6 为了得到函数の图象，可以把函数の图象（ ）．935x y =⨯+3x y = A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 分析：注意先将函数转化为，再利用图象の平移规律935x y =⨯+235x t +=+进行判断． 解：∵，∴把函数の图象向左平移2个单位长度，293535x x y +=⨯+=+3x y =再向上平移5个单位长度，可得到函数の图象，故选（C ）．935x y =⨯+ 评注：用函数图象解决问题是中学数学の重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数の图象，并掌握图象の变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．习题1、比较下列各组数の大小： （1）若 ，比较 与 ； （2）若 ，比较 与 ； （3）若 ，比较 与； （4）若 ，且 ，比较a 与b ； （5）若 ，且 ，比较a 与b ． 解：（1）由，故 ，此时函数为减函数．由，故 ． （2）由，故．又，故．从而． （3）由 ，因，故 ．又 ，故 ．从而 ． （4）应有．因若 ，则 ．又，故，这样．又因，故 ．从而 ，这与已知 矛盾． （5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知矛盾． 小结：比较通常借助相应函数の单调性、奇偶性、图象来求解．2，曲线分别是指数函数 ,和与1の大小关系是( 分析:首先可以根据指数函数单调性,在轴右侧令 ,由小到大依次为 ,故应选 .、设，求函数の最大值和最小值． 分析：注意到，设，利用闭区间上二次函数の值域の求法，可求得函数の最值． 解：设，由知， ，函数成为，轴，故函数最小值为，因端点较对称轴远，故函数の最大值为已知函数（且 （1）求）若，求の取值范围．），当即时，有最小值为），解得 当时，； 当时，2若函数是奇函数，求．解：为奇函数， 即， 则，11即x=0时，y max=2已知，求函数解：由得，即，解之得于是，即，故所求函数の值域为在〔1，+∞）上是减函数。
指数函数与幂函数练习题
指数函数与幂函数练习题1. 指数函数练习题(1) 求解方程：2^x = 8(2) 计算：3^(1/2) × 3^(3/2)(3) 简化表达式：4^(x+2) × 2^(3-x) ÷ 8^2x(4) 求函数 y = 2^x 的定义域和值域2. 幂函数练习题(1) 求解方程：x^2 = 16(2) 计算：(2^3)^x - 2^(2x + 2)(3) 简化表达式：(5^3)^(x+2) ÷ (5^4)^x(4) 求函数 y = 3^x 的定义域和值域3. 综合练习题(1) 求解方程：2^x = x^2(2) 计算：(3^2)^(x+1) × 3^(2x-1) - (9^x) ÷ (3^2x)(3) 简化表达式：(4^x)^(1/3) × (8^x)^(1/2)(4) 求函数 y = 5^x - 2 的定义域和值域解答：1. 指数函数练习题(1) 2^x = 8由指数函数与对数函数的互反关系可知，等式两边取对数，得到 x = log2(8) = 3。
(2) 3^(1/2) × 3^(3/2)由指数函数的乘法法则可知，指数相加，底数不变。
因此，3^(1/2) × 3^(3/2) = 3^(1/2 + 3/2) = 3^2 = 9。
(3) 4^(x+2) × 2^(3-x) ÷ 8^2x首先简化指数部分：4^(x+2) × 2^(3-x) ÷ 8^2x = 2^2(x+2) × 2^(3-x) ÷ (2^3)^2x = 2^(2x+4) × 2^(3-x) ÷ 2^(6x) = 2^(2x+4+3-x-6x) = 2^(2-3x)。
简化后的表达式为 2^(2-3x)。
(4) 函数 y = 2^x 的定义域和值域指数函数的定义域为实数集，即 x ∈ℝ。
指数函数题型大全
题型1．比较大小例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____．注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题例3 求函数y4．最值问题例4 函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______．注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．5．解指数方程例5 解方程223380x x +--=．6．图象变换及应用问题例6 为了得到函数935x y =⨯+的图象，可以把函数3x y =的图象（ ）．A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度习题1、比较下列各组数的大小：（1）若 ，比较 与 ；（2）若 ，比较 与 ；（3）若 ，比较 与 ；（4）若 ，且 ，比较a 与b ；（5）若 ，且 ，比较a 与b ．2曲线 分别是指数函数 , 和 的图象,则 与1的大小关系是 ( ).(3 求下列函数的定义域与值域.(1)y ＝231-x ; (2)y ＝4x +2x+1+1.4 已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值和最小值5、设 ，求函数 的最大值和最小值． 6（9分）已知函数)1(122>-+=a a a y x x 在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值.7．已知函数（ 且 ）（1）求 的最小值； （2）若 ，求 的取值范围．8．若函数 是奇函数，求 的值．9. 已知9x -10.3x +9≤0，求函数y=（41）x-1-4·（21）x +2的最大值和最小值10. (9分)求函数2222++-=x x y 的定义域，值域和单调区间 定义域为R 值域（0，8〕。
高一英语指数函数经典例题
高一英语指数函数经典例题
本文档将提供一些高一英语中关于指数函数的经典例题，以帮
助学生更好地理解和掌握该知识点。
例题1
题目：Solve the equation: 2^x = 16.
解析：我们可以将16表示为2的幂，即16 = 2^4。
因此，原方程可以重写为：2^x = 2^4。
由指数函数的性质可知，当底数相等时，指数也相等。
因此，我们可以得出x = 4。
答案：x = 4.
例题2
题目：If 3^x = 1/9, what is the value of x?
解析：我们可以将1/9表示为3的负幂，即1/9 = 3^(-2)。
因此，原方程可以重写为：3^x = 3^(-2)。
根据指数函数的性质可知，当底
数相等时，指数也相等。
因此，我们可以得出x = -2。
答案：x = -2.
例题3
题目：If 5^x = 125, what is the value of x?
解析：我们可以将125表示为5的幂，即125 = 5^3。
因此，原方程可以重写为：5^x = 5^3。
根据指数函数的性质可知，当底数相
等时，指数也相等。
因此，我们可以得出x = 3。
答案：x = 3.
通过解答这些例题，学生可以加深对指数函数的理解，并提高
解答类似题目的能力。
希望本文档能对研究英语的高一学生有所帮助。
指数函数应用题
例1.某种放射性物质不断变化为其他物质， 每经过一年，这种物质剩留的质量是原来 的84%。写出这种物质的剩留量关于时间 的函数关系式.
注: 1.指数函数模型问题，往往借助于归纳的数 学思想方法:由特殊到一般,由具体到抽象.
2.实际应用问题中函数的定义域,要考虑到 自变量的实际意义.
2.2.2指数函数应用
2.2.2指数函数应用
四.课堂小结:
1.应用题的解题思路:
实际问题 建立数学模型
得到数学结果
解决实际问题
2.指数函数模型问题，往往借助于归纳的数 学思想方法:由特殊到一般,由具体到抽象.
2.2.2指数函数应用
五.课堂作业:
作业: 书 P55 3, 10
例2.某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每 期利率为r，设存期是x，本利和（本金加上利息） 为y元. (1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式. (2)如果存入本金1000元，每期利率为 2.25%，试计算5期后的本利和.
复利：把前一期的利息和本金加在一起作本金， 再计算下一期利息的一种计算利息方法。
变:多少年后,年生产总值达到原来的2倍?2.2.2指数函数应用
三.随堂检测:
1.某工厂年产量第二年增长率为a,第三年增 长率为b,则这两年的平均增长率为 ________
2.对于5年可成材的树木,在此期间的年生长 率为18%,5年后的年生长率为10%.树木成材 后,既可出售树木,重载新树苗,也可让其继 续生长.按10年的情形考虑,哪一种方案可获 得较大的木材量?
按照这个增长速度画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象并通过图象观察到2010年我国国内生产总值约为2000年的多少倍结果取整数总值约为2000年的多少倍结果取整数
指数函数对数函数应用题
与指数函数、对数函数相关的应用题较多，如人口的增长（1981年、1996年高考题）、环保等社会热点问题，国民生产总值的增长、成本的增长或降低、平均增长率等经济生活问题，放射性物质的蜕变、温度等物理学科问题等.一、人口问题例1、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：⑴写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；⑵计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；⑶计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）.二、增长率问题例2、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？（注：“复利”，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息.）例3、某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式.三、环保问题例4、一片森林面积为a ，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐的百分比相等，则砍伐到面积一半时，所用时间是T 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的2. ⑴到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ ⑵今后最多还能砍伐多少年？四、物理问题例5、牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T 0，则经过一定时间h 后的温度T 将满足T －T a ＝21（T 0－T a ），其中T a 是环境温度，使上式成立所需要的时间h 称为半衰期．在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足T －T a ＝ht )21(（T 0－T a ）．现有一杯 195F 用热水冲的速溶咖啡，放置在 75F 的房间中，如果咖啡降温到105F 需20分钟，问欲降到95F 需多少时间？例6、设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是kxce y ，其中c,k 为常量.已知某地某天在海平面的大气压为 1.01×105Pa ，1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强（结果保留3个有效数字）.1.分析：本题是一关于人口的典型问题，计划生育是我国的基本国策，通过本题可以让学生了解控制人口的现实意义.解：⑴1年后该城市人口总数为：100100 1.2%100(1 1.2%)y =+⨯=⨯+ 2年后该城市人口总数为：100(1 1.2%)100(1 1.2%) 1.2%y =⨯++⨯+⨯2100(1 1.2%)=⨯+ 3年后该城市人口总数为：22100(1 1.2%)100(1 1.2%) 1.2%y =⨯++⨯+⨯3100(1 1.2%)=⨯+……x 年后该城市人口总数为xy %)2.11(100+⨯=； ⑵10年后该城市人口总数为： 1010100(1 1.2%)100 1.012112.7()y =⨯+=⨯=万人⑶设x 年后该城市人口将达到120万人，即 ,120%)2.11(100=+⨯x20.1log 100120log 012.1012.1==x )(15年≈ 引申：如果20年后该城市人口总数不超过120万人年自然增长率应该控制在多少？ 设年自然增长率为x ，依题意有：20)1(100x +⨯≤120，由此有20)1(x +≤1.20，可算得：x ≤0.9%，即年自然增长率应控制在0.9%以内.评注：此问题反映了控制人口的现实意义.一般认为，世界人口超过地球极限人口一半时，世界人口便进入了缓慢的增长期.地球的极限人口大约为100亿，1987年7月11日世界人口达到50亿，为了引起国际社会对人口问题更深切的关注，联合国人口基金决定从1988年起把每年的7月11日定为“世界人口日”.人口问题已成为人类实现社会和经济持续发展所面临的最严峻的挑战，因而人口问题也是近年高考的热点问题之一，此问题常以指数函数、等比数列形式来考查.2分析：了解复利概念之后，利率就是本金的增长率，即复利问题可同指数函数相联系. 解：1期后的本利之和为：)1(1r a r a a y +=⨯+= 2期后的本利之和为：22)1(r a y += …… ∴x 期后的本利之和为：xr a y )1(+=将 a = 1000元，r = 2.25%，x = 5 代入上式： 550225.11000%)25.21(1000⨯=+⨯=y 可算得：y = 1117.68（元）评注：增长率问题是当前的经济生活中的热点问题，年利率就是一种增长率.本题主要是理解、推导、掌握复利公式.分析：此问题的关键是恰当引入变量，正确理解数量关系，准确转换为数学表达式.3解：设该乡镇现在人口量为M ，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M ，经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M （1＋4%），人口量为M （1＋1.2%），则人均占有粮食为：0000360(14)(1 1.2)M M ++，经过2年后，人均占有粮食为：220000360(14)(1 1.2)M M ++ …经过x 年后，人均占有粮食为：0000360(14)(1 1.2)x xM M ++，即所求函数为：(1.04)360(1.012)xxy =. 评注：本题为指数函数在实际生活中的应用，现实生活中，有许多问题都可以归结为指数函数问题加以解决，解题时的关键是由题意建立函数模型.4分析：本题为对数在实际生活的应用问题，可由题意建立函数关系，利用对数求解即可. 解：设每年降低的百分比为x (01)x <<，⑴由1(1)2Ta x a ⋅-=，两边同取常用对数得，1lg(1)lg 2T x -=， 又设经过M年剩余面积为原来的2，则(1)2Ma x ⋅-=lg(1)lg 2M x ⇒-=，∴122T M ==，∴2T M =，即到今年为止已砍伐了2T 年.⑵设从今年开始以后再砍伐N 年，在N年后剩余面积为：(1)2N a x -，依题意，1(1)24N a x -≥，由⑴知，1(1)2Tx -=，∴111()2T x -=，∴11()224NT ≥ 即，3211()()22N T ≥，∴32N T ≤，32N T ≤，故今后至多还能砍伐32T 年.评注：本题为环保这一社会热点问题同指、对函数结合的典例.在今天社会各方面都十分关注环保的大背景下，无疑环保问题仍是高考命题的热点问题，此类问题多以二次函数、数列的形式考查.5分析：本题为利用数学知识解决物理问题的一典例，在解题时需读懂题意，分清量与量间的关系，从而正确建立函数关系.解：由题意，温度T 是时间t 的指数函数型关系，即：T ＝h t )21(（T 0－T a ）＋T a ，将有关数据代入，得T ＝75＋（195－75）×h t)21(＝75＋120×h t )21(． 再将t ＝20，T ＝105代入得105＝75＋120×h20)21(，解得h ＝10． ∴T ＝75＋120×10)21(t ，欲使T ＝95，代入上式解得t ＝26（分）．评注：本题是一道跨学科应用题，要解决它需要有较好的阅读能力．本题中给出了函数模型，可利用待定系数法确定系数，得出解析式，从而解决问题．6分析：解决此题，应排除题中专业术语的干扰，抽象概括出数量关系，准确地转化成数学表达式.解：将,1001.1,05⨯==y x 51090.0,1000⨯==y x 分别代入函数式kxce y =，得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=⨯kk cece 100050.51090.01001.1解之得541.01101.1510c k -⎧=⨯⎪⎨=-⨯⎪⎩ ∴函数式xe y 41015.151001.1-⨯-⨯⨯=将x =600代入上述函数式得：6001015.1541001.1⨯⨯--⨯⨯=ey 由计算器算得)(10943.05Pa y ⨯=答：在600m 高空的大气压约为0.943×105Pa评注：此题为利用数学模型解决物理问题.一般情况下，解决此类问题解题步骤：由已知条件确定函数式；求对应的函数值；借助计算器进行比较复杂的运算.。
高一数学(必修一)《第四章-指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第四章 指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．某超市宣传在“双十一”期间对顾客购物实行一定的优惠，超市规定：①如一次性购物不超过200元不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠.某人两次去该超市购物分别付款176元和441元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（ ）A ．608元B ．591.1元C ．582.6元D ．456.8元2．德国天文学家，数学家开普勒（J. Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（ ）A ．4329dB ．30323dC ．60150dD ．90670d3．函数()f x = ）A ．()1,0-B ．(),1-∞-和()0,1C ．()0,1D ．(),1-∞-和()0,∞+4．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ）A ．90100a <<B ．90110a <<C ．100110a <<D ．80100a <<5．某市工业生产总值2018年和2019年连续两年持续增加，其中2018年的年增长率为p ，2019年的年增长率为q ，则该市这两年工业生产总值的年平均增长率为（ ）A ．2p q +；B ．()()1112p q ++-；C ；D 1．6．某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药剂后，药剂的浓度C （单位：3mg/m ）随时间t （单位：h ）的变化关系可近似的用函数()()()210010419t C t t t t +=>++刻画．由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（ ）A ．3hB ．4hC ．5hD ．6h7．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：以下函数中最符合变量y 与x 的对应关系的是（ ）A ．129y x =+B ．245y x x =-+C ．112410x y =⨯- D ．3log 1y x =+ 8．某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快，经研究，该一定量的植物在一定环境中经过1个月，其覆盖面积为6平方米，经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米，该植物覆盖面积y (单位：平方米)与经过时间x (x ∈N )(单位：月)的关系有三种函数模型x y pa =(0p >，1a >)､log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)可供选择，则下列说法正确的是（ ）A ．应选x y pa =(0p >，1a >)B ．应选log a y m x =(0m >，1a >)C ．应选y nx α=(0n >，01α<<)D ．三种函数模型都可以9．已知函数()21,1,8, 1.x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩若()8f x =，则x =（ ） A ．3-或1 B ．3- C ．1 D ．310．函数e 1()sin 2e 1x x f x x +=⋅-的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题11．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G 的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫作信噪比．若不改变信道带宽W ，而将信噪比S N从11提升至499，则最大信息传递速率C 大约会提升到原来的______倍（结果保留1位小数）．（参考数据：2log 3 1.58≈和2log 5 2.32≈）12．已测得(,)x y 的两组值为(1,2)和(2,5)，现有两个拟合模型，甲21y x =+，乙31y x =-.若又测得(,)x y 的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．13．半径为1的半圆中，作如图所示的等腰梯形ABCD ，设梯形的上底2BC x =，则梯形ABCD 的最长周长为_________．三、解答题14．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD ，已知院墙MN 长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB 的长为x 米．(1)当AB 的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD 的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？15．以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (百元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为212800200y x x =-+． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为y x） (2)该单位每月处理成本y 的最小值和最大值分别是多少百元？ 16．如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O xyz -，点P 在线段AB 上，点Q 在线段DC 上．(1)当2PB AP =，且点P 关于y 轴的对称点为M 时，求PM ；(2)当点P 是面对角线AB 的中点，点Q 在面对角线DC 上运动时，探究PQ 的最小值．17．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X （单位： t ，100150)X ）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量[100X ∈，110），则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[100，110)的频率），求T 的分布列．18．为发展空间互联网，抢占6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入()0a a >万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x 名（*x ∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为275x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元. (1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m 同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.19．某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到第x （N x +∈且1x >）年花在该项目的其他费用（不包括收购费用）为()20x x +万元，该项目每年运行的总收入为50万元．(1)试问该项目运行到第几年开始盈利？(2)该项目运行若干年后，公司提出了两种方案：①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出；②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出．假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由．20．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5％．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ekt P P -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80％，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，求正整数n 的最小值．21．某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x （0200x <，N x ∈）台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为11402y x =+万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为2264002080101y x x =+-万元.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.(1)写出年利润W （万元）关于年产量x （台）的关系式；(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？22．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)a y b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．四、多选题23．函数()()22x x af x a R =+∈的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．五、双空题24．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=e kt (其中k 为常数;t 表示时间,单位:小时;y 表示病毒个数),则k=____,经过5小时,1个病毒能繁殖为____个.25．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x ，宽减少2x ，则面积最大，此时x ＝__________，面积S ＝__________.参考答案与解析1．【答案】B【分析】根据题意求出付款441元时的实际标价，再求出一次性购买实际标价金额商品应付款即可.【详解】由题意得购物付款441元，实际标价为10441=4909元 如果一次购买标价176+490=666元的商品应付款5000.9+1660.85=591.1元.故选：B.2．【答案】B【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为T 和T '，距离太阳的平均距离为r 和r '，根据2323T r T r =''2r r '= 结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T ，距离太阳的平均距离为r土星的公转时间为T '，距离太阳的平均距离为r '由题意知2r r '= 10753T d '= 所以323238T r r T r r ⎛⎫=== ⎪'''⎝⎭所以1075310753 2.82830409.484T d '==≈⨯=故选：B.3．【答案】B【分析】分别讨论0x ≥和0x <，利用二次函数的性质即可求单调递减区间.【详解】当0x ≥时()f x 210x -+≥解得11x -≤≤，又21y x =-+为开口向下的抛物线，对称轴为0x =，此时在区间()0,1单调递减当0x <时()f x == ()21y x =+为开口向上的抛物线，对称轴为1x =-，此时在(),1-∞-单调递减综上所述：函数()f x =(),1-∞-和()0,1.故选：B.4．【答案】A【分析】首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据0y >，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.【详解】设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元则290,(10)(40020)1040020200a x y x x x x =+=+⋅--⨯=-+.要使商家利润有所增加，则必须使0y >，即2100x x -<，得010,9090100x x <<∴<+<，所以a 的取值为90100a <<.故选：A5．【答案】D【分析】设出平均增长率，并根据题意列出方程，进行求解【详解】设该市2018、2019这两年工业生产总值的年平均增长率为x ，则由题意得：()()()2111x p q +=++解得11x =，21x =因为20x <不合题意，舍去 故选D ．6．【答案】A【分析】利用基本不等式求最值可得．【详解】依题意，0t >，所以11t +>所以()()()()()()221001100110010010164191012116121t t C t t t t t t t ++===≤==++++++++++ 当且仅当1611t t +=+，即t ＝3时等号成立，故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h ．故选：A ．7．【答案】D 【分析】结合表格所给数据以及函数的增长快慢确定正确选项.【详解】根据表格所给数据可知，函数的增长速度越来越慢A 选项，函数129y x =+增长速度不变，不符合题意. BC 选项，当3x ≥时，函数245y x x =-+、112410x y =⨯-增长越来越快，不符合题意. D 选项，当3x ≥时，函数3log 1y x =+的增长速度越来越慢，符合题意.故选：D8．【答案】A【解析】根据指数函数和幂函数的增长速度结合题意即可得结果.【详解】该植物生长蔓延的速度越来越快，而x y pa =(0p >，1a >)的增长速度越来越快 log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)的增长速度越来越慢故应选择x y pa =(0p >，1a >).故选：A.9．【答案】B【分析】根据分段函数的解析式，分段求解即可.【详解】根据题意得x ≤1x2−1=8或188x x >⎧⎨=⎩ 解得3,x =-故选：B10．【答案】B【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据x 趋近0时判断排除得选项.【详解】解：()e 1sin 2e 1x x f x x +=⋅-的定义域为()(),00,∞-+∞()()()e 1e 1sin 2sin 2e 1e 1x x x xf x x x f x --++-=⋅-=⋅=⎡⎤⎣⎦-- ()f x ∴是偶函数，排除A ，C . 又0x >且无限接近0时，101x x e e +>-且sin 20x >，∴此时()0f x >，排除D故选：B .11．【答案】2.5【分析】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，根据题意求出21C C ，再利用指数、对数的运算性质化简计算即可【详解】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，则由题意可知()122log 111log 12C W W =+= ()222log 1499log 500C W W =+= 所以()()232322222222122222log 25log 500log 2log 523log 523 2.328.96 2.5log 12log 2log 32log 32 1.58 3.58log 23C W C W ⨯+++⨯====≈=≈+++⨯所以最大信息传递速率C 会提升到原来的2.5倍．故答案为：2.512．【答案】甲【分析】将3x =分别代入甲乙两个拟合模型计算，即可判断.【详解】对于甲：3x =时23110y =+=，对于乙：3x =时8y =因此用甲作为拟合模型较好．故答案为：甲13．【答案】5【分析】计算得出AB CD ==ABCD 的周长为y，可得出22y x =++()0,1t，可得出224y t =-++，利用二次函数的相关知识可求得y 的最大值.【详解】过点B 、C 分别作BE AD ⊥、CF AD ⊥垂足分别为E 、F则//BE CF ，//BC EF 且90BEF ∠=，所以，四边形BCFE 为矩形所以2EF BC x ==AB CD =，BAE CDF ∠=∠和90AEB DFC ∠=∠= 所以，Rt ABE Rt DCF ≅所以12AD EF AE DF x -===-，则OF OD DF x =-= CF =AB CD ∴===设梯形ABCD 的周长为y ，则2222y x x =++=++其中01x <<令()0,1t =，则21x t =-所以()2222212425y t t t ⎛=+-+=-++=-+ ⎝⎭所以，当t =y 取最大值，即max 5y =. 故答案为：5.【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．14．【答案】(1)15米；(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.【分析】（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；（2）根据题意，可得(502)S x x =-，根据二次函数最值的求法求解即可．（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-由题意得(502)300x x -=解得1215,10x x ==50225x -≤12.5x ∴≥15x ∴=所以，AB 的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得()()22502250212.5312.5,12.525S x x x x x x =-=-+=--+≤<12.5x ∴=时， S 取得最大值，此时312.5S =所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．15．【答案】(1)400吨 (2)最小值800百元，最大值1400百元【分析】（1）求出平均处理成本的函数解析式，利用基本不等式求出最值；（2）利用二次函数单调性求解最值.（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为18002200y x x x =+-，显然[]400,600x ∈由基本不等式得：1800222200y x x x =+-≥= 当且仅当1800200x x =，即400x =时，等号成立 故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）212800200y x x =-+ 对称轴220012200x -=-=⨯ 函数212800200y x x =-+在[400，600]单调递增 当400x =时，则2min 14002400800800200y =⨯-⨯+= 当600x =时，则2max 160026008001400200y =⨯-⨯+= 答：该单位每月处理成本y 的最小值800百元，最大值1400百元.16．【答案】【分析】（1）根据空间直角坐标系写出各顶点的坐标，再由2PB AP =求得121,,33OP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到P 与M 的坐标，再利用两点距离公式求解即可；（2）由中点坐标公式求得111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据题意设点(,1,)Q a a ，最后利用两点间的距离公式与一元二次函数配方法求PQ 的最小值.（1）所以()22211222131133333PM ⎛⎫⎛⎫=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）因为点P 是面对角线AB 的中点，所以111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而点Q 在面对角线DC 上运动，故设点(,1,)Q a a[0,1]a ∈则(PQ a ===[0,1]a ∈所以当34a =时，PQ 取得最小值33,1,44Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 17．【答案】(1)80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧=⎨∈⎩(2)0.7(3)59400 【分析】（1）由题意先分段写出，当[100x ∈，130)和[130x ∈，150)时的利润值，利用分段函数写出即可；（2）由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150x ，再由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7，由此估计得出结论；（3）先求出利润与X 的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望．（1）解：由题意得，当[100X ∈，130)时500300(130)80039000T X X X =--=-当[130X ∈，150]时50013065000T =⨯=80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧∴=⎨∈⎩（2）解：由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X ．由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7；（3）解：由题意及（1）可得：所以T 的分布列为：18．【答案】(1)最多有75人 (2)存在 7m =【分析】（1）根据题目要求列出方程求解即可得到结果（2）根据题目要求①先求解出m 关于x 的取值范围，再根据x 的取值范围求得m 的取值范围，之后根据题目要求②列出不等式利用基本不等式求解出m 的取值范围，综上取交集即可 （1）依题意可得调整后研发人员有()100x -人，年人均投入为()14%x a +万元则()()10014%100x x a a -+≥，解得075x ≤≤.又4575x ≤≤，*x ∈N 所以调整后的奇数人员最多有75人.（2）假设存在实数m 满足条件.由条件①，得225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得2125x m ≥+. 又4575x ≤≤，*x ∈N 所以当75x =时，2125x +取得最大值7，所以7m ≥. 由条件②，得()()210014%25x x x a a m x ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，不等式两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325x m x ≤++因为10033725x x ++≥=，当且仅当10025x x =，即50x =时等号成立，所以7m ≤. 综上，得7m =.故存在实数m 为7满足条件.19．【答案】(1)第4年 (2)选择方案②，理由见解析【分析】（1）设项目运行到第x 年的盈利为y 万元，可求得y 关于x 的函数关系式，解不等式0y >可得x 的取值范围，即可得出结论；（2）计算出两种方案获利，结合两种方案的用时可得出结论.（1）解：设项目运行到第x 年的盈利为y 万元则()25020813081=-+-=-+-y x x x x x由0y >，得230810x x -+<，解得327x <<所以该项目运行到第4年开始盈利．（2）解：方案①()22308115144=-+-=--+y x x x当15x =时，y 有最大值144．即项目运行到第15年，盈利最大，且此时公司的总盈利为14456200+=万元方案②818130303012y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当81x x=，即9x =时，等号成立． 即项目运行到第9年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为12992200⨯+=万元.综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②．20．【答案】10【分析】由题可得()400180%e k P P --=，求得ln 54k =，再由000.5%e kt P P -≥可求解. 【详解】由题意，前4个小时消除了80％的污染物因为0e kt P P -=⋅，所以()400180%ek P P --= 所以40.2e k -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =则由000.5%e kt P P -≥，得ln 5ln 0.0054t ≥- 所以4ln 20013.2ln 5t ≥≈ 故正整数n 的最小值为14410-=．21．【答案】(1)2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩；(2)当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.【分析】（1）根据题意，分段表示出函数模型，即可求解；（2）根据题意，结合一元二次函数以及均值不等式，即可求解.（1）当070x <<，*N x ∈时 211100406006060022W x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭； 当70200x ≤≤，*N x ∈时26400208064001001016001480W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴.2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）①当070x <<，*N x ∈时 221160600(60)120022W x x x =-+-=--+ ∴当60x =时，y 取得最大值，最大值为1200万元.②当70200x ≤≤，*N x ∈时6400148014801320W x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当6400x x =，即80x =时，y 取得最大值1320∵13201200>∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.22．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元(3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围． （1）由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠ ()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)a y b a x =+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．（2）得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元．（3）令()()()1701010210f x g x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增 ∴当10x =+()g x取得最小值，且最小值为(10g +=∴k ≥23．【答案】ABD【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a 赋值，判断选项.【详解】当0a =时()2x f x =，图象A 满足； 满足；图象C 过点()0,1，此时0a =，故C 不成立.故选：ABD【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.24．【答案】2ln2 1024【详解】当t=0.5时,y=2,∴2=12e k ,∴k=2ln 2,∴y=e 2t ln 2 当t=5时,y=e 10ln 2=210=1 024.25．【答案】1 1212【详解】S ＝(4＋x) 32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－22x ＋x ＋12＝－12 (x 2－2x)＋12＝－12 (x －1)2＋252. 当x ＝1时，S max ＝252,故填1和252.。
单招指数函数与对数函数复习题
单招指数函数与对数函数复习题一、选择题1. 指数函数的基本形式是：A. y = a^xB. y = log_a(x)C. y = x^aD. y = a^x + b2. 对数函数的基本形式是：A. y = a^xB. y = log_a(x)C. y = x^aD. y = a^x + b3. 如果指数函数y = 2^x的图像向右平移2个单位，新的函数表达式是：A. y = 2^(x-2)B. y = 2^(x+2)C. y = 2^(x/2)D. y = 2^(2x)4. 对数函数y = log_2(x)的图像向上平移1个单位，新的函数表达式是：A. y = log_2(x) + 1B. y = log_2(x-1)C. y = log_2(x+1)D. y = log_2(x) - 15. 指数函数y = 3^x的增长速度比y = 2^x的增长速度：A. 更快B. 更慢C. 相同D. 无法比较二、填空题6. 指数函数y = a^x的图像在x轴的正半轴上是_________的。
7. 对数函数y = log_a(x)的图像在y轴的正半轴上是_________的。
8. 如果指数函数y = a^x经过点(1, b)，则a的值为_________。
9. 对数函数y = log_a(x)的底数a的取值范围是_________。
10. 对数函数y = log_a(x)的图像与x轴的交点是_________。
三、解答题11. 求函数y = 2^x的值域。
12. 求函数y = log_2(x)的定义域。
13. 证明指数函数y = a^x (a > 0, a ≠ 1)的图像总是单调的。
14. 证明对数函数y = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)的图像总是单调的。
15. 解方程：2^x = 8。
四、应用题16. 某细菌的初始数量是100，如果每3小时数量翻倍，求12小时后细菌的总数。
17. 某公司的股票价格从100元开始，每年增长10%，求5年后的股票价格。
高一数学指数函数经典例题
2(2)【例3】比较大小:高一数学指数函数平移问题x 1 x 2 x 1 x 2 ⑴y=2 与 y=2 . ⑵y =2 与 y =2 f(x)的图象 向左平移a 个单位得到f(x + a)的图象；向右平移a 个单位得到f(x — a)的图象； 向上平移a 个单位得到f(x) + a 的图象；向下平移a 个单位得到f(x) — a 的图象. 指数函数•经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域： 1 (1)y = 3厂 (2)y = ..2x 2 1 (3)y = .3 3x 1 解 (1)定义域为x € R 且x 丰2 .值域y > 0且沪1 . ⑵由2x+2 — 1 >0,得定义域｛x|x >— 2｝，值域为y 》0. ⑶由 3— 3x-1 > 0,得定义域是｛x|x < 2｝，: 0<3 — 3x — 1 v 3,二值域是 0 < y V 3 .及时演练 求下列函数的定义域与值域 (1) y(2) y (|)|x|；【例2】指数函数y = ax , y = b x , y = c x , y = d x 的图像如图2. 6 — 2所示, 则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A . a v b v 1 v c v d C . b v a v 1 v d v c B . a v b v 1 v d v c D . c v d v 1 v a v b 选(c)，在x 轴上任取一点(x , 0)，则得 b v a v 1 v d v c . Jyy=c Er匪.6-2及时演练 指数函数①' ②「J —」 满足不等式1’ 一」；「-,则它们的图象是().(1) 2、3 2、5 4、8 8、916的大小关系是:(2)0.63•••0.6 5 > (3) 2图像如图 2. 6-3，取 x = 3.6，得 4.53・6>3.73.6二 4.54*1 >3.73・6. 说明 如何比较两个幕的大小：若不同底先化为同底的幕，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幕比较大小时，有两个技巧，其一借助 1作桥梁，如例2中的(2).其二构造一个新的幕作桥梁，这个新的幕具有与 4.54」同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或 3.74.1)，如例 2 中的(3).1 【例5】 已知函数f(x) = a - 2*+ 1，若f(x)为奇函数，则a=.1 1 【解析】 解法1: T f(x)的定义域为R ，又T f(x)为奇函数，• f(0) = 0,即a - 2+1 = 0.「. a = q 1 1 1 1 解法 2：Tf(x)为奇函数，.•• f( 一 x) = 一 f(x)，即 a — 2-x + 1 = 2%+ 1 一a ，解得 a = ^.【答案】23 2【例6】求函数y = (3)x — 5x + 6的单调区间及值域.43解 令u = x 2 — 5x + 6,贝Uy =(2)u 是关于u 的减函数，而u = x 2 — 5x55+ 6在x € ( x,—］上是减函数，在x € ［ — , 3 )上是增函数..•.函数y =(3)"一5x + 6的单调增区间是(x, 5］，单调减区间是 谆, x ).(3)4.5 4" _______ 3.73・6 1解(1) T . 2 2 2 , 3 22 > 1，该函数在 2 4 v — v5 9 4 函数y = 21 3 又一 v - v 3 8 916 v ..2 •解(2) T 0.6 5 > 1,3 (2)23,5 4 2 ® , 1 8 2 8 ,916)上是增函数，解(3)借助数4.53・6打桥，利用指数函数的单调性,4.54.1 >4.53・6，作函数 y 〔 = 4.5x , y 2= 3.7x 的及时演练(1)1.72.5 与 1.73( 2 ) 0.8 0.1 与 0.8 0.2( 3 ) 1.703 与 0.93.1(4)3.52.1 和2.02.7【例4】比较大小n1a n 与n a n 1 (a >0且a ^1, n >1).1• aE v 1,n(n 1)当a > 1 时，T n > 1,1 n(n 1)> 0,当 0<a V 1,T n >1, ・ n(n 1)…a > 1,5 1 i又■「u = x 2 — 5x + 6 = (x )2 》 ,2 4 43 1函数y = (—)u ，在u € [ — , *)上是减函数，4 4 所以函数y =(?)x2— 5x + 6的值域是(0, 也•4 —— —【例7】求函数y = (-)x (2)x + 1(x > 0)的单调区间及它的最大值.— — — — — —解 y=£)x ]2 (-)x — [(2)x 2]2 4，令尸(2)x ，v x >o ，— —••• 0V U < —,又T U = g )x 是乂€ [0 ,+* )上的减函数，函数 y = (u)2— — — — — —在u € (0，-］上为减函数，在 纭，—)上是增函数•但由0V (-)x < -— — — —得X 》—，由—w (—)x w —，得0= x W —，-函数y =(—广 (一)x + —单调增2 2 34 2区间是［—，+* )，单调减区间［0，—］a x 2 — _ 2(a x| a x 2)a x 2 — _ (a x| —)®2 —) (a x2+ —) > 0，• f(x —) V f(x 2)，故f(x)在R 上为增函数.当x = 0时, 函数y 有最大值为—•【例8】已知f(x)= xa xa—(a >—)(—)判断f(x)的奇偶性; 解(—)定义域是R .⑵求f(x)的值域;⑶证明f(x)在区间(— 8，+^ )上是增函数.a x—f(—x) =x a xa—-=—f(x)，••f(x)为奇函数.x(2)函数尸Oh ，山 >0 — —V y V —，即 f(x)的值域为(——,—).—y(—)设任意取两个值x —x?€ (— m ，+m )且 x —V x 2. f(x —) — f(x 2)x l—a | =x | —a 1T a > —，x — V x 2，a x — V a x 2， (a x —+ —)。
指数函数实际应用题
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指数函数实际应用题
指数函数在实际生活中有超级多的应用呢。
比如说在人口增长问题上，假设一个城市的初始人口是P0，人口的年增长率是r，那么经过t年之后，这个城市的人口数量P就可以用指数函数P = P0 (1 + r)^t来表示。
这就像我们在玩一个数字不断变大的游戏，每过一年，人口就按照一定的比例增加。
再看看细菌繁殖的例子。
假如有一种细菌，最开始有N0个，每过一个小时就会繁殖为原来的k倍，那么经过t个小时后，细菌的总数N就等于N0 k^t。
这就好像细菌在自己的小世界里开派对，不停地邀请新的小伙伴加入，而且这个速度还超级快呢。
还有在金融领域，复利计算也用到指数函数。
假如你在银行存了一笔本金A，年利率是i，每年复利一次，那么经过n年之后，你的本利和S就等于A (1 + i)^n。
这就好比你的钱在银行里像小树苗一样不断地生长，而且生长的速度越来越快呢。
在放射性物质衰变方面也离不开指数函数。
比如某种放射性物质的初始质量是M0，它的衰变常数是λ，经过t时间后，剩余的质量M就等于M0 e^(-λt)。
这就像是物质在偷偷地消失，而且消失的速度也是有规律可循的。
从这些实际例子可以看出，指数函数就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开很多现实问题的大门，让我们可以预测未来的发展趋势，无论是人口的增长、细菌的繁殖、财富的增长还是物质的衰变等。
所以啊，学好指数函数可不仅仅是为了应付考试，在生活中真的超级有用呢。
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指数函数例题分析及答案
指数函数·经典例题解析及答案一．求定义域、值域1.求下列函数的定义域与值域：(1)y 3(2)y (3)y 12x＝＝＝-+---213321x x(4)y =解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3，∴值域是≤＜．0y 3（4）由题意可得2160x --≥，即261x -≤，∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，∞． 令26x t -=，则y又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤．∴函数的值域是[)01，．二、比较大小3.比较大小：(1)2(2)0.6、、、、的大小关系是：．248163235894512--()(3)4.54.1________3.73.6解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．222242821621338254912284162123135258389493859=====解 (2)0.6110.6∵＞，＞，∴＞．----451245123232()()解 (3)借助数 4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6∴ 4.54.1＞3.73.6．说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．4.已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____．分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =．∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥；若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥ 三、单调性问题【例8】已知＝＞f(x)(a 1)a a x x -+11(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的值域；(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数． 解 (1)定义域是R ．f(x)f(x)－＝＝－，a a a a x x x x ---+=--+1111∴函数f(x)为奇函数．(2)y y 1a 1y 1x 函数＝，∵≠，∴有＝＞－＜＜，a a y y y y x x -+---=+-⇒1111110即f(x)的值域为(－1，1)．(3)设任意取两个值x 1、x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．f(x 1)－f(x 2)＝＝，∵＞，＜，＜，＋＋＞，∴＜，故在上为增函数．a a a a a a a a a a a a x l x l x x x l x x l xx x x x -+-+--++112121*********()()()a 1x x (1)(1)0f(x )f(x )f(x)R 1212 四、解方程5.已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x >．∴x 的取值范围是14⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞． 6. 解方程223380x x +--=解：原方程可化为29(3)80390x x⨯-⨯-=，令3(0)x t t =>，上述方程可化为298090t t --=，解得9t =或19t =-（舍去），∴39x =，∴2x =，经检验原方程的解是2x =．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 五、图像问题7. 为了得到函数935x y =⨯+的图象，可以把函数3x y =的图象（ ）． A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数935x y =⨯+转化为235x t +=+，再利用图象的平移规律进行判断． 解：∵293535x x y +=⨯+=+，∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数935x y =⨯+ 的图象，故选（C ）．8.指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．a ＜b ＜1＜d ＜cC ． b ＜a ＜1＜d ＜cD ．c ＜d ＜1＜a ＜b解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ．9. 函数y ＝a｜x ｜(a>1)的图像是( )解法1：(分类讨论)：去绝对值，可得y ＝⎪⎩⎪⎨⎧<≥).0()1(),0(x ax a x x 又a>1，由指数函数图像易知，应选B.解法2：因为y ＝a ｜x ｜是偶函数，又a>1，所以当x ≥0时，y ＝a x 是增函数；x ＜0时，y ＝a -x 是减函数.∴应选B. 六、最值问题10. 已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值解：设t=3x,因为-1≤x ≤2，所以931≤≤t ，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
指数函数练习题
指数函数练习题一、简介指数函数是数学中的一种常见函数，其表达式为：y=y y其中，y为底数，y为指数，y为函数值。
指数函数在自然科学、工程技术以及金融经济等领域都有广泛的应用。
在本文档中，将给出一些指数函数的练习题，旨在帮助读者更好地理解指数函数以及其应用。
二、练习题1. 指数函数的图像绘制试绘制以下指数函数的图像，并回答相应问题：a)y=2yb)y=0.5yc)y=3yd)y=y y问题：a)当y为何值时，函数y=2y的值等于1？b)当y逐渐增大时，函数y=0.5y的值会趋近于哪个数？c)当y逐渐增大时，函数y=3y的值会趋近于正无穷大还是负无穷大？d)函数y=y y的图像是否通过点(0,1)？2. 指数函数的性质以下函数是指数函数的一种特殊形式，观察其性质并回答相关问题：a)y=2−yb)$y = \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{-x}$问题：a)函数y=2−y的图像是否关于y轴对称？b)函数 $y = \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{-x}$ 的值是否在区间(0,1)内？c)当y逐渐增大时，函数 $y =\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{-x}$ 的值会趋近于正无穷大还是负无穷大？3. 指数函数的应用指数函数在许多实际问题中都有重要应用，下面是一些应用题：a)在投资中，如果每年的投资回报率为20%，那么在t 年后，投资额会增长到多少倍？b)某种放射性物质的衰变速率是原来的 80%（即每小时减少 20%），经过多少小时后，剩余量将降至原来的10%？c)假设某种细菌每小时增长 50%，如果初始细菌数量为 100 个，经过多少小时后，细菌数量将达到 1000 个？请根据所学知识，解答以上问题。
三、答案与解析1. 指数函数的图像绘制a)y=2yimport matplotlib.pyplot as plt import numpy as npx = np.linspace(-5, 5, 100)y = 2 ** xplt.plot(x, y)plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.title('Graph of y = 2^x') plt.grid(True)plt.show()b)y=0.5yimport matplotlib.pyplot as plt import numpy as npx = np.linspace(-5, 5, 100)y = (0.5) ** xplt.plot(x, y)plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.title('Graph of y = 0.5^x') plt.grid(True)plt.show()c)y=3yimport matplotlib.pyplot as plt import numpy as npx = np.linspace(-5, 5, 100)y = 3 ** xplt.plot(x, y)plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.title('Graph of y = 3^x')plt.grid(True)plt.show()d)y=y yimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npx = np.linspace(-5, 5, 100)y = np.exp(x)plt.plot(x, y)plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.title('Graph of y = e^x')plt.grid(True)plt.show()问题：a)函数y=2y的值等于1时，y=0。
高中数学指数函数的性质及相关题目解析
高中数学指数函数的性质及相关题目解析一、指数函数的定义与性质指数函数是高中数学中重要的一类函数，它的定义形式为$f(x)=a^x$，其中$a$为常数且$a>0$且$a\neq 1$。
指数函数具有以下几个性质：1. 定义域和值域：指数函数的定义域为全体实数，值域为正实数集$(0,+\infty)$。
2. 增减性：当$a>1$时，指数函数是递增函数；当$0<a<1$时，指数函数是递减函数。
3. 对称性：指数函数关于$y$轴对称。
4. 连续性：指数函数在其定义域上连续。
5. 无界性：当$a>1$时，指数函数在$x\to-\infty$时趋于0；当$0<a<1$时，指数函数在$x\to+\infty$时趋于0。
二、指数函数的常见题型及解析1. 指数函数的图像与性质题目：已知函数$f(x)=2^x$，求函数$f(x)$的图像及其性质。
解析：我们可以通过计算$f(x)$在不同$x$值上的函数值，绘制出函数$f(x)$的图像。
例如，当$x=-2$时，$f(x)=2^{-2}=\frac{1}{4}$；当$x=-1$时，$f(x)=2^{-1}=\frac{1}{2}$；当$x=0$时，$f(x)=2^0=1$；当$x=1$时，$f(x)=2^1=2$；当$x=2$时，$f(x)=2^2=4$。
根据这些函数值，我们可以绘制出函数$f(x)$的图像。
同时，根据指数函数的性质，我们可以得出以下结论：函数$f(x)=2^x$是递增函数，对称于$y$轴，定义域为全体实数，值域为正实数集$(0,+\infty)$。
此外，由于$a>1$，所以函数$f(x)$在$x\to-\infty$时趋于0。
2. 指数函数的性质应用题题目：已知指数函数$f(x)=2^x$，若$f(a)=8$，求实数$a$的值。
解析：根据题目中已知条件$f(a)=8$，我们可以得到方程$2^a=8$。
由指数函数的性质可知，$2^3=8$，因此$a=3$。
指数函数经典例题(答案)
指数函数1．指数函数的定义：函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R2.指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，y=，y=的图象.我们观察y=，y=，y=，y=图象特征，就可以得到的图象和性质。
指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．1．比较大小 例1 已知函数满足，且，则与的大小关系是_____． 分析：先求的值再比较大小，要注意的取值是否在同一单调区间内． 解：∵， ∴函数的对称轴是． 故，又，∴． ∴函数在上递减，在上递增． 若，则，∴； 若，则，∴． 综上可得，即． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式 例2 已知，则x的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵， ∴函数在上是增函数， ∴，解得．∴x的取值范围是． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题 例3 求函数的定义域和值域． 解：由题意可得，即， ∴，故．∴函数的定义域是． 令，则， 又∵，∴．∴，即． ∴，即． ∴函数的值域是． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4．最值问题 例4 函数在区间上有最大值14，则a的值是_______． 分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围． 解：令，则，函数可化为，其对称轴为． ∴当时，∵， ∴，即． ∴当时，． 解得或（舍去）； 当时，∵， ∴，即， ∴时，， 解得或（舍去），∴a的值是3或． 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程 例5 解方程． 解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程的解是． 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题 例6 为了得到函数的图象，可以把函数的图象（ ）． A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断． 解：∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选（C）． 评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．习题1、比较下列各组数的大小： （1）若，比较与； （2）若，比较与； （3）若，比较与； （4）若，且，比较a与b； （5）若，且，比较a与b． 解：（1）由，故，此时函数为减函数．由，故． （2）由，故，故．从而． （3）由，因，故．又，故．从而． （4）应有．因若，则．又，故，这样，故．从而，这与已知矛盾． （5）应有．因若，则．又，故，这样有．又因，且，故．从而，这与已知矛盾． 小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．2，曲线分别是指数函数,和的图象,则与1的大小关系是 ( ). ( 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,在轴右侧令,对应的函数值由小到大依次为,故应选. 小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.求最值3，求下列函数的定义域与值域.(1)y＝2; (2)y＝4x+2x+1+1.解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2的定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝.又∵≠0，∴2≠1，∴y＝2的值域为｛y｜y>0且y≠1｝.(2)y＝4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1.∴y＝4x+2x+1+1的值域为｛y｜y>1｝.4，已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
必修1-2-5 指数函数应用题
4倍
B.(1+x)20=2
D.(1+x)20=4
解:设1980年我国国民生产总值(GDP)为a万亿元,则 到2000年翻两番,达到____ 4a 万亿元,方程为 a (1+x)20=4a ∴ (1+x)20=4
自主探究: P57～58 例8(人口增长问题)
深入探究: P58 探究(1)、(2)、(3)、(4).
3.按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设 本利和为y元,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数解 析式. 如果存入本金1000元,每期利率2.25％,试计算5期后本利 和是多少?(精确到1元)
复利？
本利和=本金+利息, 利息=本金×利率
储蓄:本金、利息、利率?
深入探究: P60B3(解答)
深入探究: P58 探究(4).
(4) 如果年平均增长率为2％,那么2100年(即101年后) 我国的人口数为:y=13×1.02101≈96.064亿. 如果年平均增长率为1％,那么2100年(即101年后) 我国的人口数为:y=13×1.01101≈35.514亿. 两种情况下人口数相差约60亿. 结论: 实行计划生育,
考点09 指数函数(练习)(解析版)
考点9指数函数【题组一定义辨析】1.下列函数中指数函数的个数是。
①y =2x ；②y =x 2；③y =2x +1；④y =x x ；⑤y =（6a –3）x 12(23a a >≠，且．【答案】2【解析】只有①⑤是指数函数；②底数不是常数，故不是指数函数；③1222x x y +==⨯是2与指数2x y =的乘积；④中底数x 不是常数，不符合指数函数的定义，所以指数函数的个数是2．2．下列函数中，指数函数的个数为。
①112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭②y ＝a x ()01a a >≠且；③y ＝1x ；④2112xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】1【解析】由指数函数的定义可判定，只有②正确．3．函数2(232)xy a a a =-+是指数函数，则a 的取值范围是。
【答案】12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】 函数2(232)x y a a a =-+是指数函数，22321a a ∴-+=且0a >，1a ≠，由22321a a -+=解得1a =或12a =，12a ∴=，4．已知函数2()(1)(1)x f x a a a =+-+为指数函数，则a =.【答案】1【解析】 函数()()()211xf x a a a =+-+为指数函数，21110a a a ⎧+-=∴⎨+>⎩解得1a =【题组二定义域】1．函数()1f x x =+-的定义域为__________.【答案】(2,1)-【解析】函数()1f x x =-x 满足：2650140210xx x x ⎧--≥⎪⎪⎛⎫->⎨⎪⎝⎭⎪⎪-≠⎩，解得6121x x x -≤≤⎧⎪>-⎨⎪≠⎩即21x -<<.故答案为：(2,1)-2．函数31()log f x x=的定义域为。
【答案】{}1|0x x <<【解析】要使函数有意义，则01220x x x >⎧⎪≠⎨⎪-≥⎩，解得0＜x <1，3．设函数()f x =，则函数2(log )y f x =的定义域为。
指数函数练习题
指数函数练习题1.指数函数的基本概念指数函数是数学中一类重要的函数，常用于描述指数增长或指数衰减的情况。
其一般形式为：$y = a \cdot b^x$，其中 $a$ 和$b$ 是常数，$b。
0$ 且 $b \neq 1$。
指数函数的特点包括：当 $b。
1$ 时，函数呈指数增长趋势；当 $0 < b < 1$ 时，函数呈指数衰减趋势；当 $b = 1$ 时，函数退化为常数函数。
2.指数函数的求解与应用指数函数的求解主要涉及确定常数 $a$ 和 $b$ 的值，以及利用函数的性质进行计算。
示例1.已知函数 $y = 3 \cdot 2^x$，求当 $x = 2$ 时的函数值。
示例1.已知函数 $y = 3 \cdot 2^x$，求当 $x = 2$ 时的函数值。
解答：将 $x = 2$ 代入函数表达式中，得到 $y = 3 \cdot 2^2 = 12$。
因此，当 $x = 2$ 时，函数值为 12.示例2.某车辆的初始价格为 10 万元，每年贬值 5%，求经过 5 年后车辆的价格。
示例2.某车辆的初始价格为 10 万元，每年贬值5%，求经过 5 年后车辆的价格。
解答：设经过 $x$ 年后车辆的价格为 $y$，则满足指数衰减的函数关系为 $y = 10 \times (1-0.05)^x$。
代入 $x = 5$，得到 $y = 10 \times (1-0.05)^5 \approx 7.788$ 万元。
因此，经过 5 年后车辆的价格约为 7.788 万元。
指数函数在实际生活中有广泛的应用，例如金融领域的复利计算、生物学中的指数增长模型、电子电路中的放大器响应曲线等。
3.指数函数的练习题练习题1.若指数函数 $y = a \cdot b^x$ 过点 $(1,4)$，并且在$x = 2$ 处的斜率为 1，求函数的表达式。
练习题1.若指数函数 $y = a \cdot b^x$ 过点 $(1,4)$，并且在 $x = 2$ 处的斜率为 1，求函数的表达式。
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2.2.2指数函数应用
三.随堂检测:
1.某工厂年产量第二年增长率为a,第三年增 长率为b,则这两年的平均增长率为 ________
2.对于5年可成材的树木,在此期间的年生长 率为18%,5年后的年生长率为10%.树木成材 后,既可出售树木,重载新树苗,也可让其继 续生长.按10年的情形考虑,哪一种方案可获 得较大的木材量?
2.2.2指数函数应用
一.ห้องสมุดไป่ตู้设情境:
指数函数是一类重要的函数模型, 它与我们的生活有着密切联系.
2.2.2指数函数应用
二.师生探究:
例1.某种放射性物质不断变化为其他物质， 每经过一年，这种物质剩留的质量是原来 的84%。写出这种物质的剩留量关于时间 的函数关系式.
注: 1.指数函数模型问题，往往借助于归纳的数 学思想方法:由特殊到一般,由具体到抽象.
复利：把前一期的利息和本金加在一起作本金， 再计算下一期利息的一种计算利息方法。
思考：（1）第几期后本利和超过本金的1.5倍？ （2）要使10期后本利和翻一番，利率应为 多少（精确到0.001）？
2.2.2指数函数应用
例2.某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每 期利率为r，设存期是x，本利和（本金加上利息） 为y元. 变:若按单利计算利息,求本利和y随存期x变化的 函数关系式.
注:1.复利计息:本金不断增长
y a(1 r)x
2.单利计息:本金保持不变
y a(1 xr)
2.2.2指数函数应用
例3.2000~2002年，我国国内生产总值年平均增 长7.8%左右.按照这个增长速度，画出从2000 年开始我国年国内生产总值随时间变化的图 象，并通过图象观察到2010年我国国内生产 总值约为2000年的多少倍（结果取整数）.
2.实际应用问题中函数的定义域,要考虑到 自变量的实际意义.
2.2.2指数函数应用
例2.某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每 期利率为r，设存期是x，本利和（本金加上利息） 为y元. (1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式. (2)如果存入本金1000元，每期利率为 2.25%，试计算5期后的本利和.
2.2.2指数函数应用
四.课堂小结:
1.应用题的解题思路:
实际问题 建立数学模型
得到数学结果
解决实际问题
2.指数函数模型问题，往往借助于归纳的数 学思想方法:由特殊到一般,由具体到抽象.
2.2.2指数函数应用
五.课堂作业:
作业: 书 P55 3, 10