不定积分中有理函数的分解

第3卷 第2期 贵阳学院学报(自然科学版) (季刊) Vo.l 3 No .2J OURNAL OF GU I YANG COLLEGE 2008年6月Natura l Sciences (Quarterly)

Jun .2008

不定积分中有理函数的分解

赵晓艾

(枣庄学院数学与信息科学系,山东枣庄 277160)

摘 要:有理函数的积分是不定积分中的一种重要类型,对这类积分常用的方法是先把有理

函数分解为部分分式,然后利用待定系数法和赋值法求解,有理函数积分的重点和难点就是对有理函数进行有效的分解。通过实例介绍有理函数的分解技巧,从而可方便地解决这类有理函数的积分问题。

关键词:有理函数;部分分式;不定积分;分解

中图分类号:O 174 文献标识码:A 文章编号:1673-6125(2008)02-0006-03

D eco mpositi on of Rationa l Function in Indefinite Integral

Zhao X iao ai

(M a t hs and Infor m ation Sc i ence D epa rt m en t ,Zaozhuang Co ll ege ,Z aozhuang Shandong 277160,Ch i na)Abstrac t :R a ti ona l function i nteg ra l i s an i m po rtant type o f i nde fi nite i ntegral and its usua l me t hod to this integ ra l i s to d i v i de the ra ti ona l functi on i nto part fracti ons ,and it can be so l ved t h rough the me t h ods o f undeter m i ned coeffic i ents and ass i gn m ent va l ue .T he i m po rtant and diffi cult po i n t i s the e ffi c ient decom position of rationa l f unc ti on .Through exe m plar i ntroducti on to the decompositi on skills of rationa l functi on ,t he question o f rati ona l f uncti on can be conv en i entl y ans we red .K ey word s :rationa l functi on ;part fracti ons ;indefi n ite i ntegra;l deco m position

0 求有理函数的积分,关键的一步是要对有理函数进行正确恰当的分解,恰当的分解为以后求待定系数,求不定积分做良好的铺垫,打下坚实的基础。

1 有理函数的相关概念

所谓有理函数,是指两个多项式之商,

R (x )=P (x )Q (x )=a n x n +a n -1x n -1

+ +a 0

b m x m +b m -1x m -1+ +b 0,

(a n 0,b m 0),当n

∀

6∀*收稿日期:2008-03-01

作者简介:赵晓艾(1979-),女,山东枣庄人,枣庄学院数学与信息科学系助教,硕士。

积分主要是解决有理真分式的积分。

2 有理函数的分解

设R(x)=P(x)

Q(x)

是一个既约有理真分

式,求R(x)的不定积分,若R(x)的分母Q(x)分解为几个因式的乘积,则R(x)就可以拆成以这些因式为分母的简单有理真分

式之和,这些简单分式称为R(x)=P(x)

Q(x)

的

部分分式,于是#P(x)Q(x)dx,就化为这些简单分式的不定积分之和。

一般按以下原则分解:

(1)Q(x)中形如(x-a)k的因式,在R(x)的部分分式分解式中应出现如下k项

之和:

A1

x-a

+

A2

(x-a)2

+ +

A k

(x-a)k

,其

中A1,A2 ,A k为待定系数。

(2)Q(x)中形如(x2+px+q)1, (p2-4q<0)的因式,在R(x)的部分分式分

解式中应出现如下l项之和:

B1x+D1

x2+px+q

+

B2x+D2 (x2+px+q)2+ +

B1x+D1

(x2+px+q)1

,其中

B1,D1,B2,D2, B l,D l为待定系数。

3 判断下列有理函数的分解式是否恰当

3 1

x2-1

x(x+1)3

=

A

x

+

B

x+1

+

Cx+D

(x+1)2

+

Ex+F

(x+1)3

分析:分解不恰当。

我们比较容易发现的是按照(1)式,部分分式的最后两项分子应该为一常数,即

x2-1

x(x+1)3

=

A

x

+

B

x+1

+

C

(x+1)2

+

D

(x+1)3, (3);

另外,有理分式x

2-1

x(x+1)3

分子分母中有可以约的公因式x+1,约分后得

x-1

x(x+1)2

,它分解后得到

x-1

x(x+1)2

=

A

x

+

B

x+1

+ C

(x+1)2

,(4)。

虽然利用(3)也可以来确定待定系数,但比(4)要复杂,可见,在有理函数的分解中,注意要把有理函数化到最简,即没有公因式为止,这样可以帮助我们简化计算。

3 2

(x-1)(x3+2)

x2(x2-x+1)

=

A

x

+

B

x2

+

Cx+D

x2-x+1分析:分解不恰当。

乍一看,按照(1)、(2)分解是正确的,没有什么问题,可再仔细看看,等式右边通分后,分母最高次数为4,分子最高次数为3,比较等式左右两边,矛盾。问题出在什么地方呢?那是因为,我们使用原则(1)、(2)只针对有理真分式,而这里等式左边分式的分子与分母的次数相等,故非有理真分式。

如果R(x)是有理假分式,那么该如何分解呢?可以利用多项式的除法化成多项式与有理真分式之和。对该题可进行如下分解:

(x-1)(x3+2)

x2(x2-x+1)

=x

4-x3+2x-2

x4-x3+x2

=1-x2-2x+2

x2(x2-x+1)

=1-

1

x2

+

x-1

x2(x2-x+1)

,再把

x-1

x2(x2-x+1)

分解为部分分式之和: x-1

x2(x2-x+1)

=

A

x

+

B

x2

+

Cx+D

x2-x+1

,然后用

∀7

∀