第五章(多目标)

功效函数 dj = Φj ( fj ) ：描述 dj与 fj 之间的关系。有三种类型：
d = q d1 ⋅ d 2 L d q
当 d → max . 时，
求得最理想方案：x* = x k，F ( x *)。
功效系数dj ：表示对于分目标函数值 fj (x) 的满意程度。 若 dj =1，表示效果最好，非常满意； dj =0，表示效果极差，方案不可取。 a) 越大越好： fj ↑ dj ↑， fj ↓ dj ↓； b) 越小越好： fj ↑ dj ↓， fj ↓ dj ↑； c) fj 取合适的值时 , dj 最大， fj 比此 区间大或小，dj 均↓。
2
当某项目标函数值变化愈宽，容限值愈大，加权因子就取较小值
当某项目标函数灵敏度愈大，加权因子就取较小值
§5.3
统一目标函数法
建模要点
§5.3
Q
统一目Fra Baidu bibliotek函数法
x = 0时 x = 1时 f1 ( 0 ) = 1 f 2 ( 0) = 3
建模要点
例：有下列两个一维的分目标函数，试用加权因子线性组合法，求此多 目标函数的选好解。
（设计变量） （目标函数） （不等式约束） （等式约束）
min. F (X) s.t.
其中 F (X) =[ f1 (X), f2 (X), …, fq (X) ]T
含有q个分目标，希望各分目标均达到最优 难度大： 矛盾性和不可公度性
§5.1 引 言
非劣解：一些目标函数比较小的解
（ 在Q1Q2曲线段上）
§5.3
统一目标函数法
q j =1
目标规划法
j = 1, 2, L , q u = 1, 2, L , m
§5.3
统一目标函数法
乘除法
2、标度因子法： min . F ( x ) = ∑ w j µ j d j
s.t.
其 中 ：d j = f j ( x ) − f j
目标函数中有一些属于费用类 ，即目标函数值越小越好，有一些属于 效果类 ，即目标函数值越大越好。总目标函数表达式中为了能统一表达，采 用了乘除法 、加权线性组合法 等方法。 设q个分目标函数中有s个属于费用类，q - s 个属于效果类，总目标函数
选好解： 从非劣解集中选出的最终解。 绝对最优解： 在可行解中，若对于一切x， fj (x*) ≤ fj (x)
恒成立，则x*为绝对最优解。
( j = 1,2,…,q)
§5.1 引 言
非劣解的极值条件
∂f1 ∂x 1 ∇F ( x ) = M ∂fq ∂x1 ∂f1 ∂x2 ∂f q ∂x2 M ∂f1 L ∂xn O M ∂f q L ∂x
统一目标函数法
目标规划法
基本思想：
先给每个分目标函数设定一个理想的最合理值，再设法使各分目标 尽可能达到最合理值。（又称理想点法）
1、平方加权和法（全局准则法）：
以各分目标函数值对各自的理想最合理值相对偏差的平方加权和趋于 最小作为全局准则。
m in .
其中，理想最合理值 f jo = f j ( x *) + ∆f j j = 1, 2, L , q f j ( x * ) 为分目标函数的最优值， ∆f j 为分目标函数作出的让步。
F ( x ) = 4 f1 ( x ) + f 2 ( x ) = 4 ( x2 + 1) + ( −2 x + 3 ) = 4 x 2 − 2 x + 7 dF 1 17 5 = 8 x − 2 令其为零， 得 x* = ， f1 ( x *) = ， f 2 ( x*) = 。 dx 4 16 2
§5.4
功效系数法
基本思想
§5.4
功效系数法
基本思想
给每一个分目标函数值一个评价，以功效系数dj (0≤dj ≤1)表示。 对于一个设计方案 xk , F(xk)，有q个分目标函数值f1(xk), f2(xk),…, fq(xk), ，对应q个功效系数 d1,d2,…,dq 。 以各功效系数的几何平均值为方案的评价函数 d ：
目标函数的规格化
当各分目标函数值在数量级上有很大差别时，可先做一次规格化。以三角函 数、指数、线性或二次函数等作为转换函数，使目标函数值规范在 [0,1] 之间。
例：若能估计出上、下界， α j ≤ f j ( x ) ≤ β j 取规格化函数
min. F ( x ) = ∑ w j f j ( x) +
选好解：从协调曲线和性能曲线中可得出
结论：S 点为较好方案。
§5.2
协调函数法
设计要求 选好解
0.0482 0.3 满足 0.006859 7.5° 18cm3/sec
应用示例
§5.3
统一目标函数法
基本思想
轴承间隙 长径比 油膜厚度 油粘度 油膜温升 油流量 油压 功率损失 径向载荷 角速度
c = D1 − D L 0.25 ≤ ≤ 1 D hmin ≥ 0.00127mm µ ≥ 0.006859Pa ⋅ s ∆t ≤ 150o Q 小 F ω 足够 Pf ≥ 9.26MPa
基本概念与定义
§5.1 引 言
基本概念与定义
内，找不
非劣解： 若 x’ 是多目标优化问题的一个解，且在可行解空间
到一个 x 使 fj (x) ≤ fj (x’) ( j = 1,2,…,q) 成立，则称 x’ 为多目标 优化问题的非劣解 或有效解 。
劣解： 非劣解之外的解 （ 在Q1Q2曲线段外
可行域 内的其他解）
v≠ j
当加权因子从 0 → ∞时，得到的最优点集合
2. 多目标函数的协调超曲面
min. s.t. fj ( x) gu ( x ) ≤ 0 j = 1, 2,L , q
0 v
hv ( x ) = f v ( x ) − f = 0
u = 1, 2,L , m
v = 1, 2, L, q − 1
其中：f v0为目标函数f v ( x )( v = 1, 2,L , q − 1)的给定的值
1
§5.2
协调曲线
协调函数法
1. 双目标函数的协调曲线
min . s.t. gu ( x ) ≤ 0
协调曲线与满意曲线
§5.2
满意曲线
协调函数法
协调曲线与满意曲线
f ( x ) = f1 ( x ) + Wf 2 ( x ) u = 1, 2,L , m
是一个指标，根据各分目标函数之间互相作出让步后，得出恰 当的匹配关系。 例如目标函数的加权组合 f1 ( x ) + Wf 2 ( x ) 、实验数据、设计者 的经验等。
w j = w1 j ⋅ w2 j
其中：w1 j是本征权，反应分目标函数的重要程度；
j = 1, 2,L , q
αj = 0 ， βj = fj x β j −α j 2
( )；
( 0)
∆f j =
则加权因子
wj =
( ∆f )
j
1
2
w2 j 是校正权，用于调整分目标函数的数量级，w2 j =
1 ∇f j ( x )
= 1, 称为本征权。 ， 称为校 正权。
表达式如下： min . F (x) =
∑w
j = s +1
s
1 f j ( x * ) − f jo
∑
j =1 q
j
fj (x) o < wj < 1
wj fj (x)
f j ( x *) − f j
o
=
1 0.75 0
则 fj ( x) → fj fj (x) → fj
3
§5.3
统一目标函数法
建模要点
§5.3
统一目标函数法
2、两项加权因子： 用于一般情况
建模要点
加权因子的确定： 1、容限值法：
目标函数是平方误差值时使用，可起平衡各目标函数数量级的作用。 估计上、下界 ： α j ≤ f j ( x ) ≤ β j 若不易估计，可令 令容限值
加权因子的确定：
适用于有导数信息的情况：
分目标函数： f1 (x ) = x + 1 → min .
2
用误差容限法求：w j f1 (1) = 2 f 2 (1) = 1 ∆f 2 =
约束区域：
= {x 0 ≤ x ≤ 1}
f 2 (x ) = −2 x + 3 → min .
根据α j ≤ f j ( x ) ≤ β j ∴
α1 = 1, β1 = 2 β −α 1 ∆f1 = 1 1 = 2 2 1 w1 = 2 = 4 ∆f1
n
基本概念与定义
§5.2
协调函数法
基本思想
在多目标优化设计中，当各分目标函数的最优值出现矛盾时，先求出一组非 ∂g1 ∂x 1 ∇g ( x ) = M ∂g r ∂x1 ∂g1 ∂x2 ∂g r ∂x2 M ∂g1 L ∂xn O M ∂g r L ∂xn r ×n 劣解，以其集合得出协调曲线 ，再根据恰当的匹配关系得到满意曲线 ，沿着满意 程度的增加的方向，各分目标值下降，直至获得选好解。
j =1
S
j = s +1
∑
q
wj f j ( x)
其中
tj f j' ( x ) = − sin t j 2π f ( x) −α j tj = j 2π β j −α j F ( x ) = ∑ w j f j' ( x )
j =1 q
总目标函数 ： min .
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gu ( x ) ≤ 0 dj ≥0
o
称为目标函数的离差；
w j —离 差值 加 权因子，只反映各分目标函数的重要程度 , µ j —标 度因 子 ，调整各分目标函数的量级， µ j = µ j d j —表 示最 终解达到理想解的程度。 µ jd j = fj ( x) − fj
o
∑w
j =1
q
j
按事先约定的某种关系，建立一个新的目标函数，将多目标 问题转化为单目标问题求解。 按构筑新目标函数的方法不同，有以下不同方法。
目标规划法 乘除法 加权线性组合法
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2
§5.3
统一目标函数法
目标规划法
§5.3
用以上数学模型依次求得各分目标函数的变化范围。
§5.2
协调函数法
设计要求
应用示例
§5.2
分析：
协调函数法
设计变量为：L/D、c、μ； 分目标函数为：供油量Q、温升△t； 约束条件：见前页。
例：径向动压轴承的优化设计
轴承间隙 长径比 油膜厚度 油粘度 油膜温升 油流量 油压 功率损失 径向载荷 角速度
α 2 = 1， β2 = 3 β2 − α 2 =1 2 1 w2 = 2 = 1 ∆f 2
解： min . F (x ) = w1 f1 ( x ) + w2 f 2 ( x ) = w1 (x 2 + 1) + w2 (−2 x + 3) s.t. x −1 ≤ 0 0− x ≤ 0
X ∈ R1 即 则新目标函数为
o
∗ ∗
f j ( x ) → 0.75 f j
§5.3
统一目标函数法
加权线性组合法
§5.3
统一目标函数法
建模要点
目标函数中有一些属于费用类 ，即目标函数值越小越好，有一些属于 效果类 ，即目标函数值越大越好。总目标函数表达式中为了能统一表达，采 用了乘除法 、加权线性组合法 等方法。 设q个分目标函数中有s个属于费用类，q - s 个属于效果类，总目标函数 表达式如下：
第五章 多目标优化问题的最优化方法
§ 5.1 引言
§5.1 引 言
多目标优化设计问题的数学模型
设 X =[x1, x2 ,…, xn ]T X∈ Rn u = 1,2,…,m v = 1,2,…, p< n gu(X) ≤ 0 hv(X) = 0
数学模型
§ 5.2 协调函数法 § 5.3 统一目标函数 § 5.4 功效系数法
令
q ×n
T 若在点 x* 不存在一个可行下降方向 s，使 −∇f ( x *) S ≥0 T ∇g ( x * ) S ≤0
同时满足，则称 x* 为约束多目标优化设计问题 满足 K-T条件的非劣解 。
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s .t .
q f ( x ) − f jo F ( x) = ∑Wj j f jo j =1 gu ( x ) ≤ 0 u = 1, 2, L , m
P
j = 1, 2, L , q
其中： wj 为加权因子， 0≤ wj ≤ 1，取决于各分目标函数的数量级 和重要程度。一般 P 取 2。
c = D1 − D 0.25 ≤ hmin L ≤1 D ≥ 0.00127mm
协调曲线： Q - △t 曲线
包括了所有满足 K-T 条件的非劣解。
µ ≥ 0.006859Pa ⋅ s ∆t ≤ 150o Q 小 F ω 足够 Pf ≥ 9.26MPa
性能曲线：是△t 与其它参数之间的关系曲线，
可看出各项指标之间的匹配关系。