奥数第一讲-一元二次方程及其应用
初三年级奥数知识点：用配方法求解一元二次方程
初三年级奥数知识点：用配方法求解一元二次方程 1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、配方法的应用对所有一元二次方程都适用，但特别对于二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程用配方法会更为简单。
【配方法】一般步骤：第一步：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项;第二步：方程两边同时除以二次项系数;第三步：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为的形式;第四步：用直接开平方解变形后的方程.习题用配方法解下列方程1. x2-2x-3=02. 2x2+12x+10=03. x2-4x+3=04. x2/4 +x-3=05. 9x2-6x-8=06. x2+12x-15=07. 2x2+1=3x8. 3x2-6x+4=09. 3x2+6x-4=010. 4x2-6x-3=0配方技巧一：公式法利用一些现有公式对某一类型的代数式直接配方如：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2二：函数法数学中的很多东西都是交集的，对于某些特定的二次函数(只有一个顶点，且该定点在x轴上)，令其顶点坐标为(a,0),则该函数对应的关于自变量的代数式就能够配方为(x-a)2配方法对于代数式x2-2x+1能够配方为(x-1)2。
百度第一讲 一元二次方程的有关概念及解法含答案
第一讲 一元二次方程的有关概念及其解法培优辅导【基础知识回顾】知识点一、一元二次方程的有关概念：1、一元二次方程定义：只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程。
2、一元二次方程的一般形式:_______________(a ≠0).其中ax 2是________，______是二次项系数；bx 是______，___是一次项系数；___是常数项。
3 、一元一次方程的解: 使一元二次方程两边_________的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．概念解读：（1）一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解；（2）可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解．常用的两个结论是：①a ＋b ＋c=0,则方程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有一根为________；②a －b ＋c=0,则方程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有一根为________;若c=0呢?【经典例题】例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A 、 02=++c bx ax B 、02112=-+x xC 、 1222+=+x x x D 、()()12132+=+x x 例2、方程9622＝－x x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A ．6，2，9B ．2，－6，9C ．2，－6，－9D ．－2，6，9例3、关于x 的一元二次方程()01122＝－＋＋－a x x a 的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1 D.21【培优特训】1、若x ＝1是方程02＝＋＋c bx ax 的解，则（ ）A ．a ＋b ＋c ＝1B ．a －b ＋c ＝0C ．a ＋b ＋c ＝0D ．a －b －c ＝0 2、 若方程()0132＝＋＋＋mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m ＝_______. 3、 当m ＝______时，关于x 的方程()5372＝－－－x x m m 是一元二次方程。
第1讲 一元二次方程与一元二次不等式解法
ax b k(k 0, a 0)， 即ax b k或ax b k(k 0, a 0)
按一元一次方程求解
（2）提公因式：形如ax2 bx 0(a 0) 提公因式得
x(ax b) 0(a 0)Leabharlann x 0，x b (a 0) a
（3）求根公式法：
1.方程ax2 bx c 0(a 0)的判别式 b2 4ac
2.三个一元二次之间的关系：
判别△=b2-4ac
△> 0
△= 0
ax2+bx+c =0
有两相异实 有两相等实根
(a>0)根 y =ax2+bx+c
根x1,x2 (x1<x2) x1=x2=
b
2a
y
y
(a>0)的图象
x1 O x2 x
△< 0 没有实根
y
ax2+bx+c >0(a>0)
的解集
{x|x<x1,x>x2}
2.方程ax2 bx c 0(a 0)有无实数根判定方法
（1）当 0时，方程有两个不相等的实数根。
（2）当 0时，方程有两个相等的实数根。
（3）当 0时，方程没有实数根。
3.方程ax2
bx c
0(a
0)的求根公式x1
b 2a
， x2
b 2a
4.韦达定理（根与系数的关系）：
方程ax2
Ox
x
{x|x≠ 1
b 2a
}
x
O
R
ax2+bx+c <0(a>0) 的解集
{x|x1<x<x2}
【例2】解下列不等式：
(奥数班)一元二次方程奥数题
a) 求证:不论 k 为何值,方程总有两不相等实数根. b) 设 x1,x2 是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5, 求 k 的值. （ k 14 ）
4. 关于 x 的方程 kx 2 +(k+2)x+ k =0 有两个不相等的实数根， 4
a) 求 k 的取值范围； k＞-1 ,且 k≠0 b) 是否存在实数 k 使方程的两个实数根的倒数和等于 0？若存在求出 k 的值；不存在说明理由。
20.
已知 a2 2004a 1 0 ，则 2a 2
4007a
2004 a2 1
_____
2002
____ （降次）
21.
x2 已知 是方程
x1 4
3 1
0 的一个根，则
3
的值为
22. 已知 x2 5x 2000 0 ，则 x 23 x 12 1 的值是
42. 方程 x 2 +kx-1=0 和方程 x 2+x +k-2 =0 有且仅有一个相同的实数根，求系数 k 的值（k=0）
43. 是否存在某个实数 x 2 mx 2 0 ，使得方程 x 2 mx 2 0 和 x 2 2x m 0 有且只有一个公 共的实根？如果存在，求出这个实数 m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。（m=-3，
27.
已知实数 m，n 满足 m2
1 m 2009 0 ， n 2
1 n
2009
0mn
1
，则
1
m
n
1. 2009
小学奥数裂项公式汇总
小学奥数裂项公式汇总1. 一元二次方程：一元二次方程是来自于“二次”，即指二次多项式的方程，此方程只有一个未知变量，解决的时候通常是找出它的两个实数根。
一般的一元二次方程的形式如下：ax2+bx+c=0，其中a、b、c都是实数，而且a不等于0，x表示未知变量，a、b、c用来确定任意的一个一元二次方程。
此方程的解可以用裂项公式来求，公式由x=(-b±√（b2-4ac）)/2a两个解式组成，其中b2-4ac为判别式，若判别式大于0，则此一元二次方程有两个不同的实数根，若判别式等于0，则有两个重根，若判别式小于0，则没有有理数根。
2. 二次不等式：二次不等式是以“二次”为特征的不等式，是指一个二次多项式在单一或双边限制范围内的取值，其一般形式为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 。
其中a、b、c都是实数，a不等于0，x表示未知变量。
此不等式的解可以用裂项公式来求，公式由-b-√（b2-4ac）/2a<x<-b+√（b2-4ac）/2a两个解式组成，其中b2-4ac为判别式，若判别式大于0，则满足此二次不等式的解为一个区间，若判别式等于0，则此不等式的解为一个端点，若判别式小于0，则此不等式没有有理数根，是一个无解事件。
3. 一元三次方程：一元三次方程的形式为：ax3+bx2+cx+d=0，其中a、b、c、d为实数，a不等于0，x为未知变量。
这是一个由三次多项式形成的方程，解法有三种：秦九韶算法、降次法和Vieta公式，其中秦九韶算法是求根最经典的方法；而Vieta公式是起到检验求根方法的作用，也可以求出根等信息；降次法是尝试将方程按次数降低，从而将一元三次方程分解成一元二次方程，乘以常数所形成的一个等式组，这样就可以使用上面的一元二次方程的裂项公式来求解。
4. 平方：平方是指某个数字被提取，且其乘方为2的结果数，常用三角形表示。
其求根可以用裂项公式来求，公式由x=±√b两个解式组成，此实数根依然是以b为参数，且包含正数解和负数解，而结果有可能是实数根也有可能是复数根，要从b的正负来判断其结果是什么样。
九年级数学奥数知识点专题精讲---一元二次方程的整数根
知识点、重点、难点例题精讲例1：当整数为值时，关于的一元二次方程k x 2(1)210x k x k +++-=的两个根均为整数。
例2：已知关于的方程的根是整数，求实数x 2(1)10mx m x m +++-=的值。
m 例3：已知关于的一元二次方程有两个整数根，x 222(1)0x m x m -++=且，求整数的值，并求此两个整数根。
1050m <<m 例4：求出所有这样的正整数，使得关于的一元二次方程a x至少有一个整数根。
22(21)4120ax a x a +-+-=例5：证明：不论取什么整数，二次方程没有整数n 251670x nx -+=根。
例6：已知整数是某直角三角形的两条直角边长，且满足二次方程a b 、求的值及此直角三角形的三边长。
2(2)40,x k x k -++=k 习题A 卷1.（填：“有”或“没有”）有理根。
28210x x --=2. 关于的方程至少有一个整数根，则整数可取值的x 2120x mx -+=m 个数是 个。
3. 已知为正整数，方程有一个整数根，则n 21)60x x --= 。
n =4. 满足的整数对共有对。
1ab a b ++=(,)a b 5. 关于的方程有两个整数根，则整数的值是x 22(2)10x a x a -++-=a 。
6. 关于的方程有两个整数根，则实数的值是x 2(11)50x a x a +-+-=a 。
7. 若关于的一元二次方程有两个正整数根，则的值x 2530x x a -++=a 是 ，方程的解是 。
8. 设为质数，且方程两个根都是整数，则的值为p 25800x px p --=p 。
9. 方程的正整数解的组数是。
2223298x xy y --=10. 求使关于的二次方程的两根都是整数的所有x 222170a x ax a ++-=正数的和是 。
a 二、解答题11. 已知方程有两个整数根，求证：（1）两个根中，2340x x m -++=一个是奇数而另一个是偶数；（2）是负的偶数。
数学专题
第一讲：一元二次方程实际应用综合基础演练：1．某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为．2．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同为x，根据题意可列方程为．3．某工程生产一种产品，第一季度共生产了364个，其中1月份生产了100个，若2、3月份的平均月增长率为x，则可列方程为．4．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为x，根据题意可列方程为．, 5.n边形对角线有9条，根据题意可列方程为6．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为．7．在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶上宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②），使整个挂图的面积是80平方分米，设金色纸边宽为x分米，可列方程为．8．如图所示，一个农户用24m长的篱笆围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使三个鸡舍的总面积为36m2．如果设每个鸡舍的长为x m，根据题意列出的方程是．9．某服装店经销一种品牌服装，平均每天可销售20件，每件赢利44元，经市场预测发现：在每件降价不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多销售5件，若该专卖店要使该品牌服装每天的赢利为1600元，则每件应降价x元．根据题意列出的方程是．10．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克，且10≤x≤18）之间的函数关系如图所示，该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？列出关于x方程是（不需化简和解方程）．典例精析（二维分析法与数学模型）例题1：在“文化宜昌•全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人．（1）求2014年全校学生人数；（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量×人数）①求2012年全校学生人均阅读量；②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2013年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．例题2．某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进行试销．购进价格为每件10元．若售价为12元/件，则可全部售出．若每涨价0.1元．销售量就减少2件．（1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？（2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在（1）的条件下的最高售价减少m%．结果10月份利润达到3388元，求m的值（m＞10）．例题3．随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资．尹进2008年的月工资为2000元，在2010年时他的月工资增加到2420元，他2011年的月工资按2008到2010年的月工资的平均增长率继续增长．（1）尹进2011年的月工资为多少？（2）尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2011年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校．请问，尹进总共捐献了多少本工具书？例题4．如图△ABC，∠B=90∘，AB=6，BC=8．点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q 分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）△PBQ的面积会等于10cm2吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．巩固反馈:1．如图，有一段15m长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分（或全部）为一边，再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF．（1）怎样围成一个面积为126m2的长方形场地？（2）长方形场地面积能达到130m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．2．全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题，2014年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品．（1）若2014年社区购买健身器材的费用不超过总投入的，问2014年最低投入多少万元购买药品？（2）2015年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少，但社区在这两方面的总投入仍与2014年相同．①求2014年社区购买药品的总费用；②据统计，2014年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的，与2014年相比，如果2015年社区内健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，那么，2015年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，求2015年该社区健身家庭的户数．3．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？第二讲：二次函数的图象和性质性质反馈训练一、1、抛物线不具有的性质是( )A、开口向下B、对称轴是y轴C、与y轴正半轴不相交D、最高点是原点2、若二次函数的图象过点（1，-2），则a的值是( )A、B、2 C、D、-23、抛物线的开口向________，顶点坐标是________ ，对称轴是________，顶点是该抛物的最 ________点，当x= ________时，函数有最________这个值为________．4、若抛物线的开口向下，则m=_________，对称轴是_________．5、在同一坐标系中，三条抛物线，，的开口由大到小的顺序是__________.6、直线y=2x-1与抛物线的交点坐标是( )A、(0，0)，(1，1)B、(1，1)C、(0,1),(1,0)D、(0,-1)，(-1,0)7、已知函数是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m的值．(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，此时当x为何值时，y随x的增大而增大？(3)若函数图象有最大值点（-3，a）(-1, b) (2, c)在函数图象上，比较a,b ,c的大小二、1、抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________．向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ________．2、抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2，0）、B两点，与y轴于点C（0，-4），求S△ABC的值．3、在同一坐标系中，画出函数和的图象，根据图像回答：(1)抛物线经过怎样的平移得到抛物线(2)对于函数：①当x为何值时，y随x的增大而减小？②当x为何值时，函数y有最大值？最大值是多少？③求图象与x轴、y轴的交点坐标.三、抛物线的开口方向_______，对称轴是_______，顶点坐标是_______．当x_______时，y随x的增大而减小；当x_______时，y随x的增大而增大若抛物线的图象上有三点A（-2，），B（1，），C(5，)则、、的大小关系为_____________.若向右平移3个单位后抛物线解析式为_________。
奥数第一讲-一元二次方程及其应用
第一讲 一元二次方程及其应用班级： 姓名： 日期：【课前热身】1．若关于x 的方程（x －2）（x 2－4x ＋m ）=0有三个整数根，且这三个整数根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的值是___________，此时这个三角形是 三角形。
2．若2221.013aa a a +=++求的值为 。
3．y =29722a a ++的最小值为 ；y =29722a a -++的最大值为 。
4．225101x x x x x -+==-+已知，那么 ．5．如果多项式200842222++++=b a b a p ，则p 的最小值是（ ） A 、2005 B 、2006 C 、2007 D 、20086．设2321022010m m m m +-=++=，则7．如果对于任意两个实数a 、b ，“*”为一种运算，定义为b a b a 2+=*，则函数42)2(2*+*=x x y （－3≤x ≤3）的最大值与最小值的和为 ．8. 设x 1，x 2关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，则()()122122x x x x --的最大值为 。
【知识点链接】1. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=2,1x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x .（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.2． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .3.二次三项式2(0)ax bx c a ++≠的最值问题讨论如下：2222224()()()2424b b b b ac b ax bx c a x x c a x c a x a a a a a-++=++=++-=++①当0a时， 二次三项式2ax bx c ++在2ba a=-时有最大值244ac b a - ②当0a时，二次三项式2ax bx c ++在2ba a=-时有最小值244ac b a - 【典例精析】例1 设实数a ，b 满足：2231085100a ab b a b -++-=，求u =29722a b ++的最小值.解：例2 设ｍ是不小于－1的实数，使得关于ｘ的方程ｘ2＋2（ｍ－2）ｘ＋ｍ2－3ｍ＋3＝0有两个不相等的实数根ｘ1，ｘ2．（1）若ｘ12＋ｘ22＝6，求ｍ的值；（2）求的最大值．解：例3 边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程2(2)40x k x k -++=的两根，求k 的值 并确定直角三角形三边之长． 解：【巩固练习】1．如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ）（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）52．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么若21x =-,则x i =±，从而x i =±是方程21x =-的两个根。
一元二次方程的应用-ppt课件
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型 的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破 部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时 几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题 移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一 题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数
n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时 循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单 每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读 封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时 几何图形面积问题
［答案］ 解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一 传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型 两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清 题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10
初三年级奥数知识点：一元二次方程的解法
【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。
奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更⾼、更强。
国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。
奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。
国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。
奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。
下⾯是为⼤家带来的初三年级奥数知识点：⼀元⼆次⽅程的解法，欢迎⼤家阅读。
1、直接开平⽅法
利⽤平⽅根的定义直接开平⽅求⼀元⼆次⽅程的解的⽅法叫做直接开平⽅法。
直接开平⽅法适⽤于解形如的⼀元⼆次⽅程。
根据平⽅根的定义可知，是b的平⽅根，当时，，，当b<0时，⽅程没有实数根。
2、配⽅法
配⽅法是⼀种重要的数学⽅法，它不仅在解⼀元⼆次⽅程上有所应⽤，⽽且在数学的其他领域也有着⼴泛的应⽤。
配⽅法的理论根据是完全平⽅公式，把公式中的a看做未知数x，并⽤x代替，则有。
3、公式法
公式法是⽤求根公式解⼀元⼆次⽅程的解的⽅法，它是解⼀元⼆次⽅程的⼀般⽅法。
公式法是⽤求根公式解⼀元⼆次⽅程的解的⽅法，它是解⼀元⼆次⽅程的⼀般⽅法。
第01讲 一元二次方程(解析版)
第01讲一元二次方程理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.类型一、关于一元二次方程的判定例1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1)；(2)．【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．(2)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.例2.判定下列方程是否关于x的一元二次方程：(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．【答案与解析】(1)经整理，得它的一般形式(a 2+2)x 2+(a-3)x-a(a+1)=0，其中，由于对任何实数a 都有a 2≥0，于是都有a 2+2＞0，由此可知a 2+2≠0，所以可以判定：对任何实数a，它都是一个一元二次方程．(2)经整理，得它的一般形式(m 2-1)x 2+(2-2m)x+(m 3+1)=0，其中，当m≠1且m≠-1时，有m 2-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在，当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m≠±1．例如，一个关于x 的方程，若整理为(m-4)x 2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x 的一元二次方程(a-1)x 2+(2a+1)x+a 2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”．【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①21x x ++；②2960x x -=；③2102y =；④215402x x-+=；⑤2230x xy y +-=；⑥232y =；⑦2(1)(1)x x x +-=．【答案】②③⑥.【解析】①21x x ++不是方程；④215402x x-+=不是整式方程；⑤2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑦2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程.②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定例3.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x 2-4x+2=0；(2)．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x 2+4x-2=0．各项的系数分别是：a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x 2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为．例4.已知关于y 的一元二次方程m 2(y 2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m 的取值范围．【答案与解析】将原方程整理为一般形式，得(m 2-8)y 2-(3m-1)y+m 3-1=0，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件m 2-8≠0，即m≠±．可知它的各项系数分别是a=m 2-8(m≠±)，b=-(3m-1)，c=m 3-1．参数m 的取值范围是不等于±的一切实数．【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．【变式1】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）2352x x =-；（2）(1)(1)2a x x x +-=-．【答案】（1）235+2=0x x -，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）(1)(1)2a x x x +-=-化为220,ax x a +--=二次项系数是a、一次项系数是1、常数项是-a-2.【变式2】关于x 的方程的一次项系数是-1，则a .【答案】原方程化简为x 2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.类型三、一元二次方程的解（根）例5.若0是关于x 的方程()2223280m x x m m -+++-=的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．【思路点拨】根据一元二次方程解的性质，直接求出m 的值，根据若是一元二次方程时，注意二次项系数不为0，再利用根的判别式求出即可．【答案与解析】解：∵0是关于x 的方程()2223280m x x m m -+++-=的解，∴2280m m +-=∴24m m ==-或①当20m -≠∴4m =-∴原方程为：2630x x -+=2490b ac =-=> ∴此方程有两个不相等的根．2630x x -+=()3210x x --=解得：00.5x =或②当2m =∴30x =∴0x =【总结升华】此题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练记忆根的判别式公式是解决问题的关键．例6.已知关于x 的方程（m﹣1）x 2+5x+m 2﹣3m+2=0的常数项为0，（1）求m 的值；（2）求方程的解．【答案与解析】解：（1）∵关于x 的方程（m﹣1）x 2+5x+m 2﹣3m+2=0的常数项为0，∴m 2﹣3m+2=0，解得：m 1=1，m 2=2，∴m 的值为1或2；（2）当m=2时，代入（m﹣1）x 2+5x+m 2﹣3m+2=0得出：x 2+5x=0x（x+5）=0，解得：x 1=0，x 2=﹣5．当m=1时，5x=0，解得x=0．【总结升华】此题是一元一次方程与一元二次方程的解法的小综合，注意本题中说的是“方程”，而不是“一元二次方程”．【变式】（1）x=1是的根，则a=.（2）已知关于x 的一元二次方程22(1)210m x x m -++-=有一个根是0，求m 的值.【答案】（1）当x=1时，1-a+7=0,解得a=8.（2）由题意得一、单选题【分析】通过观察表格可得20x px q ++=时，3.2 3.3x <<，即可求解．【详解】解：由表格可知，当 3.2x =时，20x px q ++<，当 3.3x =时，20x px q ++>，∴20x px q ++=时，3.2 3.3x <<，∴解的整数部分是3，十分位是2．故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键．3．（2022秋·江苏徐州·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（）A ．1-B ．1C ．1或1-D ．1-或0【答案】A【分析】根据方程是一元二次方程，可得10a -≠，将0x =代入解析式，求出a 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，∴10a -≠，210a -=，∴1a =-；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键．二、填空题一、单选题1．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）一元二次方程2323x x -=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A ．3、2、3-B ．3、2、3C ．3、2-、3D ．3、2-、3-【答案】D【分析】将一元二次方程2323x x -=化为一般形式即可求得结果．【详解】解：将一元二次方程2323x x -=化为一般形式，得23230x x --=，二次项系数为3，一次项系数为2-，常数项为3-．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式以及多项式的有关概念，解决问题的关键是将一元二次方程化为一般形式．2．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2215320m x x m m -++-+=的常数项为0，则m ＝（）A ．1B ．2C ．1或2D ．0【答案】B 【分析】根据一元二次方程成立的条件和常数项为0列出方程组，解方程组即可求解．【详解】若关于x 的一元二次方程()2215320m x x m m -++-+=的常数项为0，则232010m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得2m =，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的含义，熟练掌握知识点是解题的关键．3．（2022秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习）观察表格中数据，一元二次方程4．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2100ax bx a +-=≠有一根为1x =，则一元二次方程()()21110a x b x -+--=必有一根为______．【答案】2【分析】利用整体思想设1x t -=，得到方程210at bt +-=，再根据210(0)ax bx a +-=≠即可得到t 的值，最后得出结论．【详解】解：∵在2(1)(1)10-+--=a x b x 中，设1x t-=∴210at bt +-=∵210(0)ax bx a +-=≠有一个根1x =∴在210at bt +-=中1t =∴即在2(1)(1)10-+--=a x b x 中，11x -=∴2x =故答案为：2【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．5．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）已知m 是方程2210x x +-=的一个根，则代数式2242021m m ++的值为_________【答案】2023【分析】由方程根的定义得到221m m +=，整体代入2242021m m ++即可得到答案．【详解】解：∵m 是方程2210x x +-=的一个根，∴2210m m +-=，∴221m m +=，∴()222420212220212120212023m m m m ++=++=⨯+=．故答案为：2023【点睛】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．6．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）已知方程20x bx c ++=的两个根分别是2、1，则b c +=______．【答案】1-【分析】把1x =代入20x bx c ++=得出10b c ++=，整理即可得出答案．【详解】解：把1x =代入20x bx c ++=得：10b c ++=，∴1b c +=-．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握方程解的定义，得出10b c ++=．三、解答题（2）解：∵（﹣3x 2+6x ﹣5）－（﹣x 2+2x +3）＝﹣2x 2+4x ﹣8＝﹣2（x ﹣1）2﹣6＜0，∴﹣3x 2+6x ﹣5＜﹣x 2+2x +3，（﹣3x 2+6x ﹣5）*（﹣x 2+2x +3）＝（﹣3x 2+6x ﹣5）﹣3（﹣x 2+2x +3）＝﹣3x 2+6x ﹣5+3x 2﹣6x ﹣9＝﹣14，∵化简后的结果与x 取值无关，∴不论x 取何值，结果都应该等于﹣14，不可能等于40，∴小华说小明计算错误．【点睛】本题考查解一元二次方程的能力和新定义的应用，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．12．（2022秋·九年级课时练习）已知方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程．（1）求a 的取值范围；（2）若该方程的一次项系数为0，求此方程的根．【答案】（1）a 1≠；（2）1x 4=-，2x 4=【分析】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可；（2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a 的值，再代入原方程，解出方程即可.【详解】解：()1化简，得()2a 1x 3ax 8a 160-+-+=．方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程，得a 10-≠，解得a 1≠，当a 1≠时，方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程；()2由一次项系数为零，得a 0=．则原方程是2x 160-+=，即2x 160-=．因式分解得()()x 4x 40+-=，解得1x 4=-，2x 4=．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程.13．（2022秋·九年级课时练习）当m 为何值时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x＝5．。
(完整版)一元二次方程知识点及其应用
一、相关知识点1．理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02=++c bx ax 才是一元二次方程。
（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程二．解法1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如n x =2或)0()(2≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2的方程的解法： 当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0<n 时，方程无实数根。
（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2)(的方程，再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为n m x =+2)(的形式； ④求解：若0≥n 时，方程的解为n m x ±-=，若0<n 时，方程无实数解。
（3）公式法：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根aac b b x 242-±-=当042>-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当042=-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为ab x x 221-==；当042<-ac b 时，方程无实数根.公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定c b a ,,的值；③代入ac b 42-中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042≥-ac b 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
一元二次方程奥数难题
一元二次方程奥数难题一元二次方程（quadratic equation）是指形式为ax²+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 都是实数，且 a 不等于 0。
一元二次方程是初等代数中的一个重要概念，也是奥数竞赛中常见的难题类型之一、在本文中，我将为你提供一个关于一元二次方程的奥数难题，并给出详细的解答。
题目如下：有一个正方形花坛，边长为x米。
在正方形花坛的四个角上，分别种植了四株玫瑰花。
为了让花坛更美观，我们希望将每两株玫瑰花之间的距离都保持为d米。
现在问题是，给定花坛的边长x，如何确定d的值，使得符合要求？请你用一元二次方程来解答。
解答：首先，我们可以根据问题描述画出正方形花坛的示意图，如下所示：A---------------BD---------------C正方形花坛的四个角分别为A、B、C、D，这四个角上分别种植了四株玫瑰花。
假设玫瑰花之间的距离为d米，我们可以绘制出每两株玫瑰花之间的连线，如下所示：A---------------BD-------O-------C在连线AD和BC的中点O处，我们可以看到一个等边三角形。
因为正方形的对角线相等，所以连线AD和BC的长度也相等，设为x米。
由于等边三角形的性质，连线AD和BC之间的距离也等于x米。
现在，我们可以看到一个由正方形ABDC和等边三角形ABO构成的直角三角形AOB。
我们可以利用勾股定理来求解这个直角三角形的边长。
根据勾股定理，我们知道a²+b²=c²，其中a、b、c分别表示直角三角形两条直角边的长度，c表示斜边的长度。
在这个问题中，直角边a和直角边b的长度分别为(x-d)/2米和d/2米，斜边c的长度为x/2米（即连线AD或BC的长度的一半）。
所以我们可以得到以下方程：((x-d)/2)²+(d/2)²=(x/2)²接下来，我们将这个方程进行展开和化简，求解一元二次方程。
九年级奥数：一元二次方程的应用
九年级奥数：一元二次方程的应用方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表，许多问题可转化为解一元二次方程，研究一元二次方程根的性质而获解，一元二次方程的应用现阶段主要有以下两个方面：1．求代数式的值；2．列二次方程解应用题．列二次方程解应用题也要经过设、列、解、答等四个步骤，解题的关键是认真审题、分析数量关系，恰当设未知数，将实际问题中内在、本质的联系抽象为数学问题，进而建立方程模型，解决问题．问题解决例1 若，则x +y 的值为____________．~例2 自然数n 满足这样的n 的个数是（ ）． 一 A ．1 8．2 C ．3 D ．4例3 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．-例4 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产28,1422=++=++x xy y y xy x 16162472)22()22(2-+--=--n n n n n n品的销售情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出x 的取值范围）；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？例5 如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，点E在下底边BC上，点F 在腰AB上．（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；：（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由．数学冲浪知识技能广场1．小萍要在一幅长90厘米、宽40厘米的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图（如图），使风景画的面积是整个挂图面积的54％．设金色纸边的宽为x 厘米，根据题意所列方程为（）．^2．某商品经过两次降价，由每件100元调至81元，则平均每次降价的百分率是（ ）． A ．8.5％ B ．9％。
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第一讲 一元二次方程及其应用
班级： 姓名： 日期：
【课前热身】
1．若关于x 的方程（x －2）（x 2
－4x ＋m ）=0有三个整数根，且这三个整数根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的值是___________，此时这个三角形是 三角形。
2．若22
2
1
.013a
a a a +=++求的值为 。
3．y =29722a a ++的最小值为 ；y =2
9722a a -++的最大值为 。
4．2
25101
x x x x x -+==-+已知，那么 ．
5．如果多项式20084222
2++++=b a b a p ，则p 的最小值是（ ） A 、2005 B 、2006 C 、2007 D 、2008
6．设2
3
2
1022010m m m m +-=++=，则
7．如果对于任意两个实数a 、b ，“*”为一种运算，定义为b a b a 2+=*，则函数42)2(2
*+*=x x y （－3≤x ≤3）的最大值与最小值的和为 ．
8. 设x 1，x 2关于x 的一元二次方程22
=++a ax x 的两个实数根，则()()122122x x x x --的最大值
为 。
【知识点链接】
1. 一元二次方程根的判别式：
关于x 的一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .
（1）ac b 42
->0⇔一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即
=2,1x .
（2）ac b 42
-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x .
（3）ac b 42
-<0⇔一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 实数根.
2． 一元二次方程根与系数的关系
若关于x 的一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，
=⋅21x x .
3.二次三项式2
(0)ax bx c a ++≠的最值问题讨论如下：
22
2
2
224()()()2424b b b b ac b ax bx c a x x c a x c a x a a a a a
-++=++=++-=++
①当0a
时， 二次三项式2
ax bx c ++在2b
a a
=-时有最大值
244ac b a - ②当0a
时，二次三项式2
ax bx c ++在2b
a a
=-时有最小值
244ac b a - 【典例精析】
例1 设实数a ，b 满足：2
2
31085100a ab b a b -++-=，求u =2
9722a b ++的最小值.
解：
例2 设ｍ是不小于－1的实数，使得关于ｘ的方程ｘ2＋2（ｍ－2）ｘ＋ｍ2
－3ｍ＋3＝0有两个不相等的实数根ｘ1，ｘ2．
（1）若ｘ12＋ｘ22
＝6，求ｍ的值；（2）求的最大值．
解：
例3 边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程2
(2)40x k x k -++=的两根，求k 的值 并确定直角三角形三边之长． 解：
【巩固练习】
1．如果方程()0012
>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ）
（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）5
2．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程2
1x =-时，突发奇想：2
1x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使2
1i =-，那么若2
1x =-,则x i =±，从而x i =±是方程2
1x =-的两个根。
据此可知：①i 可以运算，例如：3
21i
i i i i =⋅=-⨯=-，则 2011
i
= ，②方程
2220x x -+=的两根为 （根用i 表示）
3．已知方程(
)
015132832
2
2
2
=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a =___________。
4．规定符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例[][]73.13,3,663⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦
，
求：方程[]22x x -=大于3-的x 的解
解：[]222,2x x -≤∴≤；又由[]3,3x x >-∴≥-，即：[]32x -≤≤
5. 已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程2
0x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.
解：设方程2
0x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，
则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得
6．试确定，对于怎样的正整数a ，方程22
54(3)290x a x a -++-=有正整数解？并求出方程的所有正整数解．
解：将方程改写为 2
2
(6)(2)65x a x -+-=， 由于65表成两个正整数的平方和，只有两种不同的形式：2
2
2
2
651847=+=+。