二重积分的对称性计算.

二重积分积分区域的对称性

情形一：积分区域关于坐标轴对称定理4设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则1)当(即就是关于得奇函数）时，有、2)当（即就是关于得偶函数）时，有、其中就是由轴分割所得到得一半区域.例5 计算,其中为由与围成得区域。

解:如图所示，积分区域关于轴对称，且即就是关于得奇函数，由定理１有、类似地，有:定理5设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则其中就是由轴分割所得到得一半区域。

例6 计算其中为由所围。

解：如图所示,关于轴对称，并且,即被积分函数就是关于轴得偶函数，由对称性定理结论有：、定理6设二元函数在平面区域连续,且关于轴与轴都对称，则(１）当或时,有、（２)当时，有其中为由轴与轴分割所得到得1/4区域。

9例7 计算二重积分，其中: 、解：如图所示，关于轴与轴均对称，且被积分函数关于与就是偶函数,即有,由定理2，得其中就是得第一象限部分，由对称性知,，故、情形二、积分区域关于原点对称定理7 设平面区域，且关于原点对称,则当上连续函数满足１）时,有2）时，有、例8 计算二重积分，为与所围区域、解:如图所示，区域关于原点对称，对于被积函数，有,有定理7，得、情形三、积分区域关于直线对称定理8 设二元函数在平面区域连续，且,关于直线对称，则1）；、2)当时，有、3）当时,有、例9 求，为所围、解：积分区域关于直线对称，由定理8,得，故、类似地，可得:定理９设二元函数在平面区域连续,且，关于直线对称,则(１）当，则有；（2)当，则有、例10 计算,其中为区域：, 、解：如图所示，积分区域关于直线对称,且满足，由以上性质,得:、注:在进行二重积分计算时，善于观察被积函数得积分区域得特点，注意兼顾被积函数得奇偶性与积分区域得对称性，恰当地利用对称方法解题，可以避免繁琐计算,使二重积分得解答大大简化。

二重积分积分的对称性

积分的对称性:二重积分二重积分主要是看积分函数的奇偶性，如果积分区域关于X 轴对称考察被积分函数Y 的奇偶，如果为奇函数，这为0，偶函数这是其积分限一半的2倍。

如果积分区域关于y 轴对称考察被积分函数x 的奇偶.
三重积分也有奇偶性，但是有差别，要看积分区域对平面的对称性，即 xoy xoz yoz
计算确定的区域是由其中1,≤+=⎰⎰+Y X D d I D y x σ
此题便不可根据区域面积是否对称来做！积分区域D 被积函数),(y x f
1.D 关于X 轴对称，f 关于y 的奇=0；若f 关于y 是偶=2f 。

相反，则反！
2.D 关于原点对称，f 关于x,y 为奇函数=0；为偶=2f 。

计算二重积分的几种简便方法

计算二重积分的几种简便方法一、极坐标法在二维平面上，如果点P在直角坐标系中的坐标为（x，y），那么以O点为极点，OP 线段所在直线为极轴的极坐标（r，θ）满足以下关系式：x=r*cosθy=r*sinθ将函数f(x,y)转化为g(r,θ)表示，则有：根据二重积分的定义式，可以得到用极坐标表示的二重积分：∬Df(x,y)dxdy=∬g(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ其中，D为定义域，r为极径。

二、对称性法对称性法即利用函数在定义域内的对称性简化计算。

具体方法如下：1. 翻折对称：如果定义域D为一个轴对称图形，那么可以将积分区域缩小一半，只计算一侧再乘以2。

3. 奇偶性：如果函数f(x,y)满足奇偶性，即满足f(-x,y)=-f(x,-y)或f(-x,-y)=f(x,y)，则可以将定义域限定在一个象限内（通常是第一象限），依次计算再乘以4或2。

轮换对称法即利用极坐标系下的轮换对称性简化计算。

对于一个n边形，将其边每隔2π/n取一条，则这些边的边长相等，角度之和为2π，因此在极坐标系下具有轮换对称性。

具体方法如下：1. 将定义域D分成n份，每份的极角为（k-1）2π/n和k2π/n（k=1,2,...,n）。

2. 对于每份，取中心点和每条边上的一个点，计算这些点构成的区域上的积分。

3. 最后将n份的积分相加即得到原积分。

四、正交性法正交性法即根据正交性定理，将一些特殊的函数乘在被积函数上，使之变成正交函数的线性组合，从而简化计算。

常用的正交函数有勒让德多项式、柯西-斯瓦茨函数等。

1. 将f(x,y)表示为一些正交函数的线性组合。

2. 考虑在正交函数构成的正交系下计算积分。

3. 利用正交性定理，将积分转化为正交基上的系数计算，从而得到简化后的积分表达式。

五、变换法变换法即通过适当的变换将一些定义域较为复杂的积分转化为更加简单的形式。

常见的变换有参数化、奇异变换、极坐标变换等。

1. 找到适当的变换使定义域变得简单。

对称性在二重积分计算中的应用

㊀㊀㊀１２５㊀㊀对称性在二重积分计算中的应用对称性在二重积分计算中的应用Һ陈楚申１㊀廖小莲２㊀（１．湖南工业大学数学与应用数学专业１８０２班，湖南㊀株洲㊀４１２０００；２．湖南人文科技学院数学与金融学院，湖南㊀娄底㊀４１７０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ‘数学分析“是所有高校数学与应用数学专业的一门重要的基础课，二重积分是‘数学分析“的内容之一，解二重积分的常见方法是在直角坐标系或极坐标系下根据积分区域的类型将其转化为定积分后进行计算，但遇到比较复杂的积分计算或证明时，常规方法解题有局限性．我们如果能灵活运用积分区域和被积函数的对称性，那么许多积分的解题过程可以得到简化．本文着重讨论了对称性在二重积分计算中的应用，并借助实例分五种情况进行了讨论，指出了对称性解题的优点及应该注意的条件．ʌ关键词ɔ二重积分；对称性；应用ʌ基金项目ɔ湖南省普通高校教学改革研究项目（编号：湘教通２０１９２９１号Ｎｏ９２０）１㊀引㊀言二重积分是二元函数在平面区域上的积分，在‘数学分析“中占据着重要的地位，对我们学习诸如‘概率论与数理统计“等后续课程至关重要，其在几何㊁力学等多方面都有着广泛的应用．因此，灵活掌握二重积分的计算是十分必要的．我们知道，二重积分的计算是通过将该二重积分转化为定积分而实现的，但这个转化过程既要受积分区域的类型又要受被积函数的特点的约束．在直角坐标系下，我们将积分区域分为Ｘ－型区域和Ｙ－型区域，或者将区域的划分转化为Ｘ－型区域与Ｙ－型区域的和，然后再将二重积分化为先对ｙ后对ｘ和先对ｘ后对ｙ的累次积分．有时我们利用二重积分的变量变换公式，可使得被积函数简单化或积分区域简单化．除此之外，用极坐标来计算二重积分也是常见的办法．但是，有些二重积分，单纯用这些方法来计算，计算量会很大且容易出错．我们如果能够充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，有时就可达到事半功倍的效果．因此，本文对对称性在二重积分计算中的应用进行较详细的探讨，并辅以实例来分析二重积分的具体计算过程．２㊀文献综述积分学是‘数学分析“课程中的重要内容，而二重积分是积分学的重要组成部分，是学习曲线积分㊁三重积分问题的基础．许多学者对二重积分的计算的问题进行了研究，并给出了一些好的计算方法和计算技巧．张云艳在文献［１］中举例说明了积分区城的轮换对称性在积分计算中的应用，指出我们在某些复杂的积分计算过程中，若能注意并充分利用积分区域轮换对称性或被积函数的奇偶对称性，往往可以简化计算过程，提高解题的效率．马志辉在文献［２］中对对称性在积分中的应用进行了研究，文章首先阐述了对称性在多元函数积分下的性质，并借助实例对对称性在积分中的应用进行了研究，主要考虑了两种情况：一是当且仅当积分区域和被积函数都具有对称性时，我们可以利用对称性简化积分的计算，二是当积分区域和被积函数具有轮换对称性时，我们也可以利用对称性简化二重积分的计算．葛淑梅在文献［３］中通过由类比一元连续函数在对称区间上定积分的计算方法，导出二元连续函数在对称区域上二重积分的计算方法，使得对称区域上难于计算的二重积分得以简化．在原被积函数不具备奇偶性计算困难的情况下，利用积分对积分区域的可加性，将其转换为几个容易计算的二重积分来计算．景慧丽㊁屈娜在文献［４］中介绍了二重积分的计算具有较大的开放性，针对一道二重积分的题目存在许多计算方法，并且对每种方法的使用技巧及使用范围进行了说明，这可以培养学生的思维发散性．刘红梅在文献［５］中对二重积分的求解进行了研究，通过证明和推导指出二重积分在区域对称以及函数奇偶下有简便算法，并通过具体的实例进行求解进一步证明，巧妙利用二重积分的对称性质能极大地简化二重积分问题，提高求解的效率．３㊀对称性在二重积分计算中的应用利用对称性计算二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，既要考虑积分区域的对称性，又要考虑被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于某一自变量ｘ或ｙ的奇偶性，而且还要将被积函数的奇偶性与积分区域的对称性相结合进行考虑．我们如果能充分利用对称性来考虑二重积分问题，那么很多时候可以简化计算．３．１㊀平面区域Ｄ是关于ｙ轴对称的情形引理１㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于ｙ轴对称，则有如下结论：（１）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｘ为奇函数时，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝０；（２）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｘ为偶函数时，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ１是平面区域Ｄ的右半部分，即Ｄ１＝（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｘȡ０{}．例１㊀计算二重积分∬Ｄｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２ɤ２ｙ{}．解㊀因为积分域Ｄ关于ｙ轴对称，被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）是关于ｘ的奇函数，所以由对称性得∬Ｄｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝０．３．２㊀平面区域Ｄ是关于ｘ轴对称的情形引理２㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于ｘ轴对称，则有如下结论：（１）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｙ为奇函数时，即ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝０；（２）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｙ为偶函数时，即ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ２ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ２是平面区域Ｄ的上半部分，即Ｄ２＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｙȡ０｝．㊀㊀㊀㊀㊀１２６㊀例２㊀计算二重积分∬Ｄ(ｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２)ｄｘｄｙ，其中Ｄ是由直线ｘ＝１，ｙ＝ｘ与ｙ＝－ｘ所围区域．解㊀由积分对区域的可加性，有∬Ｄｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２()ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘｙ２ｄｘｄｙ＋∬Ｄｘｙｅｘ２＋ｙ２２ｄｘｄｙ．设区域Ｄ：０ɤｘɤ１，－ｘɤｙɤｘ，{区域Ｄ１：０ɤｘɤ１，０ɤｙɤｘ，{则区域Ｄ是关于ｘ轴对称的区域，且函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ２是关于ｙ的偶函数，函数ｇ（ｘ，ｙ）＝ｘｙｅｘ２＋ｙ２２是关于ｙ的奇函数，因此，由上面的引理知，∬Ｄｘｙ２ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｘｙ２ｄｘｄｙ，∬Ｄｘｙｅｘ２＋ｙ２２ｄｘｄｙ＝０，所以原二重积分∬Ｄ(ｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２)ｄｘｄｙ＝∬Ｄ１２ｘｙ２ｄｘｄｙ＝ʏ１０ｄｘʏｘ０２ｘｙ２ｄｙ＝２１５．３．３㊀平面区域Ｄ是关于ｙ轴以及ｘ轴均对称的情形引理３㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于ｙ轴以及ｘ轴均对称，则如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是偶函数，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），且ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝４∬Ｄ３ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ３是平面区域Ｄ在第一象限的部分，即Ｄ３＝（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｘȡ０，ｙȡ０{}．例３㊀计算二重积分：∬Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ，其中区域Ｄ的范围是ｘ＋ｙɤ１．解㊀区域Ｄ是关于两坐标轴都对称的区域，同时被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ＋ｙ关于变量ｘ，ｙ都是偶函数，由引理３知∬Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１为区域Ｄ中的第一象限所在的部分且Ｄ１是关于直线ｙ＝ｘ对称的，所以∬Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４ʏ１０ｄｘʏ１－ｘ０（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝４３．其中Ｄ１是平面区域Ｄ在第一象限的部分，即Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｘȡ０，ｙȡ０｝．３．４㊀平面区域Ｄ是关于原点对称的情形引理４㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于原点对称，则：（１）如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ为奇函数而关于ｙ是偶函数（或者ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ为偶函数而关于ｙ是奇函数），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＋∬Ｄ１ｆ（－ｘ，－ｙ）ｄσ＝０；（２）如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是偶函数（或者ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是奇函数），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ１为原点一侧的部分．例４㊀计算二重积分：Ｉ＝∬Ｄｘｙｄσ，其中平面区域Ｄ是由方程（ｘ２＋ｙ２）２＝２ｘｙ所确定的区域．解㊀因为区域Ｄ是关于原点对称的，且被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ关于变量ｘ为奇函数，关于变量ｙ也为奇函数，所以由引理４，有：Ｉ＝２∬Ｄ１ｘｙｄσ，其中Ｄ１为平面区域Ｄ的第一象限部分．下面利用极坐标计算此二重积分，得Ｉ＝２∬Ｄ１ｘｙｄσ＝２ʏπ２０ｃｏｓθｓｉｎθｄθʏｓｉｎ２θ０γ２ｄγ．（计算略）３．５㊀平面区域Ｄ具有轮换对称性的情形引理５㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，则：（１）如果积分区域Ｄ关于ｘ，ｙ具有轮换对称性，则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄｘｄｙ＝１２∬Ｄ（ｆ（ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｘ））ｄｘｄｙ．（２）如果区域Ｄ关于直线ｙ＝ｘ对称，则：①如果被积函数满足ｆ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｙ，ｘ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．②如果被积函数满足ｆ（ｘ，ｙ）＝－ｆ（ｙ，ｘ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０．其中Ｄ１为Ｄ位于直线ｙ＝ｘ上半部分的区域．例５㊀计算二重积分Ｉ＝∬Ｄｘ２－ｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ，其中区域Ｄ＝（ｘ，ｙ）丨ｘ＋ｙɤ１{}．解㊀因为在积分区域中ｘ与ｙ互换不影响积分结果，所以该积分具有轮换对称性，由引理５，我们可得：∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝∬Ｄｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ所以Ｉ＝∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ－∬Ｄｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ－∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝０．小结：该题巧用了积分区域的轮换性简化了计算，解题十分容易，但如果用常规方法求解，计算量很大．二重积分是‘数学分析“中积分学的重要内容之一，是学习后续课程的基础．二重积分计算的方法灵活，常常是借助直角坐标系或极坐标系，将二重积分化为定积分进行计算，但遇到比较复杂的积分计算或证明时，常规方法解题有局限性．对于被积函数或者积分区域具有某种对称性的积分计算问题，我们如果能灵活运用对称性，那么许多积分的解题过程可以化繁为简㊁化难为易，提高解题效率．ʌ参考文献ɔ［１］张云艳．轮换对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．毕节师范高等专科学校学报，２００２（０３）：９０－９２．［２］马志辉．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．高等数学研究，２０１７（０１）：１０２－１０５．［３］葛淑梅．对称区域上二重积分的简化计算方法［Ｊ］．焦作大学学报，２０１８（０１）：１０１－１０３．［４］景慧丽，屈娜．一个二重积分的计算方法探讨［Ｊ］．商丘职业技术学院学报，２０１８（０１）：７４－７６．［５］刘红梅．二重积分计算巧用对称性简化求解［Ｊ］．普洱学院学报，２０１８（０６）：４５－４７．。

二重积分的对称性计算

利用对区域
对称，而且被积函数也要对称（即对x(或y）是奇或偶函数），两者缺一都不能使用。
（1）若D对称于x轴，且f ( x , y ) f ( x , y )则
f ( x , y )d 2 f ( x , y )d . D D
1
其中D1是D位于x轴上方的部分。
（2）若D对称于x轴，且f ( x , y ) f ( x , y )则
f ( x , y )d 0. D
（3）若D对称于y轴，且f ( x, y ) f ( x, y )则
f ( x , y )d 2 f ( x , y )d . D D
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重，相互包容，相互懂得，才能走的更远。相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪，弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时，你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能善待自己和他人。一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！

利用区域对称性及函数奇偶性简化二重积分的计算归纳

利用区域对称性及函数奇偶性简化二重积分的计算归纳在计算二重积分时，我们可以利用区域的对称性和函数的奇偶性来简化计算过程。

这种方法被称为利用区域对称性及函数奇偶性简化二重积分的计算归纳。

首先，让我们熟悉一些基本概念。

对于一个区域D，我们可以将其对称分解为两个对称的子区域，其中一个是关于x轴对称的，另一个是关于y轴对称的。

这意味着，如果函数f(x,y)在D上可积，那么它在这两个子区域上也可积，并且积分值是相等的。

接下来是函数的奇偶性。

一个函数f(x,y)被称为关于x轴对称，如果对于所有的x和y，f(-x,y)=f(x,y)。

而对于关于y轴对称的函数f(x,y)，有f(x,-y)=f(x,y)。

如果一个函数既关于x轴对称又关于y轴对称，我们称其为关于原点对称。

举个例子来说明这个思路。

考虑二重积分∬_Dx^3+y^3dA，其中D是由直线x=0，y=0和x+y=1所围成的区域。

首先，我们可以观察到D关于y=x对称，因此我们只需要计算D的上半部分的积分。

接下来，我们考虑被积函数x^3+y^3、我们可以观察到该函数关于原点对称，即f(x,y)=f(-x,-y)。

因此，我们只需要计算函数在第一象限的积分，并将结果乘以4即可得到整个区域D的积分值。

对于$x\geq0$和$y\geq0$，我们可以将函数x^3+y^3改写为x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)。

我们继续观察这个新的函数x^2-xy+y^2首先，我们注意到该函数关于y=x对称。

因此，我们只需要计算第一象限中y\geq x的部分的积分，并将结果乘以2、然后，我们再考虑这个新的函数关于原点对称，将计算结果乘以2即可得到整个第一象限的积分值。

在第一象限的新函数x^2-xy+y^2中，我们可以继续观察到函数关于x=y/2对称。

因此，我们只需要计算x\geq y/2的部分的积分，并将结果乘以2继续简化表达式，我们可以将x=y/2代入x^2-xy+y^2中，得到新的积分函数3(x/2)^2、然后，我们可以将x积分限从y/2到1，将y积分限从0到1、最终，我们得到二重积分∬_D x^3+y^3 dA = 4∬_D x^3+y^3 dA = 2∫_0^1 ∫_{y/2}^1 3(x/2)^2 dxdy。

对称性在二重积分计算中的应用

对称性在二重积分计算中的应用在对称图形的积分计算中，对称性可以将积分区域划分为若干个相同或相似的子区域，从而简化积分计算。

例如，当积分区域具有关于x轴的对称性时，可以将整个积分区域划分为上下两个对称的子区域，然后只计算其中一个子区域的积分，再乘以2即可得到整个积分的结果。

同样地，对于具有关于y轴或原点对称性的积分区域，也可以利用对称性进行类似的简化。

这种方法可以大大减少计算量，并且适用于各种形式的对称图形，如关于斜线对称、关于点对称等。

另外，对称性还可以用来简化函数的积分计算。

如果被积函数具有关于一些轴的对称性，则可以将函数在整个积分区域上的积分转化为仅在一个子区域上的积分。

例如，当被积函数具有关于y轴的对称性时，可以将积分区域限定在y轴右侧的一个子区域上，然后只计算在该子区域上的积分，最后再乘以2得到整个积分的结果。

同样地，对于具有关于x轴或原点对称性的函数，也可以利用对称性进行类似的简化。

这种方法常常用于计算一些特殊函数的积分，如奇偶函数的积分等。

此外，对称性还可以通过坐标变换来进行利用。

通过适当的坐标变换，可以将原始的积分区域变换为具有对称性的新区域，在新区域上进行积分计算。

例如，当积分区域关于x轴对称时，可以利用变换u=x-y和v=x+y将原始区域变换为关于v轴对称的新区域，在新区域上进行积分计算，最后再进行恢复变换得到原始区域的积分结果。

通过这种方式，可以将积分区域的形状简化为对称的形状，从而方便进行积分计算。

在实际问题中，对称性在二重积分计算中的应用也十分广泛。

例如，在求解物体的质量、重心、转动惯量等物理量时，常常可以利用对称性简化计算过程。

又如在求解电荷分布、电场、电势等电磁问题中，对称性也可以起到重要的作用。

此外，对称性还可以用于求解微分方程的特解问题，通过对微分方程和边界条件的对称性进行分析，可以得到特殊的对称函数解，从而简化问题的求解过程。

综上所述，对称性在二重积分计算中的应用是十分广泛的。

二重积分对称公式

二重积分对称公式二重积分对称公式是微积分中的重要概念，它在解决对称区域上的积分问题时起到了关键作用。

本文将对二重积分对称公式进行详细介绍，并探讨其应用。

一、二重积分简介在微积分中，二重积分是对二元函数在某个有界区域上的积分。

它可以看作是对二元函数在该区域上的所有小面积的累加。

二重积分可以用来求解面积、质量、重心等问题，具有广泛的应用。

二、二重积分的对称公式二重积分的对称公式是指当被积函数具有一定的对称性时，可以通过对称性简化积分计算的公式。

常见的二重积分对称公式有以下几种：1. 关于x轴对称：当被积函数f(x, y)关于x轴对称时，即f(x, y) = f(x, -y)，则有以下对称公式：∬_Df(x,y)dxdy = 2∬_Df(x,y)dx dy其中D为对称区域。

2. 关于y轴对称：当被积函数f(x, y)关于y轴对称时，即f(x, y) = f(-x, y)，则有以下对称公式：∬_Df(x,y)dxdy = 2∬_Df(x,y)dx dy其中D为对称区域。

3. 关于原点对称：当被积函数f(x, y)关于原点对称时，即f(x, y) = f(-x, -y)，则有以下对称公式：∬_Df(x,y)dxdy = 4∬_Df(x,y)dx dy其中D为对称区域。

二重积分对称公式在实际问题中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 求对称区域上的面积：对称区域的面积可以通过使用二重积分对称公式来简化计算。

根据对称性，我们可以将对称区域划分为两个相同的部分，然后只计算其中一个部分的面积，最后乘以对称系数得到整个对称区域的面积。

2. 求对称区域上的重心：对称区域的重心可以通过使用二重积分对称公式来简化计算。

根据对称性，我们可以先求出对称区域上的一部分的重心，然后根据对称公式乘以对称系数得到整个对称区域的重心。

3. 求对称区域上的质量：对称区域上的质量可以通过使用二重积分对称公式来简化计算。

根据对称性，我们可以将对称区域划分为两个相同的部分，然后只计算其中一个部分的质量，最后乘以对称系数得到整个对称区域的质量。

对称区域上的二重积分的计算

对称区域上的二重积分的计算对于对称区域上的二重积分的计算，我们可以采用一些特殊的方法来简化计算过程。

在这里，我们将讨论两种常见的对称区域：关于x轴对称和关于y轴对称的情况。

首先，我们考虑对称区域关于x轴对称的情况。

设所给对称区域为D，对D进行关于x轴的镜像得到区域D'，则D和D'的交集部分为x轴上的区域。

由于D关于x轴对称，我们可以将对D的二重积分转化为对D'的二重积分，然后再将结果除以2来得到D的二重积分。

这样的处理方式可以简化计算，因为D和D'的积分范围及积分表达式是一样的。

同样地，对于对称区域关于y轴对称的情况也可以采用类似的方法。

我们将所给对称区域D进行关于y轴的镜像得到区域D'，则D和D'的交集部分为y轴上的区域。

由于D关于y轴对称，我们可以将对D的二重积分转化为对D'的二重积分，然后再将结果除以2来得到D的二重积分。

接下来，我们将利用这些方法来计算一些具体的对称区域上的二重积分。

例1：计算对称区域关于x轴对称的二重积分。

考虑对称区域D，它位于两个函数y=f(x)和y=g(x)所围成的曲边梯形的上方，且该曲边梯形与x轴的交点分别为x=a和x=b。

我们要计算函数h(x,y)在D上的二重积分。

根据上述讨论，我们可以将对D的二重积分转化为对D'的二重积分，再将结果除以2来得到D的二重积分。

D'位于两个函数关于x轴的镜像所围成的曲边梯形的下方，且该曲边梯形与x轴的交点分别为x=a和x=b。

考虑D'中的一点P(x,y)，则它与D中的点Q(x,-y)关于x轴对称。

由于h(x,y)在D'上的积分范围及积分表达式与在D上的积分范围及积分表达式是一样的，我们可以得到下面的等式：∬D h(x, y) dxdy = ∬D' h(x, -y) dxdy进一步地，我们可以得到如下等式：∬D h(x, y) dxdy = (∬D' h(x, -y) dxdy) / 2这样，我们就可以将原来关于对称区域D的二重积分转化为对称区域D'的二重积分。

二重积分的对称性

二重积分的对称性
对称性计算二重积分：当被积函数integrand是奇函数时，在对称于原点的区域内积
分为0。

被积函数或被积函数的一部分是否关於某个坐标对称，积分区间是否对称，如果
可以就可以用对称性，只用积分一半再乘以2。

性质须知：
1、被内积函数提供更多不定积分内积出的函数，虽然看看可以探讨原函数的奇偶性，但是探讨分数函数回去奇偶性时，考量的仅仅就是被内积函数。

2、有界性：设函数f（x）在区间x上有定义，如果存在m\ue0，对于一切属于区间x 上的x，恒有|f（x）|≤m，则称f（x）在区间x上有界，否则称f（x）在区间上无界。

3、单调性：设立函数f（x）的定义域为d，区间i涵盖于d。

如果对于区间上任一两点x1及x2，当x1\ucx2时，恒存有f（x1）\ucf（x2），则表示函数f（x）在区间i上
就是单调递减的。

二重积分的对称性

在函数上的对称性
偶函数对称
如果函数满足f(-x) = f(x)，则它关于y轴对称。
奇函数对称
如果函数满足f(-x) = -f(x)，则它关于原点对称。
周期函数对称
如果函数满足f(x+T) = f(x)，其中T是一个常数，则它具有周期性对称。
通过对称性简化计算
1
步骤1: 判断对称性
观察被积函数的图像或表达式，判断是否存在对称性。
二重积分的对称性
在数学中，对称性是一个重要的概念。对称性可以帮助我们简化计算，并发现隐藏在数学问题中的美。
对称性的定义
对称性是指一个对象或系统在某种变换下保持不变的性质。在数学中，我们经常研究的是几何和函数的对称性。
二重积分的对称性定理
在二重积分中，我们可以利用图像的对称性来简化计算。对称性定理告诉我们，如果被积函数具有一定的对称性，我们可以利用这种对称性来减少计算量。
对称性在二重积分中的应用
通过利用图形的对称性，我们可以将复杂的积分问题转化为简单的计算。例如，如果图形具有轴对称性或中心对称性，我们可以将积分范围缩小一半。
在平面图形上的对称性
圆形对称
圆形具有中心对称性，可以简化计算。
矩形对称
矩形具有轴对称性，可以简化计算。
六边形对称
六边形具有多条对称轴，可以利用对称性将复杂图形划分为简单部分。
2
步骤2: 将积分范围缩小
Байду номын сангаас
利用对称性将积分范围缩小至对称轴附近的部分。
3
步骤3: 简化被积函数
利用对称性简化被积函数，如利用偶函数的对称性将积分双倍。
结论和要点
1 利用对称性可以简化二重积分的计算。

1对称性在二重积分中的应用

为奇（偶）函数.
定义 2：若二元函数 f (x, y)的定义域 D 关于 x
轴对称，且满足 f (x, y) f (x, y)
（或 f (x, y) f (x, y)），则称 f (x, y) 关于y
为奇（偶）函数.
定义 3：若二元函数 f (x, y) 的定义域 D 关于
直线 y 对x称，且满足 f (x, y) f ( y，, x)
解：由 e ydxdy etdudt exdydx
x2 y2 R2
u2 t2 R2
y2 x2 R2
exdxdy x2 y2 R2
计算
(ex e y )dxdy
x2 y2 R2
解：由 e ydxdy exdxdy
x2 y2 R2
x2 y2 R2
故 (ex e y )dxdy exdxdy e ydxdy
片的质量M.
解：根据二重积分的物理意义，M e|x||y|dxdy. D
由于积分区域 D 关于x 轴，y 轴都对称，且
数关于 x, y 都是偶函数，根据推论1.1得
被积函
y
1
D
y 1 x
M e|x||y| dx d y 4 exy dx d y
D1DD1源自1 1x1 O1x
4 d x exy d y 4.
y
定理 1’
D1 D
若有界闭区域 D 关于 x 轴对称，f (x, y) O
x
在区域 D 上连续，则
f
(x,
y)
dx
d
y
0
当 f (x, y) 关于y 为奇函数时
D
2 f (x, y)dxdy
D1 当 f (x, y) 关于 y 为偶函数时

二重积分的对称性

f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
D
2 f ( x , y ) d .
D1
( 2) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 y 是奇函数，即是奇函数
f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
64 . 15
157 页 2（3）
y
y 1 x
( 3)
解
x y e d , D : x y 1. D
1
y 1 x
e
D
x y
d
×
2 e
D1
x y
d
1
y x 1
o D1 1
1
x
y x 1
157 页 2（3）
y
y 1 x
( 3)
利用对称性化简二重积分计算
使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标轴的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于坐标轴的奇偶性．
二重积分的对称性：
1、积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，则：
(1) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 y y 是偶函数是偶函数，即
0 2 x 1 1 1
0
x 1
x y
1
x 1 x y e e dy x 1
e )dx 0 (e e 2 x 1 )dx
e e 1 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二重积分的对称性的5种情形：
1、当积分区域关于X轴对称，被积函数关于Y为偶函数，则二倍关系。被积函数关于Y为奇函数，则为零。

二重积分的对称性计算

二重积分的对称性计算1.关于x轴对称：如果函数f(x,y)在以x轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(x, -y) dxdy通过对称轴的改变，积分结果不会改变。

2.关于y轴对称：如果函数f(x,y)在以y轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(-x, y) dxdy同样地，通过对称轴的改变，积分结果不会改变。

3.极坐标对称：如果函数f(r,θ)在以极轴（θ=0或θ=π）为对称轴的极坐标区域D上连续，则有：∬D f(r, θ) rdrdθ = ∬D f(r, -θ) rdrdθ通过极坐标的对称性，可以简化求解一些区域的积分。

4.直角坐标轴对称：如果函数f(x,y)在以直角坐标轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(-x, y) dxdy = ∬D f(x, -y) dxdy = ∬D f(-x, -y) dxdy通过直角坐标轴的对称性，可以简化计算积分。

5.奇偶函数对称：如果函数f(x,y)在区域D上连续，且满足：f(-x,y)=-f(x,y)，称之为关于x轴的奇函数；f(x,-y)=-f(x,y)，称之为关于y轴的奇函数；f(-x,-y)=f(x,y)，称之为关于原点的偶函数。

对于奇函数∬D f(x, y) dxdy = 0对于偶函数，有：∬D f(x, y) dxdy = 2∬R f(x, y) dxdy其中，R是D在第一象限的对称区域。

通过奇偶函数对称性，可以将积分范围缩小到对称区域，从而简化计算。

除了以上的对称性，还有一些特殊的积分对称性，例如平移对称、旋转对称等。

这些对称性的应用能够大大简化二重积分的计算过程，提高计算效率。

总结起来，二重积分的对称性计算是通过改变积分区域或者改变函数本身的形式，使得积分结果保持不变。

在具体计算的过程中，可以利用对称性将积分范围缩小，从而简化计算。

简述巧用二重积分的对称性作计算简化

简述巧用二重积分的对称性作计算简化
二重積分计算时，根据题目中的条件，充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果.本文结合实例探讨二重积分的对称性的条件，结论和技巧.
1 二重积分的对称性基本性质运用
4 结束语
计算二重积分是高等数学教学中的重要内容，利用二重积分积分区域的对称性以及被积函数的奇偶性，往往能减少计算量. 需注意的是，只有具备积分域的对称性与被积函数的奇偶性两个条件才能使用对称性的结论。

参考文献
[1] 吴传生主编.《经济数学——微积分》[M].高等教育出版社.2003.06：346-368
[2] 吴赣昌主编.《微积分（下册）》学习辅导与习题解答[M].中国人民大学出版社2010.09：54-55
[3]薛春荣，王芳.对称性在定积分及二重积分计算中的应用[J].科学技术与工程，2010.10（1）：172-174。

二重积分的对称性

jj f (x,y)d“ = I 2JJ/(x,y)db,如果/(x,y)在D上关于x为偶函数.
D
[ Di
弋HEFEI insiVhJtSITY OF TEC HNOLCMiY
/高等数学
例 1 设区域D : x + y < 1,求JJ(x3y2 + y3 sin2 x) do.
解如图，
D
H
且由于区域D关于yJ轴J对x3称y2，do = x3y2关于x为奇函数，故 1 D
| F3j
言笙劫当
二、二重积分的轮换对称性
二重积分的轮换对称性可视为从f bf (x)dx = fb f (t)dt引伸过来.
a
a

ff f ( x, y ) dxdy = ff f (u, v) dudv.
Dxy
Duv
ff f ( y,x) =dxdy
D
D dydx)
与。仍其中
为区域
D
关于直线/ = x的对称区域.
冬比.
久*
HEFEI inMIVBRSITY OF TFC HNCMXMiY
二重积分的对称性
/高等数学
冬比.
/高等数学
久二重积分的对称性包括奇偶对称性和抡换对称性. 一*、二重积分的奇偶对称性
HEFEI inMIVBRSITY OF TFC HNCMXXiY
二重积分的奇偶对称性可视为从定积分的奇偶对称性引伸过来的.
/高等数学
冬比.
设。定理(二重积分的轮换对称性) f(X,7)在有界闭区域上连
久*
为关』续, D HEFEIinMIVBRSITY OF TFC HNCMXXiY
D
于直线

二重积分积分区域的对称性

情况一：积分地区 D 对于坐标轴对称定理 4 设二元函数 f ( x, y) 在平面地区 D 连续，且 D 对于 x 轴对称，则1) 当f (x,y) f ( x, y) （即 f (x, y)是对于 y 的奇函数）时，有f( x , y ) dxdy0.D2) 当f ( x,y) f ( x, y) （即 f ( x, y) 是对于 y 的偶函数）时，有f ( x , y ) dxdy2 f ( x , y ) dxdy.D D1此中 D1是由 x 轴切割D所获得的一半地区。

例5 计算I( xy y 3 )dxdy，此中 D 为由y22x 与x 2 围成的地区。

D解：如下图，积分地区 D 对于 x 轴对称，且 f ( x, y)( xy y3 )f ( x, y )即 f (x, y) 是对于y的奇函数，由定理1有 f ( xy y 3 ) dxdy0 .D近似地，有：定理 5设二元函数 f ( x, y) 在平面地区 D 连续，且 D 对于 y 轴对称，则2 f ( x , y ) dxdy, 当 f ( x, y ) f ( x , y ).f ( x , y ) dxdy D 2D0,当 f ( x, y ) f ( x , y ).此中 D2是由y轴切割D所获得的一半地区。

例6计算I x 2 ydxdy , 此中 D 为由 y 2 x 2; y -2 x 2 及 y0 所围。

D解：如下图， D 对于 y 轴对称，而且 f ( x, y ) x 2 y f ( x , y ) ，即被积分函数是关于 x 轴的偶函数，由对称性定理结论有：I x 2 ydxdy 2 x 21 2 x 22 ydxdy 2 .ydxdy2 dx x0015D D 1定理 6设二元函数 f ( x, y) 在平面地区 D 连续，且D 对于 x 轴和 y 轴都对称，则（1）当 f ( x , y) f ( x , y ) 或 f ( x , y ) f ( x , y ) 时，有f ( x , y ) dxdy0 .D（2）当f ( x , y ) f ( x ,y ) f ( x , y ) 时,有f ( x , y ) dxdy4 f ( x ,y ) dxdyD D 1此中 D1为由 x 轴和y轴切割D所的到的1/4地区。

二重积分■f(x,y)dxdy的对称性计算技巧

二重积分■f(x,y)dxdy的对称性计算技巧
二重积分是数学中一个重要的概念，它是指在一个二维平面上，将一个函数分解为两个独立的变量，通过不断积分来计算出函数的定义域。

在计算二重积分时，有一种特殊的技巧，即对称性计算技巧。

对称性计算技巧是指，当二重积分的定义域是对称的，即它的边界是对称的，我们可以利用它的对称性来提高计算效率。

例如，假设f(x,y)dxdy的定义域是以原点为中心，垂直于x轴和y轴的正方形，此时，我们可以利用它的对称性，将它分解为四个独立的定义域，分别是以原点为中心，垂直于x轴和y轴的两个半正方形，然后将它们的积分值相加，就可以得到f(x,y)dxdy的积分值。

因此，对称性计算技巧是一种有效的技巧，可以帮助我们提高计算效率，节省时间。

然而，我们也必须注意，这种技巧只适用于定义域是对称的情况，如果定义域不是对称的，我们就不能使用这种技巧。

因此，在使用对称性计算技巧时，我们需要仔细分析定义域，以确保它是对称的。

二重积分积分区域关于y轴对称

二重积分积分区域关于y轴对称
二重积分是高等数学中的一个重要概念，它是对二元函数在一个有限区域内的积分运算。

在二重积分中，积分区域的对称性是一个非常重要的性质，其中以关于y轴对称的积分区域为例，下面我们来详细介绍一下。

我们需要了解什么是对称性。

对称性是指在某种变换下，物体或者图形的形状、大小、位置等性质不变。

在数学中，对称性是指在某种变换下，函数的值不变。

在二重积分中，积分区域的对称性是指在某种变换下，积分区域的形状、大小、位置等性质不变。

以关于y轴对称的积分区域为例，我们可以通过以下两种方法来计算二重积分：
方法一：利用对称性
由于积分区域关于y轴对称，因此我们可以将积分区域分成两个对称的部分，然后只计算其中一个部分的积分值，最后将结果乘以2即可得到整个积分区域的积分值。

方法二：利用变量代换
我们可以通过变量代换的方法将积分区域变换成一个关于x轴对称的区域，然后再进行积分计算。

具体来说，我们可以令x=-u，然后将积分区域变换成一个关于u轴对称的区域，最后再进行积分计算。

无论是哪种方法，都可以有效地利用积分区域的对称性来简化计算过程，提高计算效率。

因此，在进行二重积分计算时，我们应该充分利用积分区域的对称性，以便更加高效地完成计算任务。

二重积分是高等数学中的一个重要概念，积分区域的对称性是其中一个非常重要的性质。

以关于y轴对称的积分区域为例，我们可以通过对称性和变量代换两种方法来计算二重积分，从而提高计算效率。

在实际应用中，我们应该充分利用积分区域的对称性，以便更加高效地完成计算任务。

二重积分积分区域的对称性

二重积分积分区域的对称性Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】情形一：积分区域D 关于坐标轴对称定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴对称，则1)当(,)(,)f x y f x y -=-（即(,)f x y 是关于y 的奇函数）时，有(,)0Df x y dxdy =⎰⎰ .2)当(,)(,)f x y f x y -=（即(,)f x y 是关于y 的偶函数）时，有1(,)2(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰ . 其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。

例5 计算3()DI xy y dxdy =+⎰⎰，其中D 为由22y x =与2x =围成的区域。

解：如图所示，积分区域D 关于x 轴对称，且3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=- 即(,)f x y 是关于y 的奇函数，由定理1有3()0D f xy y dxdy +=⎰⎰.类似地，有：定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于y 轴对称，则其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。

例6 计算2,DI x ydxdy =⎰⎰其中D 为由22;-220y x y x y =+=+=及所围。

解：如图所示，D 关于y 轴对称，并且2(,)(,)f x y x y f x y -==，即被积分函数是关于x 轴的偶函数，由对称性定理结论有：11222220022215x D D I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+====⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 定理6 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴和y 轴都对称，则（1）当(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-时，有(,)0D f x y dxdy =⎰⎰ .（2）当(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=时,有其中1D 为由x 轴和y 轴分割D 所的到的1/4区域。