初二数学全等三角形倍长中线法

第四题
如图，AD为△ABC的中线，DE平分∠DBA交AB于E，DF平分∠ADC交AC于F.求证：BE+CF＞EF
答案
解：
证明：延长ED到H，使DE=DH，连接CH，FH，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线，
∴∠1=∠4=12∠ADB，∠3=∠5= 12∠ADC，
第二题
已知:在 中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且 ,延长BE交AC于F,求证: .
证明:如图,延长AD到点G,使得 ,连接BG.
是BC边上的中线(已知),
,
在 和 中,
,
,
又 ,
,
,
,
,
即: ,
.
解析:
根据点D是BC的中点,延长AD到点G,得到 ,利用全等三角形的对应角相等,对应边相等进行等量代换,得到 中的两个角相等,然后用等角对等边证明AE等于EF.
∴∠1+∠3=∠4+∠5= 12∠ADB+ 12∠ADC= 12×180°=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠3+∠2=90°，
即∠EDF=∠FDH，
在△EFD和△HFD中，
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩DE＝DH∠FDE＝∠FDHDF＝DF，
∴△EFD≌△HFD，
∴EF=FH，
在△BDE和△CDH中，
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩DE＝DH∠1＝∠2BD＝DC，
第三题
如图，已知△ABC中，D、E是BC上的两点，且BD＝CE，求证：AB＋AC＞AD＋AE．
解析
证明：设
BC的中点为M，连AM并延长wk.baidu.comN，使AM＝MN，连BN、DN，则
∵
M是BC中点，
∴
BM＝MC．
在△
AMC和△NMB中，
AM＝MN，∠AMC＝∠NMB，CM＝MB，
∴△
AMC≌△NMB．
∴
BN＝AC．
同理△
AME≌△NBD，
∴
AE＝DN．
延长
AD交BN于F点，则
∵
AB＋BF＞AD＋DF，且FN＋DF＞DN，
∴
AB＋BF＋FN＋DF＞AD＋DF＋DN．
∴
AB＋BN＞AD＋DN．
即
AB＋AC＞AD＋AE．
提示：
点悟：结论中的四条线段都共点于
A，没有相应的结论或定理使用，只有利用三角形中的不等关系来证明．故设法构造基本图形．
∴△BDE≌△CDH，
∴BE=CH，
在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH，
∵CH=BE，FH=EF，
∴BE+CF＞EF．
故答案为：
略.
解析
延长ED到H，使DE=DH，连接CH，FH，证△EFD≌△HFD，推出EF=FH，证△BDE≌△CDH，推出BE=CH，在△CFH中，由三角形三边关系定理得出CF+CH＞FH，代入求出即可．
第一题
如图15所示，在 中，AD为BC边上的中线，试比较AB+AC与2AD的关系。
答案详解
AB+AC>2AD
解析:
证明：在AD的延长线上取点E，使AD＝ED，连接CE ∵AD是BC边上的中线∴BD＝CD ∵AD＝ED，∠ADB＝∠EDC ∴△ADB≌△EDC（SAS）∴CE＝AB ∵在△ACE中：CE+AC＞AE ∴AB+AC＞AE ∵AE＝AD+ED＝2AD ∴AB+AC＞2AD
本题考查的是全等三角形的判定与性质,根据题意作辅助线得到全等三角形,利用全等三角形的性质,得到对应的角相等,然后证明两线段相等.
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已知:在 中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且 ,延长BE交AC于F,求证: .
证明:如图,延长AD到点G,使得 ,连接BG.
是BC边上的中线(已知),
,
在 和 中,
,
,
又 ,
,
,
,
,
即: ,
.
解析:
根据点D是BC的中点,延长AD到点G,得到 ,利用全等三角形的对应角相等,对应边相等进行等量代换,得到 中的两个角相等,然后用等角对等边证明AE等于EF.
本题考查的是全等三角形的判定与性质,根据题意作辅助线得到全等三角形,利用全等三角形的性质,得到对应的角相等,然后证明两线段相等.
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，解答本题的关键是通过添加辅助性构造出全等三角形，题目比较好，但是有一定的难度．