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四川省成都市高二上学期期末数学试卷(理科)

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2023-2024学年四川省成都市校级联考高二(上)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年四川省成都市校级联考高二(上)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年四川省成都市校级联考高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量a =(1,1,2),b =(−3,2,0)，则a +b 在a 上的投影向量为( )A. (32,32,322) B. (1510, 1510, 3010)C. (34,34,3 24) D. (−25,35, 25)2.平面直角坐标系内，与点A(1,1)的距离为1且与圆(x−1)2+(y−4)2=4相切的直线有( )A. 4条B. 3条C. 2条D. 0条3.设−A 、−B 分别是事件A 、B 的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列结论不正确的是( )A. P(A)+P(−A )=1B. 若A 、B 是互斥事件，则P(A ∩B)=P(A)P(B)C. P(A ∪−A )=1D. 若A 、B 是独立事件，则P(A ∩B)=P(A)P(B)4.如图，在平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°，则AC1⋅BD 1=( )A. 12B. 1C. 32D. 25.在样本频率分布直方图中共有9个小矩形，若其中1个小矩形的面积等于其他8个小矩形面积和的25，且样本容量为210，则该组的频数为( )A. 28B. 40C. 56D. 606.已知双曲线C ：x 22−y 24=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作其中一条渐近线的垂线，垂足为P ，则|P F 2|为( )A.3B. 23C. 2D. 47.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，其上有两点A ，B ，若AB 的中点为M ，满足MF 的斜率等于1，则|BF|的最大值是( )A. 7B. 8C. 5+23D. 108.半径为R 的光滑半球形碗中放置着4个半径为r 的质量相同的小球，且小球的球心在同一水平面上，今将另一个完全相同的小球至于其上方，若小球不滑动，则Rr 的最大值是( )A. 25+1B. 27+1C. 211+1D. 213+1二、多选题：本题共4小题，共20分。

四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末复习数学试题(三)含解析

四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末复习数学试题(三)含解析

成都高2025届高二期末考试数学复习试题（三）（答案在最后）一、单选题（共8个小题，每个小题5分，共40分）1.设直线l sin 20y θ++=，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.[)0,πB.πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C.π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U 【答案】D 【解析】【分析】根据直线斜率的范围求倾斜角的取值范围.sin 20y θ++=的倾斜角为[)0πa a Î，，，则由直线可得tan a q =Î，所以π2π0,,π33a 轾轹÷Î犏÷犏臌滕，故选：D2.能够使得圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0上恰有两个点到直线2x ＋y ＋c ＝0距离等于1的c 的一个值为()A.2B.C.3D.【答案】C 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离大于1且小于3，列不等式求解即可.【详解】由圆的标准方程()()22124x y -++=，可得圆心为()1,2-，半径为2，根据圆的性质可知，当圆心到直线的距离大于1且小于3时，圆上有两点到直线20x y c ++=的距离为1，由()1,3d =可得(c ∈-⋃，经验证，3c =∈，符合题意，故选C.【点睛】本题主要考查圆的标准方程，点到直线距离公式的距离公式以及圆的几何性质，意在考查数形结合思想的应用，属于中档题.3.若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的）A.221129x y +=B.221129x y +=或221912x y +=C.2213612x y += D.以上都不对【答案】B 【解析】【分析】由短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形可得b =，由焦点到椭圆上点的最短距离为a c -，结合222a b c =+可得.【详解】由题意，当椭圆焦点在x 轴上，设椭圆方程为：22221x ya b+=，由题意b =，a c -=所以2a c ===，c =a =，3b =，所以椭圆方程为：221129x y +=，当椭圆焦点在y 轴上时，同理可得：221912x y+=，故选：B4.某市经济开发区的经济发展取得阶段性成效，为深入了解该区的发展情况，现对该区两企业进行连续11个月的调研，得到两企业这11个月利润增长指数折线图（如下图所示），下列说法正确的是（）A.这11个月甲企业月利润增长指数的平均数没超过82%B.这11个月的乙企业月利润增长指数的第70百分位数小于82%C.这11个月的甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定D.在这11个月中任选2个月，则这2个月乙企业月利润增长指数都小于82%的概率为411【答案】C 【解析】【分析】根据折线图估算AC ，对于B 项把月利润增长指数从小到大排列，计算1170⨯%=7.7可求,对于D 项用古典概型的概率解决.【详解】显然甲企业大部分月份位于82%以上，故利润增长均数大于82%，A 不正确；乙企业润增长指数按从小到大排列分别是第2，1，3，4，8，5，6，7，9，11，10又因为1170⨯%=7.7,所以从小到大排列的第8个月份，即7月份是第70百分位，从折线图可知，7月份利润增长均数大于82%，故B 错误；观察折现图发现甲企业的数据更集中，所以甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定，故C 正确；P （2个月乙企业月利润增长指数都小于82%）26211C 3C 11==，故D 错误.故选：C.5.已知空间三点(4,1,9),(10,1,6),(2,4,3)A B C -，则下列结论不正确的是（）A.||||AB AC =B.点(8,2,0)P 在平面ABC 内C.AB AC ⊥D.若2AB CD =，则D 的坐标为31,5,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据空间两点距离公式判断A ，根据数量积的坐标运算判断B ，根据共面向量基本定理判断C ，根据向量的坐标运算判断D.【详解】因为||7AB ==，||7AC ==，故A 正确；因为(6,2,3)(2,3,6)126180AB AC →→⋅=--⋅--=--+=，所以AB AC ⊥，故C 正确;因为(6,2,3),(2,3,6)AB AC →→=--=--，(4,1,9)AP →=-，所以(4,1,9)AP AB AC →→→=+=-，所以点(8,2,0)P 在平面ABC 内，故B 正确；因为92(1,9,))(62(22,31,8,,),92AB CD ==------=-- ，显然不成立，故D 错误.故选：D6.已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误得数据进行更正后，重新求得样本的平均数为X ，方差为2s ，则（）A.270,75X sB.270,75X s ><C.270,75X s =>D.270,75X s =<【答案】D 【解析】【分析】根据平均数与方差的定义判断．【详解】因为80706090+=+，因此平均数不变，即70X =，设其他48个数据依次为1248,,,a a a ，因此()()()()()222221248707070607090705075a a a -+-++-+-+-=⨯ ，()()()()()22222212487070708070707050a a a s -+-++-+-+-=⨯ ，()250751004001004000s -=--=-<，∴275s <，故选：D ．7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACBC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（）A.4B.4C.5D.5【答案】C 【解析】【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥，所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =.如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ，则()3,0,0CB = ，()0,4,2CP = ，()13,0,3BC =-.设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =，则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量.设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ，则11110sin cos ,5n BC n BC n BC θ⋅=<>==⋅.故选：C.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅ （其中AB 为平面α的斜线，n为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.8.已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221412x y -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过F 2的直线与双曲线C的右支交于A ，B 两点（其中点A 在第一象限），设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则ME NE -的取值范围是（）A.44,33⎛⎫-⎪⎝⎭B.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.3333,55⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭ D.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】利用平面几何和内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，根据θ∈(60∘,90∘]，将ME NE -表示为θ的三角函数可求得范围.【详解】解：设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ，则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ，∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a.设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=，得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合.同理可得12BF F △的内心在直线JM 上，设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan 22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ，当2πθ=时，||||0ME NE -=；当2πθ≠时，由题知，2,4,===b a c a，因为A ，B 两点在双曲线的右支上，∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan θ<tan θ>，∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠，∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ.故选：B.二、多选题（共4个小题，每个小题5分，共20分）9.已知甲罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙罐中有四个相同的小球，标号为1，4，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件B =“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（）A.事件A 与事件B 是互斥事件B.事件A 与事件B 不是对立事件C.事件A B ⋃发生的概率为1920D.事件A 与事件B 是相互独立事件【答案】ABC 【解析】【分析】由两球编号写出事件,A B 所含有的基本事件，同时得出所有的基本事件，然后根据互斥事件、对立事件的定义判断AB ，求出A B ⋃的概率判断C ，由公式()()()P AB P A P B =判断D ．【详解】甲罐中小球编号在前，乙罐中小球编号在后，表示一个基本事件，事件A 含有的基本事件有：16,25,26,34,35,36,44,45,46,54,55,56，共12个，事件B 含有的基本事件有：11,14,15,21,31,41,51，共7个，两者不可能同时发生，它们互斥，A 正确；基本事件15发生时，事件,A B 均不发生，不对立，B 正确；事件A B ⋃中含有19个基本事件，由以上分析知共有基本事件20个，因此19()20P A B =，C 正确；123()205P A ==，7()20P B =，()0P AB =()()P A P B ≠，,A B 不相互独立，D 错．故选：ABC ．10.在如图所示试验装置中，两个长方形框架ABCD 与ABEF 全等，1AB =，2BC BE ==，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子,M N 分别在长方形对角线AC 与BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列说法正确的是（）A.AB MN⊥ B.MN 2C.当MN 的长最小时，平面MNA 与平面MNB 所成夹角的余弦值为13D .()25215M ABN a V-=【答案】ABC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量数量积的运算即可判断选项A ；利用空间两点间距离公式即可判断选项B ；根据二面角的余弦值推导即可判断选项C ；根据棱锥的体积计算公式即可判断选项D .【详解】由题意可知：,,BA BC BE 两两互相垂直，以点B 为坐标原点，,,BA BE BC为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系，建系可得525525,0,2,,,05555a a a a M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()25250,,2,1,0,055a a MN BA ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭，0,AB MN AB MN ∴⋅=∴⊥，故选项A 正确；又MN===∴当2a=时，min||MN=，故选项B正确；当MN最小时，,,2a M N=分别是,AC BF的中点，取MN中点K，连接AK和BK，,AM AN BM BN==，,AK MN BK MN∴⊥⊥，AKB∠∴是二面角A MN B--的平面角.BMN中，,2BM BN MN===，可得2BK==，同理可得2AK=，由余弦定理可得331144cos322AKB∠+-==，故选项C 正确；2125252522365515M ABN ABNa aV S h-⎛⎫-=⨯⨯=⨯-=⎪⎪⎝⎭，故选项D错误.故选：ABC.11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C y x O=为坐标原点，一束平行于x轴的光线1l从点41,116P⎛⎫⎪⎝⎭射入，经过C上的点()11,A x y反射后，再经C上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（）A.PB 平分ABQ ∠B.121y y =-C.延长AO 交直线14x =-于点D ，则,,D B Q 三点共线D.2516AB =【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，根据题意求得()1,1A ，11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而证得PA AB =，结合平面几何的知识易得PB 平分ABQ ∠；对于B ，直接代入12,y y 即可得到1214y y =-；对于C ，结合题意求得11,44D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由,,D B Q 的纵坐标相同得,,D B Q 三点共线；对于D ，由选项A 可知2516AB =.【详解】根据题意，由2:C y x =得1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，又由//PA x 轴，得()1,1A x ，代入2:C y x =得11x =（负值舍去），则()1,1A ，所以141314AF k ==-，故直线AF 为4134y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即4310x y --=，依题意知AB 经过抛物线焦点F ，故联立24310x y y x --=⎧⎨=⎩，解得11614x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，对于A ，412511616PA =-=，2516AB =，故PA AB =，所以APB ABP ∠=∠，又因为//PA x 轴，//BQ x 轴，所以//PA BQ ，故APB PBQ =∠∠，所以ABP PBQ ∠=∠，则PB 平分ABQ ∠，故A 正确；对于B ，因为12141,y y =-=，故1214y y =-，故B 错误；对于C ，易得AO 的方程为y x =，联立14y x x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故11,44D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又//BQ x 轴，所以,,D B Q 三点的纵坐标都相同，则,,D B Q 三点共线，故C 正确；对于D ，由选项A 知2516AB =，故D 正确.故选：ACD..12.己知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<的左，右焦点分别为1F ，2F ，圆22:(2)1M x y +-=，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆M 上，则下列说法正确的有（）A.若椭圆C 和圆M 没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是2,1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.若1b =，则||PQ 的最大值为4C.若存在点P 使得213PF PF =，则0b <≤D.若存在点Q使得12QF =，则1b =【答案】ACD 【解析】【分析】A 根据已知，数形结合得01b <<时椭圆C 和圆M 没有交点，进而求离心率范围；B 令(,)P x y ，求得||MP =，结合椭圆有界性得max ||MP =即可判断；C 由题设123,1PF PF ==，令(,)P x y，进而得到((222291x y x y⎧++=⎪⎨⎪-+=⎩，结合点在椭圆上得到公共解(0,2]x =求范围；D将问题化为圆心为的圆与圆22:(2)1M x y +-=有交点.【详解】由椭圆C 中2a =，圆M 中圆心(0,2)M ，半径为1，如下图示，A ：由于02b <<，由图知：当01b <<时椭圆C 和圆M 没有交点，此时离心率,12e ⎛⎫⎪ ⎪⎝==⎭，对；B ：当1b =时，令(,)P x y，则||MP =，而224(1)x y =-，所以||MP =，又11y -≤≤，故max ||MP =所以||PQ1+，错；C ：由1224PF PF a +==，若213PF PF =，则123,1PF PF ==，由12(F F ，令(,)P x y ，且2221)(4x y b =-，则((222291x y x y⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，即2222(4)200(4)120b x b x ⎧-+-=⎪⎨--+=⎪⎩，所以(0,2]x =，则23b ≤，且02b <<，故0b <≤D ：令(,)Q x y，若12QF =，所以2222(3[(]x y x y +=-+，则222(4)0x b y -+-+=，所以222(3(4)x y b -+=-，Q轨迹是圆心为的圆，而(0,2)M与的距离为，要使点Q 存在，则1|1-≤≤，可得22(1)0b -≤，且02b <<，即1b =，对；故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于C ，根据已知得到123,1PF PF ==，设(,)P x y ，利用两点距离公式得到方程组，求出公共解(0,2]x =为关键；对于D ，问题化为圆心为的圆与圆22:(2)1M x y +-=有交点为关键.三、填空题（共4个小题，每个小题5分，共20分）13.若直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行，则这两条平行线之间的距离是__．【答案】322【解析】【分析】由题意结合直线平行的性质可得2m =-，再由平行线间的距离公式即可得解.【详解】 直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行，∴2(1)4111m m +-=≠-，解得2m =-，故直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=即为直线10x y +-=与直线20x y ++=，2=，故答案为：2．【点睛】本题考查了直线平行性质的应用，考查了平行线间距离公式的应用，属于基础题.14.曲线1y =+与直线l ：y ＝k （x －2）＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是________．【答案】53124，纟çúçú棼【解析】【分析】首先画出曲线表示的半圆，再判断直线l 是过定点()24，的直线，利用数形结合判断k 的取值范围.【详解】直线l 过点A （2，4），又曲线1y =+0，1）为圆心，2为半径的半圆，如图，当直线l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线l 的距离d ＝r，2=，解得512k =.当直线l 过点B （－2，1）时，直线l 的斜率为()413224-=--，则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的取值范围为53124，纟çúçú棼.故答案为：53124，纟çúçú棼15.数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计结果如下：甲同学：中位数为3，方差为2.8；乙同学：平均数为3.4，方差为1.04；丙同学：中位数为3，众数为3；丁同学：平均数为3，中位数为2.根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是______同学.【答案】乙【解析】【分析】假设出现6点，利用特例法，结合平均数和方差的计算公式，即可求解.【详解】对于甲同学，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：()11233635x =++++＝，方差为()()()()()22222211323333363 2.85S ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦＝＝，可以出现点数6；对于乙同学，若平均数为3.4，且出现点数6，则方差221(6 3.4) 1.352 1.045S >-=>，所以当平均数为3.4，方差为1.04时，一定不会出现点数6；对于丙同学，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，众数为3，可以出现点数6；对于丁同学，当投掷骰子出现的结果为2,2,2,3,6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6.综上，根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是乙同学.故答案为：乙16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为e ，点P 在椭圆上，连接1PF 并延长交C 于点Q ，连接2QF ，若存在点P 使2PQ QF =成立，则2e 的取值范围为___________.【答案】)11,1⎡-⎣【解析】【分析】设11,QF m PF n ==，所以存在点P 使2PQ QF =等价于()2min0,PQ QF -≤由2112am n b +=可求222PQ QF m n a -=+-的最小值，求得22b a的范围，从而得到2e 的取值范围.【详解】设11,QF m PF n ==，则22QF a m =-.显然当P 靠近右顶点时，2PQ QF >，所以存在点P 使2PQ QF =等价于()22min0,22PQ QF PQ QF m n a -≤-=+-，在12PF F △中由余弦定理得22221121122cos PF PF F F PF F F θ=+-⋅⋅，即()2222422cos a n n c n c θ-=+-⋅⋅，解得2cos b n a c θ=-，同理可得2cos b m a c θ=+，所以2112a m n b +=，所以()(2223112223222b b b n m m n m n a m n a m n a +⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以22min1)(22)22b m n a a a++-=-，当且仅当n =时等号成立.由221)202b a a+-≤得2212b a ≤-，所以2111e -≤<.故答案为：)11,1⎡-⎣【点睛】关键点点睛：求离心率范围关键是建立,,a b c 的不等式，此时将问题转化为()2min0PQ QF -≤，从而只需求222PQ QF m n a -=+-的最小值，求最小值的方法是结合焦半径性质211112aPF QF b+=使用基本不等式求解.四、解答题（共7个题，17题10分，18题—22题每题12分，共70分）17.在平面直角坐标系xOy 中，存在四点()0,1A ，()7,0B ，()4,9C ，()1,3D .（1）求过A ，B ，C 三点的圆M 的方程，并判断D 点与圆M 的位置关系；（2）若过D 点的直线l 被圆M 截得的弦长为8，求直线l 的方程.【答案】（1）228870x y x y +--+=，D 在圆M 内；（2）43130x y +-=或1x =.【解析】【分析】（1）设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程，把D 坐标代入圆的方程判定位置关系即可；（2）对直线分类讨论，设出直线方程，利用直线与圆相交，已知弦长求直线方程.【小问1详解】设圆M 方程为220x y Dx Ey F ++++=，把A ，B ，C 三点坐标代入可得：10,4970,1681490,E F D F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩解得8D =-，8E =-，7F =，所以圆M 方程是228870x y x y +--+=,把D 点坐标代入可得：1982470+--+<，故D 在圆M 内；【小问2详解】由（1）可知圆M ：()()224425x y -+-=，则圆心()4,4M ，半径=5r ，由题意可知圆心到直线l 的距离是3，当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为：()1330y k x kx y k =-+⇒-+-=，3=，解得43k =-，故直线l 的方程为43130x y +-=；当直线l 斜率不存在时，则直线l 方程为：1x =，此时圆心到直线l 的距离是3，符合题意.综上所述，直线l 的方程为43130x y +-=或1x =.18.我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛．为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组[50，60）80.16第2组[60，70）a ▓第3组[70，80）200.40第4组[80，90）▓0.08第5组[90，100]2b 合计▓▓（1）求出a ，b ，x ，y 的值；（2）在选取的样本中，从成绩是80分以上的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）．【答案】（1）a ＝16，b ＝0.04，x ＝0.032，y ＝0.004（2）35（3）中位数为70.5，平均数为70.2，方差为96.96【解析】【分析】（1）利用频率＝100%⨯频数样本容量，及频率组距表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a ，b ，x ，y ；（2）由（2）可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出．（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差．【小问1详解】由题意可知，样本容量n ＝8500.16=，∴b ＝250＝0.04，第四组的频数＝50×0.08＝4，∴508202416a ＝----＝.y ＝0.0410＝0.004，x ＝1650×110＝0.032．∴a ＝16，b ＝0.04，x ＝0.032，y ＝0.004．【小问2详解】由题意可知，第4组共有4人，记为A ，B ，C ，D ，第5组共有2人，记为X ，Y ．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY ，共15种情况．设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ，有AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY 共9种情况．所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P （E ）＝93155=．∴随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35．【小问3详解】∵[50，70）的频率为：0.160.320.48+＝，[70，80）的频率为0.4，∴中位数为：0.50.48701070.50.4-+⨯=，平均数为：550.16650.32750.4850.08950.0470.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝．方差为：()()()()()222225570.20.166570.20.327570.20.48570.20.089570.20.0496.96⨯+⨯+⨯+⨯+⨯﹣﹣﹣﹣﹣＝．19.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点0(,4)M x 在C 上，且52pMF =．（1）求点M 的坐标及C 的方程；（2）设动直线l 与C 相交于,A B 两点，且直线MA 与MB 的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．【答案】（1）M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =；（2）直线l 过定点()0,4-.【解析】【分析】(1)利用抛物线定义求出0x ，进而求出p 值即可得解.(2)设出直线l 的方程x my n =+，再联立直线l 与抛物线C 的方程，借助韦达定理探求出m 与n 的关系即可作答.【小问1详解】抛物线2:2C y px =的准线：2px =-，于是得0522p p MF x =+=，解得02x p =，而点M 在C 上，即2164p =，解得2p =±，又0p >，则2p =，所以M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =.【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为x my n =+，由24x my n y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：2440y my n --=，则()2160m n ∆=+>，124y y m +=，124y y n =-，因此，121222121212444444144444444MA MB y y y y k k y y x x y y ----⋅=⋅==⋅=--++--，化简得()121240y y y y ++=，即4n m =，代入l 方程得4x my m =+，即()40x m y -+=，则直线l 过定点()0,4-，所以直线l 过定点()0,4-.【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线相交，直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB DC ，PA ⊥底面ABCD ，点E 为棱PC 的中点.22AD DC AP AB ====.()1证明：//BE 平面PAD .()2若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AD C --的余弦值.【答案】()1证明见解析；()210.【解析】【分析】()1在PD 上找中点G ，连接AG ,EG ，利用三角形中位线性质得出12EG CD =，因为底面ABCD 是直角梯形，2CD AB =,所以能得出EG 平行且等于AB ，得出四边形ABEG 为平行四边形，再利用线面平行的判定，即可证出//BE 平面PAD ；()2根据BF AC ⊥,求出向量BF的坐标，进而求出平面FAD 和平面ADC 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F AD C --的余弦值.【详解】解：()1证明：在PD 上找中点G ，连接AG ,EG ，图象如下：G 和E 分别为PD 和PC 的中点，∴EG //CD ，且12EG CD =,又 底面ABCD 是直角梯形，2CD AB =∴AB //CD ，且12AB CD =，∴AB GE //且AB GE =.即四边形ABEG 为平行四边形.∴AG E //B .AG ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD ，∴//BE 平面PAD.()2以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得()1,0,0B ，()2,2,0C ,()0,2,0D ，()002P ,,，()1,1,1E ，()1,2,0BC = ,()2,2,2CP =-- ，()2,2,0AC = .由F 为棱PC 上一点，设()2,2,2CF CP λλλλ==-- ()01λ≤≤,所以()12,22,2BF BC CF λλλ=+=-- ()01λ≤≤,由BF AC ⊥，得()()2122220BF AC λλ⋅=-+-= ,解得34λ=，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()1131131,0,0,,,,222222AF AB BF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设平面FAD 的法向量为(),,n a b c = ，由00n AF n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 可得113022220a b c b ⎧++=⎪⎨⎪=⎩所以030b a c =⎧⎨+=⎩，令1c =，则3a =-，则()3,0,1n =- ，取平面ADC 的法向量为()0,0,1m = ，则二面角F AD C --的平面角α满足：cos 10m n m nα⋅===⋅ ,故二面角F AD C --的余弦值为10.【点睛】本题考查线面平行的判定，空间二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，属于难题.21.已知O 为坐标原点，()120F -，，()220F ，，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为曲线.E （1）求曲线E 的方程；（2）过点()220F ，的直线l 与曲线E 交于A B ，两点，求+ OA OB 的取值范围．【答案】（1）()2211.3y x x -=≥（2）[)4∞+，【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义，易判断点P 的轨迹是双曲线的右支，求出,a b 的值，即得；（2）设出直线方程与双曲线方程联立消元得到一元二次方程，推出韦达定理，依题得出参数m 的范围，将所求式等价转化为关于m 的函数式，通过整体换元即可求出其取值范围.【小问1详解】因()120F -，，()220F ，，且动点P 满足12122PF PF F F -=<，由双曲线的定义知：曲线E 是以12F F ，为焦点的双曲线的右支，且2c =，1a =，则2223b c a =-=，故曲线E 的方程为()2211.3y x x -=≥【小问2详解】当直线l 的斜率为0时，直线l 与双曲线的右支只有一个交点，故不符题意.如图，不妨设直线l 方程为：2x my =+，设()11A x y ，，()22B x y ，，联立22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22311290m y my -++=，由韦达定理得1221221231931m y y m y y m -⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩，2121222124()443131m x x m y y m m -+=++=+=---，2212121212234(2)(2)2()431m x x my my m y y m y y m +⋅=++=+++=--.由题意：()()22212221223101243190403134031m m m x x m m x x m ⎧-≠⎪-⨯-⨯>⎪⎪⎪⎨+=->⎪-⎪+⎪⋅=->⎪-⎩，解得：210.3m ≤<OA OB +=====，令2131t m =-，因210,3m ≤<故1t ≤-，而OA OB +== ，在(],1t ∞∈--为减函数，故4OA OB +≥ ，即OA OB + 的取值范围为[)4∞+，.22.如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与等轴双曲线2C 共顶点(±，过椭圆1C 上一点P （2，－1）作两直线与椭圆1C 相交于相异的两点A ，B ，直线PA 、PB 的倾斜角互补，直线AB 与x ，y 轴正半轴相交，分别记交点为M ，N .（1）求直线AB 的斜率；（2）若直线AB 与双曲线2C 的左，右两支分别交于Q ，R ，求NQ NR 的取值范围.【答案】（1）12-（2）11(1,9+【解析】【分析】(1)先求出椭圆方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求解A ，B 坐标，直接计算直线AB 斜率即可.(2)联立直线与双曲线的方程，利用求根公式表示出Q ，R 的坐标，化简NQ NR 的表达式，整理求出NQ NR的取值范围即可得出结果.【小问1详解】由题椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，顶点(±，可得a =(2,1)P -在椭圆1C 上，即24118b +=，得22b =，所以椭圆方程为22182x y +=，设等轴双曲线2C ：222x y m -=，0m >，由题意等轴双曲线2C 的顶点为(±，可得2=8m ，所以双曲线2C 的方程为：228x y -=，因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，且A ，B 是不同的点，所以直线PA 、PB 都必须有斜率，设直线PA 方程为(2)1y k x =--，联立22(2)1182y k x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(14)(168)161640k x k k x k k +-+++-=，A 和P 点横坐标即为方程两个根，可得221681+4A P k k x x k ++=，因为=2P x ，所以22882=14A k k x k +-+，代入直线PA 可得2244114A k k y k--=+，即2222882441(,)1414k k k k A k k+---++，又因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，将k 换成k -，可得2222882441(,)1414k k k k B k k --+-++，两点求斜率可得出12AB k =-所以直线AB 的斜率为12-【小问2详解】由(1)可设直线AB 的方程：12y x n =-+，又因为直线AB 与x ，y 轴正半轴相交，则0n >，联立方程组2212182y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得2224480x nx n -+-=，22Δ168(48)0n n =-->，解得02n <<.联立直线AB 和双曲线方程221(02)28y x n n x y ⎧=-+<<⎪⎨⎪-=⎩，消去y 得22344320x nx n +--=，利用求根公式可得23n x -±=，所以1Q R x NQ NR x ====，又因为204n <<，所以2632n >，则11>，即29<，所以1121019NQNR+<<，所以NQNR 的取值范围为11210(1,9+【点睛】方法点睛：（1）解答直线与圆锥曲线题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去一个未知数建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率不存在的特殊情况.。

四川省成都市2022-2023学年高二上学期期末调研考试数学(理科)试题

四川省成都市2022-2023学年高二上学期期末调研考试数学(理科)试题

2022~2023学年度上期期末高二年级调研考试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线2214y x -=的渐近线方程为（ ） A ．14y x =± B ．12y x =± C ．4y x =± D ．2y x =±2．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(4,1,9)P 到点(2,4,3)Q 的距离为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．在一次游戏中，获奖者可以获得5件不同的奖品，这些奖品要从编号为1-50号的50种不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法为获奖者抽取奖品编号，则5件奖品的编号可以是（ ） A ．3，13，23，33，43 B ．11，21，31，41，50 C ．3，6，12，24，48D ．3，19，21，27，504．命题“0m ∀∈≤N ”的否定是（ ）A ．00m ∃∉≥NB ．00m ∃∈>NC ．00m ∃∈≤ND ．0m ∀∈>N5．若,,a b c ∈R ，则“a b >”是“a c b c +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知直线:0l Ax By C ++=（A ，B 不同时为0），则下列说法中错误的是（ ） A ．当0B =时，直线l 总与x 轴相交 B ．当0C =时，直线l 经过坐标原点O C ．当0A C ==时，直线l 是x 轴所在直线 D ．当0AB ≠时，直线l 不可能与两坐标轴同时相交7．执行如图所示的程序语句，若输入5x =，则输出y 的值为（ ）B ．7C ．22-D ．28-8．已知F 是抛物线24y x =的焦点，M 是抛物线上一点，且满足120OFM ∠=︒（O 为坐标原点），则FM 的值为（ ）A ．4B ．3C ．D ．29．已知圆221:(2)(1)9O x y -+-=和直线:10l x y -+=．若圆2O 与圆1O 关于直线l 对称，则圆2O 的方程为（ ） A ．22(3)9x y -+=B ．22(3)9x y +-= C ．22(2)(3)9x y -+-=D ．22(3)(2)9x y -+-=10．已知13,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，命题2:2320p m m --≤，命题22:1623x y q m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆．则下列命题中为假命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∨ C ．p q ⌝∨ D ．p q ⌝∨11．在平面直角坐标系xOy 内，对任意两点()11,A x y ，()22,B x y ，定义A ，B 之间的“曼哈顿距离”为1212AB x x y y =-+-，记到点O 的曼哈顿距离小于或等于1的所有点(,)x y 形成的平面区域为Ω．现向221x y +=的圆内随机扔入N 粒豆子，每粒豆子落在圆内任何一点是等可能的，若落在Ω内的豆子为M 粒，则下面各式的值最接近圆周率的是（ ） A ．NMB ．2NMC ．3NMD ．4NM12．已知有相同焦点1F ，2F 的椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>在第一象限的交点为A ，若2AOF △（O 为坐标原点）是等边三角形，则ab mn的值为（ ）A ．2+B ．2-CD 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．已知椭圆22110036x y +=上一点P 到一个焦点的距离为6，那么点P 到另一个焦点的距离为______． 14．为了解某校高三学生的数学成绩，随机地抽查了该校100名高三学生的期中考试数学成绩，得到频率分布直方图如图所示．请根据以上信息，估计该校高三学生数学成绩的中位数为______．（结果保留到小数点后两位）15．甲，乙两人下棋，若两人下成和棋的概率是13，甲获胜的概率是14，则乙获胜的概率是______．16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点1F ，2F ，经过1F 斜率为l 与双曲线的左支相交于P ，Q 两点．记12PF F △的内切圆的半径为a ，则双曲线的离心率为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知点(4,2)P -，直线:3450l x y --=． （Ⅰ）求经过点P 且与直线l 平行的直线的方程； （Ⅱ）求经过点P 且与直线l 垂直的直线的方程． 18．（本小题满分12分）甲，乙两台机床同时生产一种零件，统计5天中两台机床每天所出的次品件数，数据如下图：（Ⅰ）判断哪台机床的性能更稳定，请说明理由；（Ⅱ）从甲机床这五天的数据中任意抽取两天的数据，求至多有一天的次品数超过1件的概率． 19．（本小题满分12分）已知圆22:60A x y x +-=与直线32x =相交于M ，N 两点． （Ⅰ）求||MN 的长；（Ⅱ）设圆C 经过点M ，N 及(2,2)B ．若点P 在圆C 上，点Q 在圆A 上，求||PQ 的最大值． 20．（本小题满分12分）某工厂统计2022年销售网点数量与售卖出的产品件数的数据如下表：（Ⅰ）求2022年售卖出的产品件数y （单位：万件）关于销售网点数x （单位：个）的线性回归方程； （Ⅱ）根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数．参考公式：()()()1122211ˆnnii i ii i nni ii i xx y y x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点12⎫⎪⎭（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设经过右焦点2F 的两条互相垂直的直线分别与椭圆E 相交于A ，B 两点和C ，D 两点．求四边形ACBD 的面积的最小值． 22．（本小题满分12分）已知点(1,0)F ，经过y 轴右侧一动点A 作y 轴的垂线，垂足为M ，且||||1AF AM -=．记动点A 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设经过点(1,0)B -的直线与曲线C 相交于P ，Q 两点，经过点(1,)((0,2)D t t ∈，且t 为常数）的直线PD 与曲线C 的另一个交点为N ，求证：直线QN 恒过定点．。

四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期末联考试题 数学含答案

四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期末联考试题 数学含答案

2023～2024学年度上期高中2022级期末联考数学（答案在最后）考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆C :22194x y +=，则椭圆C 的长轴长为A ．3B ．4C ．6D ．92．若直线l 的倾斜角为150︒，则它的方向向量可以为A ．(1,3)B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．(1,3)-3．某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为：70，85，90，75，95，则这5人成绩的上四分位数是A ．90B ．75C ．95D ．704．若方程2220x y mx my ++-+=表示一个圆，则m 可取的值为A ．0B ．1C ．2D ．35．有5个相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中一次性取出2个球，则事件“2个球颜色不同”发生的概率为A ．710B ．25C ．35D ．3106．已知圆221:(2)(1)2M x y -+-=，圆222:2210M x y x y +-++=，点P 为y 轴上的动点，则12||||PM PM +的最小值为A ．3B ．13C ．10D ．57．已知等腰直角三角形ABC ，AB AC =，点D 为BC 边上的中点，沿AD 折起平面ABD使得π3BDC ∠=，则异面直线AB 与DC 所成角的余弦值为A ．24-B ．24C ．23-D ．238．过点(5,)a 作圆22(2)3:C x y -+=的切线，切点分别为A ，B ，则弦长||AB 的最小值为A ．B ．3C ．2D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省成都市2022-2023学年高二上学期1月期末考试理科数学试题及答案

四川省成都市2022-2023学年高二上学期1月期末考试理科数学试题及答案

高二年级理科数学试题考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过点(0,2)-，且与已知直线0x y +=垂直的直线方程为 A ．20x y +-= B ．20x y --= C ．20x y ++=D ．20x y -+=2．若一个圆的标准方程为221)4x y +(-=，则此圆的圆心与半径分别是 A ．1,0)4(-； B ．1,0)2(； C ．0,1)4(-；D ．0,1)2(；3．将某选手的得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余分数的平均分为91，现场作的分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则x = A ．2 B ．3 C ．4D ．54．某校为了了解高二学生的身高情况，打算在高二年级12个班中抽取3个班，再按每个班男女生比例抽取样本，正确的抽样方法是 A ．简单随机抽样 B ．先用分层抽样，再用随机数表法 C ．分层抽样D ．先用抽签法，再用分层抽样 5．若x ∈R ，则“44x -<<”是“22x x <”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知命题*1:2p x x x∀∈+R ，…，则p ⌝为 A ．*00012x x x ∃∈+R ，… B ．*00012x x x ∃∈+<R ， C ．*00012x x x ∃∉+<R ，D ．12x x x∀∈+<R ， 7．下列命题正确的是A ．若0a b <<，则11a b<B ．若ac bc >，则a b >C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．若22ac bc >，则a b >8．已知双曲线的上、下焦点分别为120,5)0,5)F F ((-，，P 是双曲线上一点且满足126||PF ||PF ||-=，则双曲线的标准方程为A ．221169x y -=B ．221916x y -=C ．221169y x -=D ．221916y x -=9．已知O e 的圆心是坐标原点O 0y --=截得的弦长为6，则O e 的方程为A ．224x y +=B ．228x y +=C ．2212x y +=D ．22216x y +=10．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a b ，分别为39，27，则输出的a = A ．1 B ．3 C ．5D ．711．若两个正实数x y ，满足311x y+=，则3x y +的最小值为A ．6B ．9C ．12D ．1512．直线l 过抛物线220)y px p =(>的焦点F ，且交抛物线于P ，Q 两点，由P ，Q 分别向准线引垂线PR ，QS ，垂足分别为R ，S ，如果2|4|PF |QF |==，，M 为RS 的中点，则|MF |=A ．BC ．D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2014-2021学年四川省成都市高二(上)期末数学试卷(理科) Word版含解析

2014-2021学年四川省成都市高二(上)期末数学试卷(理科) Word版含解析

2022-2021学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（2，1，﹣1），则与点A关于原点对称的点A1的坐标为（）A．（﹣2，﹣1，1）B．（﹣2，1，﹣1）C．（2，﹣1，1）D．（﹣2，﹣1，﹣1）2．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的众数为（）A．10 B．21 C．35 D．463．已知点A（﹣1，2），B（1，3），若直线l与直线AB平行，则直线l的斜率为（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．4．依据如图的程序语句，当输入的x的值为2时，则执行程序后输出的结果是（）A．4 B． 6 C．8 D．105．经过点（2，1），且倾斜角为135°的直线方程为（）A．x+y﹣3=0 B．x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y﹣3=0 D．x﹣2y=06．已知圆C1：x2+y2+2x﹣4y+1=0，圆C2：（x﹣3）2+（y+1）2=1，则这两圆的位置关系是（）A．相交B．相离C．外切D．内含7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1与B1C 的交点，记=，=，=，则=（）A．++B．++C．++D．﹣﹣8．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则在下列条件中，确定能得到l⊥m的是（）A．α∩β=l，m与α，β所成角相等B．α⊥β，l⊥α，m∥βC．l，m与平面α所成角之和为90°D．α∥β，l⊥α，m∥β9．已知直线l：xsinα﹣ycosα=1，其中α为常数且α∈[0，2π）．有以下结论：①直线l的倾斜角为α；②无论α为何值，直线l总与确定圆相切；③若直线l与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；④若P（x，y）是直线l上的任意一点，则x2+y2≥1．其中正确结论的个数为（）A．1 B． 2 C． 3 D． 410．在Rt△ABC中，已知D是斜边AB上任意一点（如图①），沿直线CD将△ABC折成直二面角B﹣CD ﹣A（如图②）．若折叠后A，B两点间的距离为d，则下列说法正确的是（）A．当CD为Rt△ABC的中线时，d取得最小值B．当CD为Rt△ABC的角平分线时，d取得最小值C．当CD为Rt△ABC的高线时，d取得最小值D．当D在Rt△ABC的AB边上移动时，d为定值二、填空题（每小题5分，共25分）11．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（1，0，5），Q（1，3，4），则线段PQ的长度为．12．某单位有1200名职工，其中年龄在50岁以上的有500人，35～50岁的400人，20～35岁的300人．为了解该单位职工的身体健康状况，现接受分层抽样的方法，从1200名职工抽取一个容量为60的样本，则在35～50岁年龄段应抽取的人数为．13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的12条面对角线所在的直线中，与A1B所在的直线异面而且夹角为60°的直线有条．15．记空间向量=，=，=，其中，，均为单位向量．若⊥，且与，的夹角均为θ，θ∈[0，π]．有以下结论：①⊥（﹣）；②直线OC与平面OAB所成角等于向量与+的夹角；③若向量+所在直线与平面ABC垂直，则θ=60°；④当θ=90°时，P为△ABC内（含边界）一动点，若向量与++夹角的余弦值为，则动点P 的轨迹为圆．其中，正确的结论有（写出全部正确结论的序号）．三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）（2022秋•成都期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N ，P分别是棱AB，A1D1，AD的中点，求证：（Ⅰ）平面MNP∥平面BDD1B1；（Ⅱ）MN⊥AC．17．（12分）（2022秋•成都期末）某校要调查高中二班级男生的身高状况，现从全班级男生中随机抽取一个容量为100的样本．样本数据统计如表，对应的频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a，b的值；（2）用样本估量总体，若该校高中二班级男生共有1000人，求该班级中男生身高不低于170cm的人数．身高（单位：cm）[150，155）[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180）[180，185）[185，190）人数 2 8 15 20 25 18 10 218．（12分）（2022秋•成都期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，向量，，两两垂直，||=1，||=2，E，F分别为棱BB1，BC的中点，且•=0．（Ⅰ）求向量的模；（Ⅱ）求直线AA1与平面A1EF所成角的正弦值．19．（12分）（2022秋•成都期末）已知直线l1：mx﹣（m+1）y﹣2=0，l2：x+2y+1=0，l3：y=x﹣2是三条不同的直线，其中m∈R．（Ⅰ）求证：直线l1恒过定点，并求出该点的坐标；（Ⅱ）若l2，l3的交点为圆心，2为半径的圆C与直线l1相交于A，B两点，求|AB|的最小值．20．（13分）（2022秋•成都期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的正三角形，底面ABCD 为菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，PC⊥AB，E为PD上一点，且PD=3PE．（Ⅰ）求异面直线AB与CE所成角的余弦值；（Ⅱ）求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．21．（14分）（2022秋•成都期末）已知点P（0，2），设直线l：y=kx+b（k，b∈R）与圆C：x2+y2=4相交于异于点P的A，B两点．（Ⅰ）若•=0，求b的值；（Ⅱ）若|AB|=2，且直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的斜率k的值；（Ⅲ）当|PA|•|PB|=4时，是否存在确定圆M，使得直线l与圆M相切？若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由．2022-2021学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（2，1，﹣1），则与点A关于原点对称的点A1的坐标为（）A．（﹣2，﹣1，1）B．（﹣2，1，﹣1）C．（2，﹣1，1）D．（﹣2，﹣1，﹣1）考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：利用关于原点对称的点的特点即可得出．解答：解：与点A关于原点对称的点A1的坐标为（﹣2，﹣1，1），故选：A．点评：本题考查了关于原点对称的点的特点，属于基础题．2．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的众数为（）A．10 B．21 C．35 D．46考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：通过样本数据的茎叶图直接读出即可．解答：解：通过样本数据的茎叶图发觉，有3个数据是35，最多，故选：C．点评：本题考查了样本数据的众数，考查了茎叶图，是一道基础题．3．已知点A（﹣1，2），B（1，3），若直线l与直线AB平行，则直线l的斜率为（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：直接由两点坐标求得直线AB的斜率，再由两直线平行斜率相等得答案．解答：解：∵A（﹣1，2），B（1，3），∴，又直线l与直线AB平行，则直线l 的斜率为．故选：D．点评：本题考查了由直线上的两点的坐标求直线的斜率公式，是基础的计算题．4．依据如图的程序语句，当输入的x的值为2时，则执行程序后输出的结果是（）A．4 B． 6 C．8 D．10考点：选择结构．专题：算法和程序框图．分析：执行程序语句，可得程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，将x=2代入即可求值．解答：解：执行程序语句，可得程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，故当x=2时，y=2×（2+1）=6．故选：B．点评：本题主要考查了程序与算法，正确理解程序的功能是解题的关键，属于基础题．5．经过点（2，1），且倾斜角为135°的直线方程为（）A．x+y﹣3=0 B．x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y﹣3=0 D．x﹣2y=0考点：直线的点斜式方程．专题：直线与圆．分析：由直线的倾斜角求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程得答案．解答：解：∵直线的倾斜角为135°，∴直线的斜率k=tan135°=﹣1．又直线过点（2，1），由直线的点斜式可得直线方程为y﹣1=﹣1×（x﹣2），即x+y﹣3=0．。

四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末能力测评数学试题含答案

四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末能力测评数学试题含答案

高二2023-2024学年度上期期末能力测评数学（答案在最后）满分150分考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置；2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上相应题目答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净；3.回答非选择题时，在答题卡上作答.写在本试卷上无效；4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.直线:l 2310x y +-=的一个方向向量为（）A.()2,3- B.()3,2- C.()2,3 D.()3,2【答案】B 【解析】【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可.【详解】由2310x y +-=得，2133y x -+，所以直线的一个方向向量为2(1,)3-，而2(3,2)3(1,)3-=--，所以(3,2)-也是直线的一个方向向量.故选：B.2.对于变量x ，条件:p Q x ∈，条件:q R ，则p 是q 的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据充分必要条件的要求，分别判断p 能否推出q ，以及q 能否推出p 即得.【详解】由Q x ∈，若取=1x -R ，即p 不是q 的充分条件；R ，若取πx =，显然不满足Q x ∈，即p 不是q 的必要条件.3.对某社团进行系统抽样，编号为001，002，⋯，120，则抽取的序号不可能是（）A.001，004，⋯，117B.008，020，⋯，116C.005，015，⋯，115D.014，034，⋯，114【答案】A 【解析】【分析】根据系统抽样的要求抽取的序号的间隔相同，序号构成等差数列，逐项验证.【详解】根据系统抽样的要求抽取的序号的间隔相同,序号构成等差数列，对A ：121,4,3,32n a a d a n ====-，令32117n -=此方程没有正整数解，故A 不可能；对B ：128,20,12,124n a a d a n ====-，令124116n -=得10n =满足要求，故B 可能；对C ：125,15,10,105n a a d a n ====-，令105115n -=得12n =满足要求，故C 可能；对D ：1214,34,20,206n a a d a n ====-，令206114n -=得6n =满足要求，故D 可能；故选：A4.若直线:l 260x y m -+-=平分圆:C 22240x mx y +++=，则实数m 的值为（）A .2- B.2 C.3 D.2-或3【答案】C 【解析】【分析】列出22240x mx y +++=所满足的条件，由直线l 过圆心求得m 的值.【详解】22240x mx y +++=可化为()2224x m y m ++=-，则240m ->，直线260x y m -+-=始终平分圆22240x mx y +++=的周长,则直线l 经过圆心(,0)m -.代入直线得260m m --=，解得3m =或2m =-.因为2m =-不满足240m ->，故3m =故选：C.5.若数列{}n a 满足12a =，1123n nn S S n a +++=+，则88S a +的值为（）A.9B.10C.11D.12【解析】【分析】由n S 与n a 的关系求得()()112n n S n S n +=++，从而1n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，得到1n S n =+，即可求88S a +的值.【详解】由11n n n S S a ++-=及1123n nn S S n a +++=+得()()1123n n n n S S n S S +++=+-，即()()112323n n n n S S n S n S ++-+=++，即()()112n n S n S n +=++，所以112n n S S n n +=++，即1n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，又11221S a ==，所以11n Sn =+，即1n S n =+，所以878879,81,S S a S S ===-=，所以8810S a +=.故选：B6.已知实数,x y28x y =+-，则点(),P x y 的轨迹为（）A.抛物线B.双曲线C.一条直线D.两条直线【答案】D 【解析】【分析】将已知方程等价变形为()()334170x x y -⋅+-=，即可判断点(),P x y 的轨迹.28x y =+-，所以两边平方得()()22223246443216x y x y xy x y -+-=+++--，化简整理得2351426120x xy x y ++--=，所以()()334170x x y -⋅+-=，所以30x -=或34170x y +-=，即点(),P x y 的轨迹方程为30x -=或34170x y +-=，所以点(),P x y 的轨迹为两条相交直线.故选：D7.若复数z 满足()24z z z ⋅+=，则23z z +的最小值为（）A .16B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】设i z x y =+，利用复数的乘法运算及模的公式得422491016x x y y ++=，所求式子为()2244x y +，令224t x y =+，则利用422152160x tx t --+=有解求得t ≥，即可得解.【详解】设i z x y =+，则()()()()222i 3i 34i 4z z z x y x y x yxy ⋅+=+⋅+=-+=，所以()()22223416x y xy -+=，即422491016x x y y ++=，而()()()2222222333i i 42i 16444z zx y x y x y x y x y +=++-=+=+=+，令224t x y =+，则224y t x =-，所以()()242229104416x x t x t x +-+-=，即422152160x tx t --+=，记20m x =≥，则22152160m tm t --+=，由题意，该方程存在非负根，且二次函数对称轴015tm =>，所以()()22Δ2415160t t =-⨯⨯-+≥，所以215t ≥，又0t >，所以t ≥，所以234z z t +=≥，即23z +的最小值为.故选：C8.计算：cos 20cos 40cos 40cos80cos80cos 20-+= （）A.12B.23C.34D.2【答案】C 【解析】【分析】根据和差角公式以及积化和差公式即可求解.【详解】()()()()11cos 20cos 40cos 40cos80cos80cos 20cos 4020cos 4020cos 8040cos 804022⎡⎤⎡⎤-+=++--++-⎣⎦⎣⎦()()1cos 8020cos 80202⎡⎤+++-⎣⎦111131cos 20cos 40cos100cos 202cos 40cos100222242112⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+++=+⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣-⎦+()()3131cos 20cos 40cos100cos 3010cos 3010sin104242⎡⎤⎡⎤=+=+--+-⎣⎦-+⎦⎣3132sin 30sin10sin10424⎡⎤=+-=⎣⎦，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.设集合A ={|αα为两个非零向量可能的夹角}，集合B ={|ββ为两条异面直线可能的夹角}，则下列说法错误的是（）A.4π3A ∉ B.2π3B ∈C.ππ2A B θθ⎧⎫⊆≤≤⎨⎬⎩⎭ð D.ππ2A B θθ⎧⎫⊇≤≤⎨⎬⎩⎭ð【答案】BCD 【解析】【分析】由向量夹角定义和异面直线所成角取值范围求出集合A ，B ，再结合集合相关概念即可求解.【详解】由题集合[]0,πA =，π0,2B ⎛⎤= ⎥⎝⎦，所以4π3A ∉，2π3B ∈，故A 对，B 错；由上{}π0,π2A B ⎛⎤=⋃ ⎥⎝⎦ð，故C 、D 错.故选：BCD.10.已知曲线:Γ1x x y y +=-，将曲线Γ用函数()f x 表示，则下列说法正确的是（）A.()f x 在R 上单调递减；B.()y f x =的图象关于34y x =对称；C.()22fx x +的最小值为9；D.若直线:l y kx b =+()0b <与()y f x =的图象没有交点，则实数k 为定值.【答案】ACD 【解析】【分析】分段讨论确定Γ所表示的曲线方程作出图象，由图象判断A ，B ，D 选项；求出()22f x x +的表达式求其最小值判断C 选项；【详解】当0,0x y >≥时，221916x y+=-不存在，故在第一象限内无图象；当0,0x y <≥时，221916x y-+=-，在第二象限内为双曲线的一部分，其渐近线为43y x =-，此时2216169x y =-，即()()221616,39x f x x =-≤-，所以()222251699x f x x +=-≥；当0,0x y ≤<时，221916x y +=，在第三象限内为椭圆的一部分；此时2216169x y =-，即()()221616,309x f x x =--<≤，所以()22271699x f x x +=->当0,0x y ><时，22916x y -=-，在第四象限内为双曲线的一部分，其渐近线为43y x =-；此时2216169x y =+，即()()221616,09x f x x =+>，所以()2222516169x f x x +=+>；综上：()22fx x +的最小值为9，故C 正确；()y f x =图象如图所示：对于A ：由图象可得()f x 在R 上单调递减，故A 正确；对于B ，由图象可得()f x 图象不关于直线34y x =成轴对称图形，也可以求得()3,0-关于直线34y x =对称的点2172,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭不在()f x 图象上，故B 错误；对D ：若直线:l y kx b =+()0b <与()y f x =的图象没有交点，则直线l 与渐近线平行，即43k =-为定值，否则直线l 与渐近线相交，则一定会与()y f x =的图象相交，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据,x y 的正负去掉绝对值符号得到曲线方程，作出图象，数形结合分析.11.已知独立的事件A 、B 满足()()0P A P B <<，则下列说法错误的是（）A.()()P A P AB +一定小于()2P B ；B.()()P A B P AB +可能等于()2PB ；C.事件AB 和事件AB 不可能相互独立；D.事件AB 和事件A B +可以相互独立.【答案】BC 【解析】【分析】利用独立事件的定义和性质可判断A 正确，B 错误；根据事件A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立，利用相互独立事件概率公式计算即可.【详解】()()P A P B <且,A B 相互独立，则()()P AB P B <，()()2()P A P AB P B +<,A 正确.∵A B +表示事件,A B 至少发生一个，AB 表示事件,A B 同时发生，∴()(),()()()()P A B P B P AB P A P B P B +>=<，∴()()P A B P AB +不能等于()2P B ，B 错误.若1()2P B =，则1()2P B =，此时()()P AB P AB =，∵AB AB A = .∴()(()(()()()P A P AB AB P AB P AB P A P B P AB ==+=+ .∴移项得(()()()()()()(1())()()P AB P A P AB P A P A P B P A P B P A P B =-=-=-=.∴事件A 与B 相互独立，同理可知事件A 与B ，A 与B 也都相互独立.∴事件AB 和AB 可能相互独立，事件AB 和A B +可能相互独立，C 错误，D 正确.故选：BC【点睛】关键点点睛：解题的关键是已知独立事件A 、B ，可推出事件A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立.12.如图，在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -上，点M 为体对角线1BD 靠近1D 点的三等分点，点E F 、为棱AB 、1CC 的中点，点P 在平面MEF 上，且在该平面与正方体表面的交线所组成的封闭图形中（含边界），则下列说法正确的是（）A.平面MEF 与底面ABCD 的夹角余弦值为77；B.点D 到平面MEF 的距离为11； C.点D 到点P 的距离最大值为6345；D.设平面MEF 与正方体棱的交点为1T 、…、n T ，则n 边形1n T T ⋯最长的对角线的长度大于172.【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，即可利用法向量的夹角求解A ，根据点面距离的向量法即可求解B ，根据面面平行的性质可得截面为六边形EQFNKT ，即可根据点点距离公式求解CD.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,2,4,6,3,0,0,6,3M E F ,()()4,1,4,2,4,1ME MF =-=--,设平面MEF 法向量为(),,m x y z =，440240ME m x y z MF m x y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取4y =，则()5,4,6m = ，而平面ABCD 的一个法向量为()10,0,6AA =，所以平面MEF 与底面ABCD的夹角余弦值为1677cos ,77m AA ==.故A 错误，()2,2,4,DM = 所以点D 到平面MEF的距离为11DM m m ⋅==，故B正确，延长EM 交11D C 于点N ,连接NF 交DC 延长线于点H ,连接EH 交BC 于Q ，由于点M 为体对角线1BD 靠近1D 点的三等分点，所以1111322D M D N D N MB EB ==⇒=,11912C N C F CH CH CF ==⇒=,9612235CH CQ BQ BQ EB BQ BQ -=⇒=⇒=,在棱11A D 上取K ，使得165D K =,由于11116124455,35352D K D KBQ BQ D N EB EB D N==⇒=⇒=,故//KN EQ ，连接,,TE TK FQ ,故六边形EQFNKT 即为平面MEF 上与正方体所截得的截面，由于1121863,6,555FC AE CQ D K ===-==113//,2932C F AT ATNF TE AT NC AE ∴=⇒=⇒= ,由于CQ 最大，故DQ为最大值5DQ =，故当P 在Q 处时，DP最大为5,C正确，由于()()()1863,6,0,6,3,0,0,6,3,6,0,2,,0,6,0,,6,552Q E F T K N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭172NE ==>,因此六边形EQFNKT 的最长对角线的长度不小于NE 的长度，因此六边形EQFNKT 的最长对角线的长度大于172，故D 正确，故选：BCD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()f x =的定义域为______.【答案】()11,2∞⎧⎫+⋃⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】根据根式函数和对数函数及分式函数定义域法则列不等式求解即可.【详解】由题意2100ln 0x x x -≥⎧⎪>⎨⎪>⎩或2100ln 0x x x -=⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得1x >或12x =，所以函数()f x =的定义域为()11,2∞⎧⎫+⋃⎨⎬⎩⎭.故答案为：()11,2∞⎧⎫+⋃⎨⎬⎩⎭14.已知某平面内三角形ABC 为等腰三角形，AB AC =，点D 为AC 中点，且3BD =，则ABC 面积的最大值为____________.【答案】6【解析】【分析】根据向量的模长公式可得259cos 4A x=-，即可利用面积公式得()()2229203664ABC S x =--+ ，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设AB AC x==由于12BD AC AB =- ,所以2222215cos 44BD AC AB AC AB x x A =+-⋅=- ,故259cos 4A x=-,()()222424211159sin 1cos 12444ABC S AB AC A x A x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()24229458192036648464x x x =-+-=--+故当220x =时，此时()2ABC S 取最大值36，故面积的最大值为6，故答案为：615.已知锐角α，β满足2tan cos αβ=，2tan tan2αβ=，则sin sin βα的值为______.【答案】56【解析】【分析】根据已知结合同角关系消去β得1tan tan2tan ααα-=，再根据二倍角公式化弦为切得1sin 2cos αα+=，然后利用同角三角函数关系求得33sin ,tan 54αα==，然后代入sin sin βα==计算可得.【详解】因为2tan cos αβ=，2tan tan 2αβ=，所以22sin 1tan tan 2cos tan αβαβα-==，又2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222αααααααα-===，所以1cos 1tan cos sin sin tan sin ααααααα---==，所以1cos cos sin ααα-=-，即1sin 2cos αα+=，又22sin cos 1αα+=，所以25sin 2sin 30αα+-=，又α为锐角，解得3sin 5α=，或sin 1α=-（舍去），所以43cos ,tan 54αα==，所以sin 5sin 6βα==.故答案为：5616.假设视网膜为一个平面，光在空气中不折射，眼球的成像原理为小孔成像.思考如下成像原理:如图，地面内有圆1O ，其圆心在线段MB 上，且与线段MB 交于不与,M B 重合的点A ，PM ⊥地面，且24BM PM ==，P 点为人眼所在处，视网膜平面与直线BM 垂直.过A 点作平面α平行于视网膜平面.科学家已经证明，这种情况下圆1O 上任意一点到P 点的直线与平面α交点的轨迹（令为曲线C ）为椭圆或圆，且由于小孔成像，曲线C 与圆1O 在视网膜平面上的影像是相似的，则当视网膜平面上的圆1O 的影像为圆时，圆1O 的半径r 为____________.当圆1O 的半径r 满足112r ≤≤时，视网膜平面上的圆1O 的影像的离心率的取值范围为____________.【答案】①.32②.26,23⎣⎦【解析】【分析】使用空间向量方法可以验证曲线C 的两条半轴（半长轴和半短轴，但顺序可能不对应）的长分别为2r和，然后根据题设求解.【详解】由于视网膜平面与直线BM 垂直，平面α平行于视网膜平面，故平面α与直线BM 垂直.设地面平面为β，则据已知条件有PM β⊥.从而在β内可过M 作MA 的垂线MD ，使得,,MA MD MP 可分别作为以M为原点的一个右手坐标系的,, x y z轴正方向.由已知有4BM=，2PM=，故()0,0,0M，()4,0,0B，()0,0,2P.而42MA MB AB r=-=-，故()42,0,0A r-.再由1O A r=，知()14,0,0O r-.由于平面α与直线BM垂直，即平面α与x轴垂直，从而平面α上每一点的坐标的x轴分量都是定值42r-.再根据点A在线段MB内部及4BM=，又有0424r<-<，得02r<<.此时，地面平面即平面xOy，故圆1O的方程为()2224x r y rz⎧+-+=⎪⎨=⎪⎩.据此可设圆1O上的一点Q的坐标为()4cos,sin,0r r t r t-+，故()4cos,sin,2PQ r r t r t=-+-.设直线PQ和平面的交点为R，则,,P Q R三点共线，且R的坐标的x轴分量是42r-.故()22sin424842,,4cos4cos4cosr r tr rPR PQ rr r t r r t r r t⎛⎫---==-⎪-+-+-+⎝⎭，这得到R的坐标为()()22sin21cos42,,4cos4cosr r t r trr r t r r t⎛⎫-+-⎪-+-+⎝⎭.设()22sin4cosr r tyr r t-=-+，()21cos4cosr tzr r t+=-+，则()222221682242r ry zrr r-⎛⎫⎛⎫⋅+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-()()22222242142r ry zrr r--⎛⎫=⋅+-⎪⎝⎭-()()()222168sin41cos14cos4cosr t tr r tr r t⎛⎫-+=+-⎪-+-+⎝⎭()()()()()()22221681cos4cos4cos4cosr t r t rr r t r r t---+=+-+-+()()()()()2221681cos 4cos 4cos r t r t r r r t --+-+=-+()()()()()22222168168cos 168cos 24cos 4cos r r t r r t r r t r r r t ---+-++-+=-+()()()222216824cos cos 4cos r r r r t r tr r t -++-+=-+()()224cos 4cos r r t r r t -+=-+1=.所以我们得到点R 的轨迹为()222224216821242x r r r y z r r r =-⎧⎪-⎛⎫⎛⎫⎨⋅+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎩.由此可知，曲线C 是位于平面α内，以42,0,2r r ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中心，半长轴和半短轴分别（顺序可能不对应）为2r22-=的椭圆（或者是圆，因为在二者相等时是圆）.而曲线C 和视网膜平面上的圆1O 的影像相似，故其中一个是圆当且仅当另一个是圆，且二者离心率相等.当曲线C 是圆时，有2r=12=，两边平方可得32r =.当112r ≤≤时，2r>=>，故和2r分别（顺序对应）是半长轴和半短轴的长，从而离心率e =再由112r≤≤,23⎣⎦.故答案为：32，26,23⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，利用已知的坐标，采取适当的配凑得到类似椭圆的方程，从而得到相应曲线的性质.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知抛物线C 的顶点是坐标原点O ，焦点是双曲线2241x y -=的右顶点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线:l 2x y +=与抛物线相交于A 、B 两点，解决下列问题：（i ）求弦长AB ；（ii ）求证：OA OB ⊥.【答案】（1）22y x =；（2）（i）；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出双曲线右顶点，再求出抛物线的方程即得.（2）把直线l 的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合弦长公式及数量积的坐标表示求解即得.【小问1详解】双曲线2241x y -=，即22114x y -=，其右顶点为1(,0)2，则抛物线C 的焦点为1(,0)2，而抛物线C 的顶点是坐标原点O ，所以抛物线C 的方程：22y x =.【小问2详解】（i ）设211)1(,2A y y ，222)1(,2B y y ，由222y xx y ⎧=⎨=-+⎩消去x 得：2240y y +-=，则122y y +=-，124y y =-，于是12y y -==所以12AB y y =-==.（ii ）显然211)1(,2OA y y = ，222)1(,2OB y y = ，则221212121211(1)044OA OB y y y y y y y y ⋅=+=+= ，显然0,0OA OB ≠≠ ，即OA OB ⊥ ，所以OA OB ⊥.18.已知递增数列{}n a 和{}n b 分别为等差数列和等比数列，且113=a b ，422a b =，73a b =，126a b +=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若ln ln n nb n a ac b =，证明：1211nc c c n 迹+.【答案】（1）2n a n =+，13n n b -=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由等差和等比数列的性质结合题意列方程组，解出11,,,a d q b ，再由基本量法求出通项即可；（2）由对数的运算性质化简再简单放缩可得()11133log 32log 31n n n n n nc n ++-=+≤=+，最后利用累乘法可证明.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由题意可得：11112111133266a b a d b q a d b q a b q =⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，前两式化简后有1111131322a b a d b q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由上述式子可得：()21111136322a a d a d ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，化简得：()()11930a d a d +-=，则19a d =-或13a d =，若19a d =-，可得1233b b b d ===-，数列{}n b 为常数列，故舍去；若13a d =，带入得3q =，又由116a b q +=，解得1d =，13a =，11b =，于是得到数列{}n a 的通项公式为2n a n =+，数列{}n b 的通项公式为13n n b -=.【小问2详解】由题可得()113ln log log 32ln n n a n nnb n n b b a ac a b +-===+，由于N n *∈时，()()113322310nn n ---+=-≥，则1332n n -³+（当且仅当1n =时取等号），所以()11133log 32log 31n n n n n nc n ++-=+≤=+，则121212311nn c c c n n 迹创即=++（当且仅当1n =时取等号）.所以1211n c c c n 迹+.19.如图，1111ABCD A B C D -为一个平行六面体，且12AB AD AA ===，1BAA ∠=23πBAD ∠=，13DAA π∠=.（1）证明：直线AB 与直线1AC 垂直；（2）求点1B 到平面ABCD 的距离；（3）求直线1AC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3（3）3【解析】【分析】（1）利用垂直关系的向量表示求1AB AC即可证明.（2）由已知条件得三棱锥1B ABC -为正四面体，再利用正四面体结构特征即可求解得到点1B 到平面ABCD 的距离.（3）由（1）可得1AC，再由（2）得点1C 到平面ABCD 的距离，进而可求出线面角的正弦值，再结合同角三角函数平方和为1求解余弦值即可.【小问1详解】由题可得111AC AC CC AB AD AA =+=++，所以()2111····AB AC AB AB AD AA AB AB AD AB AA =++=++ 2π2π422cos 22cos 033=+⨯+⨯=，则1AB AC ⊥，于是得证：1AB AC ⊥.【小问2详解】连接11,,AB CB AC ，则由题意可知1113DAA CBB ABC ABB π∠=∠=∠=∠=，且1AB BB BC ==，所以三棱锥1B ABC -为正四面体，所以由正四面体结构性质1B 在底面ABC 的投影O 在BG （G 为AC 中点）上，且1112333GO BO BG ====，所以1B O ⊥平面ABC ，且1263B O ==，即点1B 到平面ABCD 的距离为3.【小问3详解】设直线1AC 与平面ABCD 的夹角为θ，由于1111ABCD A B C D -为一个平行六面体，则点1C 到平面ABCD 的距离等于点1B 到平面ABCD 的距离为3d =，由（1）中11AC AB AD AA =++，得到：1AC === ，则1sin 3d AC θ== ，显然π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 3θ==.20.已知圆1:O 224x y +=，圆2:O ()221x y m +-=()01m ≤<，点P 为圆2O 上的一点.（1）若过P 点作圆2O 的切线l 交圆1O 于A 、B 两点，且弦AB长度最大值与最小值之积为m 的值；（2）当0m =时，圆1O 上有C 、D 两点满足PC PD ⊥，求线段CD 长度的最大值.【答案】（1）12（21【解析】【分析】（1）画出图形，得出AB =，进一步由三角形三边关系得出1O Q 的最值，由此即可顺利得解.（2）由三角形三边关系、直角三角形性质可得关于CD 的不等式，解不等式即可得解.【小问1详解】设AB 中点为Q 点，连接12O O 、1O Q 、2O Q 、2O P ，由01m ≤<，得12211O O <-=，则圆1O 内含圆2O ，由垂径定理得：AB =，1AB O Q ⊥，由切线l 可得2AB O P ⊥，可得112121O Q O P O P O O m ≤≤+=+（当且仅当直线AB 为1y m =+时都取等），12121121O Q O P O O O P O O m ≥-≥-=-（当且仅当直线AB 为1y m =-+时都取等），所以111m O Q m -≤≤+，于是=，解得12m =.【小问2详解】取CD 中点T ，连接1O T 、TP 、1O P .当0m =时，1O 和2O 重合，由于PC PD ⊥，则12PT CD =，而11112O T PT O P CD ≥-=-，221144O T CD +=，则22114142CD CD ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，解得：1CD ≤，当且仅当1O 在线段TP 上时取等，所以CD 1.21.请解决以下两道关于圆锥曲线的题目.（1）已知圆:M ()22224x y a ++=()02a <<，圆P 过点()2,0N 且与圆M 外切.设P 点的轨迹为曲线E .①已知曲线Γ:x yλ=()R λ∈与曲线E 无交点，求λ的最大值（用a 表示）；②若记（2）中题①的λ最大值为0λ，圆:Q ()2211x y -+=和曲线00Γ:x y λ=相交于A 、B 两点，曲线E 与x 轴交于K 点，求四边形OAKB 的面积的最大值，并求出此时a 的值.（参考公式：322223a b c abc ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，其中,,0a b c >，当且仅当a b c ==时取等号）（2）如图，椭圆:C 22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F 、2F ，其上动点M 到1F 的距离最大值和最小值之积为1，且椭圆C 的离心率为2.①求椭圆C 的标准方程；②已知椭圆C 外有一点P ，过P 点作椭圆C 的两条切线，且两切线斜率之积为12-.是否存在合适的P 点，使得123F PF π∠=？若存在，请写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1；②四边形OAKB 的面积的最大值为839，实数a的值为3（2）①2214x y +=；②不存在P 点使得123F PF π∠=，理由见解析【解析】【分析】（1）①根据已知条件求出点P 的轨迹方程E ，再将两个曲线无交点转化为对应的方程组无解即可.②根据已知条件求出,A B 两点坐标，表示出所求四边形的面积结合参考的不等式求解即可.（2）①根据焦点弦的范围和离心率列方程组求解即可.②由点P 和椭圆关系可以求出点P 的轨迹方程；再根据123F PF π∠=也以确定点所在圆弧的轨迹方程；根据联立两个方程有没有解来判断是否存在这样的点P 即可.【小问1详解】由圆P 过点()2,0N 且与圆M 外切可得：2P P M P ON R OM R R R a ⎧=⎪⎨=+=+⎪⎩，所以有24OM ON a MN -=<=，则点P 的轨迹为以M 、N 为左右焦点，实轴长为2a 的双曲线右支，所以曲线:E 222214x y a a-=-()0x >.①显然，当0λ≤时，曲线Γ与曲线E 无交点，当0λ>时，()222Γ:Γ:0x y x y x λλ=⇔=≥，于是令2222222014x x y a a x y λ>⎧⎪⎪-=⎨-⎪=⎪⎩，得222241a a x λ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，若该方程在()0,∞+上无实数解，则22240a a λ--≤，解得λ≤所以λ.②将0λ=曲线00Γ:x y λ=得：曲线0Γ:x =22224a x y a ⇔=-()0x ≥，不妨令()222222411a x y a x y ⎧=⎪-⎨⎪-+=⎩，得0x =或212a ，于是212A B x x a ==，则四边形OAKB的面积12OAKB S a ==根据参考公式将该式化为32222228283269OAKB a a a S a ⎛⎫⎛⎫++-=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2a =取等号，解得263a =或3-，负值舍去）所以四边形OAKB 的面积的最大值为839，此时实数a 的值为263.【小问2详解】①由焦点弦取值范围1a c MF a c -≤≤+，离心率c e a =得：()()21c a a c a c ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得：21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.②设00(,)P x y ，过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，由对称性不妨令00≥y ，()220014x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消元得()()()2220000418440k x k y kx x y kx ++-+--=，令Δ0=，化简得：()()22200004210x k x y k y --+-=，由于两切线斜率之积为12-，则202020401142x y x ⎧-≠⎪-⎨=-⎪-⎩，化简得：2200163x y +=()02x ≠±，由于123F PF π∠=，则点P 在以12F F 为弦所对圆心角为23π的圆的优弧 12F F 上，当00≥y 时，易得该圆的方程为()2214x y +-=，不妨令()22221631420x y x y x y ⎧+=⎪⎪⎪+-=⎨⎪≠±⎪⎪≥⎩，解得该方程组无实数解，则当00≥y 时，不存在P 点使得123F PF π∠=，由对称性可知，当00≤y 时也不存在P 点使得123F PF π∠=，综上，不存在P 点使得123F PF π∠=.。

四川省成都市龙泉驿区高二上期末数学理科试卷

四川省成都市龙泉驿区高二上期末数学理科试卷

2016-2017学年四川省成都市龙泉驿区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x﹣2017=0的倾斜角为（）A．0 B．C．D．不存在2．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A．101 B．808 C．1212 D．20123．已知p1：直线l1：x﹣y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行，q：a=﹣1，则p是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A．B．2 C．D．15．已知O，A，B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过的范围内对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A．B．C．D．6．若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（）A．（0，0）B．C．D．（2，2）7．某班对一模考试数学成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将70个同学按00，01，02，…，69进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的第10个样本中第8个样本的编号是（）（注：如表为随机数表的第8行和第9行）63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．A．07 B．44 C．38 D．518．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是（）A．一个算法只能含有一种逻辑结构B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合9．如图，边长为a的正方形最长的网格中，设椭圆C1，C2，C3的离心率分别为e1，e2，e3，则（）A．e1=e2＜e3B．e1＜e2=e3C．e1=e2＞e3D．e2=e3＜e110．下列说法错误的是（）A．命题“若x2﹣5x﹣6=0”则“x=2”的逆否命题是“若x≠2”则“x2﹣5x﹣6≠0”B．若命题p：存在，则￢p：对任意x∈R，x2+x+1≥0C．若x，y∈R，则x=y是“”的充要条件D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p和q中必一真一假11．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的取值范围为（）A．[2，8]B．[4，13]C．[2，13]D．12．已知E，F为双曲线的左右焦点，抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，且与双曲线交于A、B不同两点，若5|AF|=4|EF|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．若直线ax+2y+4=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，那么a的值为．14．已知直线5x+12y+m=0与圆x2﹣2x+y2=0相切，则m=．15．如果执行如图所示的程序框图，输入x=4.5，则输出的数i=．16．下列结论：①一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；②设k＜3，k≠0，则与必有相同的焦点；③点P（m，3）在圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=2的外部；④已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by﹣c=0通过第一、三、四象限．其中正确的序号是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0．AC边上的高BH所在直线为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．18．（12分）“双节”期间，告诉公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．19．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8x=0，过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求直线l方程及△POM的面积．20．（12分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．21．（12分）已知椭圆C：的离心率为，右顶点A是抛物线y2=8x 的焦点．直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如果，点M关于直线l的对称点N在y轴上，求k的值．22．（12分）如图，已知抛物线C：y2=4x，过点A（1，2）作抛物线C的弦AP，AQ．（Ⅰ）若AP⊥AQ，证明直线PQ过定点，并求出定点的坐标；（Ⅱ）假设直线PQ过点T（5，﹣2），请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的个数？如果不存在，请说明理由．2016-2017学年四川省成都市龙泉驿区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x﹣2017=0的倾斜角为（）A．0 B．C．D．不存在【考点】直线的倾斜角．【分析】直线x﹣2017=0与x轴垂直，由此能求出直线x﹣2017=0的倾斜角．【解答】解：∵直线x﹣2017=0与x轴垂直，∴直线x﹣2017=0的倾斜角为．故选：C．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线方程的性质的合理运用．2．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A．101 B．808 C．1212 D．2012【考点】分层抽样方法．【分析】根据甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数．【解答】解：∵甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12∴每个个体被抽到的概率为=样本容量为12+21+25+43=101∴这四个社区驾驶员的总人数N为=808故选B．【点评】本题主要考查了分层抽样，分层抽样是最经常出现的一个抽样问题，这种题目一般出现在选择或填空中，属于基础题．3．已知p1：直线l1：x﹣y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行，q：a=﹣1，则p是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线平行的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若两直线平行则≠，得a=﹣1，即p是q的充要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键．4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A．B．2 C．D．1【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），渐近线方程为y=±x所以焦点到其渐近线的距离d==2．故选：A【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．5．已知O，A，B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过的范围内对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】作出图形，以长度为测度，即可求出概率【解答】解：如图示：由题意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2，O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥AB，则OE=，所以CD=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1﹣=1﹣．故选：D．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查概率的计算，正确确定CD是关键．6．若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（）A．（0，0）B．C．D．（2，2）【考点】抛物线的定义．【分析】求出焦点坐标和准线方程，把|MF|+|MA|转化为|MA|+|PM|，利用当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值，把y=2代入抛物线y2=2x 解得x值，即得M的坐标．【解答】解：由题意得F（，0），准线方程为x=﹣，设点M到准线的距离为d=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=3﹣（﹣）=．把y=2代入抛物线y2=2x 得x=2，故点M的坐标是（2，2），故选D．【点评】本题考查抛物线的定义和性质得应用，解答的关键利用是抛物线定义，体现了转化的数学思想．7．某班对一模考试数学成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将70个同学按00，01，02，…，69进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的第10个样本中第8个样本的编号是（）（注：如表为随机数表的第8行和第9行）63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．A．07 B．44 C．38 D．51【考点】简单随机抽样．【分析】根据题意，写出从随机数表选出的10个样本数中第8个样本的编号即可．【解答】解：70个同学按00，01，02，…，69进行编号，从随机数表第9行第9列的数开始向右读，选出的第10个样本数分别是29，（78舍去），64，56，07，（82舍去），52，42，（07舍去），44，38，15，51；第8个样本的编号是38．故选：C．【点评】本题考查了简单随机抽样的应用问题，解题时应会使用随机数表，是基础题目．8．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是（）A．一个算法只能含有一种逻辑结构B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合【考点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用．【分析】根据算法中三种逻辑结构的定义，顺序结构是最基本的结构，每个算法一定包含顺序结构；选择结构是算法中出现分类讨论时使用的逻辑结构，循环结构一定包含一个选择结构；分析四个答案，即可得到结论．【解答】解：算法有三种逻辑结构最基本的是顺序结构一个算法一定包含有顺序结构，但是可以含有上述三种逻辑结构的任意组合，故选D．【点评】本题考查的知识点是算法的概念及算法的特点，是对概念的直接考查，属基础题，熟练掌握相关概念是解答本题的关键．9．如图，边长为a的正方形最长的网格中，设椭圆C1，C2，C3的离心率分别为e1，e2，e3，则（）A．e1=e2＜e3B．e1＜e2=e3C．e1=e2＞e3D．e2=e3＜e1【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据图形，利用椭圆的离心率计算公式即可得出结论．【解答】解：先看椭圆C1，长轴2a1=4a，短轴2b1∈（2a，4a），∴离心率e1==∈（0，）．椭圆C2，长轴2a1=8a，短轴2b2=4a，∴离心率e2===．同理可得椭圆C3的离心率e3=．∴e1、e2、e3的关系为e1＜e2=e3．故选：B．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．下列说法错误的是（）A．命题“若x2﹣5x﹣6=0”则“x=2”的逆否命题是“若x≠2”则“x2﹣5x﹣6≠0”B．若命题p：存在，则￢p：对任意x∈R，x2+x+1≥0C．若x，y∈R，则x=y是“”的充要条件D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p和q中必一真一假【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．写出命题“若x2﹣5x﹣6=0”则“x=2”的逆否命题，即可判断其正误；B．写出命题p：存在，的否定，即可判断其正误；C．利用充分必要条件的定义，从正反两个方面推理，即可判断其正误；D．利用若“p或q”为假命题，则命题p和q都假可判断其正误．【解答】解：对于A，命题“若x2﹣5x﹣6=0”则“x=2”的逆否命题是“若x≠2”则“x2﹣5x ﹣6≠0”，故A正确；对于B，若命题p：存在，则￢p：对任意x∈R，x2+x+1≥0，故B 正确；对于C，若x，y∈R，则x=y⇒“”成立，反之，也成立，故x=y是“”的充要条件，故C正确；对于D，已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p和q中必都假，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，熟练掌握命题及其否定、特称命题与全称命题之间的关系是解决问题的关键，属于中档题．11．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的取值范围为（）A．[2，8]B．[4，13]C．[2，13]D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，则z=x2+y2的几何意义为动点P（x，y）到原点的距离的平方，则当动点P位于A时，OA的距离最大，当直线x+y=2与圆x2+y2=z相切时，距离最小，即原点到直线x+y=2的距离d=，即z的最小值为z=d2=2，由，解得，即A（3，2），此时z=x2+y2=32+22=9+4=13，即z的最大值为13，即2≤z≤13，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．12．已知E，F为双曲线的左右焦点，抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，且与双曲线交于A、B不同两点，若5|AF|=4|EF|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义求出|BE|=10a，|BF|=8a，结合抛物线的定义求出交点B的纵坐标，结合直角三角形的边角关系建立方程进行求解即可．【解答】解：根据双曲线和抛物线的对称性得|BF|=|AF|=|BE|，∵|BE|﹣|BF|=2a，∴|BE|﹣|BE|=|BE|=2a，则|BE|=10a，|BF|=8a，∵抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，∴=c，且x=﹣c是抛物线的准线，则|BD|=|BF|=8a，设B（x，y），则由抛物线的性质得x+c=8a，即x=8a﹣c，代入抛物线方程y2=2px=4cx得y2=4c（8a﹣c），则|DE|2=y2=4c（8a﹣c），在直角三角形BDE中，BE2=DE2+BD2，即100a2=64a2+4c（8a﹣c），即36a2﹣32ac+4c2=0，即c2﹣8ac+9a2=0，解e2﹣8e+9=0，得e==4±，∵0＜a＜b，∴e==＞，∴e=4+，故选：A【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据抛物线和双曲线的定义建立方程关系，求出a，c的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．若直线ax+2y+4=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，那么a的值为﹣2．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．【解答】解：由于直线x+y﹣2=0的斜率存在，且直线ax+2y+4=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，则﹣1×（﹣）=﹣1，解得a=﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知直线5x+12y+m=0与圆x2﹣2x+y2=0相切，则m=8或﹣18．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．【解答】解：整理圆的方程为（x﹣1）2++y2=1故圆的圆心为（1，0），半径为1直线与圆相切∴圆心到直线的距离为半径即=1，求得m=8或﹣18故答案为：8或﹣18【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．解题的过程充分利用数形结合的思想和直线与圆相切的性质．15．如果执行如图所示的程序框图，输入x=4.5，则输出的数i=4．【考点】循环结构．【分析】计算循环中x，与i的值，当x＜1时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：循环前x=3.5，不满足判断框条件，第1次循环，i=2，x=2.5，第2次判断后循环，i=3，x=1.5，第3次判断并循环i=4，x=0.5，满足判断框的条件退出循环，输出i=4．故答案为：4．【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．16．下列结论：①一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；②设k＜3，k≠0，则与必有相同的焦点；③点P（m，3）在圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=2的外部；④已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by﹣c=0通过第一、三、四象限．其中正确的序号是②③④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的；②，设k＜3，k≠0，当0＜k＜3，则0＜3﹣k＜3，表实轴为x轴的双曲线，a2+b2=3=c2．当k＜0时，﹣k＞0，且3﹣k＞﹣k，表实轴为x轴焦点在x轴上的椭圆．a2=3﹣k，b2=﹣k．③，（m﹣2）2+（3﹣1）2＞2，可判定④把直线的方程化为斜截式，判断斜率及在y轴上的截距的符号，从而确定直线在坐标系中的位置【解答】解：对于①，∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．故正确对于②，设k＜3，k≠0，当0＜k＜3，则0＜3﹣k＜3，表实轴为x轴的双曲线，a2+b2=3=c2．∴二曲线有相同焦点；当k＜0时，﹣k＞0，且3﹣k＞﹣k，表实轴为x轴焦点在x轴上的椭圆．a2=3﹣k，b2=﹣k．∴a2﹣b2=3=c2与已知椭圆有相同焦点．故正确；对于③，∵（m﹣2）2+（3﹣1）2＞2，∴点P（m，3）在圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=2的外部，故正确；对于④，由ab＜0，bc＜0得，则直线ax+by﹣c=0的斜率k＞0，直线在y轴上的截距为，故直线第一、三、四象限，正确．故答案为：②③④【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及了大量的基础知识，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）（2016秋•龙泉驿区期末）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0．AC边上的高BH所在直线为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【考点】待定系数法求直线方程；两条直线的交点坐标．【分析】（1）先求直线AC的方程，然后求出C的坐标．（2）设出B的坐标，求出M代入直线方程为2x﹣y﹣5=0，与直线为x﹣2y﹣5=0．联立求出B的坐标然后可得直线BC的方程．【解答】解：直线AC的方程为：y﹣1=﹣2（x﹣5），即2x+y﹣11=0，解方程组得则C点坐标为（4，3）．设B（m，n），则M（，），，整理得，解得则B点坐标为（﹣1，﹣3），y﹣3=（x﹣4），即6x﹣5y﹣9=0．【点评】本题考查两条直线的交点，待定系数法求直线方程，是基础题．18．（12分）（2016秋•龙泉驿区期末）“双节”期间，告诉公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图知[75，80）对应的小矩形最高，由此能求出这40辆小型汽车车速的众数；由频率分布直方图求出[60，75）对应的频率为0.35，[75，80）对应的频率为0.3，由此能求出中位数的估计值．（2）车速在[60，70）内频率为0.15，从而车速在[60，70）内的车辆有6辆，其中车速在[60，65）内的车辆有2辆，车速在[65，70）内的车辆有4辆，由此能求出从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图知[75，80）对应的小矩形最高，∴这40辆小型汽车车速的众数为：=77.5（km/h）．由频率分布直方图知[60，75）对应的频率为：（0.010+0.020+0.040）×5=0.35，[75，80）对应的频率为：0.060×5=0.3，∴中位数的估计值为：=77.5（km/h）．（2）车速在[60，70）内频率为（0.010+0.020）×5=0.15，∴车速在[60，70）内的车辆有0.15×40=6辆，其中车速在[60，65）内的车辆有：0.010×5×40=2辆，车速在[65，70）内的车辆有：0.020×5×40=4辆，∴从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，基本事件总数n=，车速在[65，70）内的车辆恰有一辆包含的基本事件个数m==8，∴车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率p==．【点评】本题考查众数、中位数的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．19．（12分）（2016秋•龙泉驿区期末）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8x=0，过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求直线l方程及△POM的面积．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）圆C的方程可化为（x﹣4）2+y2=16，由此能求出圆心为C（4，0），半径为4，设M（x，y），求出向量CM，MP的坐标，由=0，运用向量的数量积的坐标表示，化简整理求出M的轨迹方程；（2）由（1）知M的轨迹是以点N（3，1）为圆心，为半径的圆．由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，可得ON⊥PM，由直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由点斜式方程可得直线l的方程．利用点到直线距离公式结合已知条件能求出△POM的面积【解答】解：（1）圆C的方程可化为（x﹣4）2+y2=16，所以圆心为C（4，0），半径为4，设M（x，y），则=（x﹣4，y），=（2﹣x，2﹣y），由题设知=0，故（x﹣4）（2﹣x）+y（2﹣y）=0，即（x﹣3）2+（y﹣1）2=2．由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（x﹣3）2+（y﹣1）2=2．（2）由（1）可知M的轨迹是以点N（3，1）为圆心，为半径的圆．由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为，所以l的斜率为﹣3，故l的方程为y﹣2=﹣3（x﹣2），即为3x+y﹣8=0．又|OP|=|OM|=2，O到l的距离为，|PM|=，所以△POM的面积为．【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．20．（12分）（2016•广元二模）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（1）利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可．（2）根据所给的茎叶图，得出甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差．（3）设甲班至少有一名学生为事件A，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案．【解答】解：（1）∵甲班学生的平均分是85，∴，∴x=5，∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y=3；（2）甲班7位学生成绩的方差为s2==40；（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E，从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，则．答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．【点评】本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．21．（12分）（2015•丰台区一模）已知椭圆C：的离心率为，右顶点A是抛物线y2=8x的焦点．直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如果，点M关于直线l的对称点N在y轴上，求k的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）确定椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C联立，确定M的坐标，进一步可得MN中点坐标，由于M，N关于直线l对称，所以M，N所在直线与直线l垂直，即可求k的值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2=8x，所以焦点坐标为（2，0），即A（2，0），所以a=2．又因为e==，所以c=．所以b=1，所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为，所以=（x1+x2﹣4，y1+y2），所以M（x1+x2﹣2，y1+y2）．由直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C联立，得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，得x1+x2﹣2=﹣，y1+y2=，即M（﹣，）．设N（0，y3），则MN中点坐标为（﹣，），因为M，N关于直线l对称，所以MN的中点在直线l上，所以=k（﹣﹣1），解得y3=﹣2k，即N（0，﹣2k）．由于M，N关于直线l对称，所以M，N所在直线与直线l垂直，所以，解得k=±．…（14分）【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（12分）（2012•武昌区模拟）如图，已知抛物线C：y2=4x，过点A（1，2）作抛物线C的弦AP，AQ．（Ⅰ）若AP⊥AQ，证明直线PQ过定点，并求出定点的坐标；（Ⅱ）假设直线PQ过点T（5，﹣2），请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的个数？如果不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．【分析】（I）设直线l的方程与抛物线方程联立，利用AP⊥AQ，结合韦达定理，即可证明直线PQ过定点，并可求出定点的坐标；（II）先求出PQ的中点坐标，再结合三角形APQ为等腰三角形求出关于m的等式，借助于函数的单调性求出m的取值个数即可得到结论．【解答】（Ⅰ）证明：设直线PQ的方程为x=my+n，点P、Q的坐标分别为P（x1，y1），Q（x2，y2）．直线方程代入抛物线方程，消x得y2﹣4my﹣4n=0．由△＞0，得m2+n＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4n．∵AP⊥AQ，∴，∴（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）=0．∴（y1﹣2）（y2﹣2）[（y1+2）（y2+2）+16]=0，∴（y1﹣2）（y2﹣2）=0或（y1+2）（y2+2）+16=0．∴n=2m﹣1或n=2m+5，∵△＞0恒成立，∴n=2m+5．∴直线PQ的方程为x﹣5=m（y+2），∴直线PQ过定点（5，﹣2）．（Ⅱ）解：假设存在以PQ为底边的等腰三角形APQ，由第（Ⅰ）问可知，将n用2m+5代换得直线PQ的方程为x=my+2m+5．设点P、Q的坐标分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程代入抛物线方程，消x得y2﹣4my﹣8m﹣20=0．∴y1+y2=4m，y1•y2=﹣8m﹣20．∴PQ的中点坐标为（2m2+2m+5，2m）．由已知得，即m3+m2+3m﹣1=0．设g（m）=m3+m2+3m﹣1，则g′（m）=3m2+2m+3＞0，∴g（m）在R上是增函数．又g（0）=﹣1＜0，g（1）=4＞0，∴g（m）在（0，1）内有一个零点．∴函数g（m）在R上有且只有一个零点，即方程m3+m2+3m﹣1=0在R上有唯一实根．所以满足条件的等腰三角形有且只有一个．【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合问题．解决第一问的巧妙之处在于直线方程的设法．当直线的斜率不确定存在时，为避免讨论，常设直线方程为x=my+n的形式．。

2021-2022学年四川省成都市高二上学期期末考试(理科)数学试题

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绝密★启用前2021-2022学年四川省成都市高二上学期期末考试（理科）数学试题一、选择题（（每小题5分,共60分））1. 命题“,”的否定是( )A. ,B. ,C. ,D. ,答案：D解：命题“,”为全称命题,该命题的否定为“,”. 故选:D.2. 抛物线的准线方程是( )A. B. C. D.答案：C解：抛物线中,,解得,即, 所以抛物线的准线方程是. 故选:C.3. 在空间直角坐标系中,点关于轴对称的点的坐标为( )A. B. C. D.答案：B解：不妨设点关于轴对称的点的坐标为, 则线段垂直于轴且的中点在轴, 从而点关于轴对称的点的坐标为. 故选:B.4. 设直线,.若,则的值为( )A. 或B. 或C.D.答案：A解：因为,则,解得或. 故选:A.5. 下列有关命题的表述中,正确的是( )A. 命题“若是偶数,则,都是偶数”的否命题是假命题B. 命题“若为正无理数,则也是无理数”的逆命题是真命题C. 命题“若,则”的逆否命题为“若,则”D. 若命题“”,“”均为假命题,则,均为假命题答案：C解：选项A:原命题的否命题为:若不是偶数,则,不都是偶数, 若,都是偶数,则一定是偶数,从而原命题的否命题为真命题,故A错误; 选项B:原命题的逆命题:若是无理数,则也为正无理数, 当,即为无理数,但是有理数,故B错误; 选项C:由逆否命题的概念可知,C正确; 选项D:由为假命题可知,,至少有一个为假命题, 由为假命题可知,和均为假命题,故为假命题,为真命题,故D错误. 故选:C.6. 执行如图所示的算法框图,则输出的结果是( )A. B. C. D.答案：B解：第一次循环,不成立,,; 第二次循环,不成立, ,; 第三次循环,不成立,,;以此类推,最后一次循环,不成立,,.成立,跳出循环体,输出. 故选:B.7. 方程表示椭圆的充分不必要条件可以是( )A. B. C. D.答案：D解：若方程表示椭圆,则,解得或. 故方程表示椭圆的充分不必要条件可以是. 故选:D.8. 如图,是对某位同学一学期次体育测试成绩(单位:分)进行统计得到的散点图,关于这位同学的成绩分析,下列结论错误的是( )A. 该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高,且次测试成绩的极差超过分B. 该同学次测试成绩的众数是分C. 该同学次测试成绩的中位数是分D. 该同学次测试成绩与测试次数具有相关性,且呈正相关答案：C解：对于A,由散点图知,次测试成绩总体是依次增大,极差为,A正确; 对于B,散点图中个数据的众数是,B正确; 对于C,散点图中的个数由小到大排列,最中间两个数都是,则次测试成绩的中位数是分,C不正确; 对于D,散点图中个点落在某条斜向上的直线附近,则次测试成绩与测试次数具有相关性,且呈正相关,D正确. 故选:C.9. 若椭圆的弦恰好被点平分,则所在的直线方程为( )A. B. C. D.答案：D解：显然点在椭圆内,设点, 依题意,,两式相减得:, 而弦恰好被点平分,即, 则直线的斜率,直线,即, 所以所在的直线方程为. 故选:D.10. 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形,一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中随机地取一点,则该点恰好取自白色部分的概率为( )A. B. C. D.答案：A解：设七巧板正方形边长为,则大阴影等腰三角形底边长为,底边上的高为, 可得小正方形对角线长为,小正方形边长为,小阴影等腰直角三角形腰长为, 小白色等腰直角三角形底边长为,则左上角阴影等腰直角三角形腰长为, 因此,图中阴影部分面积, 而七巧板正方形面积, 于是得七巧板中白色部分面积为, 所以在此正方形中随机地取一点,则该点恰好取自白色部分的概率为. 故选:A.11. 已知双曲线的左,右焦点分别为,.若双曲线右支上存在点,使得与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点,且,则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.答案：B解：如图,因为与渐近线垂直所以的斜率为,方程为解的的坐标为设点坐标为则,因为, 所以,得点坐标为, 代入得:所以,即所以渐近线方程故选:B.12. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观,它蕴藏于特有的抽象概念,公式符号,推理论证,思维方法等之中,揭示了规律性,是一种科学的真实美.平面直角坐标系中,曲线就是一条形状优美的曲线,对于此曲线,给出如下结论: ①曲线围成的图形的面积是; ②曲线上的任意两点间的距离不超过; ③若是曲线上任意一点,则的最小值是. 其中正确结论的个数为( )A. B. C. D.答案：C解：当且时,曲线的方程可化为:; 当且时,曲线的方程可化为:; 当且时,曲线的方程可化为:; 当且时,曲线的方程可化为:, 曲线的图像如下图所示:由上图可知,曲线所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和, 从而曲线所围成的面积,故①正确; 由曲线的图像可知,曲线上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和,即,故②错误; 因为到直线的距离为, 所以, 当最小时,易知在曲线的第一象限内的图像上, 因为曲线的第一象限内的图像是圆心为,半径为的半圆, 所以圆心到的距离, 从而,即,故③正确, 故选:C.二、填空题（（每小题5分,共20分））13. 椭圆的长轴长为__________. 答案：解：椭圆方程化为:,令椭圆长半轴长为,则,解得, 所以椭圆的长轴长为. 故答案为:.14. 某班有位同学,将他们从至编号,现用系统抽样的方法从中选取人参加文艺演出,抽出的编号从小到大依次排列,若排在第一位的编号是,那么第四位的编号是__________.答案：解：因系统抽样是等距离抽样,依题意,相邻两个编号相距, 所以第四位的编号是. 故答案为:.15. 根据某市有关统计公报显示,随着“一带一路”经贸合作持续深化,该市对外贸易近几年持续繁荣,年至年每年进口总额(单位:千亿元)和出口总额(单位:千亿元)之间的一组数据如下:若每年的进出口总额,满足线性相关关系,则__________;若计划年出口总额达到千亿元,预计该年进口总额为__________亿元.答案：,千解：由数表得:,, 因此,回归直线过点,由,解得, 此时,,当时,即,解得, 所以,预计该年进口总额为千亿元. 故答案为:;千16. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点和,设椭圆和双曲线的离心率分别为,,为两曲线的一个公共点,且(为坐标原点).若,则的取值范围是__________.答案：解：设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,它们的半焦距为,于是得,, 由椭圆及双曲线的对称性知,不妨令焦点和在轴上,点在轴右侧, 由椭圆及双曲线定义得:,解得,, 因,即,而是线段的中点,因此有, 则有,即,整理得: , 从而有,即有,又,则有,即,解得, 所以的取值范围是. 故答案为:.三、解答题（（,共70分））17. 已知的三个顶点是,,. (1)求边所在的直线方程; (2)求经过边的中点,且与边平行的直线的方程.答案：见解析;解：(1)因为,, 所以边所在的直线方程为, 即; (2)因为,, 所以的中点为:, 又, 所以直线方程为:, 即.18. 某班主任对全班名学生进行了作业量多少与手机网游的调查,数据如下表:(1)若随机地抽问这个班的一名学生,分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率; (2)若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了名学生.现要从这名学生中任取名学生了解情况,求其中恰有名“不喜欢手机网游”的学生的概率.答案：见解析;解：(1) 由题意可知,全班名学生中,“认为作业不多”的学生人数为人, “喜欢手机网游且认为作业多”的学生人数为人, 因此,随机地抽问这个班的一名学生,事件“认为作业不多”的概率为, 事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率为. (2) 在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了名学生, 这名学生中“不喜欢手机网游”的学生人数为,记为,名学生中“喜欢手机网游”的学生人数为,分别记为、、、, 从这名学生中任取名学生,所有的基本事件有:、、、、、、、、、,共种, 其中,事件“恰有名“不喜欢手机网游”的学生”包含的基本事件有:、、、,共种, 故所求概率为.19. 已知圆的圆心为,且圆经过点. (1)求圆的标准方程; (2)若圆:与圆恰有两条公切线,求实数的取值范围.答案：见解析;解：(1)依题意,圆的半径, 所以圆的标准方程是: . (2)圆的圆心,半径为, 因圆与圆恰有两条公切线,则有圆与圆相交,即,而, 因此有,解得, 所以实数的取值范围是.20. 为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程,增进学生对中国共产党的热爱,某学校举办了一场党史竞赛活动,共有名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的成绩,从中抽取了名学生的得分(得分均为整数,满分为分)进行统计,所有学生的得分都不低于分,将这名学生的得分进行分组,第一组,第二组,第三组,第四组(单位:分),得到如下的频率分布直方图.(1)求图中的值,估计此次竞赛活动学生得分的中位数; (2)根据频率分布直方图,估计此次竞赛活动得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励,请估计在参赛的名学生中有多少名学生获奖.答案：见解析;解：(1)由频率分布直方图知:,解得, 设此次竞赛活动学生得分的中位数为,因数据落在内的频率为,落在内的频率为, 从而可得,由得:, 所以,估计此次竞赛活动学生得分的中位数为. (2)由频率分布直方图及(1)知:数据落在,,,的频率分别为,, 此次竞赛活动学生得分不低于的频率为, 则, 所以估计此次竞赛活动得分的平均值为,在参赛的名学生中估计有名学生获奖.21. 已知抛物线的焦点为,直线与抛物线在第一象限的交点为,且.(1)求抛物线的方程; (2)经过焦点作互相垂直的两条直线,,与抛物线相交于,两点,与抛物线相交于,两点.若,分别是线段,的中点,求的最小值.答案：见解析;解：(1)抛物线的准线方程为:, 由抛物线定义得:,解得, 所以抛物线方程为:. (2)由(1)知,点,显然直线,的斜率都存在且不为,设直线斜率为,则的斜率为, 直线的方程为:,由消去并整理得, 设,则,于是得线段中点,同理得, 则, 当且仅当,即时取“”, 所以的最小值是.22. 已知点是圆上任意一点,是圆内一点,线段的垂直平分线与半径相交于点. (1)当点在圆上运动时,求点的轨迹的方程; (2)设不经过坐标原点,且斜率为的直线与曲线相交于,两点,记,的斜率分别是,.当,都存在且不为时,试探究是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.答案：见解析;解：(1)圆的圆心,半径, 因线段的垂直平分线与半径相交于点,则,而, 于是得, 因此,点的轨迹是以,为左右焦点,长轴长为的椭圆,短半轴长有, 所以轨迹的方程为. (2)依题意,设直线的方程为:,, 由消去并整理得:,,则且, 设,则有, , 因直线,的斜率,都存在且不为,因此,且,,, 所以直线,的斜率,都存在且不为时,是定值,这个定值是.。

高二上学期期末考试数学(理)试题及答案

高二上学期期末考试数学(理)试题及答案

N MD 1C 1B 1A 1DCA学年第一学期高二年级期末质量抽测 数 学 试 卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3． 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）抛物线210y x =的焦点到准线的距离为（A ）52（C ）5 （C ）10 （D ）20 （2）过点(2,1)-且倾斜角为060的直线方程为(A) 10y --=( B) 330y --=( C)10y -+=( D)330y -+=（3）若命题p 是真命题，命题q 是假命题，则下列命题一定是真命题的是(A)p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ (C)()p q ⌝∧ (D )()()p q ⌝∨⌝（4）已知平面α和直线,a b ，若//a α，则“b a ⊥”是“b α⊥”的(A)充分而不必要条件 ( B )必要而不充分条件 ( C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 （5）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是面对角线111A B B D 与的中点，若1,,,DA DC DD ===a b c 则MN =CA 1俯视图侧（左）视图正（主）视图(A)1()2+-c b a ( B) 1()2+-a b c ( C) 1()2-a c ( D) 1()2-c a（6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>(A) y =( B) y x = ( C) 12y x =± ( D) 2y x =± （7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(A )2+ ( B)2( C)4+ ( D)4（8）从点(2,1)P -向圆222220x y mx y m +--+=作切线，当切线长最短时m 的值为（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2（9）已知点12,F F 是椭圆22:14x C y +=的焦点，点M 在椭圆C 上且满足1223MF MF += 则12MF F ∆的面积为(A)3(B) 2(C ) 1 (D) 2 (10) 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是左侧面11ADD A 上的一个动点，满足11BC BM ⋅=，则1BC 与BM 的夹角的最大值为 (A) 30︒ ( B) 45︒ ( C ) 60︒ ( D) 75︒P D 1C 1B 1A 1D C BAD 1C 1B 1A 1D第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）(11)若命题2:R,220p x x x ∃∈++>，则:p ⌝ ． (12) 已知(1,3,1)=-a ，(1,1,3)=--b ，则-=a b ______________.(13)若直线()110a x y +++=与直线220x ay ++=平行，则a 的值为____ .(14)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设 11AD AA ==， 2AB =，P 是11C D 的中点，则11B C A P 与所成角的大小为____________， 11BC A P ⋅=___________.(15)已知P 是抛物线28y x =上的一点，过点P 向其准线作垂线交于点E ，定点(2,5)A ，则PA PE +的最小值为_________；此时点P 的坐标为_________ .(16)已知直线:10l kx y -+=()k ∈R ．若存在实数k ，使直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且||||AB k =，则称曲线C 具有性质P ．给定下列三条曲线方程： ① y x =-； ② 2220x y y +-=； ③ 2(1)y x =+． 其中，具有性质P 的曲线的序号是________________ .三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）(本小题满分14分)已知圆22:2410C x y x y +--+=. (I)求过点(3,1)M 的圆C 的切线方程；(II)若直线:40l ax y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且弦AB的长为a 的值．（18）(本小题满分14分)在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，ACBD O =，11AB AA ==.(I)求证：111//OC AB D 平面；N MDCBAP(II)求证：1111AB D ACC A ⊥平面平面； (III)求三棱锥111A AB D -的体积. （19）(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且经过点(0,1)A -．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)如果过点3(0,)5B 的直线与椭圆交于,M N 两点（,M N 点与A 点不重合），求证：AMN ∆为直角三角形．（20）(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥底面，底面ABCD 为直角梯形，//,90,AD BC BAD ∠=︒22PA AD AB BC ====，过AD 的平面分别交PB PC ，于,M N 两点.（I ）求证：//MN BC ；（II ）若,M N 分别为,PB PC 的中点，①求证：PB DN ⊥；②求二面角P DN A --的余弦值.（21）(本小题满分14分)抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是抛物线上两个动点，F 为抛物线的焦点，且8AF BF +=. （I ） 求p 的值；（II ） 线段AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；（III ）求直线l 的斜率的取值范围.高二年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 （理科）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（11）2:,220p x x x ⌝∀∈++≤R（12） 6 （13）1或2- （14）60︒；1 （15）5；(2,4) （16）②③ 三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）（本小题满分14分）解：（I ）圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y -+-=，圆心(1,2)C ，半径是2.…2分①当切线斜率存在时，设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=. ……3分因为2d ===，所以34k =. …………6分 ②当切线斜率不存在时，直线方程为3x =，与圆C 相切. ……… 7分所以过点(3,1)M 的圆C 的切线方程为3x =或3450x y --=. ………8分（II ）因为弦AB 的长为所以点C 到直线l 的距离为11d ==. ……10分 即11d ==. …………12分所以34a =-. …………14分O 1ABCDA 1B 1C 1D 1O（18）（本小题满分14分）证明：(I) 如图，在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，设11111AC B D O =，连接1AO .因为1111//AA CC AA CC =且，所以四边形11AAC C 是平行四边形.所以1111//AC AC AC AC =且. ……1分因为底面ABCD 是菱形， 所以1111//O C AO O C AO =且. 所以四边形11AOC O 是平行四边形.所以11//AO OC . ……2分 因为111AO AB D ⊂平面，111OC AB D ⊄平面所以111//OC AB D 平面. ……4分(II)因为11111AA A B C D ⊥平面，111111B D A B C D ⊂平面，所以111B D AA ⊥. ……5分 因为底面ABCD 是棱形，所以1111B D AC ⊥. ……6分 因为1111AA AC A =，所以1111B D ACC A ⊥平面. ……7分 因为1111B D AB D ⊂平面， ……8分 所以1111AB D ACC A ⊥平面平面. ……9分 (III)由题意可知，11111AA A B C D ⊥平面，所以1AA 为三棱锥111A A B D -的高. ……10分因为111111111111111332A AB D A A B D A B D V V S AA --∆==⋅=⨯⨯所以三棱锥111A AB D -. ……14分(19)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为椭圆经过点(0,1)A -，e =， 所以1b =. ……1分由c e a ===，解得2a =. ……3分 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……4分（Ⅱ）若过点3(0,)5的直线MN 的斜率不存在，此时,M N 两点中有一个点与A 点重合，不满足题目条件． ……5分若过点3(0,)5的直线MN 的斜率存在，设其斜率为k ，则MN 的方程为35y kx =+，由223514y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得222464(14)0525k x kx ++-=. ……7分设1122(,),(,)M x y N x y ，则122122245(14)64,25(14)0k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⋅=-⎨+⎪⎪∆>⎪⎩， ……9分 所以1212266()55(14)y y k x x k +=++=+， 221212122391009()52525(14)k y y k x x k x x k -+⋅=⋅+++=+. ……11分因为(0,1)A -，所以1122121212(,1)(,1)()1AM AN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=++++22264100925(14)25(14)k k k -+=-+++26105(14)k ++=+所以AM AN ⊥,AMN ∆为直角三角形得证． ……14分(20)（本小题满分14分）证明：（I ）因为底面ABCD 为直角梯形， 所以//BC AD .因为,,BC ADNM AD ADNM ⊄⊂平面平面所以//BC ADNM 平面. ……2分 因为,BC PBC PBCADNM MN ⊂=平面平面平面，所以//MN BC . ……4分 （II ）①因为,M N 分别为,PB PC 的中点，PA AB =，所以PB MA ⊥. ……5分 因为90,BAD ∠=︒ 所以DA AB ⊥.因为PA ABCD ⊥底面，所以DA PA ⊥. 因为PAAB A =，所以DA PAB ⊥平面. 所以PB DA ⊥. ……7分 因为AMDA A =，所以PB ADNM ⊥平面因为DN ADNM ⊂平面，所以PB DN ⊥. ……9分 ②如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -. ……10分 则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D P . ……11分由（II ）可知，PB ADNM ⊥平面，所以ADNM 平面的法向量为(2,0,2)BP =-. ……12分 设平面PDN 的法向量为(,,)x y z =n 因为(2,1,2)PC =-，(0,2,2)PD =-, 所以00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n .即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩.令2z =，则2y =，1x =. 所以(1,2,2)=n所以cos ,622BP BP BP⋅〈〉===n n n .所以二面角P DN A --的余弦值为6. ……14分(21)（本小题满分14分）解:（I ）因为抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，所以由221y px y x ⎧=⎨=+⎩ 得：2220(0)y py p p -+=>有两个相等实根. …2分即2484(2)0p p p p ∆=-=-=得：2p =为所求. ……4分 （II ）法一：抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………5分 设直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点(,0)C m . 由C 在AB 的垂直平分线上，从而AC BC =………6分即22221122()()x m y x m y -+=-+. 所以22221221()()x m x m y y ---=-.即12122112(2)()444()x x m x x x x x x +--=-=-- ………8分 因为12x x ≠，所以1224x x m +-=-. 又因为126x x +=，所以5m =， 所以点C 的坐标为(5,0).即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分 法二：由112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+.由24y x y kx m⎧=⎨=+⎩可得222(24)0k x km x m +-+=. ………5分 所以12221224216160km x x k m x x k km -⎧+=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪∆=-+>⎪⎪⎩. ………6分因为抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………7分 所以232km k +=.设线段AB 的中点为00(,)M x y . 则12003,32x x x y k m +===+. 所以(3,3)M k m +. ………8分 所以线段AB 的垂直平分线的方程为13(3)y k m x k--=--. ………9分 令0y =，可得2335x m mk =++=.即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分 （III ）法一：设直线l 的斜率为1k ，由（II ）可设直线l 方程为1(5)y k x =-.设AB 的中点00(,)M x y ，由12032x x x +==.可得0(3,)M y .因为直线l 过点0(3,)M y ，所以012y k =-.………11分 又因为点0(3,)M y 在抛物线24y x =的内部，所以2012y <.…12分 即21412k < ，则213k <.因为12x x ≠，则10k ≠. …13分 所以1k的取值范围为((0,3).………14分 法二：设直线l 的斜率为1k ，则11k k =-.由（II ）可知223km k =-.因为16160km ∆=-+>，即1km <， …11分 所以2231k -<.所以213k >.即21113k >.所以2103k <<.…12分 因为12x x ≠，则10k ≠. …13分 所以1k的取值范围为((0,3).………14分。

四川省成都市第九中学高二数学理上学期期末试卷含解析

四川省成都市第九中学高二数学理上学期期末试卷含解析

四川省成都市第九中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知复数，则该复数的模等于（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C略2. 已知圆O：；直线过点（0，3），倾斜角为，在区间（0，π）内随机取值，与圆O相交于A、B两点，则|AB|≤的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C3. 直线（其中t为参数，）的倾斜角为( )A．αB．C．D．参考答案：C考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把直线的参数方程化为普通方程，再根据直线的斜率求出倾斜角．解答：解：把直线（其中t为参数，）的参数方程化为普通方程是y+2=tan（α﹣）（x﹣1），其中0＜α＜；∴直线的斜率k=tan（α﹣）＜0，∴倾斜角为π+（α﹣）=+α．故选：C．点评：本题考查了直线的参数方程的应用问题，解题时应把参数方程化为普通方程，是基础题目．4. 是虚数单位，=（）A. B. C. D.参考答案：D5. 若则等于（）A．3 B．6 C． D．参考答案：A6. 在区间[0,2π]上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（）A. B. C. D. ．参考答案：C【分析】根据，求出的范围，结合几何概型，即可求出结果.【详解】当时，由得或，因此所求概率为.故选C7. 下列命题错误的是( )A.命题“若则方程有实根”的逆否命题为：“若方程无实根则”B. 对于命题“使得”，则“均有”C. 若为假命题，则均为假命题D. “”是“”的充分不必要条件参考答案：C略8. 已知，，由下列结论，，，…，得到一个正确的结论可以是A. B. C. D.参考答案：D9. 若椭圆＋y2＝1上一点A到焦点F1的距离为2，B为AF1的中点，O是坐标原点，则|OB|的值为( )．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B10. “”是“方程表示椭圆”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 随机变量ξ的分布列为则ξ为奇数的概率为________．参考答案：12. 已知全集，集合，集合.求（Ⅰ）(C U A)∪B；（Ⅱ）.(C U A)∩(C U B)参考答案：已知全集，集合，集合.求（Ⅰ）(C U A)∪B；（Ⅱ）.(C U A)∩(C U B)解：（Ⅰ）（Ⅱ）略13. 对一块边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S1=；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第n步，所得图形的面积S n=（）n．若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则（Ⅰ）当n=1时，所得几何体的体积V1= ．（Ⅱ）到第n步时，所得几何体的体积V n= ．参考答案：，【考点】归纳推理．【分析】类比正方形求面积，可得正方体求体积，得出所有体积构成以为首项，为公比的等比数列，从而可得结论．【解答】解：推广到棱长为1的正方体中，第一步，将它分割成3×3×3个正方体，其中心和八个角的9个小正方体，其体积为=，第二步，执行同样的操作，其体积为（）2，…依此类推，到第n步，所有体积构成以为首项，为公比的等比数列，∴到第n步，所得几何体的体积V n=（）n=，故答案为，14. 某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有▲种选法（用数字作答）．参考答案：31015. 已知抛物线点的坐标为（12，8），N点在抛物线C上，且满足O为坐标原点．则抛物线C的方程____________。

2017学年四川省成都七中高二上学期期末数学试卷及参考答案(理科)

2017学年四川省成都七中高二上学期期末数学试卷及参考答案(理科)

2017学年四川省成都七中高二上学期期末数学试卷及参考答案(理科)2016-2017学年XXX（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（5分）命题p：“a=-2”是命题q：“直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直”成立的（）A。

充要条件 B。

充分非必要条件C。

必要非充分条件 D。

既不充分也不必要条件2.（5分）XXX为了全面落实素质教育，切实有效减轻学生课业负担，拟从林荫、高新两个校区的初高中学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大。

在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A。

简单随机抽样 B。

按性别分层抽样C。

按年级分层抽样 D。

系统抽样3.（5分）圆（x+2）²+y²=4与圆（x-2）²+(y-1)²=9的位置关系为（）A。

内切 B。

相交 C。

外切 D。

相离4.（5分）已知双曲线的离心率为2，那么双曲线的渐近线方程为（）A。

B。

x±y=0C。

2x±y=0 D。

5.（5分）函数f(x)=x²-x-2，x∈[-5,5]，在定义域内任取一点x，使f(x)≤0的概率是（）A。

B。

C。

D。

6.（5分）设实数x，y满足，则μ=的取值范围是（）A。

[，2] B。

[，]C。

[，2] D。

[2，]7.（5分）有5名高中优秀毕业生回母校成都7中参加高2015级励志成才活动，到3个班去做研究经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A。

200 B。

180C。

150 D。

2808.（5分）柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，下列叙述错误的是（）A。

取出的鞋不成对的概率是0B。

取出的鞋都是左脚的概率是0C。

取出的鞋都是同一只脚的概率是0D。

取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是1/39.（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是（）A。

高二上学期期末考试数学(理)试题及答案 (11)

高二上学期期末考试数学(理)试题及答案 (11)

学年度高二第一学期期末学分认定考试数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（填空题和解答题）两部分。

满分150分； 考试时间120分钟.考试结束后，监考教师将答题纸和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（共50分）注意事项：本试卷分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ｉ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是( )A ．2214y x -= B ．2214x y -=C ．2212y x -= D ．2212x y -= 2．设,a b ∈R ，则“0a b >>”是“11a b<”的（ ）条件 A ．充分而不必要 B ．必要而不充分 C ．充分必要 D ．既不充分也不必要 3．在ABC ∆中，如果=cos cos a bB A，则该三角形是 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．以上答案均不正确4．已知数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，那么4a 的值为A ．1B ．2C ．4D ．85．在平面直角坐标系中，不等式组0400x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（ ）A . 2B . 4C . 8D . 16 6．若不等式08322≥-+kx kx的解集为空集，则实数k 的取值范围是（ ） A . )0,3(- B .)3,(--∞ C . (]0,3- D .),0[]3,(+∞--∞ 7．下列命题中，说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B.“102x <<”是“(12)0x x ->”的必要不充分条件 C ．命题“0x ∃∈R ，使得20010x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++>”D ．命题“在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >”的逆否命题为真命题 8．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为S n 和T n ，且231n n S nT n =+，则55b a A ．32 B ． 149 C ． 3120 D ． 979．在ABC ∆中，，，4530,2===C A a 则ABC S ∆=（ ） A ．2 B ．22 C ．13+ D ．()1321+10．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ． 3(0,]4B ．3(0,]2 C ．3[,1)2 D ．3[,1)4第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题纸中横线上。

高二数学上学期期末考试试卷含答案(共3套)

高二数学上学期期末考试试卷含答案(共3套)

高二上学期期末考试数学试卷含答案（全卷满分：120 分 考试用时：120 分钟）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是（ ）A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用系统抽样法，②用分层抽样法C. ①用分层抽样法，②用随机抽样法D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法 2.若直线1:(2)10l m x y ---=与直线2:30l x my -=互相平行，则m 的值为（ ）A. 0或-1或3B. 0或3C. 0或-1D. -1或33.用秦九韶算法求多项式542()42016f x x x x x =++++在2x =-时，2v 的值为（ ）A. 2B.-4C. 4D. -34.执行右面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =（ ）A. 1B.32C.53D.525.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件） 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ）A. 5，5B. 3，5C. 3，7D. 5，7 6.若点P （3，4）和点Q （a ，b ）关于直线10x y --=对称，则（ ）A.5,2a b ==B. 2,1a b ==-C. 4,3a b ==D. 1,2a b ==-7.直线l 过点（0，2），被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是（ ）A.423y x =+ B. 123y x =-+ C. 2y = D. 423y x =+ 或2y = 8.椭圆221169x y +=中，以点(1,2)M 为中点的弦所在直线斜率为（ ）A.932-B.932C.964D.9169.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）C.12πD.14π10.若椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为( ) A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 11.椭圆221164x y +=上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( ) A ．3 B.11 C ．2 2D.1012.2=，若直线:12l y kx k =+-与曲线有公共点，则k 的取值范围是（ ）A.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. )1,1,3⎛⎤⎡-∞⋃+∞ ⎣⎥⎝⎦ D. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“20,0x x x ∀>+>”的否定为______________________________ ．14.已知x 与y 之间的一组数据：，已求得关于y 与x 的线性回归方程 1.20.55x =+，则a 的值为______ ．15.若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为______．16.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c. 若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题10分）已知直线l 的方程为210x y -+=. （1）求过点A （3，2），且与直线l 垂直的直线1l 的方程； （2）求与直线l 平行，且到点P （3，0）的距离2l 的方程.18.（本小题12分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（0a >）；命题:q 实数x 满足32x x -+＜0． （1）若1a =且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若¬q 是¬p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.(本小题12分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5），[0.5，1）， …[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的a 值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （3）估计居民月均用水量的中位数．20.（本小题12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x 、y ． 奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． （1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．21.（本小题12分）已知曲线方程为：22240x y x y m +--+=． （1）若此曲线是圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M 、N 两点，且OM⊥ON（O 为坐标原点），求m 的值．22.（本小题12分）已知1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+（m ＞0）与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于点M ，N ，当△OMN 面积取最小值时，求此时直线l 的方程．数学参考答案13.20000,0x x x ∃>+≤14. 2.1515. -5117.（1）设与直线l ：2x -y +1=0垂直的直线1l 的方程为：x +2y +m =0，-------------------------2分把点A （3，2）代入可得，3+2×2+m =0，解得m =-7．-------------------------------4分 ∴过点A （3，2）且与直线l 垂直的直线1l 方程为：x +2y -7=0；----------------------5分（2）设与直线l ：2x -y +1=0平行的直线2l 的方程为：2x -y +c =0，----------------------------7分∵点P （3，0）到直线2l =，解得c =-1或-11．-----------------------------------------------8分∴直线2l 方程为：2x -y -1=0或2x -y -11=0．-------------------------------------------10分18.（1）由x 2-4ax +3a 2＜0得(x -3a )(x -a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，.------------------------------------------------------2分 当a =1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3．由实数x 满足302x x -<+ 得-2＜x ＜3，即q 为真时实数x 的取值范围是-2＜x ＜3．------4分 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是1＜x ＜3．---------------------------------------------- 6分（2）¬q 是¬p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件 -----------------------------8分由a ＞0，及3a ≤3得0＜a ≤1，所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1．-------------------------------------------------12分19.（1）∵1=（0.08+0.16+a +0.40+0.52+a +0.12+0.08+0.04）×0.5，------------------------2分整理可得：2=1.4+2a ，∴解得：a =0.3-----------------------------------------------------------------4分（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万-----6分 则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．---------------------------8分 （3）根据频率分布直方图，得0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5， 0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x ，---------------------------------------10分 令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x =0.5， 解得x =0.06；∴中位数是2+0.06=2.06．--------------------------------------------------------12分 20.（1）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个， ----------------------------2分 满足xy ≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个， ----------4分∴小亮获得玩具的概率为516； -------------------------------------------------------6分 （2）满足xy ≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个， ----8分∴小亮获得水杯的概率为616； --------------------------------------------------------9分 小亮获得饮料的概率为5651161616--=，----------------------------------------------11分 ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．-------------------------------------------------12分21.（1）由曲线方程x 2+y 2-2x -4y +m =0．整理得：（x -1）2+（y -2）2=5-m ，------------------------------------------------2分 又曲线为圆，则5-m ＞0，解得：m ＜5．------------------------------------------------------------------4分（2）设直线x +2y -4=0与圆：x 2+y 2-2x -4y +m =0的交点为M （x 1，y 1）N （x 2，y 2）．则：22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩，消去x 整理得：5y 2-16y +8+m =0， 则：1212168,55m y y y y ++==，------------------------------------------------6分 由OM ⊥ON （O 为坐标原点），可得x 1x 2+y 1y 2=0，-------------------------------------8分又x 1=4-2y 1，x 2=4-2y 2，则（4-2y 1）（4-2y 2）+y 1y 2=0．---------------------------------------------------10分 解得：85m =，故m 的值为85．--------------------------------------------------12分 22.（1）∵1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上，∴依题意，1c =，又3242a ==，故2a =．---------------------2分由222b c a +=得b 2=3．-----------------------------------------------------------3分故所求椭圆C 的方程为22143x y +=．-----------------------------------------------4分（2）由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2-12=0，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=64k 2m 2-4（4k 2+3）（4m 2-12）=0，整理得m 2=4k 2+3．-----------------------------6分 由条件可得k ≠0，(,0)mM k-，N （0，m ）． 所以．①------------------------------8分将m 2=4k 2+3代入①，得．因为|k |＞0，所以，-------------------------------10分当且仅当34k k=，则，即时等号成立，S △OMN 有最小值．-----11分因为m 2=4k 2+3，所以m 2=6，又m ＞0，解得．故所求直线方程为或．----------------------------12分高二级第一学期期末质量检测数学试卷本试卷分两部分，共4页，满分150分。

四川省成都市高二上学期期末数学试卷

四川省成都市高二上学期期末数学试卷

四川省成都市高二上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）空间中，可以确定一个平面的条件是（）A . 两条直线B . 一点和一条直线C . 一个三角形D . 三个点2. （2分）从含有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，在其中1张是假钞的条件下，2张都是假钞的概率是（）A .B .C .D .3. （2分）执行右面的程序框图．若输入n=7,则输出的值为A . 2B . 3C . 4D . 54. （2分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A . “至少有一个红球”与“都是黑球”B . “至少有一个黑球”与“都是黑球”C . “至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D . “恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”5. （2分）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中,若则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A . 9（ +1）π+8B . 9（ +2）π+4 ﹣8C . 9（ +2）π+4D . 9（ +1）π+8 ﹣87. （2分）(2016·花垣模拟) 某人练习射击，他脱靶的概率为0.20，命中6环，7环，8环，9环，10环的概率依次0.10，0.20，0.30，0.15，0.05，则该人射击命中的概率为（）A . 0.50B . 0.60C . 0.70D . 0.808. （2分）如图，一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是△OAB，OB=AB=2，则该直观图所表示的平面图形的面积为（）A .B .C .D . 29. （2分）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，其中主视图和左视图均为等腰三角形，俯视图是一个正方形，则这个四棱锥的体积是（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分）三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直，PA=1,PB=2,PC=3，且这个三棱锥的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高一上·林芝期末) 在正方体中，与棱异面的棱有（）A . 8条B . 6条C . 4条D . 2条12. （2分）某电商对10000名网购者2015年度消费情况进行统计，其消费频率分布直方图如图，则在这些网购者中，消费金额在[0.5，0.9]内的人数为（）A . 2000B . 4500C . 6000D . 7500二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·吉林期末) 如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．14. （1分） (2017高一下·淮安期中) 已知直线l的倾斜角为45°，直线l1经过点A（3，2），B（a，﹣1），且l1与l垂直，直线l2：2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b=________．15. （1分） (2017高二下·都匀开学考) 圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为________．16. （1分）某大学为了支援西部教育事业，现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组．用抽签法设计抽样方案如下：S1：将l8名志愿者编号，号码为01，02， (18)S2：将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签；S3：将号签放人一个不透明的袋子中，并充分搅匀；S4：S5：所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．则S4步骤应为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2015高二下·黑龙江期中) 已知某校5个学生的数学和物理成绩如表学生的编号i12345数学xi8075706560物理yi7066686462（Ⅰ）假设在对这5名学生成绩进行统计时，把这5名学生的物理成绩搞乱了，数学成绩没出现问题，问：恰有2名学生的物理成绩是自己的实际分数的概率是多少？（Ⅱ）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系的，在上述表格是正确的前提下，用x表示数学成绩，用y表示物理成绩，求y与x的回归方程；参考公式： = ，．18. （5分）(2016·天津模拟) 为迎接2016年“猴”年的到来，某电视台举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有三个选项，问题B有四个选项，每题只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金1千元，正确回答问题B可获奖金2千元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖活动终止．假设某参与者在回答问题前，选择每道题的每个选项的机会是等可能的．（Ⅰ）如果该参与者先回答问题A，求其恰好获得奖金1千元的概率；（Ⅱ）试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大．19. （5分）某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本．如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n．20. （10分） (2018高一下·榆林期中) 如图，已知菱形的边长为，，，将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．21. （15分）“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望．22. （10分）(2018·茂名模拟) 已知圆内有一动弦，且，以为斜边作等腰直角三角形，点在圆外.（1）求点的轨迹的方程；（2）从原点作圆的两条切线，分别交于四点，求以这四点为顶点的四边形的面积 .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。

四川省成都市玉林中学2021-2022学年高二上学期期末模拟考试数学理科试题4

四川省成都市玉林中学2021-2022学年高二上学期期末模拟考试数学理科试题4

成都市玉林中学2021-2022学年度期末模拟考试（4）数 学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．从某班50名学生中抽取6名学生进行视力状况的统计分析，下列说法正确的是（ ） A ．50名学生是总体B ．每个被调查的学生是个体C ．抽取的6名学生的视力是一个样本D ．抽取的6名学生的视力是样本容量2．直线l 0y -=倾斜角的2倍，则直线l 的斜率是（ ）A B C ．D ．3．我国已进行了7次人口普查，如图是7次人口普查男性、女性人数及有大学文化的人数占比的统计图．据统计图中的信息，下列四个推断中不正确的是（ ）A ．1964年至1982年间人口平均增长率最大B ．1964年后，全国总人口增长速度逐步放缓C ．具有大学文化的人数占比的增幅逐步增大D ．男性人数与女性人数的差值逐步减小4．6=化简的结果是（ ）A ．22197x y -=B ．221259x y -=C ．22197x y -=，3x ≥D ．22197x y -=，3x ≤-5．总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，从随机数表第5行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为（ ）附：第5行至第8行的随机数表如下：2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125A ．33B ．16C ．38D ．206．执行如图所示的程序框图，若输入518m =，185n =，则输出结果是（ ） A ．41 B ．37 C ．23 D ．17 7．点(0,1)-到直线(2)(1)(2)0m x m y m ++-++=的距离的最大值为（ ）A ．1BCD ．28．A ，B ，C ，D 四位妈妈相约各带一个小孩去观看花展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能载一位妈妈和个小孩，其中孩子们都不坐自己妈妈的车，则A 的小孩坐C 的车的概率是（ ） A ．13B ．12C ．59D ．239．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点,,A B C ，若||2BC BF =，且||3AF =，则抛物线的方程为（ ）A ．232y x =B ．23y x =C ．292y x =D ．29y x =10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，直线l 过双曲线的右焦点且斜率为a b ，直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于M 、N 两点（M 点在x 轴的上方），且2OM ON=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BCD 11．已知直线l ：340x y m -+=和圆C ：224210x y x y +--+=，且圆C 上至少存在两点到直线l 的距离为1，则m 的取值范围是（ ）A ．()17,13-B ．()17,7--C ．()()17,73,13--⋃D ．[][]17,73,13--⋃12．已知椭圆221222:1(0),,x y C a b F F a b+=>>为C 的左､右焦点，(,)(0,0)P m n m n >>为C 上一点，且12PF F △的内心(,1)I s ，若12PF F △的面积为2b ，则n 的值为（ ） A ．35B ．43C ．83D ．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13．已知空间直角坐标系中的点M ，N 的坐标分别为()5,5,8，()1,1,4-.则线段MN 的中点到坐标原点的距离为______.14．已知样本数据为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，该样本平均数为5，方差为2，现加入一个数5，得到新样本的方差为______.15．在区间[]4,4-上任取一个实数a ，使得方程22123x ya a+=+-表示焦点在x 轴的椭圆的概率为______．16．已知点P 为抛物线C ：2y x =上的动点，过点P 作圆M ：22(2)1x y +-=的一条切线，切点为A ，则P A P M ⋅u u r ur 的最小值为____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．某小区毗邻一条公路，为了解交通噪声，连续25天监测噪声值（单位：分贝），得到频率分布直方图（图1）．发现噪声污染严重，经有关部门在公路旁加装隔声板等治理措施后，再连续25天监测噪声值，得到频率分布直方图（图2）．把同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，请解答下列问题：（1）根据上面两个频率分布直方图，估计治理后比治理前的平均噪声值降低了多少分贝？（2）国家“城市区域环境噪声”规定：重度污染：65>分贝；中度污染：6065—分贝；轻度污染：5560—分贝；较好：5055—分贝；好：50≤分贝．把上述两个样本数据的频率视为概率，根据图1估算出该小区噪声治理前一年内（365天）噪声中度污染以上的天数为277天，根据图2估计一年内（365天）噪声中度污染以上的天数比治理前减少了多少天？（精确到1天）18．已知平面内两点A （﹣1，2），B （1，4）.（1）求过点P （2，﹣3）且与直线AB 平行的直线l 的方程；（2）一束光线从B 点射向（1）中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在的直线方程.19．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月11315100（1）从3月11日至3月15日中任选2天，记这两天发芽的种子数分别为a ，b ，求事件A ：25302530a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩的概率；（2）研究发现种子的发芽数与昼夜温差近似成线性关系，请求出y 关于x 的线性回归方程． 附：回归方程ˆˆˆybx a =+中， 1122211()()()i nniii ii i n n i i i x x yy x ynx yb x x x nx====---⋅==--∑∑∑∑$，ˆˆay bx =-，511351i i i x y ==∑20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,3)A ，直线:24=-l y x ．设圆C 的半径为1，且圆心在直线l 上．（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，求圆C 的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．21．已知动点M 到点()1,0的距离比它到y 轴的距离大1． （1）求动点M 的轨迹W 的方程；（2）若点()()001,0P y y >、M 、N 在抛物线上，且12PM PN k k =-⋅，求证：直线MN 过定点．22．已知()1,0A ，动点C 在B e ：()2218x y ++=上运动.线段AC 的中垂线与BC 交于D . （1）求D 点的轨迹E 的方程；（2）设M 、N 、P 三点均在曲线E 上，且0OM ON OP ++=u u u u v u u u v u u u v v ，（O 为原点），求MN 的范围.成都市玉林中学2021-2022学年度期末模拟考试（4）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1．C2．D3．D4．C5．D6．B7．B8．A9．B10．B11．A12．由题意可得，12PF F △的内心(,1)I s 到x 轴的距离就是内切圆的半径.又点P 在椭圆C 上，121212122,(22)122PF FPF PF F F a c S a c a c b ∴++=+∴=+⨯=+=V .又(1),2a e c eab +=∴=，2222222(1),2a e a b c a e a +⎡⎤=+∴+=⎢⎥⎣⎦Q ，即222(1)44,5230e e e e ++=∴+-=，解得35e =或1-（舍），34,55c a b a ∴==.又1212133,255PF F S F F n cn a a an ==∴+=V ，解得83n =. 故选：C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 13．714．因为1x ，2x ，3x ，4x ，5x 这一组数的平均数为5，方差为2，所以1234555x x x x x ++++=，2222212345(5)(5)(5)(5)(5)25x x x x x -+-+-+-+-=.所以1234525x x x x x ++++=，2222212345(5)(5)(5)(5)(5)10x x x x x -+-+-+-+-=.加入一个数5后，平均数为12345530566x x x x x +++++==，方差为22222212345(5)(5)(5)(5)(5)(55)105663x x x x x -+-+-+-+-+-==.故答案为：53.15．51616．由已知得：22||||1PA PM PA PM ⋅==-u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，设点()2,P x x ，则()42222222333||12133244PM x x x x x ⎛⎫-=+--=-+=-+≥ ⎪⎝⎭u u u u r ，当232x =时，2||1PA PM PM ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r 取得最小值34． 故答案为：34三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．某小区毗邻一条公路，为了解交通噪声，连续25天监测噪声值（单位：分贝），得到频率分布直方图（图1）．发现噪声污染严重，经有关部门在公路旁加装隔声板等治理措施后，再连续25天监测噪声值，得到频率分布直方图（图2）．把同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，请解答下列问题：（1）根据上面两个频率分布直方图，估计治理后比治理前的平均噪声值降低了多少分贝？（2）国家“城市区域环境噪声”规定：重度污染：65>分贝；中度污染：6065—分贝；轻度污染：5560—分贝；较好：5055—分贝；好：50≤分贝．把上述两个样本数据的频率视为概率，根据图1估算出该小区噪声治理前一年内（365天）噪声中度污染以上的天数为277天，根据图2估计一年内（365天）噪声中度污染以上的天数比治理前减少了多少天？（精确到1天） （1）设治理前、后样本的平均值分别为x 、y ，则2(0.02560.04580.12600.2620.08640.0466)61.6x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，2(0.04540.06560.12580.18600.08620.0264)59.04y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以61.659.04 2.56x y -=-=分贝，所以治理后比治理前的平均噪声值降低了2.56分贝． （2）由题意知样本中度污染以上的噪声值在[60,65]， 治理后中度污染以上的频率为0.182(0.020.08)0.382⨯++=， 所以0.38365138.7139⨯=≈天，故277139138-=．所以一年内噪声中度污染以上的天数比治理前减少了138天．18．已知平面内两点A （﹣1，2），B （1，4）.（1）求过点P （2，﹣3）且与直线AB 平行的直线l 的方程；（2）一束光线从B 点射向（1）中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在的直线方程. （1）由直线的点斜式方程可得直线l ：y +3()4211-=⨯--（x ﹣2），即直线l 的方程为x ﹣y ﹣5＝0；（2）设B （1，4）关于直线l 的对称点B '（m ，n ）， 所以41n m -=--1，12（m +1）12-（n +4）﹣5＝0，解得94m n =⎧⎨=-⎩，所以B '（9，﹣4），k B 'A ()423915--==---，由点斜式方程可得y ﹣235=-（x +1），整理可得3x +5y ﹣7＝0，所以反射光线所在的直线方程为3x +5y ﹣7＝0．19．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月11315100（1）从3月11日至3月15日中任选2天，记这两天发芽的种子数分别为a ，b ，求事件A ：25302530a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩的概率；（2）研究发现种子的发芽数与昼夜温差近似成线性关系，请求出y 关于x 的线性回归方程． 附：回归方程ˆˆˆybx a =+中，1122211()()()i nniii ii i n n i i i x x yy x ynx yb x x x nx====---⋅==--∑∑∑∑$，ˆˆay bx =-，511351i i i x y ==∑ （1）a ，b 的取值情况有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16）， 基本事件的总数为10，事件A 包括的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26）共3个， 所以事件A 的概率为3()10P A =． （2）由列表可知11,24x y ==，521615i i x ==∑，511351i i i x y ==∑，设回归方程为515221531, 3.1ˆ105ˆˆi i ii i x yx yybx a b x x==-⋅=+===-∑∑$， 1ˆˆ10.ay bx =-=-， 故所求方程为y ＝3.1x －10.1.20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,3)A ，直线:24=-l y x ．设圆C 的半径为1，且圆心在直线l 上．（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，求圆C 的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． （1）因为241y x y x =-⎧⎨=-⎩，所以32x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()3,2，半径为1，所以圆的方程为：()()22321x y -+-=；（2）设圆心C 坐标为(),24a a -，所以圆C 的方程为()()22421x a y a -++-=，又因为2MA MO =，设(),M x y()2214x y ++=，记()2214x y ++=为圆D ，所以M 在圆C 上也在圆D 上，所以圆C 与圆D 有交点，又圆C 的半径1C r =，圆D 的半径2D r =，则C D C D r r r r -≤≤+，所以13≤， 所以1205a ≤≤，所以a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21．已知动点M 到点()1,0的距离比它到y 轴的距离大1． （1）求动点M 的轨迹W 的方程；（2）若点()()001,0P y y >、M 、N 在抛物线上，且12PM PN k k =-⋅，求证：直线MN 过定点．（1）由题设，(,)M x y 到点()1,0的距离比它到y轴的距离大1， ||1x =+，当0x ≥时，222(1)(1)x y x -+=+，整理得24y x =； 当0x <时，222(1)(1)x y x -+=-，整理得0y =； ∴动点M 的轨迹W 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩．（2）证明：()()001,0P y y >，由（1）知：()1,2P ，设MN 的方程为x my n =+，2111,4M y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4N y y ⎛⎫⎪⎝⎭，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my n --=，∴124y y m +=，124y y n =-， 由1211241214PM y k y y -==+-，同理242PN k y =+，又12PM PN k k =-⋅，∴()()12161222y y =-++，∴()12122360y y y y +++=，则290n m -++=，即29n m =+（满足Δ0>）， 直线MN 的方程为()2929x my m m y =++=++， ∴直线MN 过定点()9,2-，得证．22．已知()1,0A ，动点C 在B e ：()2218x y ++=上运动.线段AC 的中垂线与BC 交于D . （1）求D 点的轨迹E 的方程；（2）设M 、N 、P 三点均在曲线E 上，且0OM ON OP ++=u u u u v u u u v u u u v v ，（O 为原点），求MN 的范围. （1）)BD DA BD DC BC AB +=+==QD ∴点轨迹是以A 、B 为焦点椭圆.22a =Q ，21c =，21b ∴=，2212x y ∴+=.（2）当MN 斜率存在时，设:MN y kx m =+2222x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩()222124220k xmkx m +++-=，令两根为1x ，2x .由0OM ON OP ++=u u u u r u u u r u u u r r . ()122412p mk x x x k =-+=+，()()121222212p my y y k x x m k -=-+=-+-=+. 代入2212x y +=，()()222228411212m k m k k +=++，即22412m k =+. 故()()2228126120k m k ∆=+-=+>.12MN x ∴=-===∈.当MN x⊥轴时，易求MNMN ∴范围是.。

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四川省成都市高二上学期期末数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）命题“∀x∈R，都有|sinx|＜1”的否定是（）
A . ∀x∈R，都有|sinx|＞1
B . ∀x∈R，都有|sinx|≥1
C . ∃x∈R，使|sinx|＞1
D . ∃x∈R，使|sinx|≥1
2. （2分） (2017高三上·珠海期末) 已知双曲线C1： =1，双曲线C2： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， M 是双曲线C2 一条渐近线上的点，且OM⊥MF2 ，若△OMF2的面积为 16，且双曲线C1 ， C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长为（）
A . 4
B . 8
C . 16
D . 32
3. （2分）若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为
A .
B .
C .
D .
4. （2分）已知f（x）=（m﹣1）x2+3mx+3为偶函数，则f（x）在区间（﹣4，2）上为（）
A . 增函数
B . 减函数
C . 先递增再递减
D . 先递减再递增
5. （2分） (2016高三上·湖州期末) 设双曲线 =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，过F1作倾斜角为的直线交双曲线的右支交于点P，若|PF2|=|F1F2|，则双曲线的离心率是（）
A . ﹣1
B .
C . +1
D .
6. （2分） (2016高二上·临漳期中) 下列说法不正确的是（）
A . 若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题
B . 命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”
C . 设A，B是两个集合，则“A⊆B”是“A∩B=A”的充分不必要条件
D . 当a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上单调递减
7. （2分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，则
（）
A . 9
B . 6
C . 4
D . 3
8. （2分） (2017高一下·新乡期中) 已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上一点，且 + = ，
则△ABC的面积的最大值为（）
A . 3
B . 4
C . 3
D . 4
9. （2分）若抛物线y2=2px（p＞0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为（）
A . 2
B . 18
C . 2或18
D . 4或16
10. （2分）(2016·山东模拟) 如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）
A . 3
B . 2
C . 6
D . 9
11. （2分）(2017·日照模拟) 已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，B 分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线 BM与y轴交于点N，若|OE|=2|ON|，则Γ的离心率为（）
A . 3
B . 2
C .
D .
12. （2分）在直角坐标系xOy中，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，在直角三角形ABC中，若，则k的可能值个数是（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
二、填空题． (共4题；共5分)
13. （1分）设AB是椭圆（a＞b＞0）的长轴，若把AB给100等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P99 ， F1为椭圆的左焦点，则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是________
14. （2分） (2018高二上·浙江月考) 若是双曲线的左，右焦点，点是双曲线上一点，若，则 ________，的面积 ________.
15. （1分）已知一个正四面体的棱长为2，则它的体积为________
16. （1分） (2016高二上·友谊期中) 给出下列命题：
①直线l的方向向量为 =（1，﹣1，2），直线m的方向向量 =（2，1，﹣），则l与m垂直；
②直线l的方向向量 =（0，1，﹣1），平面α的法向量 =（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为 =（0，1，3）， =（1，0，2），则α∥β；
④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量 =（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．
其中真命题的是________．（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题． (共5题；共45分)
17. （10分） (2016高二上·吉林期中) 椭圆 =1上有一点M（﹣4，）在抛物线y2=2px（p＞0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q，求|MN|+|NQ|的最小值．
18. （5分） (2016高二上·大连期中) 已知命题p：“ =1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，
命题q：“不等式组所表示的区域是三角形”．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．
19. （15分） (2019高一上·应县期中) 已知函数，
（1）写出函数的解析式；
（2）若直线与曲线有三个不同的交点，求的取值范围；
（3）若直线与曲线在内有交点，求的取值范围.
20. （5分）如图，已知△ABC为正三角形，D为AB的中点，E在AC上，且AE
= AC，现沿DE将△ADE折起，折起过程中点A仍然记作点A，使得平面ADE⊥平面BCED，在折起后的图形中．
（I）在AC上是否存在点M，使得直线ME∥平面ABD．若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．（Ⅱ）求平面ABD与平面ACE所成锐二面角的余弦值．
21. （10分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程．
四、填空题 (共3题；共12分)
22. （1分）在平面直角坐标系xOy中,若直线l: (t为参数)过椭圆C: (φ为参数)的右顶点,则常数a的值为________。

23. （1分）已知圆的极坐标方程ρ=2cosθ，直线的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ+7=0，则圆心到直线距离为________
24. （10分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（α为参数），点P的坐标为．
（1）试判断曲线C的形状为何种圆锥曲线；
（2）已知直线l过点P且与曲线C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45°，求|PA|•|PB|的值．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题． (共4题；共5分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题． (共5题；共45分) 17-1、
17-2、
18-1、
19-1、
19-2、
19-3、
20-1、21-1、
21-2、
四、填空题 (共3题；共12分) 22-1、
23-1、
24-1、
24-2、。

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