黑龙江省大庆第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考(期中)数学答案

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2024-2025学年黑龙江省大庆中学高二(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年黑龙江省大庆中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.经过A(−3,−6)，B(−3,5)两点的直线的倾斜角是( )A. −30°B. 60°C. 90°D. 120°2.若直线l1：(m+1)x+2y+1=0与直线l2：x−2y+1=0平行，则m的值为( )A. ±2B. 2C. −2D. −53.若圆C的圆心为(1,2)，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为( )A. x2+y2−2x−4y−3=0B. x2+y2−2x−4y+1=0C. x2+y2−2x+4y−3=0D. x2+y2−2x+4y+1=04.已知点A(2,1)，点B在直线x−y+3=0上，则|AB|的最小值为( )A. 5B. 26C. 22D. 45.若圆C：(x−1)2+(y−3)2=8上存在两个点到直线l：x+y+m=0的距离为2，则实数m的取值范围是( )A. −6<m<−2B. −10<m<−2C. −2<m<2或−10<m<−6D. m<−6或m>−26.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，若P与F1恰好关于C的一条渐近线y=2x对称，且|PF2|=2，则△PF1F2的面积为( )A. 2B. 22C. 23D. 47.一动圆与圆x2+y2+4x=0外切，同时与圆x2+y2−4x−60=0内切，则动圆圆心的轨迹方程为( )A. x29+y25=1 B. y29+x25=1 C. x225+y221=1 D. y225+x221=18.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线C的左右两支分布交于两点M，N，若F1M=14F1N，|F2M|=|MN|，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 332C. 3 D. 333二、多选题：本题共3小题，共15分。

黑龙江省大庆市大庆中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题文(含解析)

【解析】
【分析】
（1）代入点斜式方程求直线的方程；（2）根据（1）设的方程为，将点到直线的距离转化为平行线的距离求 .
【详解】（1）由点斜式方程得，，∴ 。
（2）设的方程为，则由平线间的距离公式得，，
解得: 或。
∴ 或
【点睛】本题考查求直线方程，意在考查基础知识,属于简单题型.
18。已知圆外有一点，过点作直线。
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直线的斜率，直线的点斜式方程,属于基础题.
7. 为坐标原点, 为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（）
A. B。 C. D。
【答案】C
【解析】
【详解】设P(xP，yP)（yP>0)由抛物线定义知,xP+ =4 ，
∴xP=3 ，yP= =2 ，
因此S△POF= ×2 × =2 .故选C。
A. B. C. D。
【答案】D
【解析】
【分析】
中，设设，，则根据余弦定理写出，解得，根据条件可知，求离心率的范围.
【详解】设，，
若椭圆上存在点使得 ,
，
，
即 ,
，
即，
。
故选：D
【点睛】本题考查椭圆的几何性质与应用,涉及余弦定理，以及不等式关系的建立，意在考查转化思想和计算能力。
且Q（0，c），（c，0）,
点P为中点，可得c ,
可得a＝b,
△QF1F2的面积为4，即 •2c•c＝4，
解得c＝2，a＝b ，
则双曲线的方程为 1．
故选：B．
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和中点坐标公式,以及化简运算能力，属于基础题．

黑龙江省大庆第一中学高二下学期第二次阶段考试数学(

大庆一中高二年级下学期第二次月考数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集I R =，若函数()232f x x x =-+，集合(){}0M x f x =≤，(){}'0N x f x =≤，则()I M C N ⋂等于（）A ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭2.复数323aii-+为纯虚数，则实数a 的值为（） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 3.阅读程序框图，输出的结果s 的值为（）A ．0B ．2-C ．24.函数()321122132f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的一个充分不必要条件是（）A ．4133a -<<- B ．112a -<<- C. 63516a -<<- D ．20a -<< 5.过双曲线221169x y -=左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABF ∆（2F 为右焦点）的周长是（） A ．28 B ．22 C.14 D ．126.若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为（）A ．1B 7.正弦曲线上一点P ，以点P 为切点的切线的倾斜角范围是（） A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ B ．[)0,π C.3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．30,,424πππ⎡⎤⎛⎤⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦8.如图所示，在矩形OABC 内：记抛物线21y x =+与直线1y x =+围成的区域为M （图中阴影部分）.随机往矩形OABC 内投一点P ，则点P 落在区域M 内的概率是（）A ．118 B ．112 C.16 D ．139.设函数()f x 是定义在R 上的可导函数，()11f =，且x R ∀∈，均有()'12f x <，则不等式()2212x f x +>解集为（）A ．()1,2B ．()0,1 C.()0,+∞ D ．()1,1- 10.若,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦、，且sin sin 0ααββ->，则下面结论正确的是（） A ．αβ> B ．0αβ+> C.αβ< D ．22αβ>11.设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()xf x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是（）A ．B ． C. D ．12.已知函数()ln x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>只有一个整数解，则实数a 的取值范围为（） A ．ln 3ln 2,32⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B ．1ln 2,2e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C.ln 2ln 3,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．ln 21,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.=⎰．14.函数()()1ln 21f x a x x =-+-在()0,+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是．15.已知函数()32f x x bx cx d =+++，k 是一个常数.当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根.现给出下列命题：（1）()40f x -=和()'0f x =有一个相同的实根；（2）()0f x =和()'0fx =有一个相同的实根；（3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根；（4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根. 其中错误命题的个数是个．16.某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 若函数()34f x ax bx =-+，当2x =时，函数()f x 取得极值43-. （1）求函数()f x 的解析式，并求函数的单调区间；（2）求()f x 在[]0,3上的最大值和最小值.18. 已知{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410S b -=.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记1121n n n n T a b a b a b -=+++，*n N ∈，求n T .19. 已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 21cos cos 2C C C -=，且3c =. （1）求角C ；（2）若向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线，求a 、b 的值.20. 如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAD 垂直于底面ABCD ，90ADC BCD ∠=∠=，22PA PD AD BC ====，CD =M 在棱PC 上，N 是AD 的中点，二面角M BN C --为30.（1）求PMMC的值；（2）求直线PB 与平面BMN 所成角的大小.21. 在直角坐标系xOy 中，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，2F 也是抛物线22:4C y x =的焦点，点M 为1C 与2C 在第一象限的交点，且253MF =. （1）求1C 的方程；（2）平面上的点N 满足12MN MF MF =+，直线//l MN ，且l 与1C 交于A 、B 两点，若0OA OB ⋅=，求直线l 的方程.22.函数()()ln 10f x a x a =+>. （1）当0x >时，求证：()111f x a x ⎛⎫-≥-⎪⎝⎭；（2）在区间()1,e 上()f x x >恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当12a =时，求证：()()()(()*23121f f f n n n N ++++>+∈.试卷答案一、选择题1-5:ACDBA 6-10:BABDD 11、12：DA 二、填空题 13.4π14.[)0,+∞ 15. 1 16.89π三、解答题17. 解：（I ）'2()3f x ax b =-，由2=x 时，函数)(x f 极值有34-，可以得'120(2)044824(2)33a b f a b f -=⎧=⎧⎪⎪⇒⎨⎨-+=-=-⎪⎪⎩⎩解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以31()443f x x x =-+所以'2()4f x x =-，由'()022f x x x >⇒><-或，'()022f x x <⇒-<<则2x =-时()f x 有极大值28(2)3f -=，2x =-时()f x 有极小值4(2)3f =- 最大值是4，最小值是43-。

黑龙江省大庆第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考(期中)英语试题Word版含答案

大庆一中高二年级上学期第二次月考英语试卷时长：100 分钟日期：2020.10本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共120*1.25=150分。

第I 卷第一部分阅读理解（共两节，满分 40 分）第一节（共15 小题；每小题 2 分，满分 30 分）阅读下列短文，从每题所给的四个选项（A、B、C 和D）中，选出最佳选项。

APeople are always looking for lost cities and occasionally one is found: Borobudur in Indonesia,for example. But perhaps some of the places people look for never existed -- or did they ? Here are just a few famous mythical(神话里的) cities.El DoradoEl Dorado is a story that began in 1537, when Spanish explorers found the Muisca people in the mountains of what is now Colombia. They heard the story of a man who covered himself with gold and dived into a lake. Then people began to talk of El Dorado –“the golden man". Soon people started to think of El Dorado as a place, too --a city of gold and amazing riches. Nowadays, the name “E l Dorado" is still used to mean "a place where you can get rich quickl y”.AtlantisThere was once an island in the middle of the Atlantic Ocean. It was the mythical island of Atlantis. The people of the island were very rich, thanks to the natural resource on the island. For hundreds of years, they lived simple lives. But slowly they began to change. They started to want power. So the gods decided to destroy Atlantis. Suddenly, the island and its people were swallowed (淹没)by the sea and were never seen again.ShambhalaIn Tibetan Buddhist traditions, Shambhala is a mystical country that is hidden somewhere behind the Himalayas. Shambhala is a word from an old language that means “a place of peace” or “a place of happiness”. It is said that there is no war in Shambhala, and in the future, when the world is full of war,a huge army will come out of Shambhala, destroy the worl d’s bad rulers, and start a new Golden Age. Some people say this will happen in 2424.1. Nowadays, the name“ El Dorado” means“”.A. ColombiaB. the golden manC. a place of great wealthD. a city with mountains2. Atlantis was destroyedby .A. the godsB. itspeopleC. its powerful enemiesD. its neighboringcountry3. What will probably happen in 2424 according to the lastparagraph? A. The Himalayas will disappear.B. The world will be full ofpeace. C. Shambhala will savethe world.D. There will be a war inShambhala.BAmericans use many expressions with the word dog. People in the United States love their dogs and treat them well. They take their dogs for walks, let them play outside and give them good food and medical care. However, dogs without owners to care for them lead a different kind of life. The expression, to lead a dog's life, describes a person who has an unhappy existence.Some people say we live in a dog-eat-dog world. That means many people are competing for the same things, like good jobs. They say that to be successful, a person has to work like a dog. This means theyhave to work very, very hard. Such hard work can make people dog-tired. And, the situation would be even worse if they became sick as a dog.Still, people say every dog has its day. This means that every person enjoys a successful period during his or her life, To be successful, people often have to learn new skills. Yet, some people say that you can never teach an old dog new tricks. They believe that older people do not like to learn new things and will not change the way they do things.Some people are compared to dogs in bad ways. People who are unkind or uncaring can be described as meaner(更吝啬的) than a junkyard dog. Junkyard dogs live in places where people throw away thingsthey do not want. Mean dogs are often used to guard this property. They bark or attack people whotry to enter the property. However, sometimes a person who appears to be mean and threatening is really not so bad. We say his bark is worse than his bite.Dog expressions also are used to describe the weather. The dog days of summer are the hottest days of the year. A rainstorm may cool the weather. But we do not want it to rain too hard. We do not want it torain cats anddogs.4. What does the passage mainly talkabout? A. How to live with the dog.B. Expressions related to the word“d o g”. C. American’s love to the dog.D. Dog expressions with the weather.5. Working too hard can result in . A. leading a dog’s lifeB. becoming sick as a dogC. living in a dog-eat-dog worldD. working like a dog6. What can we learn from the passage?A. Everyone can be successful if he learns from theold. B. It might be difficult for the young to learnnew skills. C. Mean dogs aren’t so awful as theirappearance in fact. D. Junkyard dogs are not carefulin money arrangement.7. To support his idea, the author develop the passage mainly by . A. listing reasonsB. giving examplesC. making comparisonsD. using quotationsCAmong all the fast-growing science and technology, the research of human genes, or biological engineering as people call it, is drawing more and more attention now. Sometimes it is a hot topic discussed by people.The greatest thing that gene technology can do is to cure serious diseases that doctors at present can almost do nothing with, such as cancer and heart disease. Every year, millions of people are murdered by these two killers. And to date, doctors have not found an effective way to cure them. But if gene technology is applied, not only these two diseases can be cured completely, but also the great amount of money people spend on curing their diseases can be saved, so it benefits the economy as well. In addition, humanlife--span(寿命) can be prolongedGene technology can help people to give birth to more healthy and clever children. Some families, with the British royal family being a good example, have hereditary (遗传的) diseases. This means their children will for sure have the family disease, which is a great trouble for these families.In the past, doctors could do nothing about hereditary diseases. But gene technology can solve this problem perfectly. Scientists just need to find the wrong gene and correct it, and a healthy child willbe born.Some people are worrying that the gene research can be used to manufacture human beings in large quantities. In the past few years, scientists have succeeded in cloning a sheep, so these people predictthat human babies would soon be cloned. But I believe cloned babies will not come out in largequantities, for most couples in the world can have babies in the normal way. Of course, the governmentmust take care to control gene technology.8. What does the underlined word "them" in the second paragraph referto? A. People with cancer or heart disease.B. Millions of people with serious diseases.C. Some diseases doctors can do nothing with.D. The two illnesses of cancer and heart disease.9. What can gene technology do according toParagraph 3? A. It can help the British royal family out.B. It can be used to clone human babies.C. It can help people to give birth to ababy. D. It can cure hereditary diseases.10. What are people worried about according to thepassage? A. Human babies may be cloned in largequantities.B. Healthy human babies will soon becloned. C. Scientists may find the wronggenes.D. The government may not control gene technology.11. Which of the following might be the best title for the passage . A. Gene Technology Will Benefit PeoplB. Gene Technology Will Do Harm As WellC. Gene Technology Is A Hot TopicD. Gene Technology Is Growing FastDThere is some unwelcome news for students preparing for exams and officers putting in longhours -- you don’t need that "refreshment(提神) break" as much as you may think.Scientists believed it was not easy for people to continue their work if they felt the need to have asnack or a rest to make them feel better. They argued that the only way to regain willpower is bysupplying more energy to our bodies with rest, food or entertainment.But psychologists have challenged this theory, saying weak willpower is in your head. They foundthat a person's mindset(理念) and belief about willpower determine how long and how well they'll be able towork on a tough mental exercise. “I f you think of willpower as something that's limited, you're more likely to be tired when you perform a difficult task,” said Professor Veronika Job. “But if you think of willpower as something that is not easily depleted, you can go on and on.”The researchers led by Mr. Job designed an experiment to test the students' beliefs about willpower. After a tiring task those who believed or were led to believe that willpower was a limited resource performed worse on standard concentration tests than those who thought of willpower as something they had more control over.Mr Job said, “Students who may already have trouble studying are being told that their powers of concentration are limited, and they need to take frequent breaks. But a belief in willpower as a non-limited resource makes people stronger in their ability to work through challenges.”The findings could help people who are battling with temptation(诱惑): people following strictdietsand doing exercise regularly to lose weight, people trying to overcome addictions, employees facing a tight deadline. Willpower isn't driven by a biologically based process as much as we used to think. 12. What opinion did scientists have in thepast? A. Willpower was a limited resource.B. It was hard to regainwillpower.C. Hardworking people seldom tookbreaks.D. People could easily feel tired whenworking.13. Which of the following can replace the underlined word “dep leted” inparagraph 3? A. Given up. B. Recovered.C. Used up.D.Changed14. What can we learn from the findings of theexperiment? A. Students benefit most from theresearch.B. Frequent breaks are not good forlearning.C. Will power can be regained after people have a goodrest. D. The belief in willpower can change a man'sbehavior.15. Why does the author write thetext? A. To show us how to buildwillpower.B. To introduce a new theory onwillpower. C. To tell us the ways ofgaining willpower. D. To explain thepower of willpower.第二节(共 5 小题；每小题 2 分，满分10 分)根据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。

黑龙江省大庆第一中学高二上学期第二次月考(10月)数学

大庆一中高二年级上学期第二月考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知是直线的倾斜角，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，直线的斜率为，即，故选B.2. 用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A. 3B. 9C. 17D. 51【答案】D【解析】试题分析：因为，，，所以459和357的最大公约数是51；故选D．考点：算法的应用．3. 若直线与直线平行，则（）A. 2或-1B. 2C. -1D. 以上都不对【答案】C【解析】试题分析：由题意，，当时，方程为，即，方程为，两直线重合，不合题意，舍去，时，直线的方程分别为，，符合题意．所以．故选C．考点：两直线平行．4. 某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从11000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（）A. 16B. 17C. 18D. 19【答案】C【解析】试题分析：第一组用简单随机抽样抽取的号码为，选C．考点：系统抽样法5. 在中，角所对的边分别为，且满足，则一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】，，即，是三角形内角，，三角形为等腰三角形，故选A.6. 已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：如图，取中点，连接，因为是中点，则，或其补角就是异面直线所成的角，设正四面体棱长为1，则，，．故选B．考点：异面直线所成的角．.....................7. 若曲线与直线有公共点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】点睛：本题解答时充分借助题设条件，运用数形结合的数学思想及等价转化的数学思想将问题进行等价转化，然后数形结合从而使得问题简捷巧妙获解。

大庆实验高中2020-2021学年高二10月月考数学(理)试题含解析

【答案】A
【解析】
【分析】
根据离心率，面积公式结合求出得椭圆方程．
【详解】由题意，解得，
∴椭圆方程为或
故选：A．
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程中，求解题方法是根据已知条件列出方程组求出，只是要注意由于焦点的位置不确定，因此方程有两种．
5。连续抛掷两枚质地均匀的骰子,则向上点数之积为6的概率是( )
3. 某班有学生人，现将所有学生按随机编号,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本(等距抽样），已知编号为号学生在样本中，则（）
A。 14B。 34C。 48D. 50
【答案】C
【解析】
【分析】
利用系统抽样的特征可求出、，进而可求解。
【详解】样本容量为，
样本间隔为，
编号为号学生在样本中，
故选：D.
【点睛】本题考查了方差、中位数、众数和平均数,熟练掌握方差、中位数、众数和平均数的意义是本题的关键.
9。定义，在区域内任取一点 ,则点满足的概率为( ）
A。 B. C. D。
【答案】B
【解析】
【分析】
作出表示的总区域以及表示的区域，再利用几何概型即可求解。
【详解】试验包含的所有事件对应的集合为
大庆实验中学2020—2021学年度高二上学期10月月考
数学试题
一、选择题（每小题5分,共12小题，共60分）
1。设命题，则为（）
A。 B。 C. D。
【答案】A
【解析】
【分析】
否定命题的结论，全称量词改为存在量词即得．
【详解】由题意为
故选：A．
【点睛】本题考查命题的否定，掌握命题否定的是解题关键,特别注意全称量词与存在量词的的互换．

2020-2021学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期期中考试数学试题 (解析版)

黑龙江省大庆铁人中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。

2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题满分 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1．已知点M 的极坐标是2,6π⎛⎫--⎪⎝⎭，它关于直线2πθ=的对称点坐标是（）A ．112,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2,6π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．112,6π⎛⎫--⎪⎝⎭2．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的焦点在x 轴上，且椭圆C ，面积为12π，则椭圆C 的方程为（）. A ．22134x y +=B ．221916x y +=C ． 22143x y +=D ．221169x y +=3．下列结论错误的是（）A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0” 4．在极坐标系中，曲线2sin C ρθ=：上的两点A B ，对应的极角分别为233ππ，，则弦长AB 等于（）A ．1B C D ．25．已知椭圆2214y x +=和点11(,)22A 、1(,1)2B ，若椭圆的某弦的中点在线段AB 上，且此弦所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为（）A ．[]2,1--B ．[]4,2--C ．[]4,1--D ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦6．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A到直线sin()6πρθ+=大值是（） A．2BCD．7．已知M 是抛物线24x y =上一点，F 为其焦点，C 为圆22(1)(2)1x y ++-=的圆心，则||||MF MC +的最小值为（） A ．2B ．3C ．4D ．58．已知直线l的参数方程为22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上，若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，则FA FB ⋅的值等于（） A ．1BCD ．29．已知点F 是双曲线2222=1x y a b-的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于G 、H 两点，若GHE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（） A ．()1,+∞B ．()1,2C．(21+, D．(1,110．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（）A ．2404424b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．2402422b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b11．已知点,A B 在抛物线2y x =上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则直线AB 一定过点（）A ．(2,0)B ．C ．(0,2)D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若12F PF ∆的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当4R r =时，椭圆的离心率为（） A ．45B ．23C ．12D ．15第II 卷非选择题部分（选择题满分 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．)13．已知点P 的直角坐标按伸缩变换'2'3x xy y=⎧⎪⎨=⎪⎩变换为点'(6,3)P -，限定0,02ρθπ>≤<时，点P 的极坐标为_____________．14．设p ：|x ﹣1|≤1，q ：x 2﹣（2m +1）x +（m ﹣1）（m +2）≤0．若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_____． 15．有如下命题： ①“0a b >>”是“11a b<”成立的充分不必要条件； ②，则a a t b b t+<+；③552332a b a b a b +≥+对一切正实数,a b 均成立； ④“1ab>”是“0a b ->”成立的必要非充分条件. 其中正确的命题为___________．（填写正确命题的序号）16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过x 轴上点P 的直线与双曲线的右支交于M ，N两点（M 在第一象限），直线MO 交双曲线左支于点Q （O 为坐标原点），连接QN .若120MPO ∠=︒，150MNQ ∠=︒，则该双曲线的渐近线方程为____ .三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．)17．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1:4sin C ρθ=，曲线2:4cos C ρθ=.⎪⎭⎫⎝⎛021，（1）求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，设3C与1C 和2C 的交点分别为M ，N （M ，N 不与O 重合），求MN .18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>C 的右顶点到直线0x y -+=的距离为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()2,0P ，且斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB 的面积(O 为坐标原点).19．已知双曲线22:14x C y -=，P 是C 上的任意点.（1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A 的坐标为()5,0，求PA 的最小值.20．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为213x ty t=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，曲线2C 的参数方程为212x m y m⎧=-⎨=⎩ (m 为参数). （1）求曲线1C ，2C 的普通方程；（2）已知点(2,1)M ，若曲线1C ，2C 交于A ，B 两点，求||MA MB -‖‖的值. 21．设抛物线()2:20C y px p =>，F 为C 的焦点，点(),0A A x 为x 轴正半轴上的动点，直线l 过点A 且与C 交于P ，Q 两点，点(),0B B x 为异于点A 的动点.当点A 与点F 重合且直线l 垂直于x 轴时，4PQ =. （1）求C 的方程；（2）若直线l 不垂直于坐标轴，且PBA QBA ∠=∠，求证：A B x x +为定值.22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）经过1,0A ，()0,B b 两点.O 为坐标原点，且AOB .过点()0,1P 且斜率为k （0k >）的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围.参考答案1．B 【解析】【分析】利用极坐标的意义作出极坐标点M ，再做出点M 关于2πθ=的对称点N ，则可得出其极坐标. 【详解】解：作出极坐标是2,6π⎛⎫--⎪⎝⎭的点M ，如图，它关于直线2πθ=的对称点是N ，其极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭或72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：B ．【点睛】考查极坐标的概念，以及对称点的求法.题目较易. 2．D 【解析】【分析】利用已知条件列出方程组，求出,a b ，即可得到椭圆方程. 【详解】由题意可得：22212ab c a a b c ππ=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得4,3a b ==，因为椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆方程为：221169x y+=，故选D. 【点睛】该题考查的是有关椭圆方程的求解问题，涉及到的知识点有椭圆的几何性质，椭圆的面积，属于简单题目. 3．C 【解析】【分析】写出原命题的逆否命题，可判断A ，根据充要条件的定义，可判断B ；根据方程20x x m +-=有实根⇒1144m m ∆=+⇒-，即可判断C ．写出原命题的否命题，可判断D ．【详解】解：命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2340x x --≠”，故A 正确；“2340x x --=” ⇔ “4x =或1x =”，故“4x =”是“2340x x --=”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为命题“若方程20x x m +-=有实根，则0m >，方程20x x m +-=有实根时，1144m m ∆=+⇒-，故C 错误．命题“若220m n +=，则0m =且0n =”的否命题是“若220m n +≠．则0m ≠或0n ≠”，故正确；故选：C ．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，命题的否定，充要条件等知识点，属于中档题．4．C【解析】【分析】直接求出极坐标，转化为直角坐标，然后利用距离公式求解即可.【详解】A､B两点的极坐标分别为233ππ⎫⎫⎪⎪⎭⎭，，，化为直角坐标为32⎛⎫⎪⎪⎝⎭，､32⎫⎪⎪⎝⎭，，故AB==故选：C.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的求法，距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 5．B【解析】【分析】由题意设出椭圆2214yx+=的某弦的两个端点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），中点为M（x0，y0），把P、Q的坐标代入椭圆方程，作差得到PQ的斜率与AB中点坐标的关系得答案．【详解】设椭圆2214yx+=的某弦的两个端点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），中点为M（x0，y0），则221114yx+=，222214yx+=，两式作差可得：2222121244y y x x -=-+，即()120121212000144422x x x y y x x y y y y y ⨯+-=-=-=-=--+，由题意可知，12≤y 0≤1， ∴k 02y =-（12≤y 0≤1），则k ∈[﹣4，﹣2]．故选B ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了“中点弦”问题的求解方法，属于中档题． 6．C 【解析】【分析】先将直线sin()6πρθ+=A 的坐标，利用点到直线的距离求解. 【详解】由直线sin()6πρθ+=1cos 2ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭0x +-=.又点A 是曲线2213x y +=上任意一点，设),sin Aαα则点A0x +-=的距离为：d =2=≤ 当sin 14πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时取得等号. 故选：C 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程和点到直线的距离,属于中档题.7．B 【解析】【分析】设出抛物线的准线方程，问题求||||MF MC +的最小值，结合抛物线的定义，就转化为，在抛物线上找一点M ，使M 到C 点、到抛物线准线距离之和最小，利用平面几何的知识可以求解出来．【详解】解：设抛物线24x y =的准线方程为:1l y =-，C 为圆22(1)(2)1x y ++-=的圆心，所以C 的坐标为(1,2)-，过M 作l 的垂线，垂足为E ，根据抛物线的定义可知||||MF ME =，所以问题求||||MF MC +的最小值，就转化为求||||MF MC +的最小值，由平面几何的知识可知，当C ，M ，E 在一条直线上时，此时CE l ⊥，||||ME MC +有最小值，最小值为2(1)3CE =--=，故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线的定义，以及动点到两点定点距离之和最小问题．解决本题的关键是利用抛物线的定义把问题进行转化，属于中档题． 8．D 【解析】【分析】根据题意，将曲线C 的极坐标方程变形为标准方程，由直线过的点的坐标可得m 的值，将直线的参数方程与曲线C 的方程联立，可得2220t t --=，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案；解：根据题意，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，则其标准方程为221124x y +=，其左焦点为(-，直线l过点(-，其参数方程为2(2x m ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），则m =-将直线l的参数方程22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t --=，则12||||||2FA FB t t ==．故选：D 【点睛】本题考查椭圆的极坐标方程、参数方程，涉及椭圆与直线的位置关系，关键是求出椭圆、直线的普通方程，属于中档题． 9．B 【解析】【分析】确定45GEF ∠<︒，在直角GEF △中得到2022a c +ac >-，即22<0e e --，计算得到答案. 【详解】若GHE ∆是锐角三角形，则45GEF ∠<︒在直角GEF ∆中，2b GF a=，EF a c =+，GF EF <即2022a c +ac >-，所以22<0e e --得1<<2e -，又>1e ，所以1<<2e【点睛】本题考查了双曲线的离心率的取值范围，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定45GEF ∠<︒是解题的关键.10．A 【解析】【分析】设动点的坐标为(2cos ,sin )b θθ，将2cos ,sin x y b θθ==代入22x y +中整理化简求最值．【详解】解：设动点的坐标为(2cos ,sin )b θθ，则222224cos 2sin 2sin 424b b x y b θθθ⎛⎫+=+=--++ ⎪⎝⎭．当04b <时，()22max244b x y+=+；当4b >时，()222max224224b b x y b ⎛⎫+=--++= ⎪⎝⎭．故选：A ．【点睛】本题考查与圆锥曲线有关的最值问题，可通过参数方程转化为三角函数求最值，是中档题． 11．A【解析】【分析】设直线AB 方程为x ky m =+，与抛物线方程联立，消去x 后得y 的方程，由韦达定理可求得m ，得到直线方程，根据方程特点可得答案. 【详解】当直线AB 的斜率为0时，直线AB 与抛物线只有1个交点，不符合题意，所以直线AB 的斜率不为0，设其方程为x ky m =+，因为点,A B 在抛物线2y x =上，所以设()()22,,,A A B B A y y B y y ，所以222A B A B OA OB y y y y ⋅=+=，解得1A B y y =或2A B y y =-．又因为,A B 两点位于x 轴的两侧，所以2A B y y =-．联立2,,y x x ky m ⎧=⎨=+⎩得220,40y ky m k m --==+>，所以2A B y y m =-=-，即2m =，所以直线AB 的方程为2x ky =+，所以直线AB 一定过点(2,0)．故选：A ．【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，考查抛物线中的定值，方法是设而不求法，在直线与圆锥曲线相交问题常常采用此法，注意体会． 12．B 【解析】【分析】利用正弦定理得到3R =，再利用椭圆的定义，设1PF m =，2PF n =，得到2m n a +=，结合余弦定理22242cos3c m n mn π=+-，得到22230a c ac --=，即得解.【详解】椭圆的焦点为()1,0F c -，()2,0F c ，122F F c =根据正弦定理可得121222sin sin 3F F c R F PF π===∠∴R =14r R ==. 设1PF m =，2PF n =，则2m n a +=，由余弦定理得22242cos3c m n mn π=+- ()22343m n mn a mn =+-=-，∴()2243a c mn -=，∴)12221sin 233F PF a c Smn π∆-==，又12F PF S ∆=()()1226a c m n c r +++⋅=，∴))2236a c a c -+=即22230a c ac --=，故2320e e +-=，解得：23e =或1e =-（舍）. 故选：B . 【点睛】本题考查了椭圆的性质综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 13．116π⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】设点P 的直角坐标为(),x y ，由题意得623x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为点P 的直角坐标为(3,，所以ρ==tan θ=，因为02θπ≤<，点P 在第四象限，所以116πθ=，所以点P 的极坐标为116π⎛⎫ ⎪⎝⎭． 14．[0，1] 【解析】【分析】分别求出,p q 的范围，再根据p 是q 的充分不必要条件，列出不等式组，解不等式组【详解】由11x -≤得111x -≤-≤，得02x ≤≤.由2(21)(1)(2)0x m x m m -++-+≤，得[(1)][(2)]0x m x m ---+≤，得12m x m -≤≤+，若p 是q 的充分不必要条件，则1022m m -≤⎧⎨+≥⎩，得10m m ≤⎧⎨≥⎩，得01m ≤≤，即实数m 的取值范围是[0,1].故答案为：[0,1] 【点睛】本题主要考查绝对值不等式和二次不等式的解法，同时考查了充分不必要条件，属于中档题. 15．①③ 【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意得，对于①中，“0a b >>”是“11a b <”成立的，当“11a b<”时，“0a b >>”不一定成立，例如1,2a b =-=；对于②时，则a a tb b t+>+，所以是不成立的；对于③中，5523323223223322222()()()()()()()0a b a b a b a a b b b a a b a b a b a b a ab b +--=-+-=--=-+++≥，所以552332a b a b a b +≥+对一切正实数,a b 均成立是成立的；对于④“1ab>”是“0a b ->”成立的既不充分也不必要，所以不成立，故选①③．考点：不等式的性质及命题的真假判定． 16．y x =± 【解析】【分析】由题意可知：M ，Q 关于原点对称，得到22MN QN b k k a⋅=，分别求出相应的斜率，再根据离心率公式，即可求解. 【详解】由题意可知：M ，Q 关于原点对称，∴22MN QNb k k a⋅=，又由120MPO ∠=︒，150MNQ ∠=︒，则3MN k =33QN k =，∴221b a =，渐近线方程为y x =±. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据双曲线的对称性，得到,M Q 关于原点对称，得到22MN QNb k k a ⋅=，分别求出相应的斜率，求得22b a的值是解答的关键，重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.17．（1）2240x y y +-=，2240x y x +-=；（2）2-.【解析】【分析】（1）由利用极坐标和直角坐标互换公式，即可求出曲线1C 与2C 的直角坐标方程；（2）联将直线3C 的极坐标方程分别于曲线1C 与2C 的极坐标方程联立，即可求出,M N ρρ，再根据M N MN ρρ=-，即可求出结果.【详解】解：（1）由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，∴曲线1C 的直角坐标方程为2240x y y +-=. 由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，∴曲线2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=.（2）联立4sin 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得M ρ= 联立4cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得2N ρ=，.故2M N MN ρρ=-=.【点睛】本题主要考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及利用极坐标方程解决曲线与曲线的交点问题．属于基础题.18．（1）22182x y +=.（2【解析】【分析】（1）由右顶点到直线的距离得a ，再由离心率得c ，从而可得b 值，得出椭圆方程；（2）写出直线方程，直线方程与椭圆方程联立方程组消元得一元二次方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，得1212,y y y y +，而OAB 的面积可表示为1212OP y y -，由此可得所求面积．【详解】（1）因为椭圆C的右顶点到直线0x y -的距离为3，3=，解得a =因为椭圆C的离心率为2，所以2c a =所以cb ==故椭圆C 的方程为22182x y +=.（2）由题意可知直线l 的方程为22x y =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2222182x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22210y y +-=，则121y y +=-，1212y y =-，从而12y y -===故OAB的面积1212111122222S OP y OP y OP y y =+=⨯⨯-=⨯. 【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中的三角形面积问题．求三角形面积时不直接求出交点坐标，而是设()11,A x y ，()22,B x y ，由直线方程与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理得1212,y y y y +，面积表示为1212OP y y ⨯⨯-，这样代入计算，可避免求交点坐标。

大庆XX中学2020—2021学年高二上学期开学考试数学试题含答案

大庆XX中学2020—2021学年高二上学期开学考试数学试题含答案数学试题试卷说明：1、本试卷满分150 分，答题时刻120 分钟。

2、请将答案直截了当填涂在答题卡上，考试终止只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)：1.过点P（2，-1）且倾斜角为的直线方程是（）A.x-y+1=0B.x-2y--2=0C.x-y-3=0D.x-2y++1=02.已知a＞b，则下列不等式正确的是（）A.ac＞bcB.a2＞b2C.|a|＜|b|D.2a＞2b3.函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范畴是（）A.（0，4）B.[0，4）C.[0，4]D.（0，4]4.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2sin C=4sin A，cos B=，则△ABC 的面积为（）A.1B.C.2D.5.已知平面α⊥平面β，直线m，n均不在平面α、β内，且m⊥n，则（）A.若m⊥β，则n∥βB.若n∥β，则m⊥βC.若m⊥β，则n⊥βD.若n⊥β，则m⊥β6.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为（）A.8B.8+4C.4+2D.2+7.设数列{a n}是等比数列，且a n＞0，S n为其前n项和．已知a2a4=16，，则S5等于（）A.40B.20C.31D.438.设等差数列{a n}的前n项为S n，已知S13＞0，S14＜0，若a k•a k+1＜0，则k=（）A.6B.7C.13D.149.在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若==，则△ABC是（）A.等边三角形B.锐角三角形C.任意三角形D.等腰直角三角形10.已知点A（a，2）到直线l：x-y+3=0距离为，则a等于（）A.1B.±1C.-3D.1或-311.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则AD1与平面BB1D1所成角的正弦值为（）A. B. C. D.12.入射光线沿直线x-2y+3=0射向直线l：y=x，被l反射后的光线所在直线的方程是（）A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.2x+y+3=0D.2x-y+3=0二、填空题（本大题共四个小题，每题5分，共20分）：13. 在△ABC中，，A=120°，则角B的大小为______ ．14. 已知实数x，y满足，则z=3x-y的最大值为______ ．15、已知函数，则f（x）取最小值时对应的x的值为______ ．16．若关于x的方程cos2x-sinx+a=0在[0，π]内有解，则实数a的取值范畴是 ______ ．三、解答题（共六道大题，总分70分）：17. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2b-c）cos A-acos C=0（1）求角A．（2）若边长a=，且△ABC的面积是，求边长b及c．18.（本小题满分12分）如图，空间几何体的底面是直角梯形，，，，平面，为线段的中点.（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积.19、已知数列{a n}的前n项和S n，满足：S n＝2a n－2n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项a n；(2)若数列{b n}满足b n＝log2(a n＋2)，T n为数列{b na n＋2}的前n项和，求T n20．如图，游客从某旅行景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m /min.在甲动身2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙动身多少分钟后，乙在缆车内与甲的距离最短？21.如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB=60 且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；（2）（理）求二面角A-BC-P 的余弦值．（文）求异面直线PC 与AD 的夹角的余弦值22.在数列中，，当时，满足．（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）令，数列的前项和为，求使得对所有都成立的实数的取值范畴．参考答案1-5 CDBBB6-10 CCBDD11-12 AB13.30°14.1015.-116.[-1，1]17.解：（1）△ABC中，∵（2b-c）cos A-acos C=0，∴由正弦定理得（2sin B-sin C）cos A-sin A cos C=0，------（2分）∴2sin B cos A=sin（A+C）=sin B，---------（3分）∵sin B≠0，∴2cos A=1，∴cos A=0.5，∴A=60°．---------（5分）（2）由△ABC的面积是=，∴bc=3．再由a2=b2+c2-2bc•cos A，可得b2+c2=6．解得b=c=．18. （1）证明：设线段AD的中点为Q，连接PQ，BQ，则在△MAD中，PQ为中位线，故PQ∥MD，又PQ平面MCD，MD平面MCD，因此PQ∥平面MCD.在底面直角梯形ABCD中，QD∥BC且QD=BC，故四边形QBCD为平行四边形，故QB∥DC，又QB平面MCD，DC平面MCD，因此QB∥平面MCD.又因为PQ∩QB=Q，因此平面PQB∥平面MCD，又PB平面PQB，因此PB∥平面MCD.（2）解：因为MA⊥平面ABCD，因此MA⊥DC，因为∠ADC=90°，因此AD⊥DC，又因为MA∩AD=A，因此DC⊥平面MAD，,，因此三棱锥P-MCD的体积为.19. a n ＝2n ＋1－2(2)证明 b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1＝n ＋1， ∴b na n ＋2＝n ＋12n ＋1，则T n ＝222＋323＋…＋n ＋12n ＋1， 12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2，两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝14＋141－12n1－12－n ＋12n ＋2＝14＋12－12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－n ＋32n ＋2， ∴T n ＝32－n ＋32n ＋1， 20．解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，因此sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝AC sin B ·sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．因此索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙动身t min 后，甲、乙两游客距离为d ，现在，甲行走了(100＋50t ) m ，乙距离A 处130t m ，因此由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．21.解：（1）证明：连接BD ，∵底面ABCD 是∠DAB=60°且边长为a 的菱形，∴△ABD 为等边三角形又G 为AD 的中点，∴BG⊥AD又平面PAD⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD=AD ，BG ⊂平面ABCD ．∴BG⊥平面PAD （2）（理）由AD⊥PB，AD∥BC，∴BC⊥PB又BG⊥AD，AD∥BC∴BG⊥BC∴∠PBG为二面角A-BC-P的平面角在R t△PBG中，PG=BG，2 cosθ=（文）由AD⊥PB，AD∥BC，∴BC⊥PB5cos5θ=22. （Ⅰ）证明：两边同除以得，即数列是等差数列，首项，公差，，；（Ⅱ）解：由题意，即关于所有都成立，设即，函数在上是减函数，在上是增函数，故数列从第二项起递减，而，，满足题意的实数的取值范畴为.。

黑龙江省大庆第一中学2017-2018学年高二上学期第二次月考(10月)数学试题含解析

黑龙江省大庆市第一中学2019-2020学年高一数学上学期第二次月考(期中)试题答案

∴2
1 t 即 f（x2）＜f（x1），
∴函数 f（x）为 R 上的减函数；
（3）由（2）知，函数 f（x）在[0，2]上为减函数，
∴f（2）≤f（x）≤f（0），即 ≤f（x）≤0，
即函数的值域为[- ，0].
19.【答案】解：（Ⅰ）实数 x 满足 9x-4×3x+1+27≤0，
化解可得：（3x）2-12•3x+27≤0，即（3x-3）（3x-9）≤0，得 3≤3x≤9， ∴1≤x≤2，故得 x 的取值范围为[1，2]；
㔠1
∴ 2 ≥1- ，且（1- ）2-m（1- ）-m≥0,
即 m≥2-2 且 m≤2, ∴m∈ 2 2 㔠2㤮.
上恒成立，
22.【答案】解：（1）设 t=2x，由 f（x）-f（2x）＞16-9×2x 得：t-t2＞16-9t，
即 t2-10t+16＜0． ∴2＜t＜8，即 2＜2x＜8，∴1＜x＜3, ∴不等式的解集为（1，3）．
对对
即
对对
对2 对2
解得
对2
2 2
，
对2
2 2
2ag（x）+h（2x）≥0，即 2 2
对2
对2 ，
22 2 2 t 对任意 x∈[1，2]恒成立，
2
又 x∈[1，2]时，令对 2
2
，∈
，1
2
㤮，
22 2 2
2 22
22 2 对 22 2
21 对2
2在 ∈ ， 1 㤮上单调递增，
2
当
对
时，
2
1 2
∴
-
9 4
≤

log 2
x

黑龙江省大庆第一中学2020-2021学年高二数学下学期第二次月考试题答案

数学（理科）试卷参考答案 2021.5.12一．选择题二．填空题（13）333332212345(12345)(15)++++=++++或；（14） 5;（15）116; （16） 22(,4]e e .三. 解答题（17）解: . ∴124a b +-=-. ①又11(1,)3-在()f x 图象上, ∴11133a b +-=- ,即40a b -+=. ② 由①②解得13a b =-⎧⎨=⎩. ………………3分∴3221()3,()23(3)(1)3f x x x x f x x x x x '=--=--=-+∴2()230f x x x '=--= 解得1x =-或3. …………4分当x 变化时，/y 和y 的变化情况如下表：x 3-(-3,-1)1-(-1,3)3(3,6)6/y+0 -0 +y9-极大值极小值18于是（1）函数的单调递增区间为(-3,-1)和(3,6)，单调递减区间为(-1,3). …………6分 (2)5()(1),()(3)93f x f f x f =-===-极大极小. ………………8分 (3) 又(3)9,(6)18,f f -=-=∴()(6)18,()(3)(3)9f x f f x f f ====-=-最大最小………………10分（18）（本小题满分12分）解: (1)因为二项式631()+nx x的展开式中第4项的二项式系数最大，所以142+=n. 6∴=n . ………………4分(2)二项式6631()+x x的展开式的通项公式为66366636166631()()----+===k k kk k k k kk T C x C x C x x. ( 0,1,2,3,4,5,6=k )当0,2,4,6=k 时，x 的次数为整数，从而该项为有理项 . 于是展开式的有理项共有四项，分别为第1项，第3项，第5项，第7项. 所以展开式的所有有理项系数之和为0246616666232.-+++==C C C C02466666(11515132)+++=+++=或C C C C …………8分（3）展开式共有7项，其中4项为有理项，3项为无理项.将无理项排列，有33A 种.将有理项插空排列，有44A 种，于是把展开式中的项重新排列，有理项互不相邻的排法共有34343214321144=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A A 种. …………12分（19）（本小题满分12分）解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. …………1分其中1111(0)(1)(1)(1),2344==---=P X…………2分11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1),23423423424==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=P X …………3分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C A B D D C C CAA1111111111(2)(1)(1)(1),2342342344==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=P X…………4分1111(3).23424==⨯⨯=P X …………5分所以，随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P 14112414124…………7分随机变量X的数学期望是1111113()0123.42442412=⨯+⨯+⨯+⨯=E X……9分（2）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为11111111(1)(0,1)(1,0).42424448+====+===⨯+⨯=P Y Z P Y Z P Y Z…………12分（20）（本小题满分12分）解：（1）证明：因为//AB CD，90BCD∠=︒，所以AB BC⊥.又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCD AB=，⊂平面BC ABCD,∴BC⊥平面PAB，…………1分又AQ⊂平面PAB，∴所以BC⊥AQ，…………2分Q为PB中点，且PAB△为等边三角形，∴PB⊥AQ，…………3分又PB BC B⋂=，∴AQ⊥平面PBC . …………4分（2）【法一】：（1）取AB中点为O，连接PO，因为PAB△为等边三角形，所以PO⊥AB，由平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCD AB=，PO⊂平面PAB，所以PO⊥平面ABCD. ···························· 5分所以PO⊥OD. 由224AB BC CD===，90ABC∠=︒，可知//OD BC，所以OD AB⊥．以AB中点O为坐标原点，,,OD OB OP所在直线为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-. …………6分所以()()0,2,0,2,0,0,A D-()()()2,2,0,0,0,23,0,2,0C P B，则()()()2,2,0,2,0,23,0,2,0AD DP CD==-=-，因为Q为PB中点，所以()0,1,3Q，由 (1) 知，平面PBC的一个法向量为()0,3,3AQ= ----------------7分设平面PCD的法向量为(),,n x y z=，由0,n CDn DP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得202230yx z-=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z=，则()3,0,1n=，…………9分由231cos,43331AQ nAQ nAQ n⋅<>===+⋅+. …………11分所以，二面角B PC D--的正弦值为21151()44-. …………12分【法二】：取AB中点为O，连接PO，因为PAB△为等边三角形，所以PO⊥AB.由平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCD AB=,PO⊂平面PAB,所以PO⊥平面ABCD. …………5分xyzO所以PO ⊥OD . 由224AB BC CD ===，90ABC ∠=︒，可知//OD BC ，所以OD AB ⊥．以AB 中点O 为坐标原点，,,OA OD OP 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. …………6分所以()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0,A D C -()()0,0,23,2,0,0P B -，所以()()2,2,0,0,2,23,AD DP =-=-()2,0,0CD =，由(1)知，可以AQ 为平面PBC 的法向量，因为Q 为PB 的中点，所以()1,0,3Q -.由(1)知，平面PBC 的一个法向量为()3,0,3AQ =-. …………7分设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由0,0n CD n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得202230x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则()0,3,1n =， …………9分所以231cos ,43331AQ n AQ n AQ n ⋅<>===+⋅+ . …………11分所以，二面角B PC D --的正弦值为21151()44-. …………12分【法三】：过点B 作PC 的垂线BH ，交PC 于点H ，连结DH .由题意知PO ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PO CD ⊥. 由条件知OD CD ⊥.又PO OD O =，所以CD ⊥平面POD .又PD ⊂平面POD ，所以CD PD ⊥.又CD CB =，所以Rt PDC Rt PBC △≌△. 所以DH PC ⊥.由二面角的定义知，二面角B PC D --的平面角为BHD ∠. …………7分在Rt PBC △中，4,2PB BC ==，25PC =，由PB BC BH PC ⋅=⋅，所以4245525PB BC BH PC ⋅⨯===.-------------8分同理可得455DH =， ----------------9分又22BD =, 所以在BHD △中，222cos 2BH DH BD BHD BH DH +-=⋅∠()22245452255144545255⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭. -----11分所以，二面角B PC D --的正弦值为21151()44--. …………12分（21）（本小题满分12分）解:（1）由题有2a =，12c e a ==. ∴1c =，.............................................2分∴2223b a c =-=. ∴椭圆方程为xyzOHO22143x y += ......................................................................4分（2）方法1：设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，得()2231412my y ++=.即()2234690m y my ++-=. ........................................................................6分0∆>恒成立.设()12,M x y ，()22,N x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+. 2212(1)34m MN m +==+. .........................8分将直线FT ：()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -.∴TF ==.....................9分∴2||11||44TF MN ⎛⎫== ⎝. ......................................10分设t =. 显然1t ≥. 构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭.()211304f t t ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭在[)1,t ∈+∞上恒成立,所以()y f t =在[)1,+∞上单调递增.所以||1131||4FT t MN t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1t =，即0m =时取“=” 所以||||TF MN 的取值范围是[1,)+∞ ............................11分当||||TF MN 取得最小值1时，0m =, 此时直线l 的方程为 1x =. .......................12分（注：1.如果按函数1y x x=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）（2）问方法2：当l 的斜率不存在时，易得1,322=∴==MNTF a b MN . ......................6分当l 斜率存在时，可设)1(:-=x k y l .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ，0∆>恒成立.设()12,M x y ，()22,N x y .则2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+............................8分22212212221222122143)1(12)4))((1())(1()()(k k x x x x k x x k y y x x MN ++=-++=-+=-+-= . ...........................9分依题意可知0≠k ，则有直线TF ：)1(1--=x k y ，又x=4，则)3,4(kT - 所以kk TF 213+=， (10)分则得1)1(96411641)43(41144322422222>+++=++=++=k k k k k k k k MN TF . .............11分或者22242222211)43(41)43(411443k kk k k k k k MN TF ++=++=++=设1,112>=+t t k ，则有61941++=tt MN TF ，设0)(,1,19)(,619)(2>'∴>-='++=t f t tt f t t t f . 当t=1时，f(t)=16,则t>1时，f(t)>16,则161941>++=tt MN TF . ...............11分综上可知，||||TF MN 最小值为1，此时直线l 的方程为1x =. ........................12分22. （本小题满分12分）解：（1）当0m =时，()xf x xe =-，()(1)x x xf x e xe x e '=--=-+.------------------------2分所以(1)2k f e '==-，因为(1)f e =-, 所以切点坐标为(1,)e -.所以切线方程为2(1)y e e x +=--，即20ex y e +-= . -----------------------4分（2）当0x >时，由()f x =()4x m x e x -<+恒成立及0x e >得4x x m x e+<+（0x >）恒成立.设4()x x h x x e +=+，则2(4)33()11x x x x xx e x e x e x h x e e e -+----'=+=+=.---------6分设()3,x s x e x =-- 则()1x s x e '=-0>（0x >）.所以()s x 在(0,)+∞上单调递增 . 又05.44817.429)23(23<-≈-=e s ,03352945.5335)35(35>--≈--=e s ,所以存在)35,23(0∈x 使得0()0s x =，当0(0,)x x ∈时，()0s x <, 即0)(<'x h ；当0(,)x x ∈+∞时，()0s x >, 即0)(>'x h . 所以()h x 在0(0,)x 上单调递减，0(,)x +∞上单调递增. 所以00min 004()()x x h x h x x e +==+. ----------8分因为00000()0,30, 3.x x s x e x e x =--=∴=+ 所以000min 000000441()()133x x x h x h x x x x x x e ++==+=+=++++,)35,23(0∈x ------------10分设311)(+++=x x x g ，当)35,23(∈x 时，0)3(11)(2>+-='x x g ，所以)(x g 在)35,23(上单调递增.则)35()()23(g x g g <<，即342121)(18492<<<<x g . 所以3)(20<<x h . 因为m Z∈，所以2m ≤，所以m 的最大值为 2.---------------------------------12分。

2020-2021学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期期中考试数学试题(解析版)

2020-2021学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知点M 的极坐标是2,6π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，它关于直线2πθ=的对称点坐标是（）A ．112,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2,6π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．112,6π⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B【分析】利用极坐标的意义作出极坐标点M ，再做出点M 关于2πθ=的对称点N ，则可得出其极坐标.【详解】解：作出极坐标是2,6π⎛⎫--⎪⎝⎭的点M ，如图，它关于直线2πθ=的对称点是N ，其极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭或72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：B ．【点睛】考查极坐标的概念，以及对称点的求法.题目较易.2．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的焦点在x 轴上，且椭圆C 7，面积为12π，则椭圆C 的方程为（）.A ．22134x y +=B ．221916x y +=C ．22143x y +=D ．221169x y +=【答案】D【分析】利用已知条件列出方程组，求出,a b ，即可得到椭圆方程.【详解】由题意可得：222124ab ca abc ππ=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得4,3a b ==，因为椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆方程为：221169x y+=，故选D.【点睛】该题考查的是有关椭圆方程的求解问题，涉及到的知识点有椭圆的几何性质，椭圆的面积，属于简单题目. 3．下列结论错误的是（）A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0” 【答案】C【分析】写出原命题的逆否命题，可判断A ，根据充要条件的定义，可判断B ；根据方程20x x m +-=有实根⇒1144m m ∆=+⇒-，即可判断C ．写出原命题的否命题，可判断D ．【详解】解：命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2340x x --≠”，故A 正确；“2340x x --=” ⇔ “4x =或1x =”，故“4x =”是“2340x x --=”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为命题“若方程20x x m +-=有实根，则0m >，方程20x x m +-=有实根时，1144m m ∆=+⇒-，故C 错误．命题“若220m n +=，则0m =且0n =”的否命题是“若220m n +≠．则0m ≠或0n ≠”，故正确；故选：C ．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，命题的否定，充要条件等知识点，属于中档题．4．在极坐标系中，曲线2sin C ρθ=：上的两点A B ，对应的极角分别为233ππ，，则弦长AB 等于（）A ．1BCD ．2【答案】C【分析】直接求出极坐标，转化为直角坐标，然后利用距离公式求解即可. 【详解】A ､B 两点的极坐标分别为233ππ⎫⎫⎪⎪⎭⎭，，，化为直角坐标为32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，､32⎫⎪⎪⎝⎭，，故AB ==故选：C .【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的求法，距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题.5．已知椭圆2214y x +=和点11(,)22A 、1(,1)2B ，若椭圆的某弦的中点在线段AB 上，且此弦所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为（） A ．[]2,1-- B ．[]4,2--C ．[]4,1--D ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】由题意设出椭圆2214y x +=的某弦的两个端点分别为P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），中点为M （x 0，y 0），把P 、Q 的坐标代入椭圆方程，作差得到PQ 的斜率与AB 中点坐标的关系得答案．【详解】设椭圆2214y x +=的某弦的两个端点分别为P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），中点为M （x 0，y 0），则221114y x +=，222214y x +=，两式作差可得：2222121244y y x x -=-+，即()120121212000144422x x x y y x x y y y y y ⨯+-=-=-=-=--+，由题意可知，12≤y 0≤1， ∴k 02y =-（12≤y 0≤1），则k ∈[﹣4，﹣2]．故选B ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了“中点弦”问题的求解方法，属于中档题．6．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A到直线sin()6πρθ+=的最大值是（） A．BCD．【答案】C【分析】先将直线sin()6πρθ+=设出点A 的坐标，利用点到直线的距离求解.【详解】由直线sin()6πρθ+=，有1cos 22ρθθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭0x +-=.又点A 是曲线2213x y +=上任意一点，设),sin Aαα则点A0x +-=的距离为：d =2=≤ 当sin 14πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时取得等号. 故选：C【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程和点到直线的距离,属于中档题.7．已知M 是抛物线24x y =上一点，F 为其焦点，C 为圆22(1)(2)1x y ++-=的圆心，则||||MF MC +的最小值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【分析】设出抛物线的准线方程，问题求||||MF MC +的最小值，结合抛物线的定义，就转化为，在抛物线上找一点M ，使M 到C 点、到抛物线准线距离之和最小，利用平面几何的知识可以求解出来．【详解】解：设抛物线24x y =的准线方程为:1l y =-，C 为圆22(1)(2)1x y ++-=的圆心，所以C 的坐标为(1,2)-，过M 作l 的垂线，垂足为E ，根据抛物线的定义可知||||MF ME =，所以问题求||||MF MC +的最小值，就转化为求||||MF MC +的最小值，由平面几何的知识可知，当C ，M ，E 在一条直线上时，此时CE l ⊥，||||ME MC +有最小值，最小值为2(1)3CE =--=，故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线的定义，以及动点到两点定点距离之和最小问题．解决本题的关键是利用抛物线的定义把问题进行转化，属于中档题．8．已知直线l 的参数方程为2222x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上，若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，则FA FB ⋅的值等于（） A ．1B 2C 3D ．2【答案】D【分析】根据题意，将曲线C 的极坐标方程变形为标准方程，由直线过的点的坐标可得m 的值，将直线的参数方程与曲线C 的方程联立，可得2220t t --=，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案；【详解】解：根据题意，曲线C 的极坐标方程为2222cos3sin 12ρθρθ+=，则其标准方程为221124x y +=，其左焦点为(-，直线l过点(-，其参数方程为2(2x m t ty t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），则m =-将直线l的参数方程x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t --=，则12||||||2FA FB t t ==．故选：D【点睛】本题考查椭圆的极坐标方程、参数方程，涉及椭圆与直线的位置关系，关键是求出椭圆、直线的普通方程，属于中档题．9．已知点F 是双曲线2222=1x y a b-的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于G 、H 两点，若GHE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（） A ．()1,+∞ B ．()1,2C．(21, D．(1,1【答案】B【分析】确定45GEF ∠<︒，在直角GEF △中得到2022a c +ac >-，即22<0e e --，计算得到答案.【详解】若GHE ∆是锐角三角形，则45GEF ∠<︒在直角GEF ∆中，2b GF a=，EF a c =+，GF EF <即2022a c +ac >-，所以22<0e e --得1<<2e -，又>1e ，所以1<<2e 故选：B【点睛】本题考查了双曲线的离心率的取值范围，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定45GEF ∠<︒是解题的关键.10．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（）A ．2404424b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．2402422b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b【答案】A【分析】设动点的坐标为(2cos ,sin )b θθ，将2cos ,sin x y b θθ==代入22x y +中整理化简求最值．【详解】解：设动点的坐标为(2cos ,sin )b θθ，则222224cos 2sin 2sin 424b b x y b θθθ⎛⎫+=+=--++ ⎪⎝⎭．当04b <时，()22max244b x y+=+；当4b >时，()222max224224b b x y b ⎛⎫+=--++= ⎪⎝⎭．故选：A ．【点睛】本题考查与圆锥曲线有关的最值问题，可通过参数方程转化为三角函数求最值，是中档题．11．已知点,A B 在抛物线2y x =上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则直线AB 一定过点（） A ．(2,0) B ．1,02C ．(0,2)D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】设直线AB 方程为x ky m =+，与抛物线方程联立，消去x 后得y 的方程，由韦达定理可求得m ，得到直线方程，根据方程特点可得答案.【详解】当直线AB 的斜率为0时，直线AB 与抛物线只有1个交点，不符合题意，所以直线AB 的斜率不为0，设其方程为x ky m =+，因为点,A B 在抛物线2y x =上，所以设()()22,,,A A B B A y y B y y ，所以222A B A B OA OB y y y y ⋅=+=，解得1A B y y =或2A B y y =-．又因为,A B 两点位于x 轴的两侧，所以2A B y y =-．联立2,,y x x ky m ⎧=⎨=+⎩得220,40y ky m k m --==+>，所以2A B y y m =-=-，即2m =，所以直线AB 的方程为2x ky =+，所以直线AB 一定过点(2,0)．故选：A ．【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，考查抛物线中的定值，方法是设而不求法，在直线与圆锥曲线相交问题常常采用此法，注意体会．12．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若12F PF ∆的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当4R r =时，椭圆的离心率为（）A ．45B ．23C ．12D ．15【答案】B【分析】利用正弦定理得到3R =，再利用椭圆的定义，设1PF m =，2PF n =，得到2m n a +=，结合余弦定理22242cos 3c m n mn π=+-，得到22230a c ac --=，即得解.【详解】椭圆的焦点为()1,0F c -，()2,0F c ，122F F c =根据正弦定理可得121222sin sin3F F c R F PF π===∠∴R =，14r R ==设1PF m =，2PF n =，则2m n a +=，由余弦定理得22242cos3c m n mn π=+- ()22343m n mn a mn =+-=-，∴()2243a c mn -=，∴)12221sin 233F PF a c Smn π∆-==，又12F PF S ∆=()()1226a c m n c r +++⋅=，∴))2236a c a c -+=即22230a c ac --=，故2320e e +-=，解得：23e =或1e =-（舍）. 故选：B .【点睛】本题考查了椭圆的性质综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题13．已知点P的直角坐标按伸缩变换'2'x xy =⎧⎪⎨=⎪⎩变换为点'(6,3)P -，限定0,02ρθπ>≤<时，点P 的极坐标为_____________．【答案】116π⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】设点P 的直角坐标为(),x y ，由题意得623x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩因为点P 的直角坐标为(3,，所以ρ==tan θ=，因为02θπ≤<，点P 在第四象限，所以116πθ=，所以点P 的极坐标为116π⎛⎫ ⎪⎝⎭． 14．设p ：|x ﹣1|≤1，q ：x 2﹣（2m +1）x +（m ﹣1）（m +2）≤0．若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_____．【答案】[0，1]【分析】分别求出,p q 的范围，再根据p 是q 的充分不必要条件，列出不等式组，解不等式组【详解】由11x -≤得111x -≤-≤，得02x ≤≤.由2(21)(1)(2)0x m x m m -++-+≤，得[(1)][(2)]0x m x m ---+≤，得12m x m -≤≤+，若p 是q 的充分不必要条件，则1022m m -≤⎧⎨+≥⎩，得10m m ≤⎧⎨≥⎩，得01m ≤≤，即实数m 的取值范围是[0,1]. 故答案为：[0,1]【点睛】本题主要考查绝对值不等式和二次不等式的解法，同时考查了充分不必要条件，属于中档题. 15．有如下命题： ①“0a b >>”是“11a b<”成立的充分不必要条件； ②，则a a t b b t+<+；③552332a b a b a b +≥+对一切正实数,a b 均成立； ④“1ab>”是“0a b ->”成立的必要非充分条件. 其中正确的命题为___________．（填写正确命题的序号）【答案】①③【详解】试题分析：由题意得，对于①中，“0a b >>”是“11a b <”成立的，当“11a b<”时，“0a b >>”不一定成立，例如1,2a b =-=；对于②时，则a a tb b t+>+，所以是不成立的；对于③中，5523323223223322222()()()()()()()0a b a b a b a a b b b a a b a b a b a b a ab b +--=-+-=--=-+++≥，所以552332a b a b a b +≥+对一切正实数,a b 均成立是成立的；对于④“1ab>”是“0a b ->”成立的既不充分也不必要，所以不成立，故选①③．【考点】不等式的性质及命题的真假判定．16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过x 轴上点P 的直线与双曲线的右支交于M ，N 两点（M 在第一象限），直线MO 交双曲线左支于点Q （O 为坐标原点），连接QN .若120MPO ∠=︒，150MNQ ∠=︒，则该双曲线的渐近线方程为____ . 【答案】y x =±【分析】由题意可知：M ，Q 关于原点对称，得到22MN QN b k k a⋅=，分别求出相应的斜率，再根据离心率公式，即可求解.【详解】由题意可知：M ，Q 关于原点对称，∴22MN QNb k k a⋅=，又由120MPO ∠=︒，150MNQ ∠=︒，则MN k =QN k =，∴221b a =，渐近线方程为y x =±.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据双曲线的对称性，得到,M Q 关于原点对称，得到22MN QNb k k a⋅=，分别求出相应的斜率，求得22b a的值是解答的关键，重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1:4sin C ρθ=，曲线2:4cos C ρθ=. （1）求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，设3C 与1C 和2C 的交点分别为M ，N ，求MN .【答案】（1）2240x y y +-=，2240x y x +-=；（2）2-.【分析】（1）由利用极坐标和直角坐标互换公式，即可求出曲线1C 与2C 的直角坐标方程；（2）联将直线3C 的极坐标方程分别于曲线1C 与2C 的极坐标方程联立，即可求出,M N ρρ，再根据M N MN ρρ=-，即可求出结果.【详解】解：（1）由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，∴曲线1C 的直角坐标方程为2240x y y +-=. 由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，∴曲线2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=.（2）联立4sin 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得M ρ= 联立4cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得2N ρ=，.故2M N MN ρρ=-=.【点睛】本题主要考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及利用极坐标方程解决曲线与曲线的交点问题．属于基础题.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>C的右顶点到直线0x y -的距离为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(2,0)P ，且斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB 的面积(O 为坐标原点）．【答案】（1）22182x y +=；（2【分析】（1）通过椭圆C的右顶点到直线0x y -+=的距离为3，求出a ，结合离心率求出c ，然后求解b ，得到椭圆方程；（2）由题意可知直线l 的方程为22x y =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2222182x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22210y y +-=，通过韦达定理以及弦长公式，转化求解三角形的面积即可．【详解】（1）因为椭圆C的右顶点到直线0x y -+=的距离为3，3=，解得a = 因为椭圆Cc a =所以cb ==故椭圆C 的方程为22182x y +=．（2）由题意可知直线l 的方程为22x y =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2222182x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22210y y +-=，则121y y +=-，1212y y =-，从而12y y -===故OAB的面积12121111|||22222|||S OP y OP y OP y y =+=⨯⨯-=⨯=【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力.19．已知双曲线22:14x C y -=，P 是C 上的任意点.（1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A 的坐标为()5,0，求PA 的最小值. 【答案】（1）见解析；（2）min 2PA =.【解析】试题分析：（1）设()00,P x y ，写出点P 到渐近线的距离的乘积，利用点在双曲线上化简，得到常数；（2）()222005PA x y =-+ ，根据220014x y -= 化简2PA ，转化为二次函数求最小值.试题解析：（1）设()00,P x y ，P 到两准线的距离记为1d 、2d ， ∵两准线为20x y -=，20x y +=，∴221200145d d x y ⋅==-，又∵点P 在曲线上，∴22220000444x y x y -=-=，得1245d d ⋅=（常数）即点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 .（2）设()00,P x y ，由平面内两点距离公式得，()222005PA x y =-+， ∵220014x y -=，可得220014x y =-，∴()222200005102514444x PA x x x =-++-=-+，又∵点P 在双曲线上，满足02x ≥，∴当04x =时，PA 有最小值，min 2PA =. 20．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为213x ty t=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，曲线2C 的参数方程为212x m y m⎧=-⎨=⎩ (m 为参数). （1）求曲线1C ，2C 的普通方程；（2）已知点(2,1)M ，若曲线1C ，2C 交于A ，B 两点，求||MA MB -‖‖的值. 【答案】（1）1C ：35y x =-，2C ：244y x =+；（2. 【分析】（1）消去参数t 可得曲线1C 普通方程；将y 平方消去2m 可得曲线2C 的普通方程；（2）将直线1C 改写成过(2,1)M 的标准直线参数方程，再联立曲线2C 的普通方程化简可得关于t 的一元二次方程，根据t 的几何意义，结合韦达定理，即可求出||MA MB -‖‖的值.【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为213x ty t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，消去t 得35y x =-. 由曲线2C 的参数方程为212x m y m⎧=-⎨=⎩ (m 为参数)，消去m 得244y x =+. （2）曲线1C的标准参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数). 代入244y x =+，整理得29110105t +-=，所以129t t +=-，121109t t =-，因为120t t +<，120t t <，所以12||||9MA MB t t -=+=‖. 【点睛】本题主要考查参数方程与直角坐标方程的互化，同时也考查了直线参数方程的几何意义，易错点在于要先将直线参数方程化为标准形式，再代入求解，属中档题. 21．设抛物线()2:20C y px p =>，F 为C 的焦点，点(),0A A x 为x 轴正半轴上的动点，直线l 过点A 且与C 交于P ，Q 两点，点(),0B B x 为异于点A 的动点.当点A 与点F 重合且直线l 垂直于x 轴时，4PQ =. （1）求C 的方程；（2）若直线l 不垂直于坐标轴，且PBA QBA ∠=∠，求证：A B x x +为定值. 【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析【分析】（1）将2px =代入抛物线方程可求得PQ ，由此可构造方程求得p ，进而得到结果；（2）设:A x m l y x =+，与抛物线方程联立后得到韦达定理的形式；由PBA QBA ∠=∠知0PB QB k k +=，代入韦达定理的结论整理可得定值. 【详解】（1）由题意得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，当点A 与F 重合且直线l 垂直于x 轴时，l 方程为：2p x =，代入22y px =得：y p =±，24PQ p ∴==，解得：2p =，C ∴的方程为：24y x =.（2）证明：可设直线l 的方程为A x my x =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，将A x my x =+代入24y x =中得：2440A y my x --=，则216160A m x ∆=+>，121244A y y my y x +=⎧⎨=-⎩，由PBA QBA ∠=∠得：0PB QB k k +=，即12120B By y x x x x +=--，即()()12210B B y x x y x x -+-=，()()()()12211221B B A B A B y x x y x x y my x x y my x x ∴-+-=+-++-()()()()()()1212224440A B A A B A B my y x x y y m x x x m m x x =+-+=-+-=-+=，又直线l 不垂直于坐标轴，0m ∴≠，0A B x x ∴+=，A B x x ∴+为定值0.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到抛物线标准方程的求解、抛物线中的定值问题；证明定值问题的关键是能够将角相等的关系转化为斜率之间的关系，进而利用韦达定理整理化简得到定值.22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）经过1,0A ，()0,B b 两点.O 为坐标原点，且AOB的面积为4.过点()0,1P 且斜率为k （0k >）的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围.【答案】（Ⅰ）2221x y +=（Ⅱ）,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅲ）)2【分析】（Ⅰ）把点A 坐标代入椭圆的方程得1a =.由AOB124ab =，解得b ，进而得椭圆C 的方程. （Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y .联立直线l 与椭圆C 的方程可得关于x 的一元二次方程.0∆>，进而解得k 的取值范围.（Ⅲ）因为1,0A ，()0,1P ，()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程，令0x =，解得111y y x -=-.点S 的坐标为110,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.同理可得：点T 的坐标为220,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.用坐标表示PS ，PT ，PQ ，代入PS PO λ=，PT PO μ=，得111111111y kx x x λ+=+=+--.同理22111kx x μ+=+-.由（Ⅱ）得122421kx x k +=-+，122121x x k =+，代入λμ+，化简再求取值范围.【详解】（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b+=经过点1,0A ，所以21a =解得1a =.由AOB 的面积为4可知，124ab =，解得2b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=.（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y .联立22211x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消y 整理可得：()2221410k x kx +++=.因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以()22164210k k ∆=-+>，解得212k >.因为0k >，所以k 的取值范围是2⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭. （Ⅲ）因为1,0A ，()0,1P ，()11,M x y ，()22,N x y . 所以直线AM 的方程是：()1111y y x x =--. 令0x =，解得111y y x -=-. 所以点S 的坐标为110,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.同理可得：点T 的坐标为220,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 所以110,11y PS x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，220,11y PT x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，()0,1PO =-. 由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：1111y x λ--=--，2211y x μ--=--，所以111111111y kx x x λ+=+=+--. 同理22111kx x μ+=+-. 由（Ⅱ）得122421kx x k +=-+，122121x x k =+，所以()()()1212121212122121122111kx x k x x kx kx x x x x x x λμ+-+-+++=++=+---++ ()222214212212121412121k k k k k k k k ⎛⎫⋅+--- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭()22224422121421k k k k k k -+-+=++++()()2121k k -+=++)12221k k ⎛⎫=-+∈> ⎪ ⎪+⎝⎭所以λμ+的范围是)2.【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.。