(完整版)高中推理与证明测试题
精选最新版高中数学单元测试试题-推理与证明专题考核题库完整版(含参考答案)
2019年高中数学单元测试试题 推理与证明专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（ ） （A ）()f x (B)()f x - (C) ()g x (D)()g x - （2010山东文10）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题2．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖_________________块.3．在计算“1223(1)n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：1(1)[(1)(2)(1)(1)],3k k k k k k k k +=++--+由此得112(123012),3⨯=⨯⨯-⨯⨯123(234123),3⨯=⨯⨯-⨯⨯…1(1)[(1)(2)(1)(1)].3n n n n n n n n +=++--+相加，得11223(1)(1)(2).3n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++类比上述方法，请你计算“123234(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++”，其结果为 ▲ .4．已知各项为正数的等比数列}{n b ，若m b a =，n b b =，)(n m >， 则m m n b +=，类比上述性质，得出在等差数列{}n a 中的相关性质，若s a m =，t a n =，)(n m >，则 .5．古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…，叫做三角数，它有一定的规律性，则第30个三角数减去第28个三角数的值为 ．6．若ABC 的三边长分别为a, b, c ，其内切圆半径为r ，则S △ABC =12 （a+b+c ）·r ，类比这一结论到空间，写出三棱锥中的一个正确结论为7．观察x x 2)(2='，344)(x x ='，x x sin )(cos -='，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f =-，记()g x 为)(x f 的导函数，则)(x g -与()g x 的关系是 ▲ ．8．已知下列结论： ① 1x 、2x 都是正数⇔⎩⎨⎧>>+02121x x x x ，② 1x 、2x 、3x 都是正数⇔⎪⎩⎪⎨⎧>>++>++000321133221321x x x x x x x x x x x x ，则由①②猜想：1x 、2x 、3x 、4x 都是正数⇔9．下列不等式：121⋅≥2111⋅，⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅31131≥⎪⎭⎫⎝⎛+⋅412121 ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅5131141≥⎪⎭⎫⎝⎛++⋅61412131，…，由此猜测第1+n 个不等式为 ▲ （*n N ∈） 10．用反证法证明结论“a ，b ，c 至少有一个是正数”时，应假设 ▲ ．11．二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝ ▲ .12．观察下列等式：=（﹣）×，=（﹣）×，=（﹣）×，=（﹣）×，…可推测当n ≥3，n ∈N *时，= （﹣）×．（3分）13．如图，将全体奇数排成一个三角形数阵，根据以上排列规律，数阵中第(4)n n ≥行的从左到右的第4个数是 ▲ ．14．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60”时应假设 ▲ . 15．整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第61个数对是 ▲ ．04321>+++x x x x434232413121>+++++x x x x x x x x x x x x12340.x x x x >▲13 5 7 9 11 13 15 17 19 ………………16．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，nn y x +能被y x +整除”的第二步是__________.17．若三角形内切圆半径为ｒ，三边长分别为ａ，ｂ，ｃ,则三角形面积Ｓ＝21ｒ（ａ＋ｂ＋ｃ），根据类比推理方法，若一个四面体的内切球半径为Ｒ，四个面的面积分别为4321,,,S S S S ，则四面体的体积Ｖ＝__________三、解答题18．（本小题满分10分）如图，圆周上有n 个固定点，分别为A 1，A 2，…，A n （n *∈N ，n ≥2），在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n ． （1）写出a 2，a 3，a 4的值；（2）写出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．19．已知n x x f )2()(+=, 其中*N n ∈．（1）若展开式中含3x 项的系数为14, 求n 的值；（2）当3=x 时, 求证：)(x f*)s N ∈的形式. （本小题满分15分）20．试用两种方法证明： （1）；（2）．（15分）21．设n ∈*N 且2n ≥，证明：()22221212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()1232n a a a a ⎡+++⋅⋅⋅+⎣()234n a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅]1n n a a -+．A A证明：（1）当2n =时，有()2221212122a a a a a a +=++，命题成立． ………2分 （2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即()22221212k k a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()1232k a a a a ⎡+++⋅⋅⋅+⎣()234k a a a a +++⋅⋅⋅+ +⋅⋅⋅]1k k a a -+成立， ………4分 那么，当1n k =+时，有()2121k k a a a a +++⋅⋅⋅++ ()()221212112k k k k a a a a a a a a ++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++22212k a a a =++⋅⋅⋅+()1232k a a a a ⎡+++⋅⋅⋅+⎣()234k a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅]1k k a a -+ (12a +2a ++⋅⋅⋅)211k k k a a a ++++．2222121k k a a a a +=++⋅⋅⋅++()12312k k a a a a a +⎡+++⋅⋅⋅++⎣+(234a a a ++⋅⋅⋅k a +)1k a ++ +⋅⋅⋅ ]1k k a a ++．所以当1n k =+时，命题也成立． ………8分根据（1）和（2），可知结论对任意的n ∈*N 且2n ≥都成立． ………10分22．在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立． 本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+．以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时，12a =，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k kk a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k kk λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n nn a n λ=-+对任何n *∈N 都成立．解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+．（Ⅱ）23．已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，n S 是它的前n 项和.求证：131n n S n S n++≤.(江苏省南京市2011届高三第一次模拟考试) 24．观察下面运算结果：22393941641624,24,3,3,441122223333+=⨯=+=⨯=+=⨯=，，525525554444+=⨯=，，…，根据这些运算结果，归纳出一个关于正整数n 的等式，这个等式为________________25．已知,m n 是正数，证明：33m n n m+≥22m n +．26． 已知各项均为整数的等比数列{}n a ，公比q>1，且满足a 2a 4=64，a 3+2是a 2,a 4的等差中项。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试题(包含答案解析)(3)
一、选择题1．数学归纳法证明*1111(1,)n 1n 2n 2n n N n +++>>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（ ）A ．122k +B ．121k + C ．11+2122++k k D ．112k 12k 2++－ 2．正四面体ABCD 的棱AD 与平面α所成角为θ，其中02πθ<<，点D 在平面α内，则当四面体ABCD 转动时（ ）A ．存在某个位置使得BC α，也存在某个位置使得BC α⊥B ．存在某个位置使得BC α，但不存在某个位置使得BC α⊥ C ．不存在某个位置使得BC α，但存在某个位置使得BC α⊥D ．既不存在某个位置使得BC α，也不存在某个位置使得BC α⊥ 3．用反证法证明某命题时，对其结论“a ，b 都是正实数”的假设应为（ ） A ．a ，b 都是负实数B ．a ，b 都不是正实数C ．a ，b 中至少有一个不是正实数D ．a ，b 中至多有一个不是正实数4．给出下面四个推理：①由“若a b 、是实数，则+≤+a b a b ”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”．其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．45．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则411a a +的值为A ．528B ．1032C ．1040D ．20646．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．圆有6条弦，两两相交，这6条弦将圆最多分割成( )个部分 A ．16 B ．21 C ．22 D ．238．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图中⑸，⑹对应的运算是( )A ．*B D ，*A D B ．*B D ，*AC C ．*B C ，*AD D ．*C D ，*A D10．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（ ）A ．类比推理B ．三段论推理C ．归纳推理D ．传递性推理 11．根据给出的数塔猜测12345697⨯+（ ）19211⨯+=1293111⨯+= 123941111⨯+= 12349511111⨯+= 1234596111111⨯+=…A ．1111111B ．1111110C ．1111112D ．111111312．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变二、填空题13．观察如图等式，照此规律，第n 个等式为______.11234934567254567891049=++=++++=++++++=14．在圆中：半径为r 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为22r .类比到球中：半径为R 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________． 15．某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：1 2 3 4 5 得分甲 4 乙 3 丙2则甲同学答错的题目的题号是__________．16．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖 块.17．在探究实系数一元二次方程的根与系数的关系时，可按下述方法进行： 设实系数一元二次方程22100a x a x a ++=……①在复数集C 内的根为1x ，2x ，则方程①可变形为()()2120a x x x x --=， 展开得()222122120a x a x x x a x x -++=.……②比较①②可以得到：11220122a x x a a x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩类比上述方法，设实系数一元n 次方程11100nn n n a x a xa x a --++++=（2n ≥且*N n ∈）在复数集C 内的根为1x ，2x ，…，n x ，则这n 个根的积1ni i x ==∏ __________．18．观察下列等式： （1）24sin sin 033ππ+= （2）2468sin sin sin sin 05555ππππ+++= （3）2468sinsin sin sin 7777ππππ+++1012sin sin 077ππ++= …… …… …… …… …… ……由以上规律推测，第n 个等式为：__________．19．小明在做一道数学题目时发现：若复数111cos i?sin ?,z αα=+222 cos i?sin ,z αα=+，333cos i?sin z αα=+(其中123,,R ααα∈), 则121212cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++，232323cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++ ，根据上面的结论，可以提出猜想: z 1·z 2·z 3=__________________． 20．观察下列各式：0014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律，当n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=______________.三、解答题21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N 都有2132n n S n a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记*4()n n b a n N =+∈*1)nn N b ++<∈ 22．已知数列{}n a 满足11a =,1(5)5n n n a a a ++=. （1）计算234,,a a a 的值,猜想数列{}n a 的通项公式; （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 23．已知数列1111,,,,,112123123n+++++++，其前n 项和为n S ；（1）计算1234,,,S S S S ；（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.24．（1）当1x >时，求2()1x f x x =-的最小值.（2）用数学归纳法证明：11111222n n n +++≥++*()n N ∈. 25．在数列{}n a 中，111,21nn n a a a a +==+，其中1,2,3,n =.（Ⅰ）计算234,,a a a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 26．已知()()()()20121111nnn x a a x a x a x +=+-+-++-（2,*n n N ≥∈），（1）当5n =时，求12345a a a a a ++++的值； （2）设2233,2n n n n a b T b b b -==+++，试用数学归纳法证明：当2n ≥时，()()113n n n n T +-=。
(典型题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(有答案解析)
一、选择题1．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ) A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人2．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有2415a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于3b ，5b ，2b ，6b 的一个不等关系正确的是（ ） A ．3526b b b b > B ．5623b b b b > C ．3526b b b b +<+D ．5623b b b b +<+3．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 4．将正整数1,2,3,4,,,n 按第k 组含1k +个数分组：()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,,那么2019所在的组数为（ ） A ．62B ．63C ．64D ．655．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问考试成绩，老师说：你们4人中有2位优秀，2位良好，我给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看完后甲对大家说：我不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道4人的成绩 C ．丁可以知道自己的成绩 D ．丁可以知道4人的成绩6．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3， 6，10记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（ ） A ．1225B ．1275C ．2017D ．20187．定义两个运算：1212a b a lgb ⊗=+，132a b lga b -⊕=+．若925M =⊗，1227N =，则(M N += ) A ．6B ．7C ．8D ．98．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2． 表1 田径综合赛项目及积分规则 项目积分规则100米跑 以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多0.1秒扣5分跳高以1.2米得60分为标准，每多0.02米加2分，每少0.02米扣2分掷实心球 以11.5米得60分为标准，每多0.1米加5分，每少0.1米扣5分 姓名 100米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）甲 13.3 1.24 11.8乙 12.61.3 11.4 丙 12.91.2611.7丁13.11.2211.6A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了10．已知222233+=，333388+=，44441515+=，⋅⋅⋅，若66n nm m+=（m 、n 均为正实数），根据以上等式，可推测m 、n 的值，则m n +等于（ ）A ．40B ．41C ．42D ．4311．英国数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook ，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（ ）()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n --=-+-++-+-()()2462cos 112!4!6!2!nnx x x x x n -=-+-++-+其中*x R n N ∈∈，，!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯，例如：1!12!23!6===，，．试用上述公式估计cos0.2的近似值为（精确到0.01） A ．0.99B ．0.98C ．0.97D ．0.9612．现有A B C D 、、、四位同学被问到是否去过甲，乙，丙三个教师办公室时，A 说：我去过的教师办公室比B 多，但没去过乙办公室；B 说：我没去过丙办公室；C 说：我和A B 、去过同一个教师办公室；D 说：我去过丙办公室，我还和B 去过同一个办公室.由此可判断B 去过的教师办公室为（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．不能确定 二、填空题13．设1250,,,a a a 是从1-，0，1这三个整数中取值的数列，若12509a a a +++=，且()()()2221250111107a a a ++++++=，则1250,,,a a a 中数字0的个数为________ .14．若ABC 的三边之长分别为a 、b 、c ，内切圆半径为r ，则ABC 的面积为()2r a b c ++.根据类比思想可得：若四面体A BCD -的三个侧面与底面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球的半径为r ，则四面体的体积为__________.15．设,a b 是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>；⑤1ab >. 其中能推出：“,a b 中至少有一个大于1”的条件是____________． 16．观察下列等式：11234934567254567891049=++=++++=++++++=照此规律，则第五个等式应为________________.17．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为____ 18．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市.丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________19．某大学进行自主招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示:得出下面四个结论:①甲同学的逻辑排名比乙同学的逻辑排名更靠前②乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 ③甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前 ④甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 则所有正确结论的序号是_________.20．刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛.如数式12122+++⋅⋅⋅是一个确定值x (数式中的省略号表示按此规律无限重复)，该数式的值可以用如下方法求得：令原式x =，则12x x+=，即2210x x --=，解得12x =正数得21x =.666+++⋅⋅⋅=_____________.三、解答题21．已知正三角形ABC 的边长是a ，若O 是ABC △内任意一点，那么O 到三角形三边的距离之和是定值32a .这是平面几何中一个命题，其证明常采用“面积法”.如图，设O 到三边的距离分别是OD 、OE 、OF ，则111222S a OD a OE a OF =⋅+⋅+⋅=11()22a OD OE OF a h ⋅++=⋅,h 为正三角形ABC 的高32a ，即32OD OE OF a ++=.运用类比法猜想，对于空间正四面体，存在什么类似结论，并用“体积法”证明.22．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①22sin 30cos 60sin30cos60︒+︒+︒︒； ②22sin 15cos 45sin15cos 45︒+︒+︒︒； ③22sin 20cos 50sin 20cos50︒+︒+︒︒； ④22sin (18)cos 12sin(18)cos12-︒+︒+-︒︒； ⑤22sin (25)cos 5sin(25)cos5-︒+︒+-︒︒.（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 23．某同学在一次研究性学习中，发现以下五个式子的值都等于同一个常数. （1）22sin 10sin 70sin10sin 70︒+︒-︒︒ （2）22sin 20sin 80sin 20sin80︒+︒-︒︒ （3）22sin 30sin 90sin30sin90︒+︒-︒︒（4）()()22sin13sin 47sin 13sin 47-︒+︒--︒︒ （5）()()()()22sin 78sin 18sin 78sin 18-︒+-︒--︒-︒（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明该结论. 24．下面（A ），（B ），（C ），（D ）为四个平面图形：（1）数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将下表补充完整；（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为,,E F G ，试猜想,,E F G 之间的数量关系（不要求证明）.25．已知()33xf x =+,分别求()()01f f +,()()12f f -+,()()23f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论. 26．设0a >，0b >，且11a b a b+=+. 证明：(1) 2a b +≥；(2) 22a a +<与22b b +<不可能同时成立．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：用,,A B C 分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A 的学生最多只有1个，语文成绩得B 也最多只有1个，得C 的最多只有1个，因此人数最多只有3人，显然(),(),()AC BB CA 满足条件，故选B ．考点：合情推理的应用．2．C解析：C 【分析】利用等差数列和等比数列的通项公式及性质逐一计算判断即可. 【详解】在等比数列{}n b 中，0n b >，公比1q ≠，0q ∴>，即01q <<或1q >， 在A 中，3526b b b b =，故A 错误；在B 中，29561b b b q =，23231b b b q =，故当01q <<时，5623b b b b <，当1q >时5623b b b b >，故B 错误；在C 中，()3351b b b q q q+=+，()42611b b b q q +=+，而()()()()()()243332111110q q q q q q q q q +-+=---=-++>，得431qq q +>+，故3526b b b b +<+，故C 正确；在D 中，()45611b b b q q +=+，()2311b b b q q +=+，故当01q <<时，5623b b b b +<+，当1q >时5623b b b b +>+，故D 错误.故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题.3．D解析：D 【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案. 【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 （另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）. 故选：D . 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.4．B解析：B 【分析】观察规律，看每一组的最后一个数与组数的关系，可知第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +，然后再验证求解. 【详解】观察规律，第一组最后一个数是2=2， 第二组最后一个数是5=2+3， 第三组最后一个数是9=2+3+4，……， 依此，第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +. 当62n =时，()320152n n +=，所以2019所在的组数为63. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推，还考查了推理论证的能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案. 【详解】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩，乙、丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩，若为两良，甲也会知道自己的成绩）；乙看到了丙的成绩，知道自己的成绩； 丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，【点睛】该题是一道逻辑推理的题目，掌握此类题目的推理方法是解题的关键.6．A解析：A 【分析】通过寻找规律以及数列求和，可得n a ，然后计算21k b -，可得结果. 【详解】根据题意可知：12...n n a =+++ 则()12n a n n +=由14254556,,22b b a a ⨯⨯==== 394109101011,22b b a a ⨯⨯==== …可得()215512k k k b --=所以()19510510112252b ⨯⨯⨯-==故选：A 【点睛】本题考查不完全归纳法的应用，本题难点在于找到21k b -，属难题，7．B解析：B 【分析】根据定义的新运算，求出M 、N 的值，相加即可得答案． 【详解】根据题意，121925925352M lg lg =⊗=+=+， 13112()232727N lg -===+，则(35)(23)1337M N lg lg +=+++=++=。
精选最新版高中数学单元测试试题-推理与证明专题完整版考核题库(含标准答案)
2019年高中数学单元测试试题 推理与证明专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题 1． [文科]若nn n a n 212111+⋅⋅⋅++++=（n 是正整数），则+=+n n a a 1（ ）.(A))1(21+n (B)11221+-+n n (C) 11221121+-+++n n n (D) 221121+++n n [理科] 观察下列式子： ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，可以猜想结论为( ) .(A)2221112n 1123n n ++++⋅⋅⋅+< (n N*)∈ (B) 2221112n 1123(n 1)n-+++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈ (C) 2221112n 1123(n 1)n 1++++⋅⋅⋅+<++(n N*)∈ (D) 2221112n 1123n n 1++++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题2．观察下表 ：....... (2711978531)1=++=+= 你可以猜出的结论是________3． 观察下列不等式：121⋅≥2111⋅，⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅31131≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅412121 ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅5131141≥⎪⎭⎫⎝⎛++⋅61412131，…，由此猜测第n 个不等式为 ▲ ．（*n N ∈）4．有n 名同学在玩一个哈哈镜游戏,这些同学的编号依次为:1,2,…n,在游戏中,除规定第k 位同学看到的像用数对(p,q)（p<q ）(其中q-p=k)表示外,还规定:若编号为k 的同学看到的像用数对（p,q ）,则编号为k+1的同学看到的像为（q,r ）,(p,q,r *N ∈)，已知编号为1的同学看到的像为（4,5），则编号为5的同学看到的像是 。
(典型题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试题(含答案解析)
一、选择题1．正整数按下表的规律排列，则上起第2005行，左起第2006列的数应为（ ）A ．22005B ．22006C ．20052006+D ．20052006⨯2．李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人考上大学后，就读于法学、教育学、医学和管理学四个学科，就他们分别就读于哪个学科，同学们做了如下猜测： 同学甲猜，李雷就读于管理学，张亮就读于法学； 同学乙猜，韩梅梅就读于管理学，刘静就读于医学； 同学丙猜，李雷就读于管理学，张亮就读于教育学； 同学丁猜，韩梅梅就读于法学，刘静就读于教育学.结果恰有三位同学的猜测各对一半，只有一位同学全部猜对，那么李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人分别就读的学科是（ ） A ．管理学、医学、法学、教育学 B ．教育学、管理学、医学、法学 C ．管理学、法学、教育学、医学D ．管理学、教育学、医学、法学3．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222+++⋅⋅⋅“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2x x +=确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（ ）A ．122 B ．122C 21D ．21-4．在我校学科月活动中，老师推荐了一本古典名著.为了解学生诵读情况，老师随机问了甲，乙，丙，丁四名学生，但这四名学生中仅有一人阅读了老师推荐的这本名著，当他们被问到谁阅读了这本名著时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了” ；丙说：“甲和丁都没有阅读” ；丁说：“乙阅读了”. 假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该名著的学生是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含()f n 个小正方形，则()f n 的表达式为（ ）A ．()21f n n =-B ．2()2f n n =C ．2()22f n n n=-D ．2()221f n n n =-+6．一位老师有两个推理能力很强的学生甲和乙,他告诉学生他手里拿着与以下扑克牌中的一张相同的牌:黑桃:3,5,Q ,K 红心:7,8,Q 梅花:3,8,J ,Q 方块:2,7,9老师只给甲同学说这张牌的数字（或字母）,只给乙同学说这张牌的花色,接着老师让这两个同学猜这是张什么牌:甲同学说:我不知道这是张什么牌,乙同学说:我知道这是张什么牌. 甲同学说:现在我们知道了. 则这张牌是（ ） A ．梅花3B ．方块7C ．红心7D ．黑桃Q7．定义两个运算：1212a b a lgb ⊗=+，132a b lga b -⊕=+．若925M =⊗，1227N =⊕，则(M N += ) A ．6B ．7C ．8D ．98．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ） A ．545B ．547C ．549D ．5519．下列说法中不正确的是（）A ．命题：“∈，x y R ，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设x ≠1或y ≠1．B ．若2a b +>，则a ，b 中至少有一个大于1．C ．若14－，，，，－x y z 成等比数列，则2y =±. D ．命题：“[0,1]∃∈m ，使得12+<m x x”的否定形式是：“[0,1]∀∈m ，总有12m x x+≥”． 10．下列说法中正确的个数是（ ）①命题：“x 、y R ∈，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设1x ≠或1y ≠；②若2a b +>，则a 、b 中至少有一个大于1； ③若1-、x 、y 、z 、4-成等比数列，则2y =±； ④命题：“[]0,1m ∃∈，使得12+<m x x”的否定形式是：“[]0,1m ∀∈，总有12m x x +≥”.A ．1B ．2C ．3D ．411．下面使用类比推理正确的是（ ）A ．直线a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，类推出：向量a b b c ，，则a cB ．同一平面内，直线a ，b ，c ，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ．类推出：空间中，直线a ，b ，c ，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥bC ．实数a ，b ，若方程x 2+ax +b ＝0有实数根，则a 2≥4b ．类推出：复数a ，b ，若方程x 2+ax +b ＝0有实数根，则a 2≥4bD ．以点（0，0）为圆心，r 为半径的圆的方程为x 2+y 2＝r 2．类推出：以点（0，0，0）为球心，r 为半径的球的方程为x 2+y 2+z 2＝r 2 12．在二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；在三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．从11,14(12),149123,14916(1234),=-=-+-+=++-+-=-+++⋅⋅⋅，概括出第n 个式子为___________．14．已知对任意正实数1a 、2a 、1b 、2b 都有22212121212()b b b b a a a a ++≥+，类比可得对任意正实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 都有________．15．现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1，2，3，4的四个座位上，他们分别有以下要求：甲：我不坐座位号为1和2的座位；乙：我不坐座位号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为2的座位，那么我就不坐座位号为1的座位.那么坐在座位号为3的座位上的是________.16．已知数列{}n a 的通项公式是2n a n =，若将数列{}n a 中的项从小到大按如下方式分组：第一组：(2,4)，第二组：(6,8,10,12)，第三组：(14,16,18,20,22,24)，…，则2018位于第________组.17．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如123451,2,2,4,2,S S S S S =====⋯⋯，则33S =____________① ②18．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列， 那么，位于下表中的第n 行第n+1列的数是_______19．我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图，将底面直径都为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d 处的平面截这两个几何体，可横截得到S 圆及S 环两截面.可以证明圆环=S S 总成立.据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是_______．20．如图所示，满足如下条件： ①第n 行首尾两数均为n ； ②表中的递推关系类似“杨辉三角”.则第n 行的第2个数是__________．三、解答题21．三角比内容丰富，公式很多，若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘.请你完成以下问题： （1）计算：cos 2cos88sin 47sin133︒︒+︒︒,cos5cos85sin 50sin130︒︒+︒︒,cos12cos78sin 57sin123︒︒+︒︒； （2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般的结论用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程.22．某同学再一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于一个常数. ①.22sin 13cos 17sin13cos17︒︒︒︒+- ②.22sin 18cos 12sin18cos12︒︒︒+- ③.()()22sin25cos55sin 25cos55︒︒︒︒-+--（1）试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数.（2）猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.23．已知函数()2f x ax bx c =++及函数g （x ）＝﹣bx （a ，b ，c ∈R ），若a ＞b ＞c 且a+b+c ＝0．（1）证明：f （x ）的图象与g （x ）的图象一定有两个交点； （2）请用反证法证明：122c a --＜＜； 24．证明下列不等式.（1）当1a >时，求证：2110a a a -+>；（2）设0a >，0b >，若0a b ab +-=，求证：2322a b +≥+ 25．已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N ++=+∈ （1）求2a ，3a ，4a ，5a ；（2）归纳猜想出通项公式n a ，并且用数学归纳法证明； （3）求证100a 能被15整除．26．求证：一个三角形中，最大的角不小于60o..【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由给出排列规律可知，第一列的每个数为所该数所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1．由此能求出上起第2005行，左起第2006列的数．【详解】解：由给出排列规律可知，第一列的每个数为所该数所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1．依题意有，左起第2006列的第一个数为20052+1，故按连线规律可知，上起第2005行，左起第2006列的数应为20052+2005＝2005×2006．故选D．【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．其中分析出数的排列规律是解答的关键．2．C解析：C【分析】根据只有一位同学全部猜对，逐项一一假设，利用合情推理求解.【详解】假设同学甲猜全正确，即李雷就读于管理学，张亮就读于法学；则同学乙猜，韩梅梅就读于管理学错误，故刘静就读于医学正确；同学丁猜，韩梅梅就读于法学错误，刘静就读于教育学正确；矛盾，假设错误；假设同学乙猜全正确，即韩梅梅就读于管理学，刘静就读于医学；则同学甲猜，李雷就读于管理学错误，张亮就读于法学正确；同学丙猜，李雷就读于管理学错误，张亮就读于教育学正确；矛盾，假设错误；假设同学丙猜全正确，即李雷就读于管理学，张亮就读于教育学；则同学乙猜，韩梅梅就读于管理学错误，刘静就读于医学正确；同学甲猜，李雷就读于管理学正确，张亮就读于法学错误；同学丁猜，韩梅梅就读于法学错误，刘静就读于教育学正确.假设同学丁猜全正确，即韩梅梅就读于法学，刘静就读于教育学.则同学甲猜，李雷就读于管理学正确，张亮就读于法学错误；同学乙猜，韩梅梅就读于管理学错误，刘静就读于医学正确；矛盾，假设错误；综上：李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人分别就读的学科是管理学、法学、教育学、医学,.【点睛】本题主要考查合情推理的应用，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.3．C解析：C 【分析】本题依照题干中的例子进行类比推理进行计算即可得到结果. 【详解】 由题意，令12(0)122x x +=>++⋯，即12x x+=， 即2210x x --=，解得1x =或1x =（舍去）121122∴+=++⋅⋅⋅，故选：C 【点睛】 本题主要考查类比推理方法的应用，以及一元二次方程的解法，属于中档题.4．B解析：B 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解． 【详解】解：①当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲，②当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙，③当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丙，④当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁，综合①②③④得： 读了该篇文章的学生是乙， 故选：B ． 【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属于中档题．5．D解析：D先分别观察给出正方体的个数为：1，14+，148++，⋯⋯，总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解． 【详解】解：根据前面四个发现规律： ()()2141f f -=⨯， ()()3242f f -=⨯，()()4343f f -=⨯，⋯⋯，()(1)4(1)f n f n n --=-， 累加得： ()()2(1)14[12(1)]42(1)222n n f n f n n n n n --=⨯++⋯⋯+-=⨯=-=-， ()11f =2()221f n n n ∴=-+，故选：D ． 【点睛】本题主要考查了归纳推理，属于中档题．6．B解析：B 【分析】根据老师告诉甲牌的点数，告诉乙的是花色，结合甲乙对话进行推理判断即可． 【详解】解：甲不知道，说明通过数字不能判断出来，因此排除有单一数字的牌：黑桃5,K,梅花J ，方块2,9．而乙知道牌的颜色,如果是方片的话,即可断定是方片7, 故选:B 【点睛】本题主要考查合情推理的应用，结合甲乙了解的情况进行推理是解决本题的关键．考查学生的推理分析能力．7．B解析：B 【分析】根据定义的新运算，求出M 、N 的值，相加即可得答案． 【详解】根据题意，121925925352M lg lg =⊗=+=+， 13112()232727N lg -===+，则(35)(23)1337M N lg lg +=+++=++=。
新版精选高中数学单元测试试题-推理与证明专题考核题库完整版(含标准答案)
2019年高中数学单元测试试题推理与证明专题（含答案）学校：__________第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．已知2()(1),(1)1()2f xf x ff x+==+*x N∈（），猜想(f x）的表达式为A.4()22xf x=+B.2()1f xx=+C.1()1f xx=+D.2()21f xx=+2．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是-------------------------------（）(A)2 (B) 4 (C) 6 (D) 8第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11 2 1 1 3 3 1 1 4 a 4 11 5 10 10 5 13．在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的13”.拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的 .4． 对于函数)0()(2>=x x x f 图象上任意两点),(2a a A ,),(2b b B ，直线段AB 必在曲线段AB的上方，则由图象的特征可得不等式22222a b a b ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.请分析x y lg =的图象特征，类比上述不等式可以得到 .5．已知各项为正数的等比数列}{n b ，若m b a =，n b b =，)(n m >，则m m n b +=，类比上述性质，得出在等差数列{}n a 中的相关性质，若s a m =，t a n =，)(n m >，则 .6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n a n S a 21,1== *N n ∈，试归纳猜想出n S 的表达式为7．若点O 在三角形ABC 内,则有结论S OBC ∆·OA + S OAC ∆·OB +S OAB ∆·OC = 0,把命题类比推广到空间,若点O 在四面体ABCD 内,则有结论: .8．有名同学在玩一个哈哈镜游戏,这些同学的编号依次为:1,2,…n,在游戏中,除规定第k 位同学看到的像用数对(p,q)（p<q ）(其中q-p=k)表示外,还规定:若编号为k 的同学看到的像用数对（p,q ）,则编号为k+1的同学看到的像为（q,r ）,(p,q,r *N ∈)，已知编号为1的同学看到的像为（4,5），则编号为5的同学看到的像是 。
精编高中数学单元测试试题-推理与证明专题完整题库(含参考答案)
2019年高中数学单元测试试题 推理与证明专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题 1．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是-----------------------------------（ ）(A) 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则比与另一条相交 ．(B) 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则比与另一条垂直．(C) 如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交．(D) 如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题2．边长为a 的等边三角形内一点到三边的距离之和为定值，这个定值为a 23 ，推广到空间，棱长为a 的正四面体内任一点到各个面距离之和为 ▲3．把1，3，6，10，15，21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成4．在直角三角形ABC 中，∠C 为直角，两直角边长分别为a ，b ，求其外接圆半径时，可采取如下方法：将三角形ABC 补成以其两直角边为邻边的矩形，则矩形的对角线为三角形外接圆的直径，可得三角形外接圆半径为；按此方法，在三棱锥S ﹣ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为a ，b ，c ，通过类比可得三棱锥S ﹣ABC 外接球的半径为 ．（3分）5．观察下列等式：=（﹣）×，=（﹣）×，=（﹣）×，=（﹣）×，…可推测当n ≥3，n ∈N *时，= （﹣）× ．（3分）6．用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n ”（+∈N n ）时，从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是 ▲7．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式： 211122S n n =+， 322111326S n n n =++， 4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-， 6542515212S An n n Bn =+++， ⋅⋅⋅ 可以推测，A B -= ▲ ．8．观察下列等式：11,358,791127,1315171964,2123252729125,=+=++=+++=++++= 由此猜测第n 个等式为 ▲ ．9．一个与自然数有关的命题，若()n k k N =∈时命题成立可以推出1n k =+时命题也成立．现已知10n =时该命题不成立，那么下列结论正确的是： ▲ (填上所有正确命题的序号)①11n =时该命题一定不成立；②11n =时该命题一定成立；③1n =时该命题一定不成立；④至少存在一个自然数0n ,使0n n =时该命题成立；⑤该命题可能对所有自然数都不成立．10．已知：23150sin 90sin 30sin 222=++；23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：____________________________=23 （ * ）并给出证明．11．有n 名同学在玩一个哈哈镜游戏,这些同学的编号依次为:1,2,…n,在游戏中,除规定第k 位同学看到的像用数对(p,q)（p<q ）(其中q-p=k)表示外,还规定:若编号为k 的同学看到的像用数对（p,q ）,则编号为k+1的同学看到的像为（q,r ）,(p,q,r *N ∈)，已知编号为1的同学看到的像为（4,5），则编号为5的同学看到的像是 。
(典型题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试题(有答案解析)
一、选择题1．以BC 为斜边的Rt ABC 中，222BC AB AC =+，由类比推理，在三棱锥P ABC-中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，PA a =，PB b =，PC c =，1BPC S s =△，2CPA S s =△，3APB S s =△，则ABCS=（ ）A ．222222a b b c a c ++B ．222222122331s s s s s s ++ C ．222a b c ++D ．222123s s s ++ 2．如图，第（1）个图案由1个点组成，第（2）个图案由3个点组成，第（3）个图案由7个点组成，第（4）个图案由13个点组成，第（5）个图案由21个点组成，⋅⋅⋅，依次类推，根据图案中点的排列规律，第50个图形由多少个点组成（ ）A ．2449B ．2451C ．2455D ．24583．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数t ，如果t 是偶数，就将它减半（即2t）；如果t 是奇数，则将它乘3加1（即31t +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.猜想的数列形式为：0a 为正整数，当*n N ∈时，当1n a -为偶数时12n n a a -=，当1n a -为奇数时131n n a a -=+，则数列{}n a 中必存在值为1的项.若51a =，则0a 的所有不同值的个数为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．84．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11+11+1+...中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=，求得15x +=222+++=（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．1-5．某扶贫调研团根据要求从甲、乙、丙、丁、戊五个镇选择调研地点：①若去甲镇，则必须去乙镇；②丁、戊两镇至少去一镇；③乙、丙两镇只去一镇；④丙、丁两镇都去或都不去；⑤若去戊镇，则甲、丁两镇也必须去.该调研团至多去了（ ） A ．丙、丁两镇B ．甲、乙两镇C ．乙、丁两镇D ．甲、丙两镇6．斐波纳契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，⋯，在数学上，斐波纳契数列{}n a 定义为：1a 1=，2a 1=，n 2n n 1a a a ++=+，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据n 2n n 1a a a ++=+可得n n 2n 1a a a ++=-，所以()()()12n 3243n 2n 1n 22n 2a a a a a a a a a a a a 1++++++⋯+=-+-+⋯+-=-=-，类比这一方法，可得2221210a a a (++⋯= )A ．714B ．1870C ．4895D ．48967．利用反证法证明：若0x y +=，则0x y ==，假设为( )A ．,x y 都不为0B ．,x y 不都为0C ．,x y 都不为0，且x y ≠D ．,x y 至少有一个为08．一位老师有两个推理能力很强的学生甲和乙,他告诉学生他手里拿着与以下扑克牌中的一张相同的牌:黑桃:3,5,Q ,K 红心:7,8,Q 梅花:3,8,J ,Q 方块:2,7,9老师只给甲同学说这张牌的数字（或字母）,只给乙同学说这张牌的花色,接着老师让这两个同学猜这是张什么牌:甲同学说:我不知道这是张什么牌,乙同学说:我知道这是张什么牌. 甲同学说:现在我们知道了. 则这张牌是（ ） A ．梅花3B ．方块7C ．红心7D ．黑桃Q9．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ） A ．545B ．547C ．549D ．55110．在某次诗词大会决赛前，甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军，,,A B C 三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：A 猜测冠军是乙或丁；B 猜测冠军一定不是丙和丁；C 猜测冠军是甲或乙。
高中数学《推理与证明》练习题(附答案解析)
高中数学《推理与证明》练习题（附答案解析）一、单选题1．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋（ ） A ．2π B ．πC ．32π D ．2π2．用数学归纳法证明()11111231n n n n ++++>∈+++N ，在验证1n =时，左边的代数式为（ ） A ．111234++ B ．1123+C ．12D ．13．两个正方体1M 、2M ，棱长分别a 、b ，则对于正方体1M 、2M 有：棱长的比为a:b ，表面积的比为22:a b ，体积比为33:a b ．我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列给出的几何体中是“相似体”的是（ ） A ．两个球B ．两个长方体C ．两个圆柱D ．两个圆锥4．用数学归纳法证明1115 (1236)n n n +++≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．11113132331k k k k ++-++++ C ．131k + D ．133k + 5．现有下列四个命题： 甲：直线l 经过点(0,1)-； 乙：直线l 经过点(1,0)； 丙：直线l 经过点(1,1)-； 丁：直线l 的倾斜角为锐角.如果只有一个假命题，则假命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈，则当1n k =+时，等式左边应该在n k =的基础上加上（ ） A ．21k +B ．2(1)k +C ．2(2)k +D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++7．已知数列{}n a 中，11a =，()*111nn na a n a +=+∈+N ，用数学归纳法证明：1n n a a +<，在验证1n =成立时，不等式右边计算所得结果是（ ）A ．12B ．1C ．32D ．28．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为()f k ，则()1f k +与()f k 的关系是（ ） A ．()()11f k f k k +=++ B ．()()11f k f k k +=+- C ．()()1f k f k k +=+D ．()()12f k f k k +=++9．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 （ ） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙10．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数列中第2 020个数是（ ） A ．3976 B ．3974 C ．3978D ．3973二、填空题11．用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++（n 为正整数）时，第一步应验证的等式是______．12．用数学归纳法证明命题“1+1123++…+1222n n +>(n ∈N +，且n ≥2)”时，第一步要证明的结论是________.13．用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．14．已知等差数列{}()*n a n N ∈中，若10100a =，则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列{}()*n b n N ∈中，若1001b =，则与此相应的等式_________________恒成立.三、解答题15．(1)请用文字语言叙述异面直线的判定定理；(2)把（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式，并用反证法证明．16．把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为___________.17．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？ （1）求证：当N*n ∈时，1=+n n ．证明：假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1k k =+． 则当1n k =+时，左边1(11)k k =+=++=右边． 所以当1n k =+时，等式也成立．由此得出，对任何N*n ∈，等式1=+n n 都成立． （2）用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=． 证明，∈当1n =时，左边=11S a =，右边1a =，等式成立． ∈假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1()2k k k a a S +=．则当1n k =+时， 11231k k k S a a a x a a ++=+++++， 11121k k k k S a a a a a ++-=+++++．上面两式相加并除以2，可得 111(1)()2k k k a a S ++++=，即当1n k =+时，等式也成立．由∈∈可知，等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=18．一本旧教材上有一个关于正整数n 的恒等式22211223(1)(1)12n n n n ⨯+⨯+++=+？ 其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n 的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．参考答案与解析：1．B【分析】根据题意相当于增加了一个三角形，从而得出选项. 【详解】由凸k 边形变为凸k ＋1边形时， 增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 故选：B 2．A【分析】将1n =代入计算可得结果. 【详解】解：1111231n n n ++++++代入1n =为：111234++. 故选：A 3．A【分析】分别使用表面积公式、体积公式计算后即可发现结论. 【详解】设两个球的半径分别为R ，r ． 这两个球的半径比为：:R r ， 表面积比为：22224:4:R r R r ππ=， 体积比为：333344::33R r R r ππ=， 所以，两个球是相似体． 故选：A ． 4．B【分析】比较n k =、1n k =+时不等式左边代数式的差异后可得需添加的项，从而得到正确的选项. 【详解】当n k =时，所假设的不等式为1115 (1236)k k k +++≥++， 当1n k =+时，要证明的不等式为1111115 (2233132336)k k k k k k ++++++≥+++++， 故需添加的项为：11113132331k k k k ++-++++， 故选：B.【点睛】本题考查数学归纳法，应用数学归纳法时，要注意归纳证明的结论和归纳假设之间的联系，必要时和式的开端和结尾处需多写几项，便于寻找差异.本题属于基础题. 5．C【分析】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -，计算AB k 和BC k ，可判断三点共线，可知假命题是甲､乙､丙中的一个，再由斜率即可求解.【详解】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -则10101AB k --==-，101112BC k -==---，因为AB BC k k ≠，所以,,A B C 三点不共线，所以假命题必是甲､乙､丙中的一个，丁是真命题，即直线l 的斜率大于0， 而0AB k >，0BC k <，0AC k <，故丙是假命题. 故选：C. 6．D【分析】由n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++可得答案.【详解】当n =k 时，等式左端2123k =++++，当n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++，增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++．故选：D ． 7．C【分析】将1n =代入即可得结果. 【详解】当1n =时，不等式右边为1211311122a a a =+=+=+． 故选：C. 8．C【分析】考虑当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ，由于直线l 与前面n 条直线任何两条不平行，任何三条不共点，所以要多出k 个交点，从而得出结果. 【详解】当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ， 则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为()f k ， 因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)； 又因为任何三条直线不过同一点， 所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其它的()f k 个交点也两两不相同， 从而1n k =+时交点的个数是()()1f k k f k +=+， 故选：C 9．A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 10．A【分析】根据题意分析出第n 次取n 个数，前n 次共取(1)2n n +个数，且第n 次取的最后一个数为n 2，然后算出前63次共取了2016个数，从而能得到数列中第2 020个数是3976.【详解】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n 次共取了(1)1232n n n ++++⋯+=个数，且第n 次取的最后一个数为n 2， 当63n =时，()6363120162⨯+=， 即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为2633969=， 即第2 016个数为3 969，所以当n ＝64时，依次取3 970，3 972，3 974，3 976，…，所以第2 020个数是3 976. 故选：A. 11．11122-= 【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令1n =即可得出结论. 【详解】依题意，当1n =时， 1112121-=⨯⨯， 即11122-=， 故答案为：11122-=.12．1112212342++++> 【解析】根据数学归纳法的步骤可知第一步要证明2n =时的不等式成立.【详解】因为n ≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+111222342+++>. 故答案为：1112212342++++> 13．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键. 【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”的否定是：“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为“a ，b ，c 中至少有两个偶数”， 故答案为：a ，b ，c 中至少有两个偶数. 14．()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈【解析】根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==，等比数列的性质有21199100=1n n b b b +-=，类比即可得到结论.【详解】已知等差数列{}()*n a n N ∈中，12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++=++++,12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.10100a =,由等差数列的性质得， 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+===.等比数列{}()*n b n N ∈，且1001b =，有等比数列的性质得，211992198100===1n n n n b b b b b +-+-=.所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -+++=+++<∈，可得()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈. 故答案为：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.15．(1)见解析； (2)见解析.【分析】（1）将判定定理用文字表述即可；（2）根据（1）中的前提和结论可得定理的形式，利用反证法可证该结论.【详解】（1）异面直线的判定定理：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点直线是异面直线. （2）（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式如下： ,,,P Q l Q l ααα∉∈⊂∉，求证：,PQ l 为异面直线.证明：若,PQ l 不为异面直线，则,PQ l 共面于β，故,,Q l ββ∈⊂ 而Q l ∉，故,αβ为同一平面，而P β∈，故P α∈， 这与P α∉矛盾，故,PQ l 为异面直线.16．正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 【分析】将边类比为面，从而得出正确结论.【详解】把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为“正四面体内一点到四个面的距离之和为定值”. 故答案为：正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 17．（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.【分析】根据数学归纳法分为两步，∈证明当1n =时，结论成立，∈假设当n k =时，结论成立，当1n k =+时，应用归纳假设，证明1n k =+时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处. 【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明1n =时等式成立；（2）有错误，错误在于证明1n k =+时，没有应用n k =时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程. 18．222211223(1)(1)(31110)12n n n n n n ⨯+⨯+++=+++，证明见解析 【分析】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++即可求得f （1），f （2），f （3）；假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立，由f （1），f （2），f （3）的值可求得a ，b ，c ；再用数学归纳法证明即可．【详解】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++， f ∴（1）2124=⋅=，f （2）22122322=⋅+⋅=， f （3）22212233470⋅+⋅+⋅=； 假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立， 则f （1）12()412a b c ⨯=++=， 24a b c ∴++=∈，同理，由f （2）22=得4244a b c ++=∈， 由f （3）70=得9370a b c ++=∈ 联立∈∈∈，解得3a =，11b =，10c =．2(1)()(31110)12n n f n n n +∴=++． 证明：1︒当1n =时，显然成立；2︒假设n k =时，2(1)(1)(2)(35)()(31110)1212k k k k k k f k k k ++++=++=， 则1n k =+时，2(1)()(1)[(1)1]f k f k k k +=++++2(1)(2)(35)(1)[(1)1]12k k k k k k +++=++++2(1)(2)(31724)12k k k k ++=++ (1)(2)(3)(38)12k k k k ++++=(1)[(1)1][(2)1][3(1)5]12k k k k +++++++=，即1n k =+时，结论也成立．综合1︒，2︒知，存在常数3a =，11b =，10c =使得2(1)()(31110)12n n f n n n +=++对一切自然数n 都成立。
(必考题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(包含答案解析)(1)
一、选择题1．类比推理是一种重要的推理方法.已知1l ，2l ，3l 是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于1l ，2l ，3l 正确的结论类比到空间中仍然正确的是（ ）①若13//l l ，23//l l ，则12l l //；②若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //；③若1l 与2l 相交，则3l 必与其中一条相交；④若12l l //，则3l 与1l ，2l 相交所成的同位角相等 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④2．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x =确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（ ）A ．122 B．12- C1 D．13．将正奇数数列1，3，5，7，9，⋅⋅⋅依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，⋅⋅⋅，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中（ ） A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组4．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 5．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 6．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人B ．猜想数列111,,122334⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质7．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了8．在某次诗词大会决赛前，甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军，,,A B C 三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：A 猜测冠军是乙或丁；B 猜测冠军一定不是丙和丁；C 猜测冠军是甲或乙。
(好题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试卷(答案解析)
一、选择题1．已知ABC 的边长分别为a 、b 、c ，ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则2=++Sra b c ，类比这一结论可知：若三棱锥A BCD -的四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球半径为R ，三棱锥A BCD -的体积为V ，则R =（ ）A ．1234+++VS S S SB ．12342+++VS S S SC ．12343+++VS S S SD ．12344+++VS S S S2．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有 第一节 第二节 第三节 第四节 地理B 层2班 化学A 层3班 地理A 层1班 化学A 层4班 生物A 层1班 化学B 层2班 生物B 层2班 历史B 层1班 物理A 层1班 生物A 层3班 物理A 层2班 生物A 层4班 物理B 层2班 生物B 层1班 物理B 层1班 物理A 层4班 政治1班物理A 层3班政治2班政治3班A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种3．如图，第（1）个图案由1个点组成，第（2）个图案由3个点组成，第（3）个图案由7个点组成，第（4）个图案由13个点组成，第（5）个图案由21个点组成，⋅⋅⋅，依次类推，根据图案中点的排列规律，第50个图形由多少个点组成（ ）A ．2449B ．2451C ．2455D ．24584．类比推理是一种重要的推理方法.已知1l ，2l ，3l 是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于1l ，2l ，3l 正确的结论类比到空间中仍然正确的是（ ）①若13//l l ，23//l l ，则12l l //；②若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //；③若1l 与2l 相交，则3l 必与其中一条相交；④若12l l //，则3l 与1l ，2l 相交所成的同位角相等 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④5．观察下列一组数据12a = 246a =+ 381012a =++ 414161820a =+++…则20a 从左到右第三个数是（ ） A ．380B ．382C ．384D ．3866．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列{}n a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则57S ＝（ ）A ．265B ．521C ．1034D ．20597．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223344552,33,4,55338815152424====888n n=“穿墙术”，则n =（ ） A ．35B ．48C ．63D ．808．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=9．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了10．已知正三角形ABC 的边长是a ，若D 是ABC 内任意一点，那么D 到三角形三边.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都等于a 的正四面体ABCD 中，若O 是正四面体内任意一点，那么O 到正四面体各面的距离之和等于（ ）A ．3a B ．3a C ．9a D ．9a 11．现有A B C D 、、、四位同学被问到是否去过甲，乙，丙三个教师办公室时，A 说：我去过的教师办公室比B 多，但没去过乙办公室；B 说：我没去过丙办公室；C 说：我和A B 、去过同一个教师办公室；D 说：我去过丙办公室，我还和B 去过同一个办公室.由此可判断B 去过的教师办公室为（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．不能确定12．2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数, 棱数与面数存在一定的数量关系.12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是（ ） A ．14B ．16C ．18D ．20二、填空题13．本学期我们学习了一种求抛物线2yx 与x 轴和直线1x =所围“曲边三角形”面积的方法，即将区间[0,1]分割成n 个小区间，求每个小区间上矩形的面积，再求和的极限.类比上述方法，试求222222222(1)2(21)2lim 2sin 2sin 2sin 2sin cos cos cos cos 844448888n n n n n n n n n n n nn n πππππππππ→∞⎡⎤--⎛⎫+++++++++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦________.14．已知对任意正实数1a 、2a 、1b 、2b 都有22212121212()b b b b a a a a ++≥+，类比可得对任意正实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 都有________．15．将正偶数按下表排列成5列，每行有4个偶数的蛇形数列（规律如表中所示），则数字2018所在的行数与列数分别是_______________.第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行2 46 8 第2行 16141210第3行 18 202224 第4行 3232 28 26 ……16．现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1，2，3，4的四个座位上，他们分别有以下要求：甲：我不坐座位号为1和2的座位；乙：我不坐座位号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为2的座位，那么我就不坐座位号为1的座位.那么坐在座位号为3的座位上的是________.17．有编号依次为1，2，3，4，5，6的6名学生参加数学竞赛选拔，今有甲，乙，丙，丁四位老师在猜谁将获得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜是1号，2号，4号中的一个；丁猜2号，3号，4号都不可能，若以上四位老师只有一位猜对，则猜对者是___________（填甲、乙、丙、丁）18．如图，在圆内画1条线段，将圆分成2部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分；画3条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，将圆最多分割成11部分．则在圆内画n 条线段，将圆最多分割成______部分．19．将正整数1，2，3，⋯按照如图的规律排列，则100应在第______列.20．对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，解关于x 的不等式20ax bx c -+>的”，给出一种解法：由20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，得2()()0a x b x c -+-+>的解集为(3,2)-.即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(3,2)-.类比上述解法，若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,4)，则关于x 的不等式20a bc x x++>的解集为_____. 三、解答题21．等差数列{}n a 的前n 项和为1319n S a S ==+，． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ；（Ⅱ）设()nn S b n n*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 22．用综合法或分析法证明：（1）如果 ,0a b >，则 lg lg lg22a b a b++≥；（22>． 23．给出以下四个式子：①22sin 8cos 22sin8cos 22+-⋅； ②22sin 15cos 15sin15cos15+-； ③22sin 16cos 14sin16cos14+-⋅； ④()()22sin 5cos 35sin 5cos35-+--⋅.（1）已知所给各式都等于同一个常数，试从上述四个式子中任选一个， 求出这个常数； （2）分析以上各式的共同特点，写出能反应一般规律的等式，并对等式正确性作出证明. 24．观察下列等式：11-=-；132-+=；1353-+-=-；13574-+-+=； ………（1）照此规律，归纳猜想出第n 个等式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.25．设非等腰ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，用分析法证明：11a bc b3a bc.26．（1)3.a <>（2）求由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由三角形类比三棱锥，则三角形的面积类比三棱锥的体积，由内切圆类比内切球，可得出结论. 【详解】ABC 的边长分别为a 、b 、c ，ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，由等面积法可得()12S r a b c =++，2S r a b c ∴=++.类比这个结论：三棱锥A BCD -的四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球半径为R ，三棱锥A BCD -的体积为V ，由等体积法可得()123413V R S S S S =+++，12343V R S S S S ∴=+++.故选：C. 【点睛】易错点点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等； ②找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．2．B解析：B 【分析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果. 【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B 层1班，政治1班，物理A 层2班； （2）生物B 层1班，政治1班，物理A 层4班； （3）生物B 层1班，政治2班，物理A 层1班； （4）生物B 层1班，政治2班，物理A 层4班； （5）生物B 层1班，政治3班，物理A 层1班； （6）生物B 层1班，政治3班，物理A 层2班；（7）生物B 层2班，政治1班，物理A 层3班； （8）生物B 层2班，政治1班，物理A 层4班； （9）生物B 层2班，政治3班，物理A 层1班； （10）生物B 层2班，政治3班，物理A 层3班； 共10种，故选B. 【点睛】本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题.3．B解析：B 【分析】设第()n 个图案的点的个数为n a ，推测得到12(1)n n a a n --=-，利用1n -个式子相加，由等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设第()n 个图案的点的个数为n a ，由题意可得123451,3,7,13,21,a a a a a =====， 可得213243542,4,6,8,a a a a a a a a -=-=-=-=，由此推测12(1)n n a a n --=-，则()()()()21324312462(1)n n a a a a a a a a n --+-+-+-=++++-，化简可得(1)(222)1(1)2n n n a n n -+--==-，所以(1)1n a n n =-+所以5050(501)12451a =⨯-+=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中构造数列并得出的数列的递推关系式，结合等差数列的求和公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4．A解析：A 【分析】由平行线的传递性可判断①；举特例，三棱锥的一个顶点处三条相交的棱所在的直线两两相垂可判断②；l 3不在l 1与l 2确定的平面内可判断③；结合空间中线与线的位置关系和平行线的性质可判断④． 【详解】①由平行线的传递性可知正确；②如图不妨设直线1l 是直线BD ,直线2l 是直线CD ,直线3l 是直线AD ,由图可得13l l ⊥,23l l ⊥，但是21l l ⊥，所以错误；③由于l 1与l 2相交，所以l 1与l 2可以确定一个平面，若l 3不在该平面内，则l 3与这两条直线都可以不相交，即错误；④由于l 3与l 1，l 2相交，所以这三条直线在同一个平面内，又l 1∥l 2，根据平行线的性质可知正确．所以成立的有①④． 故选：A ． 【点睛】本题考查类比推理、空间中线与线的位置关系，考查学生的空间立体感、空间想象能力，属于基础题．5．D解析：D 【分析】先计算前19行数字的个数，进而可得20a 从左到右第三个数． 【详解】由题意可知，n a 可表示为n 个连续的偶数相加，从1a 到19a 共有()119191902+⨯=个偶数，所以20a 从左到右第一个数是第191个偶数，第n 个偶数为2n ， 所以第191个偶数为2191382⨯=，20a 从左到右第三个数为386. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．6．C解析：C 【分析】由归纳推理及等比数列前n 项和可得：即57a 在第11组中且为第11组中的第2个数，则01901571010222()1034S C C =++⋯+++=，得解．【详解】解：将1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，⋯． 分组为（1），(1,1)，(1，2，1)，(1，3，3，1)，(1，4，6，4，1)⋯则第n 组n 个数且第n 组n 个数之和为12n -， 设57a 在第n 组中， 则(1)(1)5722n n n n -+， 解得：11n =，即57a 在第11组中且为第11组中的第2个数，即为110C ，则01901571010222()1034S C C =++⋯+++=， 故选：C ． 【点睛】本题考查了归纳推理及等比数列前n 项和，属于中档题．7．C解析：C 【分析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763n =⨯+=即可. 【详解】因为======，==所以===63n =. 故选：C. 【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．8．C解析：C 【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解． 【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理； 对于B 中， 猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理；对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．B解析：B 【分析】分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项. 【详解】分以下三种情况讨论：①甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意；②乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾； ③丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾. 故选：B. 【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时可以采用分类讨论法进行假设，考查推理能力，属于中等题.10．B解析：B 【分析】将正四面体的体积分为O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和，计算得到答案. 【详解】棱长都等于a 的正四面体ABCD ：每个面面积为：221sin 23S a π==体积为：23134312V a a a =⨯⨯= 正四面体的体积分为O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和32123412341()123V a h h h h h h h h ==+++⇒+++= 故答案选B本题考查了体积的计算，将正四面体的体积分为O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和是解题的关键.11．A解析：A 【解析】 【分析】根据已知信息：首先判断B 去过一个办公室，再确定B 去的哪一个办公室，得到答案. 【详解】C 说：我和A B 、去过同一个教师办公室⇒ B 至少去过一个办公室A 说：我去过的教师办公室比B 多，但没去过乙办公室⇒A 去过2个办公室，B 去过1个办公室.B 说：我没去过丙办公室，C 说：我和A B 、去过同一个教师办公室，A 没有去过乙办公室所以B 去的是甲办公室. 答案选A 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力. 12．C解析：C 【分析】分析顶点数, 棱数与面数的规律，根据规律求解. 【详解】易知同一凸多面体顶点数, 棱数与面数的规律为： 棱数＝顶点数＋面数－2，所以，12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数＝12＋8－2＝18. 故选C. 【点睛】本题考查逻辑推理，从特殊到一般总结出规律.二、填空题13．【分析】先画出的图象再根据和式的几何意义可得所求的极限【详解】关于中心对称其在上的图象如图所示：将区间分为段每段矩形面积为将区间分为段每段矩形面积为其中原式即求在上与轴和所围图形面积利用割补法易知面解析：4π【分析】先画出2sin y x =的图象，再根据和式的几何意义可得所求的极限.211sin cos222y x x ==-+，关于1,42π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，其在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示：将区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π分为n 段，每段矩形面积为211111cos 2sin 424244k k n n n n ππππ⎡⎤⎛⎫⋅-⨯+=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，11k =，2，...，n ，将区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦分为2n 段，每段矩形面积为 22222111cos2sin cos 42228282888k k k n n n n nn ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅--+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 其中21k =，...，2n ， 原式即求11cos222y x =-+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上与x 轴和2x π=所围图形面积，利用割补法易知面积为1224ππ⨯=. 故答案为：4π. 14．【分析】根据类比的定义按照题设规律直接写出即可【详解】由题意通过类比可得对任意正实数都有故答案为：【点睛】本题考查推理证明中的类比考查类比推理的应用等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程思想属于基解析：2222312312123123()b b b b b b a a a a a a ++++≥++ 【分析】根据类比的定义，按照题设规律直接写出即可． 【详解】由题意，通过类比可得对任意正实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 都有2222312312123123()b b b b b b a a a a a a ++++≥++. 故答案为：2222312312123123()b b b b b b a a a a a a ++++≥++. 【点睛】本题考查推理证明中的类比，考查类比推理的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题.15．行列【分析】设位于第行第列观察表格中数据的规律可得出由此可求出的值再观察奇数行和偶数行最小数的排列可得出的值由此可得出结果【详解】设位于第行第列由表格中的数据可知第行最大的数为则解得由于第行最大的数解析：253行2列 【分析】设2018位于第m 行第n 列，观察表格中数据的规律，可得出()8120188m m -<≤，由此可求出m 的值，再观察奇数行和偶数行最小数的排列，可得出n 的值，由此可得出结果. 【详解】设2018位于第m 行第n 列(),,15m n N n *∈≤≤，由表格中的数据可知，第()k k N *∈行最大的数为8k ，则()8120188m m -<≤，解得253m =，由于第252行最大的数为25282016⨯=，所以，2018是表格中第253行最小的数， 由表格中的规律可知，奇数行最小的数放在第2列，那么2n =. 因此，2018位于表格中第253行第2列. 故答案为：253行2列. 【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键就是要结合表格中数据所呈现的规律来进行推理，考查推理能力，属于中等题.16．丙【分析】根据题意分类讨论即可得出符合题意的结果得到答案【详解】由题意若乙坐3号位置则丁坐2号或4号位置甲丙两人必定有1人坐1号位置与题意矛盾若乙坐2号位置则丙坐3号位置甲坐4号位置丁坐1号位置符合解析：丙 【分析】根据题意，分类讨论，即可得出符合题意的结果，得到答案． 【详解】由题意，若乙坐3号位置，则丁坐2号或4号位置，甲、丙两人必定有1人坐1号位置，与题意矛盾，若乙坐2号位置，则丙坐3号位置，甲坐4号位置，丁坐1号位置，符合题意，故答案为：丙． 【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．17．丁【解析】【分析】分四种情况讨论即四位老师只有一个老师猜对进行逻辑推理得出答案【详解】若甲老师猜对则其他三位老师全部猜错乙老师猜错则号获得第一名这与甲老师的猜测矛盾这种情况不可能；若乙老师猜对则其他解析：丁 【解析】 【分析】分四种情况讨论，即四位老师只有一个老师猜对，进行逻辑推理得出答案。
精选高中数学单元测试试题-推理与证明专题模拟考试题库(含参考答案)
2019年高中数学单元测试试题推理与证明专题（含答案）学校：__________第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b⊆/平面α，直线a≠⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误2．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是-----------------------------------（）(A) 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则比与另一条相交．(B) 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则比与另一条垂直．(C) 如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交．(D) 如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题3．用数学归纳法证明:(31)(1)(2)()2n nn n n n+++++++=*()n N∈的第二步中,当1n k=+时等式左边与n k=时的等式左边的差等于▲.4．把1，3，6，10，15，21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成5．观察下列式子：474131211,3531211,2321122222<+++<++<+…则可归纳出第(1,)n n n N *≥∈个不等式是 ▲ ．6．观察下列等式：311=，33129+=，33312336++=，33331234100+++=，……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）.7．已知结论：“在三边长都相等的ABC ∆中，若D 是BC 的中点，G 是ABC ∆外接圆的圆心，则2AG GD=”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M 是BCD ∆的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AO OM= ▲ 8．已知 0(1,2,,)i a i n >=，考察下列式子： 111()1i a a ⋅≥； 121211()()()4ii a a a a ++≥； 123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 ▲ ．9．若点O 在三角形ABC 内,则有结论S OBC ∆·+ S OAC ∆· +S OAB∆·= ,把命题类比推广到空间,若点O 在四面体ABCD 内,则有结论: .10．用反证法证明命题“),(*∈⋅Z b a b a 是偶数，那么a ，b 中至少有一个是偶数．”那么 反设的内容是 ；11．设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长记为a i （i =1，2，3，4），P 是该四边形内任意一点，P 点到第i 条边的距离记为h i ，若31241234a a a a k ====, 则412()i i S ih k ==∑.类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i （i =1，2，3，4），Q 是该三棱锥内的任意一点，Q 点到第i 个面的距离记为H i ，则相应的正确命题是：若31241234S S S S k ====,则 ．12．请阅读下列材料：若两个正实数12,a a 满足22121a a +=，那么12a a +≤．证明：构造函数2221212()()()22()1f x x a x a x a a x =-+-=-++，因为对一切实数x ，恒有()0f x ≥，所以0∆≤，从而得2124()80a a +-≤，所以12a a +≤．根据上述证明方法，若n 个正实数满足222121n a a a ++⋅⋅⋅+=时，你能得到的结论为 ▲ .（不必证明）13．观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是____________；2条直线相交， 3条直线相交， 4条直线相交，最多有1个交点 最多有3个交点 最多6个交点14．已知各项为正数的等比数列}{n b ，若m b a =，n b b =，)(n m >， 则m n b +=，类比上述性质，得出在等差数列{}n a 中的相关性质，若s a m =，t a n =，)(n m >，则 .15．若定义在区间D 上的函数()x f 对D 上的任意n 个值1x ，2x ，…，n x ，总满足()()()[]n x f x f x f n ++211≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++n x x x f n 21，则称()x f 为D 上的凸函数.已知函数x y sin =在区间()π,0上是“凸函数”，则在△ABC 中，C B A sin sin sin ++的最大值是三、解答题16．>本题满分14分）17．已知a i ＞0（i=1，2，…，n ），考查 ①； ②； ③．（15分）归纳出对a 1，a 2，…，a n 都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．18．已知数列}{n a 满足21=a ，)1(11+-=++n a a n n n 。
【高二】高二数学推理与证明综合检测综合测试题(有答案)
【高二】高二数学推理与证明综合检测综合测试题（有答案）第二章推理与证明综合检测时间120分钟，满分150分。
一、(本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后．在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的)1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等同于底乘坐低的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡是三角形的面积都等同于底乘坐低的一半．以上推理运用的推理规则是( )a．三段论推理小说b．假言推理c．关系推理小说d．完全归纳推理[答案] d[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、rt三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．2．数列1,3,6,10,15，…的关系式公式可能将就是( )a.a1＝1，an＋1＝an＋n(n∈n*)b.a1＝1，an＝an－1＋n(n∈n*，n≥2)c.a1＝1，an＋1＝an＋(n－1)(n∈n*)d.a1＝1，an＝an－1＋(n－1)(n∈n*，n≥2)[答案] b[解析] 记数列入{an}，由未知观测规律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，…，所述当n≥2时，an比an－1多n，可以得关系式关系a1＝1，an－an－1＝n(n≥2，n∈n*)．3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )a．大前提错误b．小前提错误c．推理小说形式错误d．不是以上错误[答案] c[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选c.4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈n*)时，检验n ＝1，左边马热里角的项是( )a．1b．1＋2c．1＋2＋3d．1＋2＋3＋4[答案] d[解析] 当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故高文瑞d.5．在r上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则( )a．－1＜a＜1b．0＜a＜2c．－12＜a＜32d．－32＜a＜12[答案] c[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x－a)?(x＋a)<1的简化形式，再求其恒成立时a的取值范围．(x－a)?(x＋a)<1?(x－a)(1－x－a)<1即x2－x－a2＋a＋1>0不等式恒设立的充要条件就是δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0即4a2－4a－3<0解得－126．未知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则( )a．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13b．f(n)中共存有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14c．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13d．f(n)中共存有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14[答案] d[解析] 项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1，故高文瑞d.7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )a．大于0b．小于0c．不大于0d．不大于0[答案] d[解析] 解法1：∵a＋b＋c＝0，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，∴ab＋ac＋bc＝－a2＋b2＋c22≤0.数学分析2：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a、b异号，∴ab＋bc＋ac ＝ab＜0，确定a、b、c，挑选d.8．已知c＞1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是( )a．a＞bb．a＜bc．a＝bd．a、b大小不定[答案] b[解析] a＝c＋1－c＝1c＋1＋c，b＝c－c－1＝1c＋c－1，因为c＋1>c>0，c>c－1>0，所以c＋1＋c>c＋c－1>0，所以a9．若凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k＋1)边形的内角和f(k＋1)(k≥3且k∈n*)等于( )a．f(k)＋π2b．f(k)＋πc．f(k)＋32πd．f(k)＋2π[答案] b[解析] 由凸k边形到凸(k＋1)边形，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.10．若sinaa＝cosbb＝coscc，则△abc就是( )a．等边三角形b．存有一个内角就是30°的直角三角形c．等腰直角三角形d．存有一个内角就是30°的等腰三角形[答案] c[解析] ∵sinaa＝cosbb＝coscc，由正弦定理得，sinaa＝sinbb＝sincc，∴sinbb＝cosbb＝coscc＝sincc，∴sinb＝cosb，sinc＝cosc，∴∠b＝∠c＝45°，∴△abc是等腰直角三角形．11．若a＞0，b＞0，则p＝(ab)a＋b2与q＝ab?ba的大小关系就是( )a．p≥qb．p≤qc．p＞qd．p＜q[答案] a若a＞b，则ab＞1，a－b＞0，∴pq＞1；若0＜a＜b，则0＜ab＜1，a－b＜0，∴pq＞1；若a＝b，则pq＝1，∴p≥q.12．设立函数f(x)定义如下表中，数列{xn}满足用户x0＝5，且对任一的自然数均存有xn＋1＝f(xn)，则x2021＝( )x12345f(x)41352a.1b．2c．4d．5[答案] c[解析] x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2021＝x3＝4，故应选c.二、题(本大题共4个小题，每小题4分后，共16分后．将恰当答案填上在题中横线上)13．半径为r的圆的面积s(r)＝πr2，周长c(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr.①①式需用语言描述为：圆的面积函数的导数等同于圆的周长函数．对于半径为r的球，若将r看做(0，＋∞)上的变量，恳请你写下类似①式的式子：______________________________，你写给的式子需用语言描述为__________________________．[答案] 43πr3′＝4πr2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．14．未知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈n*)，用数学归纳法证明f(2n)>n2时，f(2k＋1)－f(2k)＝________.[答案] 12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1[解析] f(2k＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k＋1f(2k)＝1＋12＋13＋ (12)f(2k＋1)－f(2k)＝12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1.15．观察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝34；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可以明确提出一个悖论的等式为________________．[答案] si n2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝34[解析] 观测40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝34.可以证明此结论是正确的，证明如下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα?cos(30°＋α)＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12sin(30°＋2α)－12＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34.16．设p就是一个数集，且至少所含两个数，若对任一a、b∈p，都存有a＋b、a－b、ab、ab∈p(除数b≠0)，则表示p就是一个数域．比如有理数集q就是数域；数集f＝{a＋b2a，b∈q}也就是数域．存有以下命题：①整数集是数域；②若有理数集q?m，则数集m必为数域；③数域必为无限集；④存有无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ③④[解析] 考查理解、分析等学习能力．①整数a＝2，b＝4，ab不是整数；②如将有理数集q，添上元素2，得到数集m，则取a＝3，b＝2，a＋b?m；③由数域p的定义言，若a∈p，b∈p(p中至少所含两个元素)，则存有a＋b∈p，从而a＋2b，a＋3b，…，a＋nb∈p，∴p中必所含无穷多个元素，∴③对．④设x是一个非完全平方正整数(x>1)，a，b∈q，则由数域定义知，f＝{a＋bxa、b∈q}必是数域，这样的数域f有无穷多个．三、答疑题(本大题共6个小题，共74分后．求解应允写下文字说明、证明过程或编程语言步骤)17．(本题满分12分)已知：a、b、c∈r，且a＋b＋c＝1.澄清：a2＋b2＋c2≥13.[证明] 由a2＋b2≥2ab，及b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.三式相乘得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1，即a2＋b2＋c2≥13.18．(本题满分12分后)证明以下等式，并从中概括出来一个一般性的结论．2cosπ4＝2，2cosπ8＝2＋2，2cosπ16＝2＋2＋2，……[证明] 2cosπ4＝2?22＝22cosπ8＝21＋cosπ42＝2?1＋222＝2＋22cosπ16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝2＋2＋2…19．(本题满分12分)已知数列{an}满足a1＝3，an?an－1＝2?an－1－1.(1)谋a2、a3、a4；(2)求证：数列1an－1是等差数列，并写出数列{an}的一个通项公式． [解析] (1)由an?an－1＝2?an－1－1得an＝2－1an－1，代入a1＝3，n依次值域2,3,4，得a2＝2－13＝53，a3＝2－35＝75，a4＝2－57＝97.(2)证明：由an?an－1＝2?an－1－1变形，得(an－1)?(an－1－1)＝－(an－1)＋(an－1－1)，即1an－1－1an－1－1＝1，所以{1an－1}是等差数列．由1a1－1＝12，所以1an－1＝12＋n－1，变形得an－1＝22n－1，所以an＝2n＋12n－1为数列{an}的一个通项公式．20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a>1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上以增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负根．[解析] (1)证法1：余因子x1，x2∈(－1，＋∞)，何不设x10，且ax1>0，又∵x1＋1>0，x2＋1>0，∴f(x2)－f(x1)＝x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝(x2－2)(x1＋1)－(x1－2)(x2＋1)(x1＋1)(x2＋1)＝3(x2－x1)(x1＋1)(x2＋1)>0，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋1>0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f′(x)＝axlna＋x＋1－(x－2)(x＋1)2＝axlna＋3(x＋1)2∵a>1，∴lna>0，∴axlna＋3(x＋1)2>0，f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒设立，即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)数学分析1：设立存有x0<0(x0≠－1)满足用户f(x0)＝0则ax0＝－x0－2x0＋1，且0∴0故方程f(x)＝0没负数根．解法2：设x0<0(x0≠－1)①若－1②若x00，ax0>0，∴f(x0)>0.综上，x<0(x≠－1)时，f(x)0，即方程f(x)＝0无负根．21．(本题满分12分后)我们晓得，在△abc中，若c2＝a2＋b2，则△abc就是直角三角形．现在恳请你研究：若cn＝an＋bn(n＞2)，问△abc为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形∵cn＝an＋bn(n＞2)，∴c＞a,c＞b，由c就是△abc的最小边，所以必须证△abc就是锐角三角形，只需证角c为锐角，即为证cosc＞0.∵cosc＝a2＋b2－c22ab，∴必须证cosc＞0，只要证a2＋b2＞c2，①注意到条件：an＋bn＝cn，于是将①等价变形为：(a2＋b2)cn－2＞cn.②∵c＞a，c＞b，n＞2，∴cn－2＞an－2，cn－2＞bn－2，即cn－2－an－2＞0，cn－2－bn－2＞0，从而(a2＋b2)cn－2－cn＝(a2＋b2)cn－2－an－bn＝a2(cn－2－an－2)＋b2(cn－2－bn－2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cosc＞0，c就是锐角，△abc为锐角三角形．22．(本题满分14分)(2021?安徽理，20)设数列a1，a2，…an，…中的每一项都不为0.证明{an}为等差数列的充份必要条件就是：对任何n∈n＋，都存有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1.[分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路就是利用裂项议和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性．[证明] 先证必要性．设立数列{an}的公差为d.若d＝0，则所述等式似乎设立．若d≠0，则1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝1da2－a1a1a2＋a3－a2a2a3＋…＋an＋1－ananan＋1＝1d1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1an－1an＋1＝1d1a1－1an＋1＝1dan＋1－a1a1an＋1＝na1an＋1.再证充分性．证法1：(数学归纳法)设立所述的等式对一切n∈n＋都设立．首先，在等式1a1a2＋1a2a3＝2a1a3两端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2＝a1＋d.假设ak＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时，观测如下两个等式1a1a2＋1a2a3＋…＋1ak－1ak＝k－1a1ak，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1ak－1ak＋1akak＋1＝ka1ak＋1②将①代入②，得k－1a1ak＋1akak＋1＝ka1ak＋1，在该式两端同乘a1akak＋1，得(k－1)ak＋1＋a1＝kak.将ak＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得ak＋1＝a1＋kd.由数学归纳法原理知，对一切n∈n，都有an＝a1＋(n－1)d，所以{an}是公差为d的等差数列．证法2：(轻易证法)依题意存有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＋1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋1.②②－①得1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋2－na1an＋1，在上式两端同乘a1an＋1an＋2，得a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2.③同理只须a1＝nan－(n－1)an＋1(n≥2)④③－④得2nan＋1＝n(an＋2＋an)即an＋2－an＋1＝an＋1－an，由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈n*均成立．所以{an}是等差数列．。
高中数学-推理与证明综合测试题
高中数学-推理与证明综合测试题一、选择题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ）Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件答案：Ａ2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ）Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数答案：Ｃ3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ）Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定答案：Ｃ4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+Ｄ．4578b b b b +>+答案：Ｂ5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥，（2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确答案：Ｄ6．观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，L ，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n ++++<-L ≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n ++++<+L ≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -++++<L ≥ Ｄ．22211121(2)2321n n n n ++++<+L ≥答案：Ｃ7．如图，在梯形ABCD 中，()AB DC AB a CD b a b ==>，，∥．若EF AB ∥，EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出：ma mbEF m m+=+．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD BC ，相交于O 点，设OAB △，OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则OEF △的面积0S 与12S S ，的关系是（ ）Ａ．120mS nS S m n+=+Ｂ．120nS mS S m n +=+Ｃ．120m S n S S +=Ｄ．120n S m S S +=答案：Ｃ8．已知a b ∈R ，，且2a b a b ≠+=，，则（ ） Ａ．2212a b ab +<<Ｂ．2212a b ab +<<Ｃ．2212a b ab +<<Ｄ．2212a b ab +<<答案：Ｂ9．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ） Ａ．假设a b c ，，都是偶数 Ｂ．假设a b c ，，都不是偶数Ｃ．假设a b c ，，至多有一个是偶数 Ｄ．假设a b c ，，至多有两个是偶数答案：Ｂ10．用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)nn n n n n +++=-L L ····，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为（ ） Ａ．21k + Ｂ．2(21)k + Ｃ．211k k ++ Ｄ．231k k ++答案：Ｂ11．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，()2x xa a S x --=，()2x xa a C x -+=，其中0a >，且1a ≠，下面正确的运算公式是（ ） ①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-； ③()()()()()C x y C x C y S x S y +=-； ④()()()()()C x y C x C y S x S y -=+；Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．①②③④答案：Ｄ12．正整数按下表的规律排列则上起第2005行，左起第2006列的数应为（ ） Ａ．22005 Ｂ．22006Ｃ．20052006+Ｄ．20052006⨯答案：Ｄ二、填空题13．写出用三段论证明3()sin ()f x x x x =+∈R 为奇函数的步骤是 ．答案：满足()()f x f x -=-的函数是奇函数， 大前提1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21333()()sin()sin (sin )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-， 小前提所以3()sin f x x x =+是奇函数． 结论14．已知111()1()23f n n n *=++++∈N L ，用数学归纳法证明(2)2n nf >时，1(2)(2)k k f f +-等于 ． 答案：111121222k k k ++++++L15．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为 ．答案：三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第n 个图有n a 个树枝，则1n a +与(2)n a n ≥之间的关系是 ．答案：122n n a a +=+三、解答题17．如图（1），在三角形ABC 中，AB AC ⊥，若AD BC ⊥，则2AB BD BC =·；若类比该命题，如图（2），三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是否是真命题．解：命题是：三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有2ABC BCMBCD S S S =△△△·是一个真命题． 证明如下：在图（2）中，连结DM ，并延长交BC 于E ，连结AE ，则有DE BC ⊥． 因为AD ⊥面ABC ，，所以AD AE ⊥． 又AM DE ⊥，所以2AE EM ED =·． 于是22111222ABCBCM BCD SBC AE BC EM BC ED S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△△△·····．18．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M N ，分别是AB PC ，的中点． 求证：（1）MN ∥平面PAD ；（2）MN CD ⊥．证明：（1）取PD 的中点E ，连结AE NE ，． N E ，∵分别为PC PD ，的中点．EN ∴为PCD △的中位线，12EN CD ∥∴，12AM AB =，而ABCD 为矩形， CD AB ∴∥，且CD AB =．EN AM ∴∥，且EN AM =．AENM ∴为平行四边形，MN AE ∥，而MN ⊄平面PAC ，AE ⊂平面PAD ， MN ∴∥平面PAD ．（2）PA ⊥∵矩形ABCD 所在平面，CD PA ⊥∴，而CD AD ⊥，PA 与AD 是平面PAD 内的两条直交直线， CD ⊥∴平面PAD ，而AE ⊂平面PAD ， AE CD ⊥∴．又MN AE ∵∥，MN CD ⊥∴．19．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．证明：（分析法）设圆和正方形的周长为l ，依题意，圆的面积为2π2πl ⎛⎫⎪⎝⎭·， 正方形的面积为24l ⎛⎫⎪⎝⎭．因此本题只需证明22π2π4l l ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．要证明上式，只需证明222π4π16l l >，两边同乘以正数24l ，得11π4>．因此，只需证明4π>．∵上式是成立的，所以22π2π4l l ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．20．已知实数a b c d ，，，满足1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证a b c d ，，，中至少有一个是负数．证明：假设a b c d ，，，都是非负实数，因为1a b c d +=+=，所以a b c d ，，，[01]∈，，所以2a c ac +，2b cbd +， 所以122a cb dac bd ++++=≤， 这与已知1ac bd +>相矛盾，所以原假设不成立，即证得a b c d ，，，中至少有一个是负数．21．设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >，且1a ≠）．（1）523=+请你推测(5)g 能否用(2)(3)(2)(3)f f g g ，，，来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．解：（1）由3332332255(3)(2)(3)(2)22221a a a a a a a a a a f g g f -----+--+-+=+=··， 又55(5)2a a g --=，因此(5)(3)(2)(3)(2)g f g g f =+．（2）由(5)(3)(2)(3)(2)g f g g f =+，即(23)(3)(2)(3)(2)g f g g f +=+， 于是推测()()()()()g x y f x g y g x f y +=+．证明：因为()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（大前提）．所以()()2x y x y a a g x y +-+-+=，()2y y a a g y --=，()2y ya a f y -+=，（小前提及结论）所以()()()()()()22222x x y y x x y y x y x y a a a a a a a a a a f x g y g x f y g x y ----+-++--+-+=+==+··．22．若不等式111123124an n n +++>+++L 对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．解：当1n =时，11111123124a ++>+++，即262424a>， 所以26a <．而a 是正整数，所以取25a =，下面用数学归纳法证明：11125123124n n n +++>+++L ． （1）当1n =时，已证；（2）假设当n k =时，不等式成立，即11125123124k k k +++>+++L ． 则当1n k =+时，有111(1)1(1)23(1)1k k k +++++++++L 111111112313233341k k k k k k k =++++++-+++++++L 251122432343(1)k k k ⎡⎤>++-⎢⎥+++⎣⎦． 因为2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++， 所以2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++， 所以112032343(1)k k k +->+++． 所以当1n k =+时不等式也成立． 由（1）（2）知，对一切正整数n ，都有11125123124n n n +++>+++L ， 所以a 的最大值等于25．。
选修2-2推理与证明单元测试题(好经典)
《推理与证明》单元测试题考试时间120分钟 总分150分一．选择题（共50分）1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．923. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ）A ．01B ．43C ．07D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ）1> ②≥③lg2>A ．0 B ．1 C ．2D ．35.如图，椭圆的中心在坐标原点，F 为左焦点，当AB FB ⊥u u u r u u u r时，有()()()22222cb b ac a +++=+，从而得其离心率为12，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ）A．12 BD6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高二数学选修2-2《推理与证明测试题》
一、
选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1、 下列表述正确的是（
）•
①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一
般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理
A.①②③；B .②③④；C .②④⑤；D .①③⑤• 2、 下面使用类比推理正确的是 （
）•
A. 右 a 3
b 3,则a b ”类推出“若a 0 b 0,则 a b ”
B. 右 (a b)c ac be ”类推出“ (a b)e ae be ”
C. 右 (a b)c ac be ”类推出
“ a b
a b
”
-
(C M 0)”
e e e D. “(ab )n
n
a n ” b
类推出“（a
b )n a n b n
3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线
b 平面 ，直线a 平面 ，直线b //平面 ，则直线b //直线a ”的结论显然是错误
的，这是因为
（
）
A.大前提错误
B.小前提错误
C. 推理形式错误
D. 非以上错误 4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60度”时，反设正确的是（）。
（A ）假设三内角都不大于 60度；
（B ） 假设三内角都大于 60度；
（C ）假设三内角至多有一个大于 60度；（D ） 假设三内角至多有两个大于
60度。
5、在十进制中20 0 4
4 1 00 0 1 01 0 1 02 2 1 03，那么在5进制中数码2004折合
成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004
成立时，左边应该是 （
）
7、某个命题与正整数 n 有关，如果当n k （k N ）时命题成立，那么可推得当 n k 1 时命题也成立.现已知当n 7时该命题不成立，那么可推得
（ ）
A. i
当n=6时该命题不成立 B . 当n=6时该命题成立 C .当
当n=8时该命题不成立 D . 当n=8时该命题成立
&用数学归纳法证明“
（n 1）（n
2）
(n n)
2n 1 2 (2n 1) ”( n N )时,
6、利用数学归纳法证明
1 + a + a
2 +…+ a n +
1=
(a ^ 1, n € N) ”时，在验证 n=1
(A)1
(B)1 + a (C)1 + a + a 2
(D)1 + a + a 2 + a 3
10、数列a n中，a1=1, S n表示前n项和，且S n, S n+1, 2S1成等差数列，通过计算S1, S2,
S3, 猜想当n A 1时，S n =
( )
n .
2 1n .
2 1n(n 1)1
A—n 1B•n 1C. —n D . —n 1
2222、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.
11、一同学在电脑中打出如下若干个圈：o・oo・ooo・oooo・ooooo•…若
将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的•的个数
是___________________ 。
12、类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB AC互相垂直，则三角形
三边长之间满足关系：AB2 AC2 BC2。
若三棱锥A-BCD的三个侧面ABG ACD ADB两
两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为_________________ . ___________
13、从1=1 , 1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4), …,推广到第n 个等式为
14、设平面内有n条直线(n 3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点•若用f (n)表示这n条直线交点的个数，则 f (4) = ______________ ;
当n>4时，f(n)
= ___________________________ (用含n的数学表达式表示) 。
A •2k 1B. 2(2k 1)C. 2k 1
2k 2 D.
k 1
k
1
9、已知
n为正偶
数,
用数学归纳法证明
1 1 1 11 1
2(-
11)时，若已假设n k(k 2为偶
2 3 4n 1 n 2 n42n
数) 时命题为
真，
则还需要用归纳假设再证( ) A
•
n k 1时等式成立B. n k :2时等式成立
C. n 2k 2时等式成立
D. n2(k2)时等式成立
从“n k到n k 1 ”时，左边应增添的式子是( )
三、解答本大题共6题，共58分。
15、(8 分)求证：(1) a b 3 ab 73( a b) ；
(2)
6 +
7 >2 2 +「：$ 5。
16、设a , b , x , y € R ，且错误！未找到引用源。
（8分）
17、若a,b,c 均为实数，且错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错误味找到引用源。
求证：a ， b ， c 中至少有一个大于 0。
（ 8分）
18、用数学归纳法证明:
n ; (7 分)
(I)
12 1 3
22 3 5
2
n
(2n 1)(2 n 1)
n(n 1) 2(2 n 1)
；（7 分）
19、数学归纳法证明：错误!未找到引用源。
能被错误!未找到引用源。
整除,错误!未找到引用源。
. （8 分）
20、已知数列｛a n｝满足S+ a n= 2n+1,⑴写出a i, a2, a3,并推测a n的表达式;
（2）用数学归纳法证明所得的结论。
（12 分）
高二数学选修2-2 《推理与证明测试题》答案
选择题：本大题共10 小题，每小题3分，共30 分.
DCABB CABBB
4/ 6
、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.
11、14
12、错误!未找到引用源。
13、错误!未找到引用源。
14、5 ;错误！未找到引用源。
三、解答本大题共6题，共58分。
15、证明：（1）■/ a2 b2 2ab,
a2 3 2 3a,
b2 3 2 3b ；
将此三式相加得
2（a2 b23） 2ab 2.3a 2,3b,
••• a2 b2 3 ab ,3（a b）.
（2）要证原不等式成立，
只需证（•. 6 + •. 7 ）2> （2 .、2 + .、5 ）2, 即证2. 42 2... 40。
•••上式显然成立，
•原不等式成立.
16、可以用综合法与分析法---略
17、可以用反证法---略
18、（1）可以用数学归纳法---略
(2)当n k 1时，左边
(1 1 1 k k k )
2 2 2
< _______________ >
v ---------
2k项
19、可以用数学归纳法---略
1 1 1 1
（1 2 厂）才〒）k 2k乙k 1=右边，命题正确2k
7
a 2=,
4 15
a s =
,
8
⑵ ①由(1)已得当n = 1时，命题成立；
1
②假设n = k 时,命题成立，即
a k = 2—―-,
2k
当 n = k +1 时，a 1 + a? + .. + a k + a k +1 + a -+1 = 2( k + 1) + 1, 且 a 1+ a 2 + .... + a k = 2k + 1 — a k
2k + 1 — a k + 2a k +
1= 2( k + 1) + 1 = 2k + 3,
1
1
2a k +1 = 2 + 2 —
,
2k
a k +1
2
2k 1
即当n = k + 1时,命题成立.
1
根据①②得n € N , a n = 2-
歹都成立
20、解:
猜测 a n = 2—
⑴ a i = 3,。