2013届高考北师大版数学总复习课件：8.4空间中的垂直关系
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第 四 节义、公理和定理为出发点，认识和理 解空间中线面垂直的有关性质与判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形 的垂直关系的简单命题．
考向预测 1．以选择题、填空题的形式，考查线面垂直、面面垂直 的判定定理和性质定理． 2．解答题中一般以考查线面垂直、面面垂直的判定及逻 辑推理能力为主． 3．通过考查线面角，考查空间想象能力及运算能力，常 以解答题的形式出现．
位置关系的判定
[例 1] 已知 m、n 是两条不重合的直线，α、 β、γ 是三个 两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中真命题是( )
[答案] D
[解析] 考查空间线面的位置关系的判定与性质． ①错，②正确，③错，④正确．故选 D.
3． (2012· 九江调研 )设 α， β 是两个不同的平面，l 是一条 直线，以下命题正确的是( )
A．若 l⊥ α， α⊥ β，则 l β B．若 l∥ α， α∥ β，则 l β C．若 l⊥ α， α∥ β，则 l⊥ β D．若 l∥ α， α⊥ β，则 l⊥ β
基 础 自 测
1.(2012· 庆阳模拟)已知 α，β 表示两个不同的平面，m 为平 面 α 内的一条直线，则“ α⊥ β”是“ m⊥ β”的( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 )
[答案] B
[解析 ] 本小题主要考查空间线面的垂直关系和应用充要 条件解题的能力． 由已知 m α， 若 α⊥ β 则有 m⊥ β， 或 m∥ β 或 m 与 β 相交； 反之，若 m⊥ β，∵ m α，∴由面面垂直的判定定理知 α⊥ β.∴ α⊥ β 是 l⊥ β 的必要不充分条件．故选 B.
[答案] 90° [解析 ] ∵ B1C1⊥平面 ABB1A1， MN 平面 ABB1A1，
∴ MN⊥ B1C1 又 MN⊥ B1M， B1M∩ B1C1＝ B1， ∴ MN⊥平面 B1C1M， MC1 平面 B1C1M， ∴ MN⊥ MC1 即∠ C1MN＝ 90° .
6．对于四面体 ABCD，给出下列四个命题： ①若 AB＝ AC， BD＝ CD，则 BC⊥ AD； ②若 AB＝ CD， AC＝ BD，则 BC⊥ AD； ③若 AB⊥ AC， BD⊥ CD，则 BC⊥ AD； ④若 AB⊥ CD， AC⊥ BD，则 BC⊥ AD. 其中真命题的序号是 ________． (把你认为正确命题的序号 都填上 )
)
[答案] D
[解析] 本题考查空间线面位置关系的判定．A： 与两相互 垂直直线平行的平面的位置关系不能确定； B：平面内的一条 直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系也不能 确定； C：这两个平面也有可能重合可能平行；D 是成立的， 故选 D.
5．(2012· 山东淄博)正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分 别是棱 AA1 和 AB 上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝ ________.
(2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内的任何直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行 ． ③垂直于同一直线的两平面平行．
2．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义：如果两个平面所成的二面角是直角 ，就说这两个 平面互相垂直． ②判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线 ，则这两 个平面垂直．
7．如下图，在直三棱柱 ABC－ A1B1C1 中，∠ ACB＝ 90° ， B1C⊥ BD.求证： AB1⊥ BD.
[解析] 由直三棱柱得 C1C⊥ AC， 又∠ ACB＝ 90° ，即 AC⊥ BC， ∴ AC⊥平面 CB1，而 BD 平面 CB1， ∴ AC⊥ BD，又 B1C⊥ BD， ∴ BD⊥平面 AB1C， AB1 平面 AB1C， ∴ BD⊥ AB1.
[答案] C
[解析] 本小题主要考查立体几何基础知识， 考查了线面平 行与垂直，和面面的平行与垂直． 由线面垂直的判定方法知，若 l⊥ α， α∥ β，则 l⊥ β 成立． 故选 C.
4． 对于直线 m、 l 和平面 α、 β， α⊥ β 的一个充分条件是( A． m⊥ l， m∥ α， l∥ β B． m⊥ l， α∩ β＝ m， l α C． m∥ l， m⊥ α， l⊥ β D． m∥ l， l⊥ β， m α
[答案] ①④
[解析 ] 本题考查四面体的性质，取 BC 的中点 E， 则 BC⊥ AE， BC⊥ DE， ∴ BC⊥平面 ADE，∴ BC⊥ AD，故①正确． 设 O 为 A 在面 BCD 上的射影， 依题意 OB⊥ CD， OC⊥ BD， ∴ O 为垂心，∴ OD⊥ BC，∴ BC⊥ AD，故④正确， ②③易排除，故答案为①④.
(2)平面与平面垂直的性质 如果两平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直 线垂直于另一个平面．
3．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形 叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两 个半平面内分别作 垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的 角叫做二面角的平面角 .
2． (2012· 广东模拟 )给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这 两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平 面相互垂直； ③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直 的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是 ( A．①和② C．③和④ ) B．②和③ D．②和④
知识梳理 1．直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法
任何直线都垂直，则直 ①定义：如果直线 l 与平面 α 内的
线 l 与平面 α 互相垂直．
②判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，则该直线和此平面垂直． ③推论： 如果在两条平行直线中， 有一条垂直于一个平面， 那么另一条直线也垂直这个平面．
考向预测 1．以选择题、填空题的形式，考查线面垂直、面面垂直 的判定定理和性质定理． 2．解答题中一般以考查线面垂直、面面垂直的判定及逻 辑推理能力为主． 3．通过考查线面角，考查空间想象能力及运算能力，常 以解答题的形式出现．
位置关系的判定
[例 1] 已知 m、n 是两条不重合的直线，α、 β、γ 是三个 两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中真命题是( )
[答案] D
[解析] 考查空间线面的位置关系的判定与性质． ①错，②正确，③错，④正确．故选 D.
3． (2012· 九江调研 )设 α， β 是两个不同的平面，l 是一条 直线，以下命题正确的是( )
A．若 l⊥ α， α⊥ β，则 l β B．若 l∥ α， α∥ β，则 l β C．若 l⊥ α， α∥ β，则 l⊥ β D．若 l∥ α， α⊥ β，则 l⊥ β
基 础 自 测
1.(2012· 庆阳模拟)已知 α，β 表示两个不同的平面，m 为平 面 α 内的一条直线，则“ α⊥ β”是“ m⊥ β”的( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 )
[答案] B
[解析 ] 本小题主要考查空间线面的垂直关系和应用充要 条件解题的能力． 由已知 m α， 若 α⊥ β 则有 m⊥ β， 或 m∥ β 或 m 与 β 相交； 反之，若 m⊥ β，∵ m α，∴由面面垂直的判定定理知 α⊥ β.∴ α⊥ β 是 l⊥ β 的必要不充分条件．故选 B.
[答案] 90° [解析 ] ∵ B1C1⊥平面 ABB1A1， MN 平面 ABB1A1，
∴ MN⊥ B1C1 又 MN⊥ B1M， B1M∩ B1C1＝ B1， ∴ MN⊥平面 B1C1M， MC1 平面 B1C1M， ∴ MN⊥ MC1 即∠ C1MN＝ 90° .
6．对于四面体 ABCD，给出下列四个命题： ①若 AB＝ AC， BD＝ CD，则 BC⊥ AD； ②若 AB＝ CD， AC＝ BD，则 BC⊥ AD； ③若 AB⊥ AC， BD⊥ CD，则 BC⊥ AD； ④若 AB⊥ CD， AC⊥ BD，则 BC⊥ AD. 其中真命题的序号是 ________． (把你认为正确命题的序号 都填上 )
)
[答案] D
[解析] 本题考查空间线面位置关系的判定．A： 与两相互 垂直直线平行的平面的位置关系不能确定； B：平面内的一条 直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系也不能 确定； C：这两个平面也有可能重合可能平行；D 是成立的， 故选 D.
5．(2012· 山东淄博)正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分 别是棱 AA1 和 AB 上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝ ________.
(2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内的任何直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行 ． ③垂直于同一直线的两平面平行．
2．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义：如果两个平面所成的二面角是直角 ，就说这两个 平面互相垂直． ②判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线 ，则这两 个平面垂直．
7．如下图，在直三棱柱 ABC－ A1B1C1 中，∠ ACB＝ 90° ， B1C⊥ BD.求证： AB1⊥ BD.
[解析] 由直三棱柱得 C1C⊥ AC， 又∠ ACB＝ 90° ，即 AC⊥ BC， ∴ AC⊥平面 CB1，而 BD 平面 CB1， ∴ AC⊥ BD，又 B1C⊥ BD， ∴ BD⊥平面 AB1C， AB1 平面 AB1C， ∴ BD⊥ AB1.
[答案] C
[解析] 本小题主要考查立体几何基础知识， 考查了线面平 行与垂直，和面面的平行与垂直． 由线面垂直的判定方法知，若 l⊥ α， α∥ β，则 l⊥ β 成立． 故选 C.
4． 对于直线 m、 l 和平面 α、 β， α⊥ β 的一个充分条件是( A． m⊥ l， m∥ α， l∥ β B． m⊥ l， α∩ β＝ m， l α C． m∥ l， m⊥ α， l⊥ β D． m∥ l， l⊥ β， m α
[答案] ①④
[解析 ] 本题考查四面体的性质，取 BC 的中点 E， 则 BC⊥ AE， BC⊥ DE， ∴ BC⊥平面 ADE，∴ BC⊥ AD，故①正确． 设 O 为 A 在面 BCD 上的射影， 依题意 OB⊥ CD， OC⊥ BD， ∴ O 为垂心，∴ OD⊥ BC，∴ BC⊥ AD，故④正确， ②③易排除，故答案为①④.
(2)平面与平面垂直的性质 如果两平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直 线垂直于另一个平面．
3．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形 叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两 个半平面内分别作 垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的 角叫做二面角的平面角 .
2． (2012· 广东模拟 )给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这 两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平 面相互垂直； ③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直 的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是 ( A．①和② C．③和④ ) B．②和③ D．②和④
知识梳理 1．直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法
任何直线都垂直，则直 ①定义：如果直线 l 与平面 α 内的
线 l 与平面 α 互相垂直．
②判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，则该直线和此平面垂直． ③推论： 如果在两条平行直线中， 有一条垂直于一个平面， 那么另一条直线也垂直这个平面．