二倍角的正弦、余弦、正切公式优质课课件
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数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式(共19张ppt)
( − ) = +
( + ) = +
两角和差的正弦公式
两角和差的正切公式
( − ) = −
+
( + ) =
1 −
−
(2)配方变换.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos 2α=2cos2α , 1-cos 2α=2sin2α .
(4)降幂扩角变换.
1
1
1
cos α=2(1+cos 2α),sin α=2(1-cos 2α),sin αcos α=2sin 2α.
5.5.1 第三课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
Hale Waihona Puke 学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.（逻辑推理）
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变
形运用.（数学运算）
复习回顾
两角和差的余弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( + ) = −
( + ) = 2 = + = 2
+
2
( + ) = 2 =
=
1 − 1 − 2
新知梳理
二倍角公式
2sin αcos α
2cos2α-1
cos2α-sin2α
2
－1＝1－2sin －x；
－x
4
4
2
例题讲解
题型三：化简与证明
例3
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin 2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
( + ) = +
两角和差的正弦公式
两角和差的正切公式
( − ) = −
+
( + ) =
1 −
−
(2)配方变换.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos 2α=2cos2α , 1-cos 2α=2sin2α .
(4)降幂扩角变换.
1
1
1
cos α=2(1+cos 2α),sin α=2(1-cos 2α),sin αcos α=2sin 2α.
5.5.1 第三课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
Hale Waihona Puke 学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.（逻辑推理）
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变
形运用.（数学运算）
复习回顾
两角和差的余弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( + ) = −
( + ) = 2 = + = 2
+
2
( + ) = 2 =
=
1 − 1 − 2
新知梳理
二倍角公式
2sin αcos α
2cos2α-1
cos2α-sin2α
2
－1＝1－2sin －x；
－x
4
4
2
例题讲解
题型三：化简与证明
例3
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin 2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
θ＝
cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右边．
法二：右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2 θ＝ cos2 θ1－csions22 θθ＝cos2 θ(1－tan2 θ)＝左边．
所以原式成立．
归纳升华 三角函数式的化简与证明
1．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的尽量求出； (2)使三角函数的种类与项数尽量少；(3)次数尽量低．
2．证明三角恒等式的方法：(2)从复杂的一边入手， 左边
证明一边等于另一边；(2)比较法，左边—右边＝0， 右边
＝1；(3)分析法，即从要证明的等式出发，一步步寻找等 式成立的条件．
(1)sin 2π4·cos 2π4·cos 1π2；
(2)1－2sin2 750°；
(3)tan
1π2－tan1
π. 12
解：(1)原式＝122sin
π 24cos
π 24·cos
1π2＝12sin
1π2·cos
1π2＝142sin
1π2·cos
π 12
＝14sin
π6＝18.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝
1＋cos（2A＋2B）
(1)证明：左边＝
2
＝
1－cos（2A－2B）
2
＝
cos（2A＋2B）＋cos（2A－2B）
2
＝
12(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin
2Asin 2B)＝
cos 2Acos 2B＝右边，
所以原式成立．
(2)法一：左边＝cos2θ1－cossi2nθ2
cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.
5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式课件(人教版)
例6
4
在△ ABC 中， cos A 5
tan 2 A 2B 的值.
， tan B 2 ，求
2A+2B与A,B之间能构成怎样的关系？
解：在△ ABC 中，由 cos A
4
，0
5
A π ，得
2
3
4
sin A 1 cos 2 A 1 ，
5
2
tan tan
2 tan
tan 2 tan
.
2
1 tan tan 1 tan
2
推导
二倍角的余弦公式有三种表达情势：
cos 2 cos sin
2
cos 2 1 2sin
2
cos 2 2 cos 1
2
2
推导
余弦公式，有下面的等价变情势：
cos 2 2 cos 1
2
cos 2 1 2sin
2
1 cos 2 2cos
1 cos 2 2sin
1 cos 2
cos
2
1 cos 2
sin
2
2
2
2
=±
2
1+
2
2
sin 与 cos 的符号由角
24 4
tan 2 A tan 2 B
44
7 3
tan 2 A 2 B
24 4 117 .
1 tan 2 A tan 2 B
1
7 3
，
解法 2：
4
在△ ABC 中，
二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
又∵2α∈0，π2，β∈π2，π，
∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－34π.
[规律方法] 在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出 角．其中确定角的范围是关键的一步．
【活学活用3】 已知tan α＝17，sin β＝ 1100，且α，β为锐角，求α
＋2β的值． 解 ∵tan α＝17<1，且α为锐角，∴0<α<π4，
类型一 给角求值问题 【例1】 求下列各式的值： (1)sin1π2cos1π2；(2)1－2sin2750°；(3)1－2tatnan125105°0°； (4)sin110°－cos 130°；(5)cos 20°cos 40°cos 80°.
[思路探索] 利用倍角公式或公式变形求值即可．
ππ π 解 (1)原式＝2sin122cos12＝si2n6＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300° ＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cossi1n01°－0°co3ss1in0°10° ＝212cossin1100°－°co2s31s0in°10°
【活学活用1】 求下列各式的值：
(1)tan 15°＋csoins 1155°°；
(2)tan 20°＋4sin 20°的值．
解 (1)原式＝csoins 1155°°＋csoins 1155°°＝sisni2n1155°＋°cocsos1251°5°
＝sin
1 15°cos
15°＝2sin
2 15°cos
θ 2
＝
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
14sinπ5π＝14. sin5
(2)原式＝－122cos2π8－1＝－12cosπ4＝－
2 4.
(3)原式＝tan21π2π－1＝－21－taπn21π2
tan12
2tan 12
＝－2·tan21×1π2＝t－an2π6＝－2 3.
在解决这种题型时，要正确处理角的倍半关系．如 4α 是 2α 的二倍角，α 是α2的二倍角，π2－2α 是π4－α 的二倍角．
2α .
求下列各式的值．
(1)cosπ5cos25π；(2)12－cos2π8；
(3)tan1π2－
1 π.
tan12
分析式 把式子变形，使其符合 【思路点拨】子结构 → 正、逆用或变形用形式 → 求值
π π 2π 1 2π 2π 1 4π
sin 解：(1)原式＝
5cos 5cos sinπ5
5 ＝2sins5incπ5os 5 ＝4ssiinnπ55 ＝
x
＝2sin
xcos cos
x－sin x＋sin
xcos x
x
＝sin
2xcos x－sin cos x＋sin x
x
＝sin
1－tan 2x1＋tan
xx＝sin
2xtanπ4－x
＝cosπ2－2xtanπ4－x＝ ＝2cos2π4－x－1tanπ4－x.
∵54π＜x＜74π， ∴－32π＜π4－x＜－π. 又∵cosπ4－x＝－45， ∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34. ∴原式＝2×1265－1×－34＝－12010.
• 给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行：
• (1)根据题设条件，求角的某个三角函数值；
• (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角 的范围，从而确定角的大小．
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
练习 1：2sin 15°cos 15°＝________.
练习 2：cos2α2－sin2α2＝________.
练习 3：1－2tatnan22α2α＝________.
2tan α 1－tan2α 练习：1.12 2.cos α 3.tan 4α
二、二倍ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ公式中应注意的问题 (1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解． 如 8α 是 4α 的二倍角，α 是α2的二倍角，α3是α6的 二倍角等等．又如 α＝2×α2，α2＝2×α4，…，2αn ＝2×2nα＋1等等．
∴tan α<0，tan β<0.
∴tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝－1－3 43＝ 3，
∵α，β∈－π2，π2，且 tan α<0，tan β<0， ∴α，β∈－π2，0，∴－π<α＋β<0，
∴α＋β＝－23π.
∴cos 2θ＝－
1－sin22θ＝－
3 2.
利用二倍角公式化简与证明
已已知tatann2β2＝β＝tanta2αn＋2α＋co1s2α求.求证证：：cos 2α－2c
cos 2α－2cos 2β＝1.
分析：本题考查利用二倍角公式证明．首先要降 幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它 们的关系．
(2)当 α＝kπ＋2π，(k∈Z)时，tan α 的值不存在，
这时求 tan 2α 的值可用诱导公式求得． (3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如 sin3π≠2sinπ6.
(4)公式的逆用变形
升幂公式：
1＋cos α＝________，1－cos α＝________，
1±sin 2α＝________
练习 2：cos2α2－sin2α2＝________.
练习 3：1－2tatnan22α2α＝________.
2tan α 1－tan2α 练习：1.12 2.cos α 3.tan 4α
二、二倍ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ公式中应注意的问题 (1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解． 如 8α 是 4α 的二倍角，α 是α2的二倍角，α3是α6的 二倍角等等．又如 α＝2×α2，α2＝2×α4，…，2αn ＝2×2nα＋1等等．
∴tan α<0，tan β<0.
∴tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝－1－3 43＝ 3，
∵α，β∈－π2，π2，且 tan α<0，tan β<0， ∴α，β∈－π2，0，∴－π<α＋β<0，
∴α＋β＝－23π.
∴cos 2θ＝－
1－sin22θ＝－
3 2.
利用二倍角公式化简与证明
已已知tatann2β2＝β＝tanta2αn＋2α＋co1s2α求.求证证：：cos 2α－2c
cos 2α－2cos 2β＝1.
分析：本题考查利用二倍角公式证明．首先要降 幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它 们的关系．
(2)当 α＝kπ＋2π，(k∈Z)时，tan α 的值不存在，
这时求 tan 2α 的值可用诱导公式求得． (3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如 sin3π≠2sinπ6.
(4)公式的逆用变形
升幂公式：
1＋cos α＝________，1－cos α＝________，
1±sin 2α＝________
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件(共11张PPT) 高一数学人教A版必修第一册
cos 4α = cos [2×(2α)] = 1 −
sin 4α
120
tan 4α =
=−
.
cos 4α
119
注意：“倍”是两个数量间一种相对的关系，如 2α 是 α 的二倍，4α 又是 2α
的二倍，
2
是
4
的二倍；应准确理解“倍”的含义，灵活运用倍角公式.
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
3
5
1. 已知 sin (α – π) = ，求 cos 2α 的值.
1 – tan 2A· tan 2B 117
思考：上述题目还有没有其他的解答方法，若有，请说出其他解法，若没
有，请说明理由.
将 tan (2A+2B) 视为 tan 2(A+B)，先求出 tan (A+B)的值，再利用倍角公式即可.
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
2. 已知 tan 2α =
1
，求
3
5.5.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标
新课讲授
课堂总结
1. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程；（重点）
2. 能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值等问题．（难点）
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点 1 ：二倍角的正弦、余弦、正切公式
忆一忆：按照相应规律，说出所有的和（差）角公式!
sin (α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
sin (α − β) = sinα·cosβ − cosα·sinβ
cos (α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ
sin 4α
120
tan 4α =
=−
.
cos 4α
119
注意：“倍”是两个数量间一种相对的关系，如 2α 是 α 的二倍，4α 又是 2α
的二倍，
2
是
4
的二倍；应准确理解“倍”的含义，灵活运用倍角公式.
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
3
5
1. 已知 sin (α – π) = ，求 cos 2α 的值.
1 – tan 2A· tan 2B 117
思考：上述题目还有没有其他的解答方法，若有，请说出其他解法，若没
有，请说明理由.
将 tan (2A+2B) 视为 tan 2(A+B)，先求出 tan (A+B)的值，再利用倍角公式即可.
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
2. 已知 tan 2α =
1
，求
3
5.5.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标
新课讲授
课堂总结
1. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程；（重点）
2. 能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值等问题．（难点）
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点 1 ：二倍角的正弦、余弦、正切公式
忆一忆：按照相应规律，说出所有的和（差）角公式!
sin (α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
sin (α − β) = sinα·cosβ − cosα·sinβ
cos (α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ
二倍角的正弦余弦公式省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
1
2
tan tan
22.5 2 22.5
1 tan 45 2
1 2
例题讲解
例1. 已知sin 2 3 ,且 ,求sin 4, cos 4, tan 4的值
54
2
解：由 ,得 2 ,
4
22
cos 2 1 sin2 4
5
sin 4 sin(2 2 ) 2sin 2 cos 2 2 3 ( 4) 24
3.1.３二倍角旳正弦、余 弦、正切公式
复习回忆
正弦、余弦、正切旳和角公式：
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan( ) tan tan 1 tan tan
思索探索
你能否利用三角函数旳和角公式推导出 下列公式？
5 5 25
cos 4 cos2 2 sin2 2 16 9 7
tan 4sin 424 2525 24
25
25
cos 4 7
7
25
24
(1)已知是第三象限角，sin 3 ,则sin 2 __2_5__
(2)已知cos 2
1 ，则 cos 4 3
5 sin 4
1 ___3__
4
sin 2
sin( ) sin cos cos sin 2sin cos
cos 2
cos( ) cos cos sin sin cos2 sin2
tan 2
tan( ) tan tan 1 tan tan
1
2
tan tan2
思索探究
仔细观察余弦旳二倍角公式，结合我们前面所学 旳知识，你还能得出哪些不同旳体现式？
《二倍角正弦、余弦、正切公式》市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
R
倍 角
cos 2 cos2 sin2
R
公 式：
tan 2
1
2
tan tan2
k
2
4
,且
k
2
，k Z
对于C2 能否有其他表达形式？
cos 2 2cos2 1
cos 2 1 2sin2
公式中旳角是否为任意角？ 3
注意：
①二倍角公式旳作用在于用单角旳三角函数来体现二倍角 旳三角函数，它合用于二倍角与单角旳三角函数之间旳互 化问题。
2 tan150 (3) 1 tan2 150 ;
(4)1 2sin2 750.
(5)8sin cos cos cos
48 48 24 12
6
练习 同类题 (1) sin cos 44
(2) sin4 cos4
2
2
1 tan2 3
(3)
2
tan 3
2
(4) sin( ) cos( )
13
4
例1
已知cos
12 ,
(
, )，求sin，
2 13 2 2
cos ，tan 的值。
已知sin 2 5 , ( , )，求sin 4，
13
42
cos 4，tan 4的值。
5
例2 求下列各式旳值：
(1) sin 22.50 cos 22.50; (2) cos2 sin2 ;
8
8
4
4
(5)、cos cos 5
12 12
(6)、cos 36 cos 72
7
引申：公式变形：
1 sin 2 (sin cos )2
1 cos 2 2cos2
二倍角的正弦、余弦、正切公式-PPT课件
sin2
1 cos 2
2
cos2
1 cos 2
2
7
思考3：tanα与sin2α，cos2α之间是 否存在某种关系？
tan2
1 cos 2
1 cos 2
tan sin 2 1 cos 2 1 cos 2 sin 2
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
思考4：sin2α，cos2α能否分别用 tanα表示？
cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切 公式中，角α的取值范围分别如何？
思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的
三角函数关系？
6
探究（二）：二倍角公式的变通 思考1：1＋sin2α可化为什么？
1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2
思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα， cosα与cos2α的关系分别如何？
sin 4x
tanx 学科网
例4 已知 sin cos π)，求cos2α的值.
13，且α∈(0，
17 9
12
小结作业
1.角的倍半关系是相对而言的, 2α是α
的两倍,
4α是2α的两倍,
2
是
4
的两
倍等等，这里蕴含着换元的思想.
2.二倍角公式及其变形各有不同的特点 和作用，解题时要注意公式的灵活运用， 在求值问题中，要注意寻找已知与未知 的联结点.
3.二倍角公式有许多变形，不要求都记
忆，需要时可直接推导.
13
作业：
P135练习：2，3，4，5.
14
cos 2
1 tan2 1 tan2
sin 2
5.5.1二倍角的正弦余弦正切公式课件共17张PPT
1 tan A tan B 2
tan
2A
2B
2 1
tan
tan 2
A B A B
44 117
巩固练习
变式：在ABC中, sin A 4 , tan B 2,
5
tan A 3
求 tan 2 A 2B 的值.
4
分A为钝角和锐角讨论
当A为钝角时，可求得tan(A+B)>0,与题 意不符，舍去
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
k (k Z )
2
k (k Z )
2
k (k Z )
2
学习新知 思考：能利用S(±)、C(±)、 T(±)推导出 sin2,cos2,tan2的公式吗？
复习引入 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( S(+) ) ( S(-) )
( C(-) ) ( C(+) )
sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin
( T(+) ) ( T(-) )
2
和 k , k Z时 ,公 式 才 有 意 义 .
42
学习新知
2.倍角公式
sin2= 2sincos
cos2= cos2-sin2
=1-2sin2
=2cos2-1
tan
2
2 tan 1 tan2
学习新知
1、掌握公式特征的同时,掌握二倍角函数 公式与和角的三角函数公式之间关系.
tan
2A
2B
2 1
tan
tan 2
A B A B
44 117
巩固练习
变式：在ABC中, sin A 4 , tan B 2,
5
tan A 3
求 tan 2 A 2B 的值.
4
分A为钝角和锐角讨论
当A为钝角时，可求得tan(A+B)>0,与题 意不符，舍去
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
k (k Z )
2
k (k Z )
2
k (k Z )
2
学习新知 思考：能利用S(±)、C(±)、 T(±)推导出 sin2,cos2,tan2的公式吗？
复习引入 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( S(+) ) ( S(-) )
( C(-) ) ( C(+) )
sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin
( T(+) ) ( T(-) )
2
和 k , k Z时 ,公 式 才 有 意 义 .
42
学习新知
2.倍角公式
sin2= 2sincos
cos2= cos2-sin2
=1-2sin2
=2cos2-1
tan
2
2 tan 1 tan2
学习新知
1、掌握公式特征的同时,掌握二倍角函数 公式与和角的三角函数公式之间关系.
5.5.1(第三课时)二倍角的正弦、余弦、正切公式课件(人教版)
cos 2 1 2sin2 cos 2 2cos2 1
这样我们就得到了二倍角的正弦、余弦、正切公式
2 cos 2 1 1 2 sin2
不仅“2α”是“α”，而且 “4α”是“2α”的二倍角，只要一个角是另一个角的两倍就可以用二倍角公式
例 1 (1)cosπ7cos37πcos57π的值为(
注意： T2α公式成立的条件
二倍角的余弦公式的变形
cos 2 cos2 sin2
cos2 1 sin 2
(1 sin2 ) sin2
1 2 sin 2
cos 2 cos2 sin2
sin2 1 cos2
cos2 (1 cos2 )
2 cos2 1
7
cos
7 π
cos
7
2sin ＝
7
cos π
7
sin ＝
7π＝－18.
8sin7
8sin7
8sin7
7
(2)求下列各式的值： ①cos415°－sin415°；②1－2sin275°；③1－tatnan7257°5°；
④sin110°－cos 310°.
(2)[解] ①cos415°－sin415° ＝(cos215°－sin215°)(cos215°＋sin215°) ＝cos215°－sin215° ＝cos 30°
sinA 1 cos2 A 3，所以tanA sinA 3，
5
cosA 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
tan2 A
2tanA 1 tan2 A
24 . 7
又 tan
B
2，所以tan2B
2 tan B 1 tan2 B
4. 3
于是tan(2A 2B) tan2A tan 2B 44 . 1 tan2Atan 2B 117
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
1 2 ( 5 )2 119 ; 13 169
tan 4 sin 4 (120)169 120 . cos 4 169 119 119
例2.在△ABC中，cos A 4 , tan B 2，求 tan(2A 2B)的值. 5
解法1 在△ABC中，
Байду номын сангаас
由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
所以tan A sin A 3 5 3 . cos A 5 4 4
tan 2A
2 tan A
2 3 4
24 .
1 tan2 A 1 ( 3)2 7
4
因为tan B 2,
所以tan 2B
1
2
tan tan
B 2B
22 1 22
4. 3
所以tan(2A 2B) tan 2A tan 2B 1 tan 2A tan 2B
1
24 4 73 24 (
4)
44 . 117
73
还可以把 2A 2B 看作 2(A B)
解法2 在ABC中，由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
cos 2 co（ s )
cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 .
二倍角的余弦公式.
简记为 C2 .
tan
2
tan（
)
2 tan 1 tan2
二倍角的正切公式.
简记为 T2 .
倍角公式
S2 sin 2 2sin cos
C2 cos 2 cos2 sin2 1 2sin2 2cos2 1
tan 4 sin 4 (120)169 120 . cos 4 169 119 119
例2.在△ABC中，cos A 4 , tan B 2，求 tan(2A 2B)的值. 5
解法1 在△ABC中，
Байду номын сангаас
由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
所以tan A sin A 3 5 3 . cos A 5 4 4
tan 2A
2 tan A
2 3 4
24 .
1 tan2 A 1 ( 3)2 7
4
因为tan B 2,
所以tan 2B
1
2
tan tan
B 2B
22 1 22
4. 3
所以tan(2A 2B) tan 2A tan 2B 1 tan 2A tan 2B
1
24 4 73 24 (
4)
44 . 117
73
还可以把 2A 2B 看作 2(A B)
解法2 在ABC中，由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
cos 2 co（ s )
cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 .
二倍角的余弦公式.
简记为 C2 .
tan
2
tan（
)
2 tan 1 tan2
二倍角的正切公式.
简记为 T2 .
倍角公式
S2 sin 2 2sin cos
C2 cos 2 cos2 sin2 1 2sin2 2cos2 1
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
两边式子中角间的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用
同角三角函数基本关系式等完成证明．
跟踪训练 2
化简：11＋ ＋ssiinn
2θ－cos 2θ＋cos
2θ 2θ.
解
方法一
原式＝11－ ＋ccooss
2θ＋sin 2θ＋sin
22θθ＝22csoins22θθ＋＋22ssiinn
θcos θcos
θ θ
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．倍角公式
1
(1)S2α：sin 2α＝ 2sin αcos α
，sin
α 2cos
α2＝
2sin α
；
(2)C2α：cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α ；
2tan α (3)T2α：tan 2α＝ 1－tan2α .
2．倍角公式常用变形 (1)s2isnin2αα＝ cos α ，2sicnos2αα＝ sin α ；
跟 解踪原训式练＝3 scion已sπ24π知＋＋2sxixn＝π4－2sxin＝π4c＋o15s3x，4πc＋o0s<xxπ4<＋π4x，＝求2csoicnsoππ4s4＋＋2xxx.的值． ∵sinπ4－x＝cos4π＋x＝153，且 0<x<4π，
∴π4＋x∈π4，π2，
∴sinπ4＋x＝
1－cos2π4＋x＝1123，
(2)cos 3α＝cos(2α＋α)＝cos 2αcos α－sin 2αsin α ＝(2cos2α－1)cos α－2sin2αcos α ＝(2cos2α－1)cos α－2(1－cos2α)cos α ＝2cos3α－cos α－2cos α＋2cos3α ＝4cos3α－3cos α.
二倍角的正弦、余弦和正切公式 课件
“探究1”预示本节课我们要研究什么问题? 学习目标：
1.用和角公式推导倍角公式。 2.能运用倍角公式，变形公式,构造公
式进行求值。
提示：怎样对和角公式做适当变换得到二倍 角公式呢？
二倍角公式：
sin2 2sin cos R
cos 2 cos2 sin2 R
tan 2
2 tan 1 tan2
(3)2 5
7 25
tan 2
sin 2 4 ,(0 ),求cos2的值.
解:
5
2
cos 4 ,0
5
2
sin 3
5
cos2 cos2 sin2 ( 4 )2 ( 3 )2
55
7 25
探究2：你能只用cos的值,不求sin的值,直接
二倍角的正弦、余弦和正切公式
1.请写出两角和的正弦、余弦、正切公式
cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin tan( ) tan tan
1 tan tan
探究1：你能利用S(+)、C(+)、 T(+)推导出
sin2,cos2,tan2的公式吗？
2 sin 400 cos 400 cos800 2 2sin 200
sin 800 cos 800 2 sin 800 cos800 4 sin 200 2 4sin 200
sin1600 8sin 200
1 8
课下以小组为单位探究下面这道题的解法
sin100 sin 300 sin 500 sin 700
24 24 12
2sin cos sin 1
12 12 6 2
思考：cos 200 cos 400 cos800
1.用和角公式推导倍角公式。 2.能运用倍角公式，变形公式,构造公
式进行求值。
提示：怎样对和角公式做适当变换得到二倍 角公式呢？
二倍角公式：
sin2 2sin cos R
cos 2 cos2 sin2 R
tan 2
2 tan 1 tan2
(3)2 5
7 25
tan 2
sin 2 4 ,(0 ),求cos2的值.
解:
5
2
cos 4 ,0
5
2
sin 3
5
cos2 cos2 sin2 ( 4 )2 ( 3 )2
55
7 25
探究2：你能只用cos的值,不求sin的值,直接
二倍角的正弦、余弦和正切公式
1.请写出两角和的正弦、余弦、正切公式
cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin tan( ) tan tan
1 tan tan
探究1：你能利用S(+)、C(+)、 T(+)推导出
sin2,cos2,tan2的公式吗？
2 sin 400 cos 400 cos800 2 2sin 200
sin 800 cos 800 2 sin 800 cos800 4 sin 200 2 4sin 200
sin1600 8sin 200
1 8
课下以小组为单位探究下面这道题的解法
sin100 sin 300 sin 500 sin 700
24 24 12
2sin cos sin 1
12 12 6 2
思考：cos 200 cos 400 cos800
二倍角的正弦、余弦、正切公式 PPT教学课件(高一数学人教A版 必修一册)
B
2
，
高中数学
例2
在△
ABC
中，
cos A 4 5
，
tan B 2
，求
tan2A 2B 的值.
tan
A
B
tan A tan B 1 tan A tan B
3 4 1
2 32
11 2
，
4
. tan 2A
2B
tan
2
A
B
2 tan
1 tan2
A B A B
2
11 2
1
11 2
2
44 117
刚刚我们的推导过程是借助 S 来完成 的，如果用 S 来完成推导方法也基本 相同，把公式中的 替换为 即可.
二倍角的正弦公式： sin 2 2sin cos
一 【问题1.3】
你能仿照刚刚的推导过程，利用 C,T 得到 cos 2, tan 2 的公式吗？
高中数学
高中数学
一 【问题1.3】
和刚才一样，我们将 cos ，tan 公式中的 换为 后，得到：
即 sin2
1
cos 2
2
.
这两个公式的变形从左向右看，角之间是倍角关系，
从结构上是和、差转化到乘积，从次数上是从一次
变成了二次.
这样无论从右向左，还是从左向右，它能实现角的
改变，和式子结构、次数的改变.
1 cos 2 cos2
2
sin2 15 1 cos 30 1 3
2
24
公式的正向使用与反向使用需要依据求解内容和所给条件灵活判断.
解：在△
ABC
中，由
cos
A
4 5
，0
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
＝2sin（π4c＋osx（）π4·＋coxs（）π4＋x）＝2sin(π4＋x)．
∵sin(π4－x)＝cos(π4＋x)＝153，且 0＜x＜π4，
∴π4＋x∈(π4，π2)，
∴sin(π4＋x)＝ 1－cos2（π4＋x）＝1123， ∴原式＝2×1123＝2143.
[一点通] 这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对 题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数 名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条 件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论，即解题过程 既要结合已知条件，又要增强目标意识．
二倍角公式
名称
公式
二倍角的正弦 sin 2α＝ 2sin αcos α
cos 2α＝ cos2α－sin2α
二倍角的余弦 ＝ 2cos2α－1
＝ 1－2sin2α
2tan α 二倍角的正切 tan 2α＝ 1－tan2α
记法 S2α C2α
T2α
[例 1] 求下列各式的值：
(1)sin
π 12 cos
＝8sisnin12600°°＝18.
[例 2] 已知 sin(π4－x)＝153，0＜x＜π4，求cos（coπs4＋2xx）的值． [思路点拨] 注意角的关系(π4＋x)＋(π4－x)＝π2，注意诱导 公式的应用 cos 2x＝sin(π2＋2x)，利用倍角公式解题．
[精解详析]
原式＝scions（（π2π4＋＋2xx））
＝cos 10°＋
3sin
10°＝2（12cos
10°＋
3 2 sin
10°）
2
2
2 sin 40°
2 sin 40°
＝2 s2insi4n04°0°＝2 2
高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
8
(1)2cos2 =
(2) sin
;
.
解析:(1)原式=1+cos 2 ×
π
π
12
π
6
3
2
=1+cos =1+ .
2
(2)原式=1+sin 4=1+ 2 .
3
答案:(1)1+
2
2
(2)1+
2
第9页
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的
打“×”.
(1)sin 2θ=2sin θ.
3.1.3 二倍角正弦、余弦、正切公式
第1页
课
标 阐 释
1.会推导二倍角的正弦、余弦、正
切公式.
2.能够灵活运用二倍角公式解决求
值、化简和证明等问题.
思
维 脉 络
二倍角公式
二倍角公式的推导
二倍角公式的变形
二倍角公式的应用
第2页
一
二
一、二倍角正弦、余弦和正切公式
【问题思索】
1.在两角和正弦、余弦、正切公式中,令β=α,将得到怎样结果?
形式?
提醒:1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2.
2.依据二倍角余弦公式,sin α,cos α与cos 2α关系分别怎样?
提醒:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,
1-cos2
1+cos2
2
2
sin α=
,cos α=
1
2
3
6
(2)原式= tan 150°=- tan 30°=- .
(1)2cos2 =
(2) sin
;
.
解析:(1)原式=1+cos 2 ×
π
π
12
π
6
3
2
=1+cos =1+ .
2
(2)原式=1+sin 4=1+ 2 .
3
答案:(1)1+
2
2
(2)1+
2
第9页
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的
打“×”.
(1)sin 2θ=2sin θ.
3.1.3 二倍角正弦、余弦、正切公式
第1页
课
标 阐 释
1.会推导二倍角的正弦、余弦、正
切公式.
2.能够灵活运用二倍角公式解决求
值、化简和证明等问题.
思
维 脉 络
二倍角公式
二倍角公式的推导
二倍角公式的变形
二倍角公式的应用
第2页
一
二
一、二倍角正弦、余弦和正切公式
【问题思索】
1.在两角和正弦、余弦、正切公式中,令β=α,将得到怎样结果?
形式?
提醒:1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2.
2.依据二倍角余弦公式,sin α,cos α与cos 2α关系分别怎样?
提醒:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,
1-cos2
1+cos2
2
2
sin α=
,cos α=
1
2
3
6
(2)原式= tan 150°=- tan 30°=- .
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3.1.3二倍角的 正弦、余弦、正切公式
引例
等腰三角形ABC的顶角是A，底角是B，C，
cosB= 3
5
，求顶角A的正弦、余弦、正切值.
二 倍 角 公 式：
sin 2 2sin cos
R
cos 2 cos2 sin 2 R
2cos2 1 1 2sin2
tan 2
2 tan 1 tan 2
k 2
,且 4
k 2
，k Z
倍角的相对性
(1)sin 4 2sin_ cos_ (2) cos cos2_ sin2_ 2 cos2_1
1 2sin2_
(3) tan
2
2 tan_ 1 tan2_
四、典例剖析
例1.已知sin 4 , ＜＜，
52
求sin 2, cos 2, tan 2的值.
练习：1.解决引例提出的问题. 在ABC中，B=C,cos B 3 ,求sin A, cos A, tan A.
5
2.灵活应用公式.
(1) cos2 75 sin2 75 2 tan 22.5
(2) 1 tan2 22.5 (3) sin15 cos15
(4)4 cos 75 cos15
5
课堂小结
• 1.倍角公式（推导、熟记、灵活应用）。 • 2.公式的特征、成立的条件、倍角的相
对性。
• 3.转化与化归的数学思想。 • 4.算法的合理性。
作业
在ABC中,sin A 3 , tan B 2, 5
求 tan 2A 2B的值.
谢谢大家！
知识与方法总结重要。
例2.在ABC中, cos A 4 , tan B 2, 5
求 tan 2 A B的值.
练习：已知x(
2
,
),sin2x=-sinx,求
tan
2x.
达标检测
1.若 tan 0,则 A.sin 2 0.B cos 0.C sin 0.D cos 2 0. 2.已知sin cos 2, (0, ),则sin 2 3.若sin( ) 3 ,则cos 2
引例
等腰三角形ABC的顶角是A，底角是B，C，
cosB= 3
5
，求顶角A的正弦、余弦、正切值.
二 倍 角 公 式：
sin 2 2sin cos
R
cos 2 cos2 sin 2 R
2cos2 1 1 2sin2
tan 2
2 tan 1 tan 2
k 2
,且 4
k 2
，k Z
倍角的相对性
(1)sin 4 2sin_ cos_ (2) cos cos2_ sin2_ 2 cos2_1
1 2sin2_
(3) tan
2
2 tan_ 1 tan2_
四、典例剖析
例1.已知sin 4 , ＜＜，
52
求sin 2, cos 2, tan 2的值.
练习：1.解决引例提出的问题. 在ABC中，B=C,cos B 3 ,求sin A, cos A, tan A.
5
2.灵活应用公式.
(1) cos2 75 sin2 75 2 tan 22.5
(2) 1 tan2 22.5 (3) sin15 cos15
(4)4 cos 75 cos15
5
课堂小结
• 1.倍角公式（推导、熟记、灵活应用）。 • 2.公式的特征、成立的条件、倍角的相
对性。
• 3.转化与化归的数学思想。 • 4.算法的合理性。
作业
在ABC中,sin A 3 , tan B 2, 5
求 tan 2A 2B的值.
谢谢大家！
知识与方法总结重要。
例2.在ABC中, cos A 4 , tan B 2, 5
求 tan 2 A B的值.
练习：已知x(
2
,
),sin2x=-sinx,求
tan
2x.
达标检测
1.若 tan 0,则 A.sin 2 0.B cos 0.C sin 0.D cos 2 0. 2.已知sin cos 2, (0, ),则sin 2 3.若sin( ) 3 ,则cos 2