高考数学备考三轮复习策略
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1、觉得难学者多，感兴趣者较少
2、盲目培训者多，自主研究者少
3、题目刷得很多，方法探索较少
二、当今高中学生数学学习现状原因分析：
1、数学学科本身难度的原因 2、数学教材内容设置的原因 3、数学教师课堂教学的原因
三、当今高中数学教学现状：
1、老师讲授多，学生自主少
2、老师包办多，学生思考少 3、教辅资料多，教材研究少 4、题型模式多，探究思考少 5、学术味道多，教育味道少
3 x1 x2 x3 0, y1 y2 y3 0 求证： x1 x 2 x3 y1 y 2 y3 2
2 2 2 2 2 2
y
B
A x
C
证明：如图，设单位圆的圆心为 O,连 AB,BC,CA,AO,BO,CO,又设 ABC 的重心为 G,则
（ G
x1 x 2 x3 y1 y 2 y 3 , ) G (0,0) ，而 ABC 的外心为 O(0,0) 故 ABC 为正三角形 3 3
2 , 3
AOB BOC COA
由此可设 x1 cos , y1 sin x 2 cos(
x3 cos(
2 2
2 4 ) cos 2 ( ) 3 3 4 8 1 cos(2 ) 1 cos(2 ) 1 cos2 3 3 = 2 2 2
sin 2 A sin 2 B sin B sin C 又 sin 2 A sin 2 B sin( A B)sin( A B) sin( A B)sin( A B) sin B sin( A B) sin( A B) sin B A 2 B
(3)把水平提高，不故弄玄虚
示例1：数列通项公式求法中的不动点与特征根
xn 1
4 xn 3 xn 2
x1 2
4xn 3 ( 4) xn (2 3) xn 1 + xn 2 xn 2
2 3 ( 4)(xn ) 4 xn 1 + xn 2
2 2
分析上述各式的共同特点，写出一个能反应一般规律的等式，并对等式的正确性做出证明。
延伸推广： 几个比较典型的三角恒等式：
3 （1） sin cos ( 30 ) sin cos( 30 ) 4
2 2
2 4 （2） sin sin( ) sin( ) 0 3 3 2 4 3 2 2 2 （3） sin sin ( ) sin ( ) 3 3 2 2 4 9 4 4 4 （4） sin sin ( ) sin ( ) 3 3 8
a2 b(b c) A=2B
相关链接： 1、 （ 2006 年 四 川 ） 设 a、b、c 分 别 为 ABC 的 三 内 角 A、B、C 所 对 的 边 ， 则
a2 b(b c) 是 A=2B 的
（A）充要条件 （C）必要而不充分条件 2 解： a b(b c ) （B）充分而不必要条件 （D）既不充分也不必要条件
2
(4) sin (18) cos 48 sin(18)cos 48
2
(5) sin (25) cos55 sin(25)cos55
2
Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
2、(2011 年北大保送生考试第五题) 在 单 位 圆 x 2 y 2 1 上 有 三 点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 ) 满 足 ：
2
点评：简洁，漂亮，对称，美观
例3：数学代数式结构的对称美
例4：数学代数式结构的对称美、和谐美
例5：三余弦，四个面都是直角三角形四面体
例6：正四面体模型
例7：抛物线焦点弦模型
例8：组合计数中的模型
例9：极化恒等式模型
例10：数与形最哲学的转换
3、教给学生思想的数学，文化的数学，温情的 数学---做有品位，有情怀的数学老师。
1 1 (x 3) y (2 2) ，依此 SABC 的最大值= AB r 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2、 课本原题： 人教 A 版必修四第 138 面 B 组第 3 题： 观察以下各等式：
3 sin 30 cos 60 sin 30 cos 60 , 4 3 2 2 sin 20 cos 50 sin 20 cos 50 , 4 3 2 2 sin 15 cos 45 sin 15 cos 45 . 4
数学奖项：菲尔兹奖，沃尔夫奖，阿贝尔奖，陈省身 奖，华罗庚奖，钟家庆奖等等 数学名家：中国古代，中国现代，国外数学家（法国） 的成长故事，吴文俊《世界著名科学家传记-数学家
1.2》等等
数学名题：哥德巴赫猜想，费马大定理，“3x+1”黑洞
问题，哥斯尼堡七桥问题，四色定理问题，几何作图
的三大难题等等 数学拓展：课本中涉及到的数学文化知识：
点评：容易想到，但变形复杂，容易出 错，过程繁难
(学生解法)由已知得： 1 1 1 a x ， x d ( x )( x d ) 1 b a b 1 1 1 c x ， x b ( x )( x b ) 1 d c d 2 （ bx 1)( x d ) b bx (bd 1) x d b (dx 1)( x b) d dx 2 (bd 1) x b d 两式相减得 : ( b d ) x 2(b d ), b d x 2
(1)把慨念讲清，永远不忘本
例2、如图，AB为圆的直径，AB=8， AC=CD=2,试求线段BD的长度
C A
D
等价
C
D B
B
转化
A H
例3：有关极值，极值点的定义理解
(2)把教材吃透，四两拨千金
教材是最重要的课程资源，老师要带领学生对 教材这一资源进行认真开发，很多美妙的试题 与有趣的性质都藏在教材中，等着我们去发现
因为以上步步可逆，故 a
2
b(b c) A=2B ，因此本题选 A
2． （2005 年上海交大保送生考试数学试题）是否存在三边为连续自然数的三角形，使得 (1) 最大角是最小角的两倍； (2) 最大角是最小角的三倍；若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由． 解：(1)设三角形的三边长分别为 n-1，n，n+1（n 2）,由上题的结论可知： (n+1)2=(n-1)(n-1+n),解得 n=5,故存在这样的三角形，它的三边长为 4,5,6 （2）设最大角为 3 ，最小角为 ，三角形的三边长分别为 n-1，n，n+1（n 2） ，则由 正弦定理得：
n 1 n 1 n 2n n sin 3 sin sin 4 sin 3 sin sin 4
2n n 2 1 1 33 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos cos 2 8
而有题目的已知条件可得 cos 的值应该为一有理数，故矛盾，因此不存在这样的三角形.
2 2 2 2 2 2
2 2 2
又 x1 x2 x3 y1 y2 y3 3 ，故 y1 y 2 y 3 3
3 3 2 2
x1 x 2 x3 y1 y 2 y 3
2
2
2
2
2
2
3 2
3、 （2010 年清华大学自主招生试题） ： 求 sin 10 sin 50 sin 70 的值
2+3 = +4
示例2：四点共面的充要条件
示例3：三视图还原问题
2、教给学生最美的数学，最模型的数学，最 哲学的数学---做有方法、有研究的数学老师
(1)数学是符号语言的科学，特别讲究结构的整体性 和模型化. (2)数学是人类文化的精华，她的呈现形式特别的美 观：简洁美，对称美，和谐美，奇异美. (3)数学思想方法无处不在，数形结合方法特别哲学
高三数学三轮复习备考策略
长郡中学 王毅
广州
2017年9月17日
1401班张騄同学勇夺第58届IMO金牌， 实现了长郡中学五科竞赛的大满贯！
1402班赵丛丛同学（左起第二人）以698 分获得2017年高考长沙市理科状元！
第一部分：高一高二高三 一轮常规教学的做法
一、当今高中学生数学学习现状：
四、该教给学生怎样的中学数学教育：
老师教得轻松，学生学得愉快； 学生不怕数学，考试能得高分； 教育留下痕迹，文化影响终生；
孙维刚老师：八方联系，浑然一体， 漫江碧透，鱼翔浅底。 让聪明孩子更聪明，让不聪明的孩子变得聪明！
1、教给学生最通俗，最清晰，最自然的数学 --------做有个性、高效率的数学老师
4 4 4
9 解：原式= ，本题就是三角恒等式（4）的特殊情况 8
7、课本原题： 人教 A 版必修五第 25 面 B 组第 3 题： 研究一下，是否存在一个三角形具有以下性质： （1） 三边是连续的三个自然数 （2） 最大角是最小角的 2 倍 延伸推广： 三角形中的二倍角问题，设 a、b、c 分别为 ABC 的三内角 A、B、C 所对的边，则
则 x1 x 2 x3 cos cos (
2 2 2
4 4 ), y 3 sin( ) 3 3
2 2 ), y 2 sin( ) 3 3
=
3 1 2 2 3 1 2 3 cos 2 cos(2 ) cos(2 ) (cos2 2 cos 2 cos ) 2 2 3 3 2 2 3 2
倍角三角形，布罗卡点，阿波罗尼斯圆，斐波那契
数列，两个重要极限，无理数e，杨辉三角，函数的
凹凸性，神奇的圆锥曲线（闻杰老师），不动点与
稳定点等等
数学名著：《中国初等数学研究》，《好玩的数学》 《华罗庚数学科普著作》《中学生数学视野丛书》， 《张景中数学科普著作》《绕来绕去的向量法》 《直来直去的微积分》《怎样解题》《解题学引论》 《数学的源与流》《高考中的数学文化》 推荐作者：华罗庚，吴文俊，张景中，张楚廷，张顺燕， 沈文选，蒋声，谈祥柏，甘志国，易南轩等
相关链接： 1、 （2012 年福建理） 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. (1) sin 13 cos17 sin13 cos17
2
(2) sin 15 cos15 sin15 cos15
2
(3) sin 18 Fra Baidu bibliotek cos12 sin18 cos12
2、 （2008 年江苏） ．若 AB=2, AC= 2 BC ，则 SABC 的最大值
．
解：由已知条件，建立以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴的平面直角坐标系，则 A(-1,0) B(1,0),设 C(x,y),则 (x 1)2 y2 2 (x 1)2 y2 ，化简得 C 的轨迹为圆：
延伸推广： 阿波罗尼亚斯圆，圆的第二定义：在平面内到两个定点的距离之比为一个不等于 1 的常数的 点的轨迹为圆（称为阿波罗尼亚斯圆）
相关链接： 1、(2003 北京文)设 A(c,0),B(c,0)，c>0 为两定点，动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距 离比为定值 a(a>0),求点 P 的轨迹。
例1：已知在三角形ABC中有点L，满足
LBC LCA LAB
A
L
B
C
求证：
A
L
B
C
求证：三角形ABC的三边成等比数列
1 1 1 1 例2： 若a b c d x b c d a 试求 x的值（ 其中 a , b, c , d互不相等）
解:（罗增儒教授解法）利用函数迭代的思想， 将b，c，d全部用含有x与a的代数式表示，构建 方程式，将高次式因式分解，求出x
2、盲目培训者多，自主研究者少
3、题目刷得很多，方法探索较少
二、当今高中学生数学学习现状原因分析：
1、数学学科本身难度的原因 2、数学教材内容设置的原因 3、数学教师课堂教学的原因
三、当今高中数学教学现状：
1、老师讲授多，学生自主少
2、老师包办多，学生思考少 3、教辅资料多，教材研究少 4、题型模式多，探究思考少 5、学术味道多，教育味道少
3 x1 x2 x3 0, y1 y2 y3 0 求证： x1 x 2 x3 y1 y 2 y3 2
2 2 2 2 2 2
y
B
A x
C
证明：如图，设单位圆的圆心为 O,连 AB,BC,CA,AO,BO,CO,又设 ABC 的重心为 G,则
（ G
x1 x 2 x3 y1 y 2 y 3 , ) G (0,0) ，而 ABC 的外心为 O(0,0) 故 ABC 为正三角形 3 3
2 , 3
AOB BOC COA
由此可设 x1 cos , y1 sin x 2 cos(
x3 cos(
2 2
2 4 ) cos 2 ( ) 3 3 4 8 1 cos(2 ) 1 cos(2 ) 1 cos2 3 3 = 2 2 2
sin 2 A sin 2 B sin B sin C 又 sin 2 A sin 2 B sin( A B)sin( A B) sin( A B)sin( A B) sin B sin( A B) sin( A B) sin B A 2 B
(3)把水平提高，不故弄玄虚
示例1：数列通项公式求法中的不动点与特征根
xn 1
4 xn 3 xn 2
x1 2
4xn 3 ( 4) xn (2 3) xn 1 + xn 2 xn 2
2 3 ( 4)(xn ) 4 xn 1 + xn 2
2 2
分析上述各式的共同特点，写出一个能反应一般规律的等式，并对等式的正确性做出证明。
延伸推广： 几个比较典型的三角恒等式：
3 （1） sin cos ( 30 ) sin cos( 30 ) 4
2 2
2 4 （2） sin sin( ) sin( ) 0 3 3 2 4 3 2 2 2 （3） sin sin ( ) sin ( ) 3 3 2 2 4 9 4 4 4 （4） sin sin ( ) sin ( ) 3 3 8
a2 b(b c) A=2B
相关链接： 1、 （ 2006 年 四 川 ） 设 a、b、c 分 别 为 ABC 的 三 内 角 A、B、C 所 对 的 边 ， 则
a2 b(b c) 是 A=2B 的
（A）充要条件 （C）必要而不充分条件 2 解： a b(b c ) （B）充分而不必要条件 （D）既不充分也不必要条件
2
(4) sin (18) cos 48 sin(18)cos 48
2
(5) sin (25) cos55 sin(25)cos55
2
Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
2、(2011 年北大保送生考试第五题) 在 单 位 圆 x 2 y 2 1 上 有 三 点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 ) 满 足 ：
2
点评：简洁，漂亮，对称，美观
例3：数学代数式结构的对称美
例4：数学代数式结构的对称美、和谐美
例5：三余弦，四个面都是直角三角形四面体
例6：正四面体模型
例7：抛物线焦点弦模型
例8：组合计数中的模型
例9：极化恒等式模型
例10：数与形最哲学的转换
3、教给学生思想的数学，文化的数学，温情的 数学---做有品位，有情怀的数学老师。
1 1 (x 3) y (2 2) ，依此 SABC 的最大值= AB r 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2、 课本原题： 人教 A 版必修四第 138 面 B 组第 3 题： 观察以下各等式：
3 sin 30 cos 60 sin 30 cos 60 , 4 3 2 2 sin 20 cos 50 sin 20 cos 50 , 4 3 2 2 sin 15 cos 45 sin 15 cos 45 . 4
数学奖项：菲尔兹奖，沃尔夫奖，阿贝尔奖，陈省身 奖，华罗庚奖，钟家庆奖等等 数学名家：中国古代，中国现代，国外数学家（法国） 的成长故事，吴文俊《世界著名科学家传记-数学家
1.2》等等
数学名题：哥德巴赫猜想，费马大定理，“3x+1”黑洞
问题，哥斯尼堡七桥问题，四色定理问题，几何作图
的三大难题等等 数学拓展：课本中涉及到的数学文化知识：
点评：容易想到，但变形复杂，容易出 错，过程繁难
(学生解法)由已知得： 1 1 1 a x ， x d ( x )( x d ) 1 b a b 1 1 1 c x ， x b ( x )( x b ) 1 d c d 2 （ bx 1)( x d ) b bx (bd 1) x d b (dx 1)( x b) d dx 2 (bd 1) x b d 两式相减得 : ( b d ) x 2(b d ), b d x 2
(1)把慨念讲清，永远不忘本
例2、如图，AB为圆的直径，AB=8， AC=CD=2,试求线段BD的长度
C A
D
等价
C
D B
B
转化
A H
例3：有关极值，极值点的定义理解
(2)把教材吃透，四两拨千金
教材是最重要的课程资源，老师要带领学生对 教材这一资源进行认真开发，很多美妙的试题 与有趣的性质都藏在教材中，等着我们去发现
因为以上步步可逆，故 a
2
b(b c) A=2B ，因此本题选 A
2． （2005 年上海交大保送生考试数学试题）是否存在三边为连续自然数的三角形，使得 (1) 最大角是最小角的两倍； (2) 最大角是最小角的三倍；若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由． 解：(1)设三角形的三边长分别为 n-1，n，n+1（n 2）,由上题的结论可知： (n+1)2=(n-1)(n-1+n),解得 n=5,故存在这样的三角形，它的三边长为 4,5,6 （2）设最大角为 3 ，最小角为 ，三角形的三边长分别为 n-1，n，n+1（n 2） ，则由 正弦定理得：
n 1 n 1 n 2n n sin 3 sin sin 4 sin 3 sin sin 4
2n n 2 1 1 33 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos cos 2 8
而有题目的已知条件可得 cos 的值应该为一有理数，故矛盾，因此不存在这样的三角形.
2 2 2 2 2 2
2 2 2
又 x1 x2 x3 y1 y2 y3 3 ，故 y1 y 2 y 3 3
3 3 2 2
x1 x 2 x3 y1 y 2 y 3
2
2
2
2
2
2
3 2
3、 （2010 年清华大学自主招生试题） ： 求 sin 10 sin 50 sin 70 的值
2+3 = +4
示例2：四点共面的充要条件
示例3：三视图还原问题
2、教给学生最美的数学，最模型的数学，最 哲学的数学---做有方法、有研究的数学老师
(1)数学是符号语言的科学，特别讲究结构的整体性 和模型化. (2)数学是人类文化的精华，她的呈现形式特别的美 观：简洁美，对称美，和谐美，奇异美. (3)数学思想方法无处不在，数形结合方法特别哲学
高三数学三轮复习备考策略
长郡中学 王毅
广州
2017年9月17日
1401班张騄同学勇夺第58届IMO金牌， 实现了长郡中学五科竞赛的大满贯！
1402班赵丛丛同学（左起第二人）以698 分获得2017年高考长沙市理科状元！
第一部分：高一高二高三 一轮常规教学的做法
一、当今高中学生数学学习现状：
四、该教给学生怎样的中学数学教育：
老师教得轻松，学生学得愉快； 学生不怕数学，考试能得高分； 教育留下痕迹，文化影响终生；
孙维刚老师：八方联系，浑然一体， 漫江碧透，鱼翔浅底。 让聪明孩子更聪明，让不聪明的孩子变得聪明！
1、教给学生最通俗，最清晰，最自然的数学 --------做有个性、高效率的数学老师
4 4 4
9 解：原式= ，本题就是三角恒等式（4）的特殊情况 8
7、课本原题： 人教 A 版必修五第 25 面 B 组第 3 题： 研究一下，是否存在一个三角形具有以下性质： （1） 三边是连续的三个自然数 （2） 最大角是最小角的 2 倍 延伸推广： 三角形中的二倍角问题，设 a、b、c 分别为 ABC 的三内角 A、B、C 所对的边，则
则 x1 x 2 x3 cos cos (
2 2 2
4 4 ), y 3 sin( ) 3 3
2 2 ), y 2 sin( ) 3 3
=
3 1 2 2 3 1 2 3 cos 2 cos(2 ) cos(2 ) (cos2 2 cos 2 cos ) 2 2 3 3 2 2 3 2
倍角三角形，布罗卡点，阿波罗尼斯圆，斐波那契
数列，两个重要极限，无理数e，杨辉三角，函数的
凹凸性，神奇的圆锥曲线（闻杰老师），不动点与
稳定点等等
数学名著：《中国初等数学研究》，《好玩的数学》 《华罗庚数学科普著作》《中学生数学视野丛书》， 《张景中数学科普著作》《绕来绕去的向量法》 《直来直去的微积分》《怎样解题》《解题学引论》 《数学的源与流》《高考中的数学文化》 推荐作者：华罗庚，吴文俊，张景中，张楚廷，张顺燕， 沈文选，蒋声，谈祥柏，甘志国，易南轩等
相关链接： 1、 （2012 年福建理） 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. (1) sin 13 cos17 sin13 cos17
2
(2) sin 15 cos15 sin15 cos15
2
(3) sin 18 Fra Baidu bibliotek cos12 sin18 cos12
2、 （2008 年江苏） ．若 AB=2, AC= 2 BC ，则 SABC 的最大值
．
解：由已知条件，建立以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴的平面直角坐标系，则 A(-1,0) B(1,0),设 C(x,y),则 (x 1)2 y2 2 (x 1)2 y2 ，化简得 C 的轨迹为圆：
延伸推广： 阿波罗尼亚斯圆，圆的第二定义：在平面内到两个定点的距离之比为一个不等于 1 的常数的 点的轨迹为圆（称为阿波罗尼亚斯圆）
相关链接： 1、(2003 北京文)设 A(c,0),B(c,0)，c>0 为两定点，动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距 离比为定值 a(a>0),求点 P 的轨迹。
例1：已知在三角形ABC中有点L，满足
LBC LCA LAB
A
L
B
C
求证：
A
L
B
C
求证：三角形ABC的三边成等比数列
1 1 1 1 例2： 若a b c d x b c d a 试求 x的值（ 其中 a , b, c , d互不相等）
解:（罗增儒教授解法）利用函数迭代的思想， 将b，c，d全部用含有x与a的代数式表示，构建 方程式，将高次式因式分解，求出x