概率论 随机变量的函数及其分布

p X [ f 1 ( y )] [ f 1 ( y )] , 0 y , pY ( y ) 其他 . 0，
1 [ f 1 ( y )] , 0 f 1 ( y ) 1, 其他 . 0, 1 1 , 0 ln y 1, y 其他 . 0, 1 , 1 y e, y 0, 其他 .
证 F ( x )是分布函数
0 F ( x ) 1, 且F ( x )单调不减
依题意， 又知 F ( x )严格单调增加
故 y R,
FY ( y ) P{Y y } P { F ( X ) y }
FY ( y ) P{Y y } P{ F ( X ) y } y 0, P ( ), P{ F ( X ) y }, 0 y 1, P ( ), y 1. y 0, 0, P{ X F 1 ( y )}, 0 y 1, 1, y 1.
且恒有f ( x ) 0(或恒有f ( x ) 0), 则Y f ( X )是连
续型随机变量，其概率 密度为
p X [ f 1 ( y )] [ f 1 ( y )] , y , pY ( y ) 0, 其它. 其中 f 1 ( y ) 是 f ( x ) 的反函数, ( , )是f 1 ( y )的定义域，
y 0, 0, 0, 0 y 1, FY ( y ) ln y , 1 y e, y e. 1,
从而
d FY ( y ) pY ( y ) dy
1 , 1 y e, y 0, 其他 .
例6 设圆的直径服从区间(0,1)上的均匀分布
P{ Y } P{ Y y } 0 P{ Y y }
于是
FY ( y ) P{Y y}
( y )
P{ X f 1 ( y )}

f 1 ( y )

pX ( x ) d x
FY ( y )
f 1 ( y )
由公式
pY ( y ) p X [ f 1 ( y )] [ f 1 ( y )]
得
Y aX b 的概率密度为
yb . a
1 yb pY ( y ) p X ( ), a a
1 1 a 2 πσ
1 a σ 2π
yb ( μ )2 a 2 2 σ e
y 0, 0, 0, y 0 , 1 F [ F ( y )], 0 y 1, y , 0 y 1, 1, 1, y 1. y 1 .

pY ( y ) [ FY ( y )]
1, 0 y 1, 0, 其他 .
( y) [ pY ( y ) FY
p X ( x ) d x ]
y 8 y 8 p ( y 8) 1 pX ( )( ) X 2 2 2 2
y8 1 pY ( y ) p X ( ) 2 2
x , 0 x 4, pX ( x ) 8 0, 其它.
故 Y 的分布律为
Y P
4
1
2
1 6
1 3
1 2
由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.
离散型随机变量的函数的分布律 如果X是离散型随机变量，其 函数Y f ( X )
也是离散型随机变量， 若X的分布律为
X
x1
p1
x2
p2


xk
pk


pk
则Y f ( X )的分布律为
Y f (X )
积Y πX 2 / 4的密度函数为
p X ( 4 y / π ) | 1 / πy |, pY ( y ) 0,
1 , πy 0,
0 y π / 4, 其他.
0 y π / 4, 其他.
例8 设随机变量 X分布函数 F ( x )是严格
单调的连续函数，试 证明：Y F ( X )在[0,1] 上服从均匀分布.
pk
f ( x1 ) f ( x2 ) p1 p2
f ( xk ) pk
若 f ( xk ) 中有值相同的 , 应将相应的 pk 合并.
例2 设
X
1
1 6
1
2 6
2
3 6
pk
求Y X 2 5的分布律 .
解
Y 的分布律为 Y X2 5
Y
4
1
4
1
1
2
X
p
pk
4 1 2
第三节 随机变量的函数 及其分布(1)
(单个随机变量的函数的分布)
一、问题的提出 二、离散型随机变量 的函数的分布 三、连续型随机变量 来自函数的分布下 回停
一、问题的提出
在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣. 例如，已知圆柱截面直径 d 的分布
πd 2 求截面面积A 的分布. 4
已知 t = t0 时刻噪声电压 V 的分布
求随机变量Y 2 X 8的概率密度.
解 1º 先求Y=2X+8 的分布函数 FY ( y ).
FY ( y ) P{Y y } P{2 X 8 y }
y8 P{ X } 2
y8 2
y8 2
pX ( x ) d x
2º 由分布函数求概率密度.

pX ( x ) d x
( y )
当 y 时， d FY ( y ) pY ( y ) dy d f 1 ( y ) [ pX ( x ) d x] d y
p X [ f 1 ( y )] [ f 1 ( y )]
对于 f ( x ) 0的情形可作类似的证明 .
方法2 (分布函数法)
FY ( y ) P {Y y } P {e X y }
y 0, P ( ), P{ X ln y }, y 0. y 0, 0, ln y p X ( x ) d x , y 0. ln y 0, 0, ln y ln y 当 y 0 时， p X ( x ) d x p X ( x ) d x , 0 ln y 1, 1 p X ( x ) d x , ln y 1.
1 1 2 1 + 6 6 2
3 6
三、连续型随机变量的函数的分布
设 X是连续型随机变量 , Y f (X )
下面给出两种方法来求Y的概率密度函数 1. 分布函数法 先求 : FY ( y )
再求 :
( y ). pY ( y ) FY
例3 设随机变量X的概率密度为
x , 0 x 4, 8 pX ( x ) 其它. 0,
即Y F ( X )服从[0， 1]上的均匀分布.
内容小结
1. 离散型随机变量的函数的分布 如果 X 是离散型随机变量 , 其函数 Y f ( X )
也是离散型随机变量 .若 X 的分布律为
X
x1
p1
x2
p2


xk
pk


pk
Y f (X )
则 Y f ( X )的分布律为
pk
f ( x1 ) f ( x2 ) p1 p2
随机变量Y = f (X)的分布？
例1 设离散型随机变量 X 的分布律
X
3
0
3
1 2
1 1 P 6 3 求Y=X-1的分布律.
解 Y 的可能取值为－4，－1，2.
1 P{Y 4} P{ X 3} 6 1 P{Y 1} P{ X 0} 3
1 P {Y 2} P { X 3} 2
y8 1 y 8 1 ) , 0 4, ( 8 2 2 2 其它. 0,
y8 , 8 y 16, 32 其它. 0,
2. 公式法 定理 (例2.18) 设随机变量X具有概率密度 pX ( x ), 其中 x .又设函数f ( x )在（a , b）上可导，
例4 设随机变量X ~ N ( , ), 试证明X的线性函数
2
Y aX b( a 0)也服从正态分布
证 X 的概率密度为
( x μ )2 2σ 2
1 pX ( x ) e 2πσ
, x .
设 y f ( x ) ax b,
得x f
1
1 yb 1 ( y) , 知 [ f ( y )] 0. a a
f ( xk ) pk
若 f ( xk ) 中有值相同的 , 应将相应的 pk 合并.
2. 连续型随机变量的函数的分布 方法1 FY ( y ) P{Y y } P{ f ( X ) y }

f ( x ) y
p X ( x )dx
( x )
ln y 0, 0, ln y p X ( x ) d x , 0 ln y 1, 0 1 pX ( x ) d x, ln y 1. 0 ln y 0, 0, ln y 1 d x , 0 ln y 1, 0 1 1d x , ln y 1. 0 y 1, 0, ln y , 1 y e, 1, y e.
1 [ f ( y )] , 当 f ( x ) 0时, 1 [ f ( y )] 1 [ f ( y )] , 当 f ( x ) 0时.
证 若 f ( x ) 0,
则 y f ( x )单调增加，且其反函数
x f 1 ( y )在( , )上单调增加.
[ y ( b aμ )]2 2( aσ )2
得 Y aX b ~ N ( aμ b, ( aσ ) )
, y .
2
e
例5
设 X ~ U ( 0,1), 求 Y e X 的密度函数.
解 X ~ U ( 0,1)
X的密度函数为 1, x (0,1), pX ( x ) 0, x (0,1). 方法1 (公式法) y e x 在( , )上可导，单调增加 1 1 1 x f ( y ) ln y , [ f ( y )] y
求圆的面积的密度函数. 解 设圆的直径为X，则圆的面积Y πX 2 / 4, 而X的
密度函数为
1, pX ( x ) 0, 0 x 1, 其他.
因为y g( x ) πx 2 / 4在区间（ 0， 1）上为严增函数其
反函数为x h( y ) 4 y / π, h( y ) 1 / πy , 所以圆面
0
t0
t
求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等.
设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) (设g 是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分
布？这个问题无论在实践中还是在理论上都
是重要的.
下面我们分离散型和连续型两种情况进 行讨论.
二、离散型随机变量的函数的分布
设 f (x)是定义在随机变量X 的一切可能值 x 的集合上的函数，若随机变量Y随着X取x的值 而取y=f(x)，则称随机变量Y为随机变量X的 函数，记为Y=f(X). 问题 如何根据已知的随机变量 X 的分布求得
当 y 时，FY ( y ) P{Y y} 0; 当 y 时，FY ( y ) P{Y y } 1;
d FY ( y ) pY ( y ) 0. dy
当 y 时，FY ( y ) P{Y y}
FY ( y ) P{Y y }