(完整版)平方根和立方根经典讲义

内容

基本要求

略高要求

较高要求

平方根、算术平方根

了解平方根及算术平方根的概念，

会用根号表示非负数的平方根及算术平方根 会用平方运算求某些非负数的平方根

立方根 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根

会用立方根运算求某些数的立方根 实数

了解实数的概念

会进行简单的实数运算

实数可按下图进行详细分类：

0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪

⎪

⎪

⎪

⎪⎪

⎪

⎨

⎬

⎩

⎪

⎪

⎪⎪

⎧⎨

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪⎩

⎭

⎩⎪

⎪

⎫

⎧⎪⎪⎨⎬

⎪⎪⎩⎭⎩

正整数整数负整数有理数

有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数

实数与数轴上的点一一对应

.

(以下概念均在实数域范围内讨论

) 平方根的定义及表示方法：

如果一个数的平方等于a

，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若

2x a

=，则x

就叫做a 的平方根．

一个非负数

a 的平方根可用符号表示为

“

a

”．

算术平方根：

一个正数a

有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为

a ；

有一个平方根，就是0，

0的算术平方根也是0

，负数没有平方根，当然也没有算术平方根

.

知识点睛

中考要求

平方根和立方根

一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥0a .

平方根的计算：

求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．

开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．

通过验算我们可以知道：

⑴ 当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． ⑵ 平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：

①若0a ≥，则2()a a =；②不管a 2(0)

||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩

注意二者之间的区别及联系．

⑶若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<1a 2a 之间，即：120a a a ≤<范围．

立方根的定义及表示方法：

如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根， 一个数a 的立方根可用符号表3a ，其中“3”叫做根指数，不能省略. 前面学习的a 其实省略了根指数“2”2a a 3

a “三次根号a ”2a “二次根号a ”a “根号a ”.

任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，

正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.

立方根的计算：

求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．

通过归纳我们可以知道：

⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍． 33a a =，33()a a =

⑶若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间，即12a a a <<， 31a 32a 33312a a a < 利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围．

重、难点

难点：平方根的性质

【例1】 判断下列各题，并说明理由

819±． ( ) a ( ) ⑶2a 的算术平方根是a ． ( ) ⑷ 2()5a -，则5a =-. ( ) 93=±. ( ) ⑹ 6-是2(6)-的平方根． ( ) ⑺ 2(6)-的平方根是6-．

( )

⑻ 若236x =，则366x =±=±. ( ) ⑼ 若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) ⑽ 如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． ( ) ⑾ 算术平方根一定是正数． ( ) ⑿ 2a -没有算术平方根． ( ) ⒀ 64的立方根是4±． ( )

⒁ 1-是1

6-的立方根． ( )

⒂ 33x x ． ( ) ⒃ 互为相反数的两个数的立方根互为相反数． ( ) ⒄ 正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根． ( )

【例2】 ⑴ 若22(2)a =-，则a = ；若22()(3)x -=-，则x = .

⑵ 22x +，则(25)x +的平方根是 ；若25x =，则x = .

⑶ 2

1a =-，则a ；若20a a =，则a . ⑷ 当0m <，2m 的算术平方根是 .

⑸ 2()a b -算术平方根是a b -，则a b .

⑹ 若一个自然数的一个平方根是m ，那么比它大1的自然数的平方根是 .

⑺ 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是

，立方根等于它本身

的数是 ；平方根与立方根相等的数是 .

例题精讲

⑴21

(51)30x --=； ⑵3(100.2)0.027x -=-

3312573511164168

---

33321600010.125-

【例4】 已知某正数的两个平方根是35a -与1a +，求这个正数．

【例5】 已知3(2)27a b +=-235a b -=，求21(3)n a b ++的值(n 为正整数).

【例6】 求22221995199519961996+⋅+的平方根.

【例7】 (人大附单元测试)已知a 为实数，且满足200201a a a --=，求2200a -的值.