二重积分的计算小结

二重积分的计算小结

一、知识要点回顾

1．二重积分的定义；

2.二重积分的几何意义及其物理模型。 二重积分

⎰⎰)

(σσd y x f ),(的几何意义就是以)(σ为底，以)(s 为顶的曲顶柱体的

体积，其物理模型就是一个曲顶柱体。 3.二重积分在直角坐标系下的计算

（1）若积分区域D 是由两条直线x=a,x=b,以及两条曲线y= φ1(x),y= φ2(x) (φ1(x)

≤φ2(x),a ≤x ≤b)所围成，则

dxdy y)f(x D ⎰⎰)

(, =⎰b

a

dx

dy y)f(x x x ⎰)

2(φφ

)

(1,

（2）若区域D 是由两条直线y=c,y=d 以及两条曲线x=φ1(y),x=φ2(y)(φ1(y) ≤φ2(y), c ≤y ≤d)所围成，则

⎰⎰

=

D

y)dxdy f(x ,dx y)f(x dy d

c

y y ⎰

⎰

)

2()

1(φφ,

4.极坐标下二重积分的计算法

x=θcos r ,y=θsin r

如果区域D 是由从极点出发的两条射线αθ=，βθ=（α<β）和两条曲线

)(2),(1θθr r r r == （)(1θr <)(2θr ）所围成，则

dr rd )r f(r y)dxdy f(x D

D

θθθ⎰⎰

⎰⎰=sin ,cos ,

rdr )r f(r d r r ⎰⎰

=

βαθθθθθ)

(2)

(1sin ,cos

5．曲线坐标下二重积分的计算法

设函数),(),,(v u y y v u x x ==在直角坐标平面v O u '上的封闭区域D '上连续，有一阶连续偏导数，而且雅克比行列式

)

()()

()()

()()

()

()

,(),(v y u y v x u x v u y x J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=

则

⎰⎰

=

D

y)dxdy f(x ,⎰⎰

D

dudv J v u y v u f(x )),(),,(

二．二重积分的计算举例

1.． 计算二重积分dxdy y y

D ⎰⎰sin ，其中D 为由直线x

y =与曲线2

y x =所围成的区域．

解：画出积分域如图所示 解方程组

{

2,

x y x y ==

解得图中的两个交点为)1,1(),0,0(，D 可表示为D=},10|),{(2

y x y y x y ≤≤≤≤， 于是

.

1sin 1sin sin sin )(sin sin 1

10

102102-=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ydy y ydy dy y y y y dx y y dy dxdy y y y y D

2.计算二重积分dxdy D

2

2y

x y x ⎰⎰

++2

2

)sin(π

的值，其中积分区域为}41|){(2

2

≤+

≤=y

x y x,D 。

图4

解：由对称性可以只考虑第一象限的积分域 采用极坐标。则积分区域变为

πθρθρ2≤≤≤≤=0,21|){(,D } 于是

4

)2

(4)sin(4

)

sin()sin(20

221

2

2

-=-===++

⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰

θ

θπ

ρ

πρθθ

ρρρ

πρπ

π

π

d d d d d dxdy D

D

2

2

y

x y x

3，计算二重积分dxdy D

x

y x y e

⎰⎰+-的值的大小，其中D 是由x 轴，y 轴以及x+y=2所围成

的封闭区域。

解： 如图1，由题意，可设

x y v x y u +=-=, 则可得

2u v x -=

，2

u

v y +=

;

22;0;0=→=+-=→==→=v y x v u y v u x 由由由 图2

所以积分区域变为图2中的封闭区域，从而

=∂∂=v)(u y x,J ,)(

所以

,212

12

121

2

1

-=-

e

e e e e e e vdv du v v v u dv dvdu

dxdy x y x

y D v

u

D 1

)120

21202121(-'-=--=-=-=

+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

4．设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他

当00,21,,2x

y x y y)f(x x ，求

dxdy y)f(x D

⎰⎰

,，其中}2|),{(2

2

x y x D y

x ≥+

=。

解：积分区域为圆

12

2)1(=+

-y

x 以外的部分

设图中阴影区域为 D 0=}2,21|),{(2

x y x x y x x

≤≤-≤≤

于是

20

4912)45()()()]2([2

10,,,3

5

2

13

422

1

2

2

2212

21

22

2

2

=

-=-=-=--==+=+=⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰⎰⎰

-

--x x x x x x

x x x x x dx dx x dx x ydy

x

dx dxdy

ydxdy dxdy

y)f(x dxdy y)f(x dxdy

y)f(x x x D D D D D D D

5．计算二次积分

⎰

⎰⎰⎰

-----+=2

22

2

2

2

2

2

y R x R

R y y

x R

y dx

e dy e

dx e

dy e

I ．

分析 若直接计算题目所给的二次积分，将首先遇到求2

x

e -的原函数的问题，它是无法

计算的，因此，应将二次积分先还原为二重积分，再根据积分区域的特点，选择适当的方法．

解 由所给的二次积分，我们得积分区域21D D D ⋃=，其中

图6