数列的性质和递推公式
高中数学必修5数列的递推公式
典型例题解析
例题1
已知等差数列{an}中， a1=2，d=3，求a10。
解析
根据等差数列的通项公 式an=a1+(n-1)d，代 入n=10，a1=2，d=3 ，可得a10=2+(101)×3=29。
例题2
已知等差数列{an}中， a3=7，a7=15，求a5 。
解析
根据等差数列的性质， a5=(a3+a7)/2=(7+15 )/2=11。
递推关系性质
递推关系具有确定性，即对于给 定的初始条件和递推公式，数列 的每一项都是唯一确定的。
递推关系建立
01
等差数列递推关系
等差数列的递推关系为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项 ，d为公差，n为项数。
02
等比数列递推关系
等比数列的递推关系为an=a1×qn-1，其中a1为首项， q为公比，n为项数。
，r是公比。
调和数列
调和数列是每一项都是其前一项 的倒数与1的和的数列。递推公 式为1/a_n = 1/a_(n-1) + 1/b，
其中a_1 = b。
05 递推公式在实际问题中应用
数学问题应用举例
等差数列求和
数列通项公式求解
利用递推公式可以快速求解等差数列 的前n项和，如求1+2+3+...+n的和 。
03
其他类型数列递推关系
对于非等差非等比数列，需要根据具体题目条件建立相 应的递推关系。
初始条件确定
初始条件定义
初始条件是数列中已知的第一项或前 几项，用于启动递推过程。
初始条件确定方法
根据题目给出的条件或已知信息，确 定数列的初始条件。例如，题目中可 能会直接给出首项a1和公差d或公比q 等参数。
初中数学知识归纳数列的概念与常见数列的计算
初中数学知识归纳数列的概念与常见数列的计算数列是数学中非常重要的概念之一，它在初中数学中占有重要地位。
本文将对数列的概念进行归纳，并介绍一些常见数列的计算方法。
一、数列的概念数列是由一列有序的数按照一定规律排列而成的。
数列中的每一个数称为该数列的项，项的位置称为项号。
常用的表示数列的方法有两种：1. 通项公式：一般形式为an，表示第n项的值。
例如：an = 2n表示一个等差数列，首项为2，公差为2；2. 递推公式：一般形式为an+1 = an + d，表示第n项与第n+1项之间的关系。
例如：an+1 = an + 2表示一个等差数列，公差为2。
二、等差数列等差数列是最常见的数列之一，其中相邻两项之差都相等。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
例如，考虑等差数列1, 3, 5, 7, 9，其中a1 = 1，d = 2。
根据通项公式可以计算出该数列的第n项的值。
三、等比数列等比数列是相邻两项之比都相等的数列。
等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
例如，考虑等比数列1, 2, 4, 8, 16，其中a1 = 1，r = 2。
根据通项公式可以计算出该数列的第n项的值。
四、斐波那契数列斐波那契数列是数列中的一种特殊形式，每一项都是前两项的和。
即F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1) = F(2) = 1。
斐波那契数列的前几项为1，1，2，3，5，8，13，21...五、算术数列与等差数列的计算算术数列的计算主要涉及到等差数列的各种性质，如首项、公差、项数等。
可以利用下列公式进行计算：1. 首项a1 = an - (n-1)d；2. 项数n = (an - a1)/d + 1；3. 求和Sn = (a1 + an) * n / 2。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，可以计算出该数列的首项a1 = 1，公差d = 2，项数n = 5，和Sn = 25。
数列的递推公式和通项公式总结
数列的递推公式和通项公式总结一、数列的概念1.数列：按照一定顺序排列的一列数。
2.项：数列中的每一个数。
3.项数：数列中数的个数。
4.首项：数列的第一项。
5.末项：数列的最后一项。
6.公差：等差数列中，相邻两项的差。
7.公比：等比数列中，相邻两项的比。
二、数列的递推公式1.等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的递推公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的递推公式：an = an-1 + an-2–an：第n项–an-1：第n-1项–an-2：第n-2项三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：an = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]–an：第n项四、数列的性质1.收敛性：数列的各项逐渐接近某个固定的数。
2.发散性：数列的各项无限增大或无限减小。
3.周期性：数列的各项按照一定周期重复出现。
五、数列的应用1.数学问题：求数列的前n项和、某项的值、数列的收敛性等。
2.实际问题：人口增长、贷款利息计算、等差数列的求和等。
六、数列的分类1.有限数列：项数有限的数列。
2.无限数列：项数无限的数列。
3.交错数列：正负交替出现的数列。
4.非交错数列：同号连续出现的数列。
5.常数数列：所有项都相等的数列。
6.非常数数列：各项不相等的数列。
综上所述，数列的递推公式和通项公式是数列学中的重要知识点，通过这些公式，我们可以求解数列的各种问题。
同时，了解数列的性质和分类，有助于我们更好地理解和应用数列。
习题及方法：1.习题一：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
答案：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 18 = 21解题思路：利用等差数列的递推公式an = a1 + (n-1)d，将给定的首项和公差代入公式，求得第10项的值。
数列的定义与性质
第5章 数列知识点一、数列的通项公式 1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)． 2．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．数列的递推公式如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n ＝f (a n －1)(或a n ＝f (a n －1，a n －2)等)，那么这个式子叫做数列{a n }的递推公式． 4．S n 与a n 的关系已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，这个关系式对任意数列均成立．二、数列的性质 数列的分类三、等差数列基本量的计算 1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋(1)2n n −d ＝1()2n n a a +．四、等差数列的基本性质及应用 等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d ．(5)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，遇见S 奇，S 偶时可分别运用性质及有关公式求解．(6){a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1．(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12．五、等比数列基本量的计算 1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q ．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab ．2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n -1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q ，q ≠1. 六、等比数列的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *．特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *．对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a 1a n ＝a 2a n －1＝…＝a k a n －k ＋1＝…．(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列． (4)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n ．(5)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列，其公比为q k ． (6)若a 1a 2…a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n，…成等比数列． (7)若数列{a n }的项数为2n ，S 偶与S 奇分别为偶数项与奇数项的和，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q ． 七、数列求和1．公式法与分组转化法 (1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． (2)分组转化法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减． 2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式就是用此法推导的． (2)并项求和法在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050． 3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．第5章 数列（1）一、选择题1．在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的( ) A ．第16项 B ．第24项 C ．第26项 D ．第28项2．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝ ( ) A ．6116 B ．259 C ．2516 D ．31153．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )A ．100B ．110C ．120D ．1304．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( )A ．3(3n －2n )B ．3n ＋2C ．3nD ．3·2n －15．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n ∈N *，a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 1413－a 1314＝( )A ．－27B ．27C ．－37D ．377．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n5．则b 10等于( )A ．15B ．17C ．19D ．218．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x ＋2，x ≤2，a 2x 2－9x ＋11，x >2(a >0且a ≠1)，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．⎣⎡⎭⎫83，3 C ．(2，3) D ．(1，3)9．对于数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有x n ＋x n ＋22<x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设b n＝2t －tn －12n －1，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，则实数t 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1]10．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝⎛⎭⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－32λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．λ＜45 B ．λ＜1 C ．λ＜32 D ．λ＜23二、填空题11．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．12．若a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n >0，且na 2n ＋1－(2n －1)a n ＋1a n －2a 2n ＝0．设M (x )表示整数x的个位数字，则M (a 2017)＝________．13．若数列{a n }满足a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2且n ∈N *)，则a 2016等于________．14．已知各项均为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2＋14，a 1＝72，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的n ∈N *，不等式12k12＋n －2S n≥2n －3恒成立，则实数k 的取值范围为________．三、解答题15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有a n ＝34S n ＋2成立．记b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的通项公式．16．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11000成立的n 的最小值．第5章 数列（2）一、选择题1．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则a 10等于( ) A ．18 B ．20 C ．16 D ．222．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．33．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？( ) A ．18 B ．20 C ．21 D ．254．已知等差数列{a n }的前10项和为30，a 6＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．958 C ．948 D ．185．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n a n ＝n ＋12，则下列结论中正确的是( )A ．a 2a 3＝2B ．a 2a 3＝32C ．a 2a 3＝23D ．a 2a 3＝136．已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．0 D ．－507．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2016B ．2017C ．4032D ．40338．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(ɡuǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115．146寸表示115寸146分(1寸＝10分)．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130．0寸，夏至晷影长为14．8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A ．72.4寸B ．81.4寸C ．82.0寸D ．91.6寸9．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a na n．若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．[－8，－7)C ．(－8，－7]D ．[－8，－7]10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( )A ．10B ．9C ．5D ．4 二、填空题11．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 12．已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0，2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝________．13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为________． 14．已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n ＝S 2n －1(n ∈N *)．若不等式λa n ≤n ＋8n 对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为________． 三、解答题15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．(1)若a ＝1，b ＝3，求sin C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，试判断△ABC 的形状． 16．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝12－a n(n ∈N *)．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等差数列，并求出{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n －1，数列{b n }的前n 项和为B n ，对任意n ≥2都有B 3n －B n >m20成立，求正整数m的最大值．第5章 数列（3）一、选择题1．已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．272．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ．1B ．－1C ．12D ．23．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．336．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4＝( )A ．1008B ．2016C ．2032D ．40327．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为( )A ．158或4B ．4027或4C ．4027D ．1588．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝120，9S 3＝S 6，设T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，则使T n 取最小值时n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．69．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．910．已知正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A ．32B ．53C ．256 D ．不存在二、填空题11．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．12．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝______． 13．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2×3n －1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________．14．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是第________项． 三、解答题15．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝14，数列{b n }满足b 1＝1，b 4＝6，且{a n －b n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，都有b n ≤b k 成立，求正整数k 的值．16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *．已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1． (1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式．第5章 数列（4）一、选择题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则a n ＋100＋a n －98＝( )A ．8n ＋6B ．4n ＋1C ．8n ＋3D ．4n ＋32．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．63．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5＝( ) A ．23 B ．278 C ．7 D ．2144．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，当n 为正奇数时，－n 2，当n 为正偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．1025．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2018项的和等于( ) A ．1512 B ．1513 C ．1513.5 D ．20186．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B ．12(9n －1)C ．9n －1D ．14(3n －1) 7．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2017的值为( )A ．20142015B ．20152016C ．20162017D ．201720188．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．299．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法中一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a 2017<0B ．若a 4>0，则a 2018<0C ．若a 3>0，则S 2017>0D ．若a 4>0，则S 2018>010．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( ) A ．1 B ．22 C ．－22D ．－3 二、填空题11．S n ＝1＋11＋111＋…＋＝________． 12．数列{a n }满足：a 1＝43，且a n ＋1＝4(n ＋1)a n 3a n ＋n(n ∈N *)，则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝________． 13．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．14．已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，若a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋12，a n 是奇数，3a n －1，a n 是偶数且S 3＝10，则S 2016＝________．三、解答题15．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4．(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列；(2)求数列{S n }的前n 项和T n ．16．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，a 2－1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前3项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝log 2b n b n －1a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n ． 17．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3．(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ．已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n ．18．在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1，a 5的等比中项为16．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<k对任意n∈N*恒成立，若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．。
数列的求和与递推公式
数列的求和与递推公式在数学中，数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
求解数列的和以及找到递推公式是数学中常见的问题，本文将介绍数列求和的方法以及递推公式的推导过程。
一、等差数列的求和与递推公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持相等的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an。
1.1 求和公式对于等差数列来说，我们可以通过求和的方法来快速计算数列的和。
等差数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到：Sn = (n/2) * (a + an)其中，n为项数，a为首项，an为第n项。
1.2 递推公式递推公式是求解等差数列中第n项的常用方法。
根据等差数列的性质，可以得出递推公式为：an = a + (n-1) * d其中，an为第n项，a为首项，d为公差，n为项数。
二、等比数列的求和与递推公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。
2.1 求和公式对于等比数列而言，我们可以通过求和的公式来计算数列的和。
等比数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，n为项数，a为首项，r为公比。
2.2 递推公式递推公式是求解等比数列中第n项的常用方法。
根据等比数列的定义和性质，可以得出递推公式为：an = a * r^(n-1)其中，an为第n项，a为首项，r为公比，n为项数。
三、斐波那契数列的求和与递推公式斐波那契数列是一种特殊的数列，在数学和自然界中都有广泛的应用。
斐波那契数列的定义如下：首项为1，第二项为1，之后的每一项都是前两项的和。
3.1 求和公式斐波那契数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到：Sn = Fn+2 - 1其中，Fn为斐波那契数列的第n项。
3.2 递推公式递推公式是求解斐波那契数列中第n项的常用方法。
根据斐波那契数列的定义和性质，可以得出递推公式为：Fn = Fn-1 + Fn-2其中，Fn为第n项，Fn-1为第n-1项，Fn-2为第n-2项。
数列递推公式
数列递推公式数列是数学中非常重要的概念，它描述了一组按照特定规律排列的数字。
数列常常通过递推公式来定义，递推公式表达了每一项与前一项之间的关系。
在本文中，我们将探讨数列递推公式的定义、性质以及应用。
一、数列递推公式的定义数列是由一组按照特定规律排列的数字所组成的序列。
数列中的每一项通常用a1, a2, a3等符号来表示，其中an代表第n个数字。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
对于有限数列，其最后一项是确定的；而对于无限数列，其具体项数是无穷大。
数列递推公式是数列中的每一项用其前一项表示的关系式。
数列递推公式常常写成an = f(an-1)，其中f是一个确定的函数。
递推公式表达了每一项与前一项之间的关系，通过这个关系，我们可以根据已知的前几项，推导出后面的项。
二、数列递推公式的性质1. 逐差性质：对于数列 {an}，如果有递推公式an = an-1 + d，其中d是常数，那么这个数列就具有逐差性质。
也就是说，每一项与前一项之差都是相等的。
2. 叠加性质：如果数列 {an} 和 {bn} 都有递推公式an = f(an-1) 和bn = g(bn-1)，那么它们的和的递推公式为cn = f(cn-1) + g(cn-1)。
3. 乘法性质：如果数列 {an} 有递推公式an = f(an-1)，那么其倍数的递推公式为an = kf(an-1)，其中k是常数。
三、数列递推公式的应用数列递推公式在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
以下是数列递推公式的一些应用示例：1. 斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 斐波那契数列是一个经典的数列，满足递推公式an = an-1 + an-2。
它在自然界中常常出现，比如花瓣的排列、兔子的繁殖等。
2. 等差数列：1, 4, 7, 10, 13, ... 等差数列是一个对应项之差都相等的数列，满足递推公式an = an-1 + 3。
等差数列在代数学中经常出现，用于解方程、求和等问题。
数列的知识点
数列的知识点摘要：数列是数学中的一个重要概念，它涉及到一系列按照特定顺序排列的数。
本文旨在介绍数列的基本概念、类型、性质以及与之相关的数学运算。
通过对这些知识点的梳理，读者将能够更好地理解和应用数列理论。
1. 数列的定义数列是由按照一定顺序排列的一列数构成的，通常用大写字母如 {a_n} 表示，其中 n 是序列中的项数，a_n 表示序列的第 n 项。
2. 数列的表示法数列可以通过多种方式表示，最常见的有：- 列表法：a_n = {a_1, a_2, a_3, ...}- 递推关系：a_n = f(a_(n-1))- 显式公式：a_n = g(n)3. 数列的类型根据数列的生成方式和特点，可以将数列分为以下几类：- 常数数列：所有项都相等的数列。
- 等差数列：相邻两项之差为常数的数列。
- 等比数列：相邻两项之比为常数的数列。
- 递增数列：每一项都大于前一项的数列。
- 递减数列：每一项都小于前一项的数列。
4. 数列的性质数列的性质通常与其类型有关，例如：- 等差数列的性质包括中项定理、等差中项等。
- 等比数列的性质包括几何平均、等比中项等。
5. 数列的极限极限是数列理论中的核心概念，它描述了数列在无限项时的趋势。
对于一个数列 {a_n}，如果存在一个数 L 使得当 n 趋向于无穷大时，a_n 趋向于 L，则称 L 为该数列的极限。
6. 数列的运算数列的运算包括加法、减法、乘法和除法。
对于两个数列 {a_n} 和{b_n}，它们的运算规则如下：- 加法：{a_n} + {b_n} = {a_n + b_n}- 减法：{a_n} - {b_n} = {a_n - b_n}- 乘法：{a_n} * {b_n} = {a_n * b_n}- 除法：{a_n} / {b_n} = {a_n / b_n}（仅当b_n ≠ 0）7. 数列的应用数列在数学的许多领域都有应用，包括但不限于：- 级数求和- 函数逼近- 差分方程- 动态系统结论：数列是数学分析中的基础知识点，它不仅在理论上具有重要意义，而且在科学、工程和经济学等领域的实际问题中都有广泛的应用。
2.1.2 数列的性质和递推公式
第2课时 数列的性质和递推公式一、数列与函数的关系数列可以看作是以正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．二、数列的递推公式如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．1.数列的函数性质例1.已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a n }的增减性．变式2.判断下列数列的单调性：(1)在数列{a n }中，a n ＝－2n ＋3；(2)在数列{a n }中，a n ＝n 2＋2n －5.2.数列的递推公式例2.设数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n >1，n ∈N *).写出这个数列的前5项．变式2.在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．3.由数列的递推公式求数列的通项公式例3.(1)已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），n ∈N *，求通项公式a n ； (2)设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)，求通项a n .变式3.已知数列{a n }满足a 1＝12，n n n n a a a a -=--11，求数列{a n }的通项公式．课堂练习：1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥22．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项a n 等于( )A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．课时作业一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.583．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于() A.259 B.2516 C.6116 D.31154．已知a 1＝1，a n ＝a n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，则数列的通项公式为( )A ．a n ＝3n ＋1B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n －2D ．a n ＝3(n －1)5．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是( )A.116B.117C.110D.1256．已知数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则数列中最大项的值是( )A ．107B ．108C ．10818D ．109二、填空题7．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n ，0≤a n <12，2a n －1，12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 017＝________.8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ 3n ＋1，n 为正奇数，4n －1，n 为正偶数，则它的前4项依次为________．9．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________．10．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第n 个图中有________个点．三、解答题11．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.12．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1(n ∈N *)； (3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N *)．。
数列通项的七种方法
数列通项的七种方法一、递推公式法递推公式法是一种常见的求解数列通项的方法。
通过观察数列中相邻两项的关系，可以找到递推公式，从而求得数列的通项。
例如，我们考虑一个等差数列，已知首项为a，公差为d。
根据等差数列的性质，我们可以得到递推公式an = an-1 + d。
其中，an 表示数列的第n项，an-1表示数列的第n-1项。
利用递推公式，我们可以通过已知的首项和公差，依次求得数列的每一项。
这种方法简单直观，适用于求解各种类型的数列。
二、通项公式法通项公式法是一种通过数学公式来表示数列通项的方法。
对于某些特殊的数列，可以通过观察数列中的规律，建立通项公式，从而直接求得数列的任意项。
例如，斐波那契数列就可以通过通项公式来表示。
斐波那契数列的通项公式为Fn = (1/sqrt(5)) * (((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n)。
其中，Fn表示数列的第n项。
通项公式法适用于某些特殊的数列，可以直接求得数列的任意项，省去了逐项求解的步骤，提高了求解效率。
三、递归关系法递归关系法是一种通过递归关系来求解数列通项的方法。
通过观察数列中相邻两项的关系，可以建立递归关系式，从而求得数列的通项。
例如，斐波那契数列就可以通过递归关系来表示。
斐波那契数列的递归关系式为Fn = Fn-1 + Fn-2。
其中，Fn表示数列的第n项，Fn-1表示数列的第n-1项，Fn-2表示数列的第n-2项。
利用递归关系，我们可以通过已知的前两项，依次求得数列的每一项。
递归关系法适用于一些特殊的数列，可以通过递归的方式来求解。
四、等差数列通项公式对于等差数列，我们可以通过等差数列的通项公式来求解数列的任意项。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
其中，an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示数列的公差。
利用等差数列的通项公式，我们可以直接求解数列的任意项，无需逐项计算，提高了求解效率。
原题目：数列的性质
原题目：数列的性质引言数列是指由一组按一定规律排列的数所组成的序列。
本文将探讨数列的性质及其特点。
1. 数列的定义数列是数的排列次序的集合，按照一定规则排列形成的序列。
数列可以用以下方式表示：$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其中$n$表示数列的长度或个数。
2. 数列的性质数列具有以下常见的性质：2.1. 通项公式数列中的每一项都可以用一个通项公式表示。
通项公式是数列中的第$n$项与$n$的关系式。
例如，一个等差数列的通项公式可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$为首项，$d$为公差。
2.2. 公差对于等差数列而言，相邻两项的差值称为公差。
公差可以表示数列的增长或减少趋势。
如果公差大于0，则数列为递增数列；如果公差小于0，则数列为递减数列。
2.3. 首项和末项数列中的第一个数称为首项，最后一个数称为末项。
首项通常用$a_1$表示，而末项则使用$a_n$表示。
2.4. 递推关系数列中的每一项都可以通过递推公式计算得到。
递推关系是数列中的第$n$项与前一项的关系式。
递推关系可以是线性的，也可以是非线性的。
3. 数列的分类根据数列的性质不同，数列可以分为以下几个常见分类：3.1. 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差均为固定值的数列。
等差数列的通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$为首项，$d$为公差。
3.2. 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比均为固定值的数列。
等比数列的通项公式为$a_n = a_1 \times r^{n-1}$，其中$a_1$为首项，$r$为公比。
3.3. 斐波那契数列斐波那契数列是指第一项和第二项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的通项公式为$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$。
结论数列是数的有序排列，具有各自特定的性质和特点。
了解数列的性质和分类有助于我们更好地理解数学中的规律和模式。
数列的递推公式
数列的递推公式数列的递推公式是指通过已知的数列前几项来推导出数列中后一项与前一项之间的关系的公式。
递推公式在数学和计算机科学中应用广泛，可以用于解决各种数值计算问题。
一、定义数列数列是按一定规律排列的一系列数的有序集合。
数列中的每个数称为该数列的项，项之间的序号称为项号。
通常用字母{n}表示数列中的第n项。
二、等差数列的递推公式等差数列是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列的递推公式可以用来计算数列中的任意项。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的递推公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d例如，对于等差数列 2, 5, 8, 11, 14，首项a₁=2，公差d=3，第n项aₙ可以通过递推公式计算：aₙ = 2 + (n-1)3三、等比数列的递推公式等比数列是指数列中的每一项与前一项之比都相等的数列。
等比数列的递推公式可以用来计算数列中的任意项。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则等比数列的递推公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1)例如，对于等比数列 2, 4, 8, 16, 32，首项a₁=2，公比r=2，第n项aₙ可以通过递推公式计算：aₙ = 2 * 2^(n-1)四、斐波那契数列的递推公式斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列。
斐波那契数列的递推公式可以用来计算数列中的任意项。
设斐波那契数列的首项为a₁，第二项为a₂，第n项为aₙ，则斐波那契数列的递推公式为：aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁例如，斐波那契数列的前几项为 0, 1, 1, 2, 3, 5，可以通过递推公式计算出后续的项。
五、其他数列的递推公式除了等差数列、等比数列和斐波那契数列，还存在其他类型的数列，它们各自具有特定的递推公式。
例如，如下所示的数列为自然数的平方数列：1, 4, 9, 16, 25该数列的递推公式为：aₙ = n^2再例如，如下所示的数列为自然数的阶乘数列：1, 2, 6, 24, 120该数列的递推公式为：aₙ = n!在解决具体问题时，需要根据数列的规律来确定递推公式，从而计算出数列中任意一项的值。
数列与数列的递推公式的推导
数列与数列的递推公式的推导数列是数学研究中最基础、最常见的概念之一。
数列是有序排列的数的集合，其中每个数称为数列的项。
数列与数列的递推公式是数学中数列研究的重要内容之一。
本文将探讨数列的定义、性质以及推导数列的递推公式的方法。
一、数列的定义与性质数列是按照一定顺序排列的数字序列。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
数列的一般形式可以表示为：a1, a2, a3, ..., an, ...，其中ai表示第i 个项。
数列的性质包括：1. 数列的有界性：数列可以有上界和下界。
一个数列是有上界的，如果存在一个常数M，对于数列中的每一项an，都有an ≤ M。
类似地，一个数列是有下界的，如果存在一个常数N，对于数列中的每一项an，都有an ≥ N。
2. 数列的单调性：数列可以是递增的、递减的，或者既不递增也不递减（即无序数列）。
如果对于所有的正整数n，都有an+1 ≥ an，则数列是递增的。
如果对于所有的正整数n，都有an+1 ≤ an，则数列是递减的。
3. 数列的有界单调性：如果一个数列既有上界又有下界，并且该数列是递增的（或递减的），则该数列称为有界单调数列。
二、数列的递推公式数列的递推公式是通过前项或前几项来表示下一项的公式。
推导数列的递推公式有多种方法，下面将介绍几种常见的方法。
1. 等差数列的递推公式等差数列是指数列中相邻两项之差为常数的数列。
设等差数列首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d。
例如，数列1, 3, 5, 7, ..., 它的首项a1 = 1，公差d = 2，那么第n 项为an = 1 + (n-1)2。
2. 等比数列的递推公式等比数列是指数列中相邻两项之比为常数的数列。
设等比数列首项为a1，公比为q，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)。
例如，数列1, 2, 4, 8, ..., 它的首项a1 = 1，公比q = 2，那么第n项为an = 1 * 2^(n-1)。
数列的求和公式和递推公式
数列的求和公式和递推公式一、数列的求和公式1.等差数列求和公式：设等差数列的首项为a1，末项为an，公差为d，项数为n，则等差数列的求和公式为：S = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n -1)d)。
2.等比数列求和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q（q≠1），项数为n，则等比数列的求和公式为：S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，当q=1时，S = n * a1。
3.斐波那契数列求和公式：设斐波那契数列的前n项和为S，则有S =F(n+2) - 1，其中F(n)为斐波那契数列的第n项。
4.平方数列求和公式：设平方数列的前n项和为S，则有S = n(n +1)(2n + 1) / 6。
5.立方数列求和公式：设立方数列的前n项和为S，则有S = n^2(n + 1)/ 2。
二、数列的递推公式1.等差数列递推公式：设等差数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式为：an = a1 + (n - 1)d。
2.等比数列递推公式：设等比数列的第n项为an，首项为a1，公比为q（q≠1），则等比数列的递推公式为：an = a1 * q^(n-1)。
3.斐波那契数列递推公式：设斐波那契数列的第n项为F(n)，则有F(n)= F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。
4.线性递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则线性递推公式为：an = an-1 + d。
5.多项式递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，多项式系数为c1, c2, …, cm，则多项式递推公式为：an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + … + c m * an-m。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握数列的求和公式和递推公式的基本概念和方法，为高中数学学习打下基础。
习题及方法：1.等差数列求和习题：已知等差数列的首项为3，末项为20，公差为2，求该数列的前10项和。
递推数列和多级数列
递推数列和多级数列递推数列是一种数学表达式，其中每个后续项都由前面的项计算而来。
它通常由首项和递推公式组成，递推公式描述了如何计算每个后续项。
递推数列在数学、计算机科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
以下是一些常见的递推数列及其性质：1. 斐波那契数列：以0和1作为首两项，每个后续项都是前两项之和。
其前几项依次为0、1、1、2、3、5、8、13、21、34…… 斐波那契数列在数学、自然和艺术中都有着广泛的应用，包括植物的分枝、音乐的节奏、黄金分割等。
2. 等差数列：递推公式为an = an-1 + d，其中d为公差。
等差数列是每项与前一项之差相等的数列。
其常见的例子包括1、3、5、7、9……和10、20、30、40、50……等。
3. 等比数列：递推公式为an = an-1 × q，其中q为公比。
等比数列是每项与前一项之比相等的数列。
其常见的例子包括1、2、4、8、16……和5、10、20、40、80……等。
多级数列是由多个递推数列组成的复合数列，其中每个递推数列的首项由其上一级递推数列的最后一项确定。
多级数列的组合和嵌套可以形成复杂的数学模型，用于描述各种自然和社会现象。
以下是一些常见的多级数列：1. 帕多瓦三角数列：帕多瓦三角是一种由组合学产生的数字三角形，其中上一级的数字可以通过相邻的两个数字之和计算而来。
帕多瓦三角数列可以描述组合问题中的一些特定情况，如二项式定理和概率分布等。
2. 泰波那契数列：泰波那契数列是一种以0、0、1作为首三项的递推数列，每个后续项都是前三项之和。
其前几项依次为0、0、1、1、2、4、7、13、24、44……泰波那契数列可以描述某些生物种群和经济现象中的增长和衰退规律。
3. 文件长度限制数列：文件长度限制是指在给定的文件系统中对文件大小进行限制。
文件长度限制数列是由多个递推数列组成的复合数列，其中每个递推数列表示不同类型的文件大小限制。
文件长度限制数列可以用于描述文件系统中的存储容量和使用率等。
等差数列及等比数列的性质总结
【说明】）d -a （dn d ）1-n （a a 1m n +=+=，nS =d 2）1-n （n na 1´+【说明】d a -a a ac c c c 1-n n 1-n n ==7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S += 当n 为偶数时，d 2n S -S 奇偶´=当n 为奇数时，n a S中n´=，中偶奇a S -S =，1-n 1n S S 偶奇+=【说明】当n 为偶数时，d 2n ）a -a （）a -a （）a -a （S -S 123-n 2-n 1-n n 奇偶´=+¼¼++= 当n 为奇数时，中11-n n 231偶奇a d 21-n a ）a -a （）a -a （a S -S =+=+¼¼++=，，1-n 1n 21-n ）a a （2121n ）a a （21S S 1-n 2n 1偶奇+=´++´+=n a S S -S S S 中n 偶奇偶奇==+ 8、设1-2n 1-n 2n n n n n n T Sb a项和，则n 的前}{b 、}{a 分别表示等差数列T 和S = 【说明】nn 中中1-2n 1-n 2b ab ）1-n 2（a ）1-n 2（T S == 【例】等差数列1515n n n n n n b a，求1-n 31n 5T S ，若T 和S 项和分别为n 的前}{b 、}{a +=9、1-d ，0a），则q p （p a ，q a qp qp==¹==+q--p a），则q p （p S ，q S qp qp=¹==+a），则q p （S S qp qp=¹=+= n ）2d-a （n ）2d （12´+´ 6、若、若数列数列}{a n是等差数列，则}{c n a 为等比数列，c>0+ïîí，q -1q a -a q -1）q -1（a n 11【说明】m 2k m k a a a a ++【说明】n 22n 1n n n 2a a a a a a S S -S +¼¼++++++【说明】q log a a log a log -a log c 1-n nc1-n c n c == 7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S +=；若n 为偶数时，q a a 奇偶=；当n 为奇数时，q S a -S 偶1奇=；【说明】当n 为偶数时，q a a a a a a a a 1-n 41n 42奇偶=+¼¼+++¼¼++=； 当n 为奇数时，q a a a a a a S a -S 1-n 42n 53偶1奇=+¼¼+++¼¼++=； 8、设偶奇n 偶奇n T T T 表示偶数项的积，则T 表示奇数项的积，T 项积，n 是前T ×=当n 为偶数时，n 中奇中偶奇2n 奇偶a T ，a T T 为奇数时，n ；当q T T ===；【说明】当n 为偶数时，2n 1-n 42n42奇偶q a a a a a a T T =×¼¼×××¼¼××=；当n 为奇数时，中1-n 42n421偶奇a a a a a a a a T T =×¼¼×××¼¼××=；n中1-n 2n 1n 21奇a a a a a a a a T =¼¼××=×¼¼××=。
数列的性质及求和公式
数列的性质及求和公式数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的集合。
在数学中，研究数列的性质可以帮助我们更好地理解数字之间的关系，并且能够找出数列的求和公式，从而解决实际问题。
一. 数列的性质数列的性质包括：公差、通项公式、递推公式和首项等。
1. 公差：公差是指数列中相邻两项之间的差值。
数列中的每一项都是前一项加上公差得到的。
如果数列的公差恒定，我们称这个数列为等差数列。
2. 通项公式：通项公式描述了数列中第 n 项与 n 的关系。
通项公式的形式可以是一个直接给出的数学表达式，也可以是一个递推公式。
3. 递推公式：递推公式描述了数列中第 n 项与前一项的关系。
通过递推公式，我们可以根据已知项来计算数列的其他项。
4. 首项：数列中第一项称为首项。
二. 求和公式求和公式是计算数列前 n 项和的公式。
通过求和公式，我们可以快速计算数列的和，而不需要逐个相加。
1. 等差数列的求和公式：对于等差数列，我们可以用下列公式求得前 n 项的和：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn 表示数列的前 n 项和，a1 表示首项，an 表示第 n 项，n 表示项数。
2. 等比数列的求和公式：对于等比数列，我们可以用下列公式求得前 n 项的和：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn 表示数列的前 n 项和，a1 表示首项，r 表示公比，n 表示项数。
三. 应用举例数列的性质和求和公式可以应用于很多实际问题的解决。
1. 金融投资：假设某人每年向银行定期存款一笔钱，而银行给出的利率是固定的。
我们可以用数列的求和公式来计算多年后的总金额。
2. 数学模型：在一些物理或经济学模型中，数列的性质往往用来描述连续变化的某一变量，如时间、距离或价格等。
3. 序列问题：有时候我们需要找出数列中的某一规律。
通过观察数列的性质，我们可以预测数列的未知项。
4. 概率统计：在一些概率统计问题中，我们需要计算多个事件发生的总次数。
数列的性质和递推公式
课前探究学习
课堂讲练互动
【变式2】已知数列{an}的通项公式
10n an＝(n＋1) (n∈N*)，试问 11
数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若 没有，说明理由． 解 法一 假设数列{an}中存在最大项．
10n＋1 10n ∵an＋1－an＝(n＋2) －(n＋1) 11 11 10n 9－n ＝ · ， 11 11
课前探究学习 课堂讲练互动
：仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*) 你能否确定这个数列？若又已知a1＝1呢？ 提示：仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2，只能知道相邻 两项的差an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a3－a2＝a2－a1＝ 2，却无法确定这个数列；若又已知a1＝1，则可以确定这 个数列为1,3,5,7，…，2n－1，….
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【变式1】已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：数列{an}是递减数列． (1)解 ∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n， ∴2log2an－2－log2an＝－2n，
1 即 an－ ＝－2n(看成关于 an 的方程)． an ∴an2＋2nan－1＝0， 解得 an＝－n± n2＋1. ∵an>0，∴an＝ n2＋1－n.
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(2)因为
1 an n－1 a1＝1，an＝1－nan－1(n≥2)，所以 ＝ n ， an－1
an an－1 an－2 a3 a2 an ＝ 1 n－2 n－3 2 1 1 ＝ n × × ×„× × ×1＝n.(8 分) 3 2 n－1 n－2 1 又∵n＝1 时，a1＝1，符合上式，∴an＝n.
等比数列的求和与递推公式
等比数列的求和与递推公式等比数列是指一个数列的每一项与前一项的比值都相等的数列。
在解决等比数列相关问题时，求和与递推公式是常用的数学工具。
一、等比数列的定义与性质1.1 定义等比数列是指一个数列的每一项与前一项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，则等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中n为项数。
1.2 性质等比数列具有以下性质：（1）求和项数n不限，当公比r满足|r|<1时，等比数列的前n项和存在有限值。
（2）当公比|r|>1时，等比数列的前n项和无限接近于无穷大或无穷小。
二、等比数列的求和公式2.1 求和公式推导求和公式是用来表示等比数列前n项和的公式。
下面通过推导来得到等比数列的求和公式。
设等比数列的首项为a，公比为r，前n项和为Sn。
首先将等比数列写成标准形式：a, ar, ar^2, ar^3, ..., ar^(n-1)。
将等比数列与其公比为r的等比数列逆序相减，可得：ar^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^(n-1) ------(1)然后再将(1)与公比为r的等比数列相乘，可得：ar * ar^n = a * ar + ar * ar + ar^2 * ar + ar^3 * ar + ... + ar^(n-1) * ar 化简得：ar^(n+1) = a^2 * r + a^2 * r^2 + a^2 * r^3 + ... + a^2 * r^n ------(2)接下来将(2)中的等式两边相减，可得：(ar^(n+1) - ar^n) = a^2 * r^(n+1) - a整理得：Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)2.2 求和公式应用举例现假设有等比数列的首项a为2，公比r为0.5，项数n为5。
根据求和公式，可以计算出前5项和为：S5 = 2 * (0.5^5 - 1) / (0.5 - 1)= 2 * (-31/16)= -62/16= -3.875所以，当等比数列的首项为2，公比为0.5，项数为5时，前5项和为-3.875。
递推数列的概念与性质
递推数列的概念与性质数列是数学中重要的概念之一，而递推数列是数列中常见的一种形式。
本文将介绍递推数列的概念与性质，并通过例子来说明其应用。
一、递推数列的概念递推数列是一种由前一项或前多项推出后一项的数列。
其基本形式可以表示为：给定数列的首项$a_1$和递推关系$f(n)$，则数列的通项公式可以表示为：\[ a_n = f(a_{n-1}) \]其中$n$表示数列的位置。
递推数列常见的表示方法有三种：显式表示、隐式表示和递归定义。
显式表示是通过给定递推公式得到数列项的直接表达式，而隐式表示是通过给定递推公式得到数列项的关系式。
递归定义则是通过给定数列的首项和递推关系逐步推导后一项。
二、递推数列的性质1. 有界性：递推数列可以是有界或无界的。
有界数列是指存在一个实数$M>0$，使得对于所有的$n\in\mathbb{N}$，都有$|a_n|\leq M$。
无界数列则是相反的情况。
2. 单调性：递推数列可以是单调递增或单调递减的。
单调递增数列是指对于所有$n\in\mathbb{N}$，都有$a_n\leq a_{n+1}$。
单调递减数列则是相反的情况。
3. 整体性：递推数列可以是整体有序或整体无序的。
整体有序数列是指对于所有的$m,n\in\mathbb{N}$，如果$m<n$，则有$a_m\leq a_n$。
整体无序数列则是相反的情况。
4. 极限性：递推数列可以是收敛或发散的。
收敛数列是指存在一个有限的实数$L$，使得数列中的所有项都无限接近$L$。
发散数列则是相反的情况。
三、递推数列的应用举例1. 斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的递推数列，其前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项之和。
其显式表示为：\[ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \]2. 几何数列几何数列是一个常见的递推数列，其首项$a_1$和公比$q$确定后，每一项都是前一项乘以公比。
其显式表示为：\[ a_n = a_{n-1} \cdot q \]递推数列在数学中有着广泛的应用，例如在金融领域的复利计算、物理学中的运动学问题等。
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2
2 2 an an 1 , n 5n 4 n 1 5 n 1 4, 由 得 2 2 n 5 n 4 n 1 an an 1, 5 n 1 4.
解这个不等式组得 2≤n≤3,所以 n=2,3,所以 a2=a3 且最小, a2=a3=22-5×2+4=-2.
an an a n 1 a2 (2)累乘法:当 =g(n)时,常用 an= · ·…· ·a1 求通项. a n 1 a n 1 a n 2 a1
求数列{an}的最大项或最小项的方法. 一是利用函数增减性的方法:先判断数列{an}的增减情况,再求数列 {an}的最大项或最小项.
an an 1, 二是利用不等式法:求数列{an}的最大项可由 来确定 n;求 an an 1, an an 1, 数列{an}的最小项可由 来确定 n. an an 1,
题型二 求数列的最大(小)项
【例2】 已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.求n为何值时因为 an=n2-5n+4=（n- ）2- ,所以对称轴方程为 n= =2.5. 4 2 2
又 n∈N ,故 n=2 或 3 时,an 有最小值,其最小值为 a2=a3=2 -5×2+4=-2. 法二 设第 n 项最小,
若an+1=an,则{an}为常数列.
2.数列的递推公式
如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an 与它的前一项an-1(或前几项)(n≥2,n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示,那么 这个公式就叫做这个数列的递推公式.
题型一 利用数列的函数性质判断数列的单调性
题型三
由数列的递推公式求其通项公式
1 ,n∈N*,求通项公式 an. n n 1
【例 3】(1)已知数列{an}满足 a1=-1,an +1=an+
1 (2)设数列{an} 中,a1=1,an=(1- )an-1(n≥2),求通项公式 an. n
解:(1)因为 an+1-an= a3-a2=
n 1 n2 n3 2 1 1 = × × ×…× × ×1= . n 1 n2 n 3 2 n 1 又因为 n=1 时,a1=1,符合上式,所以 an= . n
题后反思
由数列的递推公式求通项公式的常用方法:
(1)累加法:当 an=an-1+f(n)时,常用 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+… +(a2-a1)+a1 求通项.
数列的性质和 递推公式
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自主预习
课标要求
1.了解数列递推公式的概念;知道递推公式是给出数列的一种方法.
2.能根据数列的递推公式写出数列. 3.能根据数列的通项公式研究数列的单调性,会求数列中的最大(小)项. 4.了解数列的周期性,能解决相关的简单问题.
知识梳理
1.数列的函数性质 (1)数列可以看成以 (2)在数列{an}中,若an+1 (或它的有限子集 an,则{an}是递增数列;若an+1 )为定义域的函数 an,则{an}为递减数列; an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值
1 1 ,所以 an=- . n n
以上各式累加得, an-a1=
所以 an+1=1-
1 (2)因为 a1=1,an=(1- )an-1(n≥2), n
an n 1 所以 = (n≥2), n a n 1 an a n 1 an 2 a3 a2 an= × × ×…× × ×a1 a n 1 an 2 an 3 a2 a1
1 1 ,所以 a2-a1= ; 1 2 n n 1
1 1 1 ;a4-a3= ;… an-an-1= ; 23 3 4 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +…+ =1- + - +…+ - =1- . 1 2 2 3 2 2 3 n 1 n n n 1 n