浅谈求函数值域的几种方法

浅谈求函数值域的几种方法

求函数值域是高考的热点，也是重点和难点，解这类题目的方法具有多样性和灵活性，下面具体谈谈求函数值域的几种方法. 一、 配方法

通过配方结合函数图像求函数的值域，一般地，对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠求值域问题可运用配方法. 例1、 求21y x x =-+的值域 解：22

1331()24

4

y x x x =-+=-

+

≥

于是21y x x =-+的值域为3,4

⎡⎫

+∞⎪

⎢⎣⎭

.

二、 反函数法

一般地，形如(0)ax b y c cx d +=≠+，可利用原函数与反函数的定义域和值域之间的互逆关系.

例2、 求函数213

x y x +=

-的值域.

解：由213

x y x +=-得312

y x y +=

-，因为20y -≠，所以2y ≠.

于是此函数的值域为{}2y y R y ∈≠且 三、

分离常数法

一般地，对于分式函数来说，可以分离一个常数去求函数的值域. 例3、 求2

21

x x y x x -=

-+的值域

解：2

2

2

2

2

(1)1111

1

1

x x x x y x x x x x x --+-=

=

=-

-+-+-+

而2

2

1331()24

4x x x -+=-+

≥

即2

1401

3

x x <

≤-+，所以113

y -

≤<

即函数2

2

1

x x y x x -=

-+的值域为1

,13⎡⎫-

⎪⎢⎣⎭

. 注意：例2也可以利用分离常数法去求值域，有兴趣的读者可以试一试. 四.判别式法 一般地.形如2

2

(,0ax bx c y a m mx nx k

++=

++不都为），转化为关于y 的一元二次方程，利用方程有

实数解，0∆≥来求y. 例4、 求2

22231

x x y x x -+=

-+的值域.

解：由2

2

2231

x x y x x -+=

-+去分母得22223yx yx y x x -+=-+

即2(2)(2)30y x y x y ---+-= 当y=2时，此方程无实根.

当2y ≠，此方程为一元二次方程，x R ∈

2

(2)4(2)(3)0y y y ∆=----≥ 即(2)(310)0y y --≤

所以1023

y ≤≤

，又因为2y ≠，于是1023

y <≤

故函数2

2

2231

x x y x x -+=

-+的值域为102,

3⎛⎤

⎥⎝

⎦

注意：下面2点不能直接用判别式法.

1、定义域去掉无限个点.

2、分子分母中含有公因式.

五、换元法

一般地，形如y ax b cx d =++

，通过换元cx d t +=（注意此时t 的范围）

例5求61231y x x =++-的值域 解：令31t x =

-(0)t ≥则231x t =+

所以261231223y x x t t =++-=++=2

152()22

t ++

当t=0时，y 有最小值3.

于是61231y x x =++-的值域为[)3,+∞. 六、分类讨论法

通过分类讨论函数定义域x 的符号去求值域. 例6求2

22

x y x x =-++的值域

解；

2

2

2

00.1102211122

12(

)22

x y x x y x x x x

x ==>=-

=-

=-

+++

+++

当时，当时，

因为

10x

>，所以2

1112(

)12

2x

+

+

>，即10y -<<

当0x <当时， 2

2

2

112211122

12(

)22

x y x x x x

x -=

=

=

+++

+++

而2

1112(

)2

2

x

+

+

≥

12

即02y <≤

综上：2

22

x y x x =-

++的值域为(

⎤⎦

-1,2.

总之，在求解函数值域的过程中，同学们应该认真审题，寻找迅速求解的一种方法，初学者在学习过程中应该注意这一考点.