导数的定义
函数导数的定义
函数导数的定义
函数导数的定义（Derivative），也叫导函数值。
又名，是中的重要
基础概念。
当函数y=f（x）的x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数
输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的a如果存在，a即为在x0处的函数导数的定义，记作f'（x0）或df（x0）/dx。
函数导数的定义是函数的局部性质。
一个函数在某一点的函数导数的
定义描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都
是实数的话，函数在某一点的函数导数的定义就是该函数所代表的曲线在
这一点上的。
函数导数的定义的本质是通过极限的概念对函数进行局部的
线性逼近。
例如在中，物体的对于时间的函数导数的定义就是物体的。
不是所有的函数都有函数导数的定义，一个函数也不一定在所有的点
上都有函数导数的定义。
若某函数在某一点函数导数的定义存在，则称其
在这一点，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定；不连续的函数一定
不可导。
说明了求原函数与积分是等价的。
求导和积分是一对互逆的操作，它
们都是微积分学中最为基础的概念。
导数的三种定义形式
导数的三种定义形式
导数的三种定义形式包括：
1.导数（函数的变化率）定义为函数在某一点处的瞬时变化率，即函数在该
点的切线斜率。
这个定义可以通过求函数图像上某一点处的切线斜率来直观理解。
2.导数定义为函数对于自变量的导数，即函数在某一点处的变化率。
这个定
义可以通过求函数图像上某一点处的切线斜率来直观理解。
3.导数定义为函数的极限，即当自变量趋近于某一点时，函数的变化率趋近
于一个极限值。
这个定义涉及到极限的概念，需要一定的数学基础才能理解。
这三种定义形式实际上是等价的，只是从不同的角度来描述导数的性质。
在实际应用中，可以根据需要选择不同的定义形式来解决问题。
高等数学导数的定义
高等数学导数的定义
导数（Derivative），也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’（x0）或df（x0）/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
导数的定义与求解
导数的定义与求解导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在这篇文章中，我们将深入探讨导数的定义及其求解方法。
定义：导数可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率。
给定函数f(x)，如果函数在点x处的导数存在，则称该导数为f(x)在点x处的导数，记作f'(x)。
导数可以用极限的概念来定义，具体地，函数f(x)在点x处的导数可以通过以下极限来求解：f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h其中，h为一个趋近于0的数。
求解导数的方法有很多，下面将介绍几种常见的方法。
1.用定义法求导数：利用导数的定义进行计算。
将函数代入定义式，并对极限进行化简，最终得到导数的值。
这种方法适用于简单函数，但对于复杂函数可能会很繁琐。
2.常见函数的导数：为了简化求导数的过程，我们需要记住一些基本函数的导数。
常见函数的导数公式包括：常数函数的导数为0，幂函数的导数为n*x^(n-1)，指数函数的导数为a^x*ln(a)，对数函数的导数为1/x。
有了这些基本函数的导数公式，可以通过组合和运用求导法则来求解更复杂函数的导数。
3.利用求导法则：求导法则是一系列用于简化求导过程的规则。
常见的求导法则包括：常数乘法法则（导数与常数相乘）、和差法则（导数的和等于导数的和）、乘法法则（导数的乘积等于一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以一个函数）、链式法则（嵌套函数的导数等于外层函数的导数乘以内层函数的导数），以及复合函数的求导法则等。
利用这些法则，可以更快速地求解复杂函数的导数。
4.隐函数求导：有时候，函数的表达式并不是显式给出的，而是以方程的形式出现。
这时需要使用隐函数求导的方法来求解导数。
隐函数求导基于隐函数定理和导数的定义，通过对方程两边求导得到导数的表达式。
求导是微积分的一个基本概念，它在数学和科学的各个领域中都有广泛应用。
导数的定义帮助我们理解函数的瞬时变化率，求导的方法则使我们能够更方便地计算函数的导数。
导数的定义和基本规则
导数的定义和基本规则1. 导数的定义导数是数学分析中的一个核心概念，主要用于研究函数在某一点处的局部性质。
具体来说，导数反映了函数在某一点处的变化率，即自变量发生微小变化时，因变量的变化量与自变量变化量的比值。
设函数f(x)在点x0处有极限，则函数f(x)在点x0处的导数定义为：f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx如果上述极限存在，则称函数f(x)在点x0处可导。
2. 基本导数公式（1）常数函数的导数：对于常数c，有f(x)=c，则f′(x)=0。
（2）幂函数的导数：对于幂函数f(x)=x n（n为实数），有f′(x)=nx n−1。
（3）指数函数的导数：对于指数函数f(x)=a x（a为常数，a≠0），有f′(x)=a x lna。
（4）对数函数的导数：对于对数函数f(x)=log a x（a为常数，a>0，a≠1），有f′(x)=1xlna。
（5）三角函数的导数：•对于正弦函数f(x)=sinx，有f′(x)=cosx。
•对于余弦函数f(x)=cosx，有f′(x)=−sinx。
•对于正切函数f(x)=tanx，有f′(x)=sec2x。
（6）反三角函数的导数：•对于反正弦函数f(x)=arcsinx，有f′(x)=√1−x2（−1≤x≤1）。
•对于反余弦函数f(x)=arccosx，有f′(x)=√1−x2−1≤x≤1）。
•对于反正切函数f(x)=arctanx，有f′(x)=11+x2。
（7）链式法则：若函数f(x)=g(ℎ(x))，则f′(x)=g′(ℎ(x))⋅ℎ′(x)。
（8）乘积法则：若函数f(x)=g(x)⋅ℎ(x)，则f′(x)=g′(x)⋅ℎ(x)+g(x)⋅ℎ′(x)。
（9）商法则：若函数f(x)=g(x)ℎ(x)（h(x)≠0），则f′(x)=g′(x)⋅ℎ(x)−g(x)⋅ℎ′(x)[ℎ(x)]2。
（10）和差法则：若函数f(x)=g(x)+ℎ(x)，则f′(x)=g′(x)+ℎ′(x)；若函数f(x)=g(x)−ℎ(x)，则f′(x)=g′(x)−ℎ′(x)。
导数的定义和求导规则
导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念：当自变量x趋近于某一数值a时，函数f(x)趋近于某一数值L，即称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在某一点的瞬时变化率。
定义如下：二、求导规则2.1 常数倍法则：如果u(x)是可导函数，c是一个常数，则cu(x)也是可导函数，且(cu(x))’ = c*u’(x)。
2.2 幂函数求导法则：如果u(x) = x^n，其中n为常数，则u’(x) = n*x^(n-1)。
2.3 乘积法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。
2.4 商法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)≠0，则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。
2.5 和差法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x)，(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。
2.6 链式法则：如果y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。
2.7 复合函数求导法则：如果y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。
2.8 高阶导数：如果f’(x)是f(x)的一阶导数，则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数，以此类推。
2.9 隐函数求导法则：如果方程F(x,y) = 0表示隐函数，则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y，其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。
三、导数的应用3.1 函数的单调性：如果f’(x) > 0，则f(x)在区间内单调递增；如果f’(x) < 0，则f(x)在区间内单调递减。
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
初中导数的定义
导数的定义
导数的定义：导数是函数的局部性质，一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点可导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
导数是用来分析变化的。
以一次函数为例，我们知道一次函数的图像是直线，在解析几何里讲了，一次函数刚好就是解析几何里面有斜率的直线，给一次函数求导，就会得到斜率。
导数的概念
三 导数的应用 （一）利用导数判断函数单调性及求解单调区间。
1.导数和函数单调性的关系： (1)若 f ¢ (x)>0 在(a，b)上恒成立，则 f(x)在(a，b)上是增函数， f ¢ (x)>0 的解集与定义域的 交集的对应区间为增区间； (2)若 f ¢ (x)<0 在(a，b)上恒成立，则 f(x)在(a，b)上是减函数， f ¢ (x)<0 的解集与定义域 的交集的对应区间为减区间。 2.利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
f (x0 ) )处的切线方程为 y -
f (x0 ) =
f
(x )(x - x ) / 0
0
新疆 王新敞
奎屯
2.导数的物理意义： 导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。
（三）概念部分题型：
1.利用定义求函数 y = f (x) 的导数
主要有三个步骤：
(1)求函数的改变量 Dy
=
f (x + Dx) -
x= x0
，即
f
/
(x0 )
=
lim
Dx®0
f (x0
+ Dx) Dx
f (x0 )
2 导函数的定义：如果函数 y = f (x) 在开区间 (a, b) 内的每点处都有导数，此时对于每
一个 x Î (a,b) ，都对应着一个确定的导数 f / (x) ，从而构成了一个新的函数 f / (x) , 称这
（二）导数的四则运算
1．和差： (u±v)¢ =u¢±v¢
2．积： (uv)¢ = u¢v + uv¢
3．商：
(u )¢ v
=
导数的定义及几何意义
导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
导数也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f（x0）或df（x0）/dx。
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。
如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。
导数的几何意义：函数y=f(x) 在x=x0处的导数f′(x0)，表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的定义与基本性质
导数的定义与基本性质一、导数的定义导数是微积分中的一个重要概念，用以描述函数在某一点的变化率或斜率。
给定一个实数集上的函数 f(x)，若存在一个实数 a，使得函数 f(x) 在 a 点的某个邻域内有定义，并且极限$$\lim_{{h \to 0}} \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}$$存在，则称这个极限为函数 f(x) 在点 a 处的导数，记作 f'(a)。
导数可以看作是函数在某一点的瞬时变化率。
进一步地，如果导数的极限在整个函数定义域内都存在，则称函数 f(x) 在该定义域上可导。
二、导数的基本性质1. 可导性的充分条件若函数 f(x) 在某一点 a 处可导，则该点的导数存在。
2. 可导函数的连续性若函数 f(x) 在某一点 a 处可导，则该点的连续。
3. 导数的和差法则设函数 f(x) 和 g(x) 都在某一点 a 处可导，则(a) (f(x) ± g(x))' = f'(a) ± g'(a)(b) 若 c 为常数，则 (cf(x))' = cf'(a)4. 导数的乘法法则设函数 f(x) 和 g(x) 都在某一点 a 处可导，则(f(x)g(x))' = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)5. 导数的除法法则设函数 f(x) 和 g(x) 都在某一点 a 处可导，且g(a) ≠ 0，则(f(x)/g(x))' = [f'(a)g(a) - f(a)g'(a)] / [g^2(a)]6. 复合函数的导数设函数 f(x) 和 g(x) 都在某一点 a 处可导，则复合函数 f(g(x)) 在该点的导数为[f(g(x))]' = f'(g(a))g'(a)7. 反函数的导数设函数 f(x) 在某一点 a 处的导数 f'(a) 存在且不为零，若反函数 g(x) 存在，则在 a 处反函数的导数为[g(x)]' = 1 / [f'(g(a))]8. 用导数判断函数的增减性(a) 若函数 f'(x) > 0，则函数 f(x) 在该区间上是递增的；(b) 若函数 f'(x) < 0，则函数 f(x) 在该区间上是递减的；(c) 若函数 f'(x) = 0，则函数 f(x) 在该点取得极值。
导数的概念和定义高数
导数的概念和定义高数导数是微积分中的一个重要概念，用来描述函数在某一点处的变化率。
它在数学和物理学等领域中具有广泛应用，并且是理解微积分的基础之一。
本文将详细介绍导数的概念和定义，并探讨其在高等数学中的意义和应用。
一、导数的概念导数描述了函数在某一点的切线斜率，或者说函数在该点的瞬时变化率。
对于函数f(x)，若它在某一点x处的导数存在，那么导数f'(x)表示函数在该点的切线斜率。
如果函数在每一个点的导数都存在，那么这个函数被称为可导函数。
导数的概念可以用极限来精确定义。
设函数f(x)在点x处连续，那么该点的导数f'(x)可以通过以下极限公式来计算：```f'(x) = lim h→0 (f(x+h) - f(x))/h```其中，h表示自变量的增量，即x+h代表一个比x更接近的点。
上述极限即为切线的斜率。
二、导数的定义导数的定义是导数概念的具体表达，用来计算函数在某一点处的导数值。
根据导数的概念，导数的定义可表示为：```f'(x) = lim h→0 (f(x+h) - f(x))/h```这就是导数的一种常见形式定义。
根据这个定义，我们可以计算函数在某一点的导数值。
三、导数的意义和应用导数在高等数学中具有重要的意义和应用。
首先，导数可以用来求函数的极值点。
对于一个可导函数，在其极值点处导数等于0。
通过求导，我们可以找到函数的极值点，并进一步研究函数的性质。
其次，导数可以用来描述函数的变化趋势。
函数的导数可以告诉我们函数在某一点的变化快慢。
如果导数为正，表示函数在该点递增；如果导数为负，表示函数在该点递减；如果导数为零，表示函数在该点取得极值。
此外，导数还可以用来求解曲线的切线方程。
利用导数的概念，我们可以求得曲线在某一点的切线斜率，并通过点斜式方程来求解切线方程。
切线方程在物理学等应用领域中具有重要意义。
导数的概念和定义在高数中是非常基础的概念，它为后续的微积分学习奠定了坚实的基础。
导数的概念几何意义与运算
导数的概念几何意义与运算一、导数的概念导数是微积分的重要概念之一，是描述函数变化速度的衡量工具。
对于一条曲线上的任意一点，其导数值表示了该点处的切线斜率。
导数的定义为：若函数f(x)在点x0处有定义，那么函数在该点的导数为：f'(x0) = lim(h→0) [f(x0+h) - f(x0)] / h其中 lim 表示极限，h 表示的是 x 的增加量。
导数的概念可以推广到函数的各种高阶导数，分别表示函数变化的速率、加速度、变化的变化率等。
二、导数的几何意义1.切线斜率：导数可以看作是函数曲线在其中一点处切线的斜率。
特定点处的切线斜率表示了函数在该点的变化速度。
2.函数的增减性：若函数在其中一区间内的导数恒大于0，则函数在该区间上是递增的；若导数恒小于0，则函数在该区间上是递减的。
导数的正负性能够直观地反映函数的增减趋势。
3.极值点：若函数在其中一点的导数为0，那么这个点称为函数的极值点。
导数为0相当于切线水平，函数在这一点上由增转为减或由减转为增。
三、导数的运算法则1.常数乘法：对于常数k，(k*f(x))'=k*f'(x)。
2.求和与差：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
3.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
4.商法则：(f(x)/g(x))'=[f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/[g(x)]^25.复合函数求导：对于复合函数y=f(g(x))，若g(x)在点x处可导，而f在g(x)处可导，则y也在点x处可导，且y'=f'(g(x))*g'(x)。
四、应用举例1.速度和加速度：对于一个物体的位移函数s(t)，其导数s'(t)表示在时间t的瞬时速度。
二次导数s''(t)则表示在时间t的瞬时加速度。
高中导数的概念
高中导数的概念导数定义一、导数第一定义设函数y = f(x) 在点x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内) 时相应地函数取得增量△y = f(x0 + △x) - f(x0) 如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在则称函数y = f(x) 在点x0 处可导并称这个极限值为函数y = f(x) 在点x0 处的导数记为f'(x0) ,即导数第一定义二、导数第二定义设函数y = f(x) 在点x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在x0 处有变化△x ( x - x0 也在该邻域内) 时相应地函数变化△y = f(x) - f(x0) 如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在则称函数y = f(x) 在点x0 处可导并称这个极限值为函数y = f(x) 在点x0 处的导数记为f'(x0) ,即导数第二定义三、导函数与导数如果函数y = f(x) 在开区间I内每一点都可导就称函数f(x)在区间I 内可导。
这时函数y = f(x) 对于区间I 内的每一个确定的x 值都对应着一个确定的导数这就构成一个新的函数称这个函数为原来函数y =f(x) 的导函数记作y', f'(x), dy/dx, df(x)/dx。
导函数简称导数。
导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。
右上图为函数y = ƒ(x) 的图象，函数在x_0处的导数ƒ′(x_0) = lim{Δx→0} [ƒ(x_0 + Δx) - ƒ(x_0)] / Δx。
如果函数在连续区间上可导，则函数在这个区间上存在导函数，记作ƒ′(x)或dy / dx。
数学分析5.1导数的概念(讲义)
第五章导数和微分1 导数的概念一、导数的定义定义1：设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f’(x0). 若该极限不存在，则称f在点x0处不可导.令x=x0+△x，△y=f(x0+△x)-f(x0)，则：==f’(x0).∴导数是函数增量△y与自变量增量△x之比的极限. 这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称为差商)，而导数f’(x0)则为f在x0处关于x的变化率.注：显然常量函数f(x)=C在任何一点x的导数都等于零.例1：求函数f(x)=x2在点x=1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程.解：f’(1)===2.∴曲线在点(1,1)处的切线方程为：y-1=2(x-1)，即y=2x-1.例2：证明函数f(x)=|x|在点x=0处不可导.证：f’(0)=，∵=1，=-1，∵不存在，∴f在点x=0处不可导.设f(x)在点x0可导，则ε=f’(x0)-是当△x→0时的无穷小量，于是ε·△x=o(△x)，即△y=f’(x0)△x+o(△x)，称为f在点x0的有限增量公式.该公式对△x=0仍成立.定理5.1：若函数f在点x0可导，则f在点x0连续.注：可导是连续的充分而非必要条件.例3：证明函数f(x)=x2D(x)仅在点x0=0处可导，其中D(x)为狄利克雷函数.证：当x0≠0时，由归结原理可得f在x= x0处不连续，∴f在x= x0处不可导.当x0=0时，∵D(x)有界，∴f’(0)==xD(x)=0.即f仅在点x0=0处可导.定义2：设函数y=f(x)在点x0的某右邻域(x0, x0+δ)上有定义，若右极限=(0<△x<δ)存在，则称该极限值为f在点x0的右导数，记作f’+(x0). 类似地，定义左导数为f’-(x0)==.右导数和左导数统称为单侧导数.定理5.2：若函数f在点x0的某右邻域内有定义，则f’(x0)存在的充要条件是：f’+(x0)与f’-(x0)都存在，且f’+(x0)=f’-(x0).例4：设f(x)=，讨论f(x)在x=0处的左右导数与导数.解：f’+(0)===0.f’-(x0) ===1.∵f’+(x0)≠f’-(x0)，∴f在x=0处不可导.二、导函数若函数在区间I上每一点都可导(区间端点只考虑单侧导数)，则称f为I上的可导函数. 对每一个x∈I，都有一个导数f’(x)(或单侧导数)与之对应，函数f’就称为f 在I上的导函数，简称为导数. 记作f’, y’或，即：f’(x)=, x∈I注：f’(x0)可写作：y’或例5：证明：(1)(x n)’=nx n-1，n为正整数；(2)(sinx)’=cosx，(cosx)’=-sinx；(3)(log a x)’=log a e (a>0，a≠1，x>0)，特别的(ln x)’=.证：(1)对于y=x n, ==x n-1+x n-2△x +…+△x n-1，∴(x n)’==(x n-1+x n-2△x +…+△x n-1)=x n-1=nx n-1.(2)∵==，由cosx在R上连续可得：(sinx)’==cosx.又==，由sinx在R上连续可得：(cosx)’== -sinx.(3)∵=log a=log a，又由log a x的连续性可得：(log a x)’=log a=log a=log a e.当a=e时，ln e=1，∴(ln x)’=.三、导数的几何意义曲线y=f(x)在点(x0,y0)的切线方程为：y-y0=f’(x0)(x-x0).即函数f在点x0的导数f’(x0)是曲线fy=(x)在点(x0,y0)的切线斜率.若α表示这条切线与x轴正方向的夹角，则f’(x0)=tanα.例6：求曲线y=x3在点P(x0,y0)处的切线方程与法线方程.解：y’=3x2, ∴f’(x0)=3x02==.当x0≠0时，曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=f’(x0)(x-x0)，即y=3x02x-2y0；法线方程为y-y0=(x-x0)，即y=x y0.当x0=0时，切线方程为y=0，法线方程为x=0.定义3：若函数f在点x0的某邻域U(x0)内对一切x∈U(x0)有f(x0)≥f(x)或f(x0)≤f(x)，则称f在点x0取得极大(小)值，称点x0为极大(小)值点. 极大值和极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.例7：证明：若f’+(x0)>0，则存在δ>0. 对任何x∈(x0,x0+δ)，有f(x0)<f(x).证：∵f’+(x0)=>0，由保号性可知，存在δ>0，对一切x∈(x0,x0+δ)，有>0，∴对任何x∈(x0,x0+δ)，有f(x0)<f(x).定理5.3(费马定理)：设函数f在点x0的某邻域内有定义，且在点x0可导，若点x0为f的极值点，则必有f’(x0)=0.我们称满足方程f’(x0)=0的点为稳定点. 稳定点不一定是极值点。
导数的定义与求法
导数的定义与求法导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
在数学中，导数的定义是极限的概念，可以通过一些基本的求导法则来求解。
本文将介绍导数的定义以及求导的方法。
一、导数的定义导数的定义是描述函数在某一点处的变化率。
对于函数f(x)，在某一点x=a处的导数表示为f'(a)，其定义为:f'(a) = lim (x→a) [f(x) - f(a)] / (x - a)其中lim表示取极限的操作。
这个极限表示当自变量趋近于a时，函数值对应的变化率的极限值。
二、求导法则除了使用导数的定义来计算导数外，数学家总结了一系列的基本求导法则，可以帮助我们更便捷地求导。
下面是几个常用的求导法则：1. 常数法则：对于常数c，导数为0。
d/dx (c) = 02. 幂法则：对于幂函数y = x^n，导数为nx^(n-1)。
d/dx (x^n) = nx^(n-1)3. 求和与差法则：对于函数y = u(x) ± v(x)，导数等于各个函数的导数的和或差。
d/dx [u(x) ± v(x)] = u'(x) ± v'(x)4. 乘积法则：对于函数y = u(x)v(x)，导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数的值再加上第一个函数的值乘以第二个函数的导数。
d/dx [u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)5. 商法则：对于函数y = u(x)/v(x)，导数等于分子函数的导数乘以分母函数的值再减去分子函数的值乘以分母函数的导数，再除以分母函数的平方。
d/dx [u(x)/v(x)] = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]^2三、应用举例为了更好地理解导数的定义和求导法则，我们来看几个实际应用的例子。
例1：求函数f(x) = 3x^2在x = 2处的导数。
根据导数的定义，我们可以计算出：f'(2) = lim (x→2) [3x^2 - 3(2)^2] / (x - 2)= lim (x→2) [3x^2 - 12] / (x - 2)= lim (x→2) (3(x + 2)(x - 2)) / (x - 2)= lim (x→2) 3(x + 2)= 3(2 + 2)= 12所以，函数f(x) = 3x^2在x = 2处的导数为12。
导数的定义与基本性质
导数的定义与基本性质一、导数的定义1. 导数的概念导数是描述函数在某一点上的变化率的量。
在函数f(x)的定义域中，函数在x=a处的导数表示函数的变化速率，记作f'(a)或df/dx|a。
2. 导数的几何意义函数在某一点的导数表示函数在该点切线的斜率。
斜率正表示函数递增，负表示函数递减，斜率为零表示函数有极值。
二、导数的基本性质1. 可导性若函数f(x)在某一区间内处处可导，则该函数在此区间上连续。
2. 代数运算(1) 常数函数的导数为零，即d/dx(c) = 0。
(2) 导数与函数的和差规则：[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)。
(3) 导数与函数的乘积规则：[f(x)·g(x)]' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)。
3. 反函数与复合函数(1) 若函数y=f(x)可逆，则其反函数y=f^(-1)(x)存在。
(2) 若函数f(x)在[a,b]上可导，且f'(x)≠0，则其反函数f^(-1)(x)在(f(a),f(b))上可导，且有(f^(-1))'(y) = 1 / f'(f^(-1)(y))。
4. 高阶导数若函数f(x)的导数f'(x)在某一区间内可导，则导数f'(x)的导数f''(x)称为函数f(x)的二阶导数。
依此类推，可以定义f(x)的任意阶导数。
5. 导数的应用导数可以用于求曲线的斜率、切线方程，求函数的极值点，分析函数的递增递减区间等。
结语：导数的定义与基本性质是研究微积分的重要内容，对于深入理解函数的性质和应用具有重要意义。
在实际问题中，导数在物理、经济、生物等领域的应用广泛，对于解决实际问题起到了重要的作用。
因此，理解导数的定义和基本性质对于学生的学习和发展是至关重要的。
导数的概念与基本运算
导数的概念与基本运算导数是微积分学中的重要概念，用以描述函数在某一点的变化率。
导数的概念和基本运算是学习微积分的基础，本文将介绍导数的定义、求导法则以及一些常见函数的导数，帮助读者掌握导数的概念与基本运算。
一、导数的定义函数的导数描述了函数在某一点附近的变化率，可以用数学符号表示为f'(x)。
在微积分中，导数的定义是：f'(x) = lim[∆x→0] (f(x+∆x) - f(x))/∆x其中，∆x表示自变量x的一个增量。
这个定义意味着当∆x无限趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化率就可用导数f'(x)来表示。
二、求导法则对于常见的函数形式，可以利用求导法则来求导。
以下是一些常见的求导法则：1. 常数法则：如果f(x)是一个常数，那么它的导数f'(x)等于0。
2. 幂函数法则：如果f(x) = x^n (n为实数)，那么它的导数f'(x) =nx^(n-1)。
3. 指数函数法则：如果f(x) = a^x (a>0, a≠1)，那么它的导数f'(x) =a^x ln(a)。
4. 对数函数法则：如果f(x) = ln(x)，那么它的导数f'(x) = 1/x。
5. 三角函数法则：如果f(x) = sin(x)，那么它的导数f'(x) = cos(x)，同样适用于cos(x)和tan(x)等三角函数。
6. 反函数法则：如果g(x)是函数f(x)的反函数，那么g'(x) =1/f'(g(x))。
以上是一些常见的求导法则，通过应用这些法则，可以求得更复杂函数的导数。
三、常见函数的导数除了常见的求导法则，还有一些特殊函数的导数需要记住。
以下列举了一些常见函数及其导数：1. 多项式函数：- f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n，其中a0, a1, ..., an为常数。
- f'(x) = a1 + 2a2x + 3a3x^2 + ... + nanx^(n-1)2. 指数函数：- f(x) = e^x- f'(x) = e^x3. 对数函数：- f(x) = ln(x)- f'(x) = 1/x4. 三角函数：- f(x) = sin(x)- f'(x) = cos(x)- f(x) = cos(x)- f'(x) = -sin(x)- f(x) = tan(x)- f'(x) = sec^2(x)通过记住这些函数的导数公式，可以简化函数的求导过程。
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f(x0 )表示y f (x)在x0处切线的斜率.
物理意义:
s(x0 )表示物体在x0处的瞬时速度.
从变化的观点看: f (x0 )表示函数在x0处的变化率.
2.导函数定义
f (x)在集合D内可导,则f (x)为x的函数, 称为导函数,
记为f (x), y, dy , df (x) dx dx
即 y lim f ( x x) f ( x)
(e x ) e x .
(5) y x( 0)
解 (x ) lim (x h) x
h0
h
[(1 h) 1]x
lim x
h0
h
h lim x x x1
h0 h
(x ) x1. ( R)
特别地 (xn ) nxn1.
4.左右导数
def2 单侧导数
1.左导数:
f(x0)源自xlim0但f(x)在x=0处连续.
例3
f(x)
sinx ln(1
x)
x x
0,问在x 0
0处可导否?
并求f (x),f ( ) 2
5.切线问题
导数的几何意义:
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) y 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率,即
f ( x0 ) tan , (为倾角)
六、小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2. f ( x0 ) a f( x0 ) f( x0 ) a; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
6. 判断可导性
不连续,一定不可导.
直接用定义; 连续
看左右导数是否存在且相等.
xo x
x0
x
ln(1 x)
lim
x
x lim x 1
x0 x
x0 x x
(lnx) 1 x
(4) f (x) ax(a 0,a 1)
解 (a x ) lim a xh a x
h0
h
a x lim a h 1 h0 h
a x ln a.
即 (a x ) a x ln a.
x 0
x
或 f (x) lim f (x h) f (x) .
h0
h
注意: 1. f ( x0 ) f ( x) xx0 . 表示f (x)在x x0的函数值 区别: f(x0 )与[f (x0 )]
3.导数公式 例1用定义求下列函数的导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
B 沿曲线C A, x x0 ,
x x0
x x0
切线AD的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
引例2 物体移动路程s f(t),求在t t0时的运动速度.
t : t0 t0 t
s f (t0 t) f (t0 )
s t
f
(t0
t) t
f
(t0
)
为物体在[t0
,
t0
t]内的平均速度,
lim
t0
s t
为物体在t0时的瞬时速度.
(二)导数的定义
1.定义1 设函数 y f (x)在点x0的某个邻域内有定义, 给 x0一个改变量 x, 相应地函数 y的改变量为
y f (x0
x) f (x0 );
如果 lim y 存在, x0 x
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x
x
y lim y .
x0 x
(1) y f (x) C(C为常数)
解 f (x) lim y lim f (x x) f (x) lim C C 0.
x0 x x0
x
x0 x
即 (C) 0.
(2) f (x) sin x, 并求(sin x) x . 4
一 、 导数概念
• 一.引例 • 二.导数的定义
(一).引例 引例1 求y f (x)在x0的切线的斜率. 思路:用割线AB逼近切线AC
AB B
AC
A
播放
y
如图, 设 A(x0 , y0 ),B(x, y).
y f (x)
B
CA
y y0 D
o
x0
x
x0
x
x
割线AB的斜率为 tan y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
b使f(x)
ax
x
2
b
x 1 处处可导 x 1
1
例6
讨论f(x)
2x 1
x
2
2
x
x0 0x1
, 1 x 2 x2
在x 0,1,2处的连续性, 可导性.
性质 设f(x)在x0可导, f (x0 ) 0(或f (x0 ) 0) 则在x0的某一邻域O (x0 )有
x x0时,f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 ))
证
函数f (x)在点x0可导,
lim
xx0
f
(x) x
f (x0 x0
)
f
(x0
)存在
lim (x
xx0
x0 )
0
lim (f
xx0
(x)
f (x0 ))
0
lim
xx0
f
(x)
f
(x0
)
函数 f ( x)在点 x0连续 .
#
推论：不连续函数一定不可导
在某点，可导 连续 有极限
例5
确定常数a,
例2 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解
f (x)
x
x
x
x0 ,
x 0
y y x
lim f (x) f (0) lim x 1,
x0
x
x x0
o
x
lim f (x) f (0) lim x 1.
x0
x
x x0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
同理可得 : (cos x) sin x
(3) y lnx
解: (ln x) lim y lim ln( x x) ln( x)
f
(x0
x) x
f
(x0
)
xlimx0
f
(x) x
f (x0 x0
) ;
2.右导数:
f (x0)
xlim0
f (x0
x) x
f
(x0 )
xlimx0
f (x) x
f
(x0
) ;
x0
★ 函数 f ( x)在点 x0处可导 f( x0 )= f ( x0 ).
★ f(x)在(a,b)可导: x0 (a,b),f (x)在x0可导 f(x)在[a,b]可导: (1) f(x)在(a, b)可导; (2) f (a),f (b)存在.
则称函数
y f (x)在点x0处可导,并称这个极限为函数 y f (x)
在点x0处的导数,
记为y
x
x0
,
f
(
x
0
),
df (x dx
)
|x
x0
即
y
y
x x0
lim
x0
x
lim x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
或f
'(x0 )
lim
xx0
f
(x) x
f (x0 ) x0
几何意义:
o
y f (x)
T
M
x0
x
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
y
y0
1 (x f (x0 )
x0 ),f
(x0
)
0
例4 求y sinx在x 处的切线方程和法线方程.
6.可导与连续的关系
性质3.2 y f(x)在x0可导 f (x)在x0连续,反之未必.
x x0时,f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 ))
因此,当f (x0 ) 0时,x0的某一去心邻域 O (x0 ) \ {x0 },是f (x) f (x0 ) 0
例7 设f(x)在[a,b]上连续,f(a) f(b) 0, f (a) 0, f (b) 0, 证 : f (x)在(a, b)内必有一根