导数的定义

xo x
x0
x
ln(1 x)
lim
x
x lim x 1
x0 x
x0 x x
(lnx) 1 x
(4) f (x) ax(a 0,a 1)
解 (a x ) lim a xh a x
h0
h
a x lim a h 1 h0 h
a x ln a.
即 (a x ) a x ln a.
f(x0 )表示y f (x)在x0处切线的斜率.
物理意义:
s(x0 )表示物体在x0处的瞬时速度.
从变化的观点看: f (x0 )表示函数在x0处的变化率.
2.导函数定义
f (x)在集合D内可导,则f (x)为x的函数, 称为导函数,
记为f (x), y, dy , df (x) dx dx
即 y lim f ( x x) f ( x)
证
函数f (x)在点x0可导,
lim
xx0
f
(x) x
f (x0 x0
)
f
(x0
)存在
lim (x
xx0
x0 )
0
lim (f
xx0
(x)
f (x0 ))
0
lim
xx0
f
(x)
f
(x0
)
函数 f ( x)在点 x0连续 .
#
推论：不连续函数一定不可导
在某点，可导 连续 有极限
例5
确定常数a,
o
y f (x)
T
M
x0
x
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
y
y0
1 (x f (x0 )
x0 ),f
(x0
)
0
例4 求y sinx在x 处的切线方程和法线方程.
6.可导与连续的关系
性质3.2 y f(x)在x0可导 f (x)在x0连续,反之未必.
b使f(x)
ax
x
2
b
x 1 处处可导 x 1
1
例6
讨论f(x)
2x 1
x
2
2
x
x0 0x1
, 1 x 2 x2
在x 0,1,2处的连续性, 可导性.
性质 设f(x)在x0可导, f (x0 ) 0(或f (x0 ) 0) 则在x0的某一邻域O (x0 )有
x x0时,f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 ))
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x
x
y lim y .
x0 x
(1) y f (x) C(C为常数)
解 f (x) lim y lim f (x x) f (x) lim C C 0.
x0 x x0
x
x0 x
即 (C) 0.
(2) f (x) sin x, 并求(sin x) x . 4
但f(x)在x=0处连续.
例3
f(x)
sinx ln(1
x)
x x
0,问在x 0
0处可导否?
并求f (x),f ( ) 2
5.切线问题
导数的几何意义:
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) y 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率,即
f ( x0 ) tan , (为倾角)
六、小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2. f ( x0 ) a f( x0 ) f( x0 ) a; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
6. 判断可导性
不连续,一定不可导.
直接用定义; 连续
看左右导数是否存在且相等.
例2 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解
f (x)
x
x
x
x0 ,
x 0
y y x
lim f (x) f (0) lim x 1,
x0
x
x x0
o
x
lim f (x) f (0) lim x 1.
x0
x
x x0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
t) t
f
(t0
)
为物体在[t0
,
t0
t]内的平均速度,
lim
t0
s t
为物体在t0时的瞬时速度.
(二)导数的定义
1.定义1 设函数 y f (x)在点x0的某个邻域内有定义, 给 x0一个改变量 x, 相应地函数 y的改变量为
y f (x0
x) f (x0 );
如果 lim y 存在, x0 x
x 0
x
或 f (x) lim f (x h) f (x) .
h0
h
注意: 1. f ( x0 ) f ( x) xx0 . 表示f (x)在x x0的函数值 区别: f(x0 )与[f (x0 )]
3.导数公式 例1用定义求下列函数的导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
同理可得 : (cos x) sin x
(3) y lnx
解: (ln x) lim y lim ln( x x) ln( x)
x x0时,f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 ))
因此,当f (x0 ) 0时,x0的某一去心邻域 O (x0 ) \ {x0 },是f (x) f (x0 ) 0
例7 设f(x)在[a,b]上连续,f(a) f(b) 0, f (a) 0, f (b) 0, 证 : f (x)在(a, b)内必有一根
(e x ) e x .
(5) y x( 0)
解 (x ) lim (x h) x
h0
h
[(1 h) 1]x
lim x
h0
h
h lim x x x1
h0 h
(x ) x1. ( R)
特别地 (xn ) nxn1.
4.左右导数
def2 单侧导数
1.左导数:
f
(x0
)
xlim0
则称函数
y f (x)在点x0处可导,并称这个极限为函数 y f (x)
在点x0处的导数,
记为y
x
x0
,
f
(
x
0
),
df (x dx
)
|x
x0
即
y
y
x x0
lim
x0
x
lim x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
或f
'(x0 )
lim
xx0
f
(x) x
f (x0 ) x0
几何意义:
f
(x0
x) x
f
(x0
)
xlimx0
f
(x) x
f (x0 x0
) ;
2.右导数:
f (x0)
xlim0
f (x0
x) x
f
(x0 )
xlimx0
f (x) x
f
(x0
) ;
x0
★ 函数 f ( x)在点 x0处可导 f( x0 )= f ( x0 ).
★ f(x)在(a,b)可导: x0 (a,b),f (x)在x0可导 f(x)在[a,b]可导: (1) f(x)在(a, b)可导; (2) f (a),f (b)存在.
一 、 导数概念
• 一.引例 • 二.导数的定义
(一).引例 引例1 求y f (x)在x0的切线的斜率. 思路:用割线AB逼近切线AC
AB B
AC
A
播放
y
如图, 设 A(x0 , y0 ),B(x, y).
y f (x)
B
CA
y y0 D
o
x0
x
x0
x
x
割线AB的斜率为 tan y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
B 沿曲线C A, x x0 ,
x x0
x x0
切线AD的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
引例2 物体移动路程s f(t),求在t t0时的运动速度.
t : t0Βιβλιοθήκη Baidu t0 t
s f (t0 t) f (t0 )
s t
f
(t0