第四章推理技术谓词逻辑
谓词逻辑的基本概念
三、4.4.6 三例不等
(x)(A(x) B(x)) (x)A(x) (x)B(x)
(x)(A(x) B(x)) (x)A(x) (x)B(x)
(x)(A(x) B(x)) (x)A(x) (x)B(x)
四、三个有趣的例子 4.4.7 积木世界的形式描述
若以P(x)表示x是有理数，Q(x)表示x是实数， 这句话的形式描述应为
(x)(P(x)Q(x))
“所有的……都是……”，这类语句的形式描述 只能使用而不能使用∧. 当P(x)与Q(x)为此例 中的谓词常项时，上式真值与论域无关。
4.4.2 “有的实数是有理数”的形式化
以P(x)表x是有理数，Q(x)表示x是实数，这句 话的形式描述应为 (x)(P(x)∧Q(x))
辑的个体域除明确指明外，都认为是包括一切事 物的一个最广的集合．以D表示． 谓词的变化范围:不做特别声明时，指一切关系或 一切性质的集合． 同一谓词在不同论域下的描述形式可能不同，所 取的真假值也可能不同．
4.1.3 谓词的抽象定义
将谓词视作为一个个体的性质或多个个体间的 关系．还可进一步抽象地定义: 谓词是给定的个体域到集合｛T，F｝上的一个 映射．
设P(x，y)是二元谓词，对两个变元的量化可得4 种形式．
(1) (x)(y)P(x, y) (x)((y)P(x, y))
注意x和y可交换
(2) (x)(y)P(x, y) (x)((y)P(x, y))
注意x和y不可交换，且y是x的函数
(3) (x)(y)P(x, y) (x)((y)P(x, y))
非合式公式： (x)F(x)∧G(x),违反第三条 (x)((x)F(x)),违反第四条 (x)P(y)违反第四条
谓词 基本推理公式
谓词基本推理公式
谓词逻辑是逻辑学中的一种形式系统，它使用谓词来表达命题的性质和关系。
基本推理公式是谓词逻辑中的一些基本规则，用于推导命题的真假。
以下是几个常用的谓词逻辑基本推理公式：
1. 交换律：A→B ↔ B→A
2. 结合律：(A→B)→C ↔ A→(B→C)
3. 吸收律：A→(B∧C) ↔ (A→B)∧(A→C)
4. 分配律：(A∧B)→C ↔ A→(B→C)
5. 重写律：A→B ↔ ¬B→¬A
6. 否定引入律：¬(A∧B) ↔ (¬A∧¬B)
7. 否定消去律：¬¬A ↔ A
8. 双条件引入律：A↔B ↔ (A→B)∧(B→A)
9. 双条件消去律：A↔B ↔ (A∧B)∨(¬A∧¬B)
10. 全称量词引入律：∀x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
11. 存在量词引入律：∃x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
这些基本推理公式是谓词逻辑的基础，可以用于推导其他命题的真假。
在具体使用时，需要根据命题的具体情况进行选择和应用。
离散数学第四章 一阶逻辑基本概念
(1) 非空个体域DI (2) 对每一个个体常项ai, a i DI, 称作ai在I中的解释 (3) 对每一个函数符号fi, 设其为m元的, 元函数, 称作fi在I中的解释
fi 是DI上的m
是一个n元
(4) 对每一个谓词符号Fi, 设其为n元的, Fi 谓词, 称作Fi在I中的解释
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实例
例4.8 给定解释I 如下: (a) 个体域 D=N (b) a 2 (c) f ( x, y) x y, g ( x, y) xy (d) 谓词 F ( x, y) : x y 说明下列公式在 I 下的含义, 并讨论其真值 (1) xF(g(x,a),x) x(2x=x) 假命题 假命题
合式公式又称谓词公式, 简称公式
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量词的辖域
定义4.5 在公式xA和xA中, 称x为指导变元, A为相应量 词的辖域. 在x和x的辖域中, x的所有出现称为约束出现， A中不是约束出现的其他变项称为自由出现 例4.6 公式 x(F(x,y)yG(x,y,z)) x的辖域:(F(x,y)yG(x,y,z))， 指导变元为x y的辖域:G(x,y,z)， 指导变元为y x的两次出现均为约束出现 y的第一次出现为自由出现, 第二次出现为约束出现 z为自由出现.
谓词逻辑的推理规则和证明方法
谓词逻辑的推理规则和证明方法谓词逻辑是一种用于描述命题关系以及推理过程的数学逻辑系统。
在谓词逻辑中，我们使用谓词来表示性质或关系，通过逻辑连接词进行命题的组合和推理。
本文将介绍谓词逻辑中常用的推理规则和证明方法。
一、谓词逻辑的基本符号与概念在谓词逻辑中，我们使用以下基本符号：1. 命题变量：用大写字母（如P，Q，R）表示命题变量，表示一个命题。
2. 常量：用小写字母（如a，b，c）表示常量，表示一个具体的个体。
3. 谓词：用小写字母或小写字母加括号（如P(x)，Q(y)）表示谓词，表示一个性质或关系。
4. 量词：∀表示全称量词（对于所有的），∃表示存在量词（存在一个），用于描述一组对象。
在谓词逻辑中，我们还会用到以下概念：1. 公式：一个命题是谓词逻辑中的公式。
2. 全称量化：∀xP(x)表示谓词P(x)对于所有的x成立。
3. 存在量化：∃xP(x)表示谓词P(x)存在一个x使得成立。
二、推理规则在谓词逻辑中，我们常用以下推理规则进行逻辑推理：1. 求取命题的否定：将命题的否定写为¬P(x)，表示该命题不成立。
2. 逻辑与的消除：若已知P(x)∧Q(x)，则可以得到P(x)和Q(x)。
3. 逻辑或的消除：若已知P(x)∨Q(x)，则可以得到P(x)或Q(x)。
4. 蕴含的引入：若已知P(x)成立，则P(x)→Q(x)也成立。
5. 蕴含的消除：若已知P(x)→Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
6. 等价的引入：若已知P(x)↔Q(x)成立，则P(x)和Q(x)等价。
7. 等价的消除：若已知P(x)↔Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
三、证明方法在谓词逻辑中，我们可以使用以下证明方法进行推理证明：1. 直接证明：假设命题P(x)为真，通过推理规则逐步推导出Q(x)为真，从而得到P(x)→Q(x)。
2. 反证法：假设命题P(x)为假，通过推理规则逐步推导出Q(x)为假，从而得到¬P(x)→¬Q(x)。
公共逻辑课课件 第四章 直言命题及其推理
主项存在问题
对当关系成立要以主项的存在为条件。如果主项不存在，即个体 词所指称的东西不存在。则对当关系中除了矛盾关系外，均不成 立。
当x不存在时，即个体域是空集，那么我们可以去掉量词，只考虑不带量 词的情况。全称肯定命题是（x）（FxEx），去掉量词是FxEx，x 不存在则Fx是假的，那么，依据实质蕴涵的定义，无论Ex是真还是假， FxEx都是真的。因此（x）（FxEx）真；同理也可以看出。全称 否定命题（x）（FxEx）是真的；反对关系是“不可同真的，可以 同假”的关系，因此，主项不存在时反对关系不存在。 再看下反对关系，在x不存在，当Fx假时，则Fx∧Ex一定为假， Fx∧Ex也一定为假；因此“不可同假，可以同真”的下反对关系不存 在。 差等关系是“全称命题真则存在命题真，反之不成立，存在命题假则全 称命题假。反之不成立”，从上面的分析可知差等关系在主项不存在时 也不成立。 矛盾关系成立：因为在主项不存在时全称命题恒真，而且存在命题恒假， 因此它们有“不同真，不同假”的矛盾关系。要注意主项不存在时，不 仅A与O，E与I之间有矛盾关系，而且A与I，E与O之间也有矛盾关系。
证明
ＳＯＰ→ＳＩＰ真，当且仅当，SOP真并且SIP不假。 用欧拉图可以知道SOP真有三种情况：S真包含P、交叉和全异。 S与P有真包含关系、交叉关系、全异关系情况，用有影线的部分表示P：
例如，“苏格拉底是个哲学家”和 “人是哲学家”这两个命题中的“苏 格拉底”是个体，“人”是个体类。 个体的“苏格拉底”本身就有存在的 含义，但“人”只是一个“类”，是 用来陈述所有属于这个类的个体的一 个方便的语词，当然它也概括反映了 全部此类个体的共同性质。因此，用 “哲学家”描述苏格拉底是合适的， 但用来描述“人”就不是合适的。因 为哲学家可能是某个人的性质，但决
谓词逻辑的基本原理和推理方法
谓词逻辑的基本原理和推理方法谓词逻辑是数理逻辑的一种形式，它主要研究陈述句的真值和推理关系。
本文将探讨谓词逻辑的基本原理和推理方法，以帮助读者进一步理解和运用这一重要的逻辑体系。
一、谓词逻辑的基本原理谓词逻辑是由Richard Montague在20世纪50年代提出的，它是一种基于谓词和量词的逻辑形式。
谓词是描述个体和关系的词汇，而量词则表示个体的范围。
基于这些基本元素，谓词逻辑涉及命题的真值判断和逻辑推理。
1. 命题的真值判断在谓词逻辑中，命题的真值可以通过公式化的方式进行判断。
具体而言，谓词逻辑使用谓词和个体常量构建公式，通过赋值给个体常量和谓词变量来确定命题的真假。
这种方法可以使我们更加准确地判断复杂命题的真值。
2. 逻辑运算符谓词逻辑中常用的逻辑运算符包括否定、合取、析取、蕴涵和双条件。
通过这些逻辑运算符，我们可以对命题进行复合运算，并获得更加精确的逻辑推理。
3. 量词的运用量词在谓词逻辑中起着重要作用，它用来限定命题的个体范围。
通常使用的量词有普遍量词和存在量词，分别表示“对于所有的”和“存在一个”。
量词的运用使得我们能够对具有普遍性或存在性的命题进行精确的描述和推理。
二、谓词逻辑的推理方法谓词逻辑在推理中有着广泛的应用。
下面介绍几种常用的推理方法。
1. 求解真值通过给定谓词和量词的赋值，可以求解命题的真值。
这种方法可以通过证明或反证法来进行，根据不同的情况选择合适的推理策略。
2. 归结推理归结推理是一种通过消解规则进行推理的方法。
它通过将多个命题进行归结，从而得到新的命题。
这种方法在人工智能领域得到广泛应用。
3. 等词推理等词推理是一种通过等词的等同性进行推理的方法。
它通过推导两个等词相等的命题，从而间接地得出新的命题。
等词推理在代数逻辑和数学中有着重要的应用。
4. 形式化推理形式化推理是一种将命题转化为形式逻辑公式来进行推理的方法。
通过将推理过程形式化，可以减少人为因素的干扰，提高推理的准确性和可靠性。
第四章 推理技术
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3
置换
合一
寻找相对变量的置换，使两个谓词公式一致 置换可以结合： (Ls1)s2=L(s1s2), 用s1和s2相继作用于L与用s1s2作用于L相同； 不可交换：s1•s2≠s2•s1 例：设有公式集F＝{P (x, y, f(y)), P (a, g(x), z)}
λ＝{a/x, g(a)/y, f(g(a))/z}是它的一个合一 一般说来，一个公式集的合一不唯一。
目的
例如：全称化推理：（∀x）P (x) ⇒ P (y), y是个体域中的任意个体； 假言推理：P, P→Q ⇒ Q 由W1(A) 和（∀x）(W1(x) →W2(x)) 推出W2(A)。
寻找项对变元的置换，使谓词一致
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置换
在一个谓词公式中用置换项去置换变量。
置换
{a/x，c/y，f(b)/z} {g(y)/x，f(x)/y} {g(a)/x，f(x)/y}
如果D是任意非空个体域，则称P与Q是等价的，记作P<==>Q。
对自由出现的个体变元用与原公式中所有个体变元符号不同的变量符号去替代
∀x P (x, y) ∧ R (x, y)
∀x P (x, y) ∧ R (w, y)
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常用的等价式
（1）双重否定律 ¬¬P <==> P （2）交换律 P∨Q<==>Q∨P， P∧Q <==>Q∧P （3）结合律 （P∨Q）∨R<==> P∨（Q∨R）， （P∧Q）∧R<==>P ∧（Q∧R） （4）分配律 P∨（Q∧R）<==>（P∨Q）∧（P∨R） P∧（Q∨R）<==>（P∧Q）∨（P∧R） （5）狄·摩根定律 ¬（P∨Q）<==> ¬P∧¬Q； ¬（P∧Q）<==>¬P∨¬Q （6）吸收律 P∨（P∧Q）<==> P， P∧（P ∨ Q）<==> P
逻辑学导论第四章
一个变项，如果在一个公式中有约束出现，则称它是“约束 变项”；如果在一个公式中有自由出现，则称它是“自由变 项”。因此，一个体变项在一个公式中可以既是约束变项又 是自由变项。
一个含有至少一个自由变项的公式，叫做“开公式”。开公 式的意义不确定，没有确定的真假。一个不含任何自由变项 的公式，叫做“闭公式”。在给定论域及其解释后，闭公式 有确定的意义，也有确定的真假。
◦ （ii）如果A是公式，则A是公式。 ◦ （iii）如果A和B都是公式，则A∧B，A∨B，AB，AB是公
式。 ◦ （iv）如果A是公式，则xA，xA是公式。 ◦ （v）只有按以上方式形成的符号串是公式。
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重叠的量词和重叠的量化式
◦ “重叠量词”指在一个量词的辖域内还有另外的量词。包 含重叠量词的公式就叫做“重叠量化式”。
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一阶语言 （Ⅰ）初始符号
◦ （i）个体变项：x，y，z，… ◦ （ii）个体常项：a，b，c，… ◦ （iii）谓词符号：F，G，R，S，… ◦ （iv）量词：全称量词，存在量词 ◦ （v）联结词：，∧，∨，， ◦ （vi）辅足性符号：逗号，，左括号（，右括号）。
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（Ⅱ）形成规则
◦ （i）一个谓词符号F，后面跟有写在一对括号内、并用逗点适当 分开的n个个体词（n≥1），是原子公式。
如果一个谓词逻辑的公式，对于有些赋值为真，对于有些赋 值为假，则称该公式是偶真式，但非普遍有效式。所有的偶 真式都是可满足式。
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普遍有效式举例
◦ （1）xF(x)F(y) ◦ （2）F(y) xF(x) ◦ （3）x(F(x)∨F(x)) ◦ （4）x(F(x)∧F(x))
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◦ （5）xF(x) xF(x) ◦ （6）xF(x) xF(x) ◦ （7）x(F(x) G(x))(xF(x) xG(x)) ◦ （8）x(F(x)∧G(x))(xF(x)∧xG(x)) ◦ （9）x(F(x)∨G(x))( xF(x)∨xG(x)) ◦ （10）xyR(x, y)yx R(x, y)
《人工智能》--课后习题答案
《人工智能》课后习题答案第一章绪论1.1答：人工智能就是让机器完成那些如果由人来做则需要智能的事情的科学。
人工智能是相对于人的自然智能而言，即用人工的方法和技术，研制智能机器或智能系统来模仿延伸和扩展人的智能，实现智能行为和“机器思维”，解决需要人类专家才能处理的问题。
1.2答：“智能”一词源于拉丁“Legere”，意思是收集、汇集，智能通常用来表示从中进行选择、理解和感觉。
所谓自然智能就是人类和一些动物所具有的智力和行为能力。
智力是针对具体情况的，根据不同的情况有不同的含义。
“智力”是指学会某种技能的能力，而不是指技能本身。
1.3答：专家系统是一个智能的计算机程序，他运用知识和推理步骤来解决只有专家才能解决的复杂问题。
即任何解题能力达到了同领域人类专家水平的计算机程序度可以称为专家系统。
1.4答：自然语言处理—语言翻译系统，金山词霸系列机器人—足球机器人模式识别—Microsoft Cartoon Maker博弈—围棋和跳棋第二章知识表达技术2.1解答：（1）状态空间(State Space)是利用状态变量和操作符号，表示系统或问题的有关知识的符号体系，状态空间是一个四元组（S，O，S0，G）：S—状态集合;O—操作算子集合;S0—初始状态,S0⊂S;G—目的状态,G⊂S,(G可若干具体状态，也可满足某些性质的路径信息描述)从S0结点到G结点的路径被称为求解路径。
状态空间一解是一有限操作算子序列，它使初始状态转换为目标状态：O1 O2 O3 OkS0→−−−S1→−−−S2→−−−……→−−−G其中O1，…，Ok即为状态空间的一个解(解往往不是唯一的)（2）谓词逻辑是命题逻辑的扩充和发展，它将原子命题分解成客体和谓词两个部分。
与命题逻辑中命题公式相对应，谓词逻辑中也有谓词（命题函数）公式、原子谓词公式、复合谓词公式等概念。
一阶谓词逻辑是谓词逻辑中最直观的一种逻辑。
（3）语义网络是一种采用网络形式表示人类知识的方法。
谓词逻辑(4)
逻辑树方法
（1）全称量词消去规则 （ -） xAx | A(x/t) [A(x/t)表示消去全称量词x，并用个体词t代入A中的个体变 元x的每一次出现而得到的公式。]
命题自然推理的规则
规则 D 在推理过程中如果在原有前提下，假 定A，因而推出B，则在原有前提下就可以推出 A B。 归谬规则：如果从一前提集和A的否定可以推出 矛盾，则可以从该前提集推出A。
[例1]
如果工资提高(p)，或者物价提高(q) ，则将有通货膨胀 (r) 。如果通货膨胀，则或者国家将采取紧缩政策(s) ， 或者人民将遭受损失(t) 。如果人民遭受损失，改革就 会失去人心(u) 。国家将不采取紧缩政策，并且改革不 会失去人心。因此，物价不会提高。 pq r r s t t u s u …… q
是敌人。
Dx表示x是敌人，Yx表示x是友好的，论域为全域。 x(Dx → Yx)
…… x(Yx → Dx)
(1) x(Dx → Yx) (2) Dy → Yy (3) Dy Yy (4) Yy Dy (5) Yy → Dy (6) x(Yx → Dx) 推理有效。
构造真值树的规则，也称为生成新枝规则，包括
（1）合取分解规则：A B A B
（2）析取分解规则：A B
A B
（3）双否分解规则： A A
（4）蕴含分解 规则: A B A B （5）等值分解 规则: A B A B A B
第四章、谓词逻辑
命题逻辑是关于命题联结词用法的逻辑理论。在命题逻辑中，简单命题 不含任何命题联结词，因此它们用字母p、q、r等表示；每个复合命题都是从 简单命题运用命题联结词构造起来的。真值表方法能够用来判定一个仅仅涉 及命题联结词的推理是否有效，命题逻辑的自然演绎系统能够证明任何命题 逻辑的有效推理形式。但是，还有一些有效的推理形式是命题逻辑不能处理 的，例如下面的三段论：
更一般地，有n元谓词符号，表示n个个体之间的关系，用H(t1, …, tn)表达t1, …, tn 所代表的n个个体具有H所代表的关系。例如下面的三元关系：
（9）武汉位于重庆与上海之间。
（10）孙悟空、猪八戒和沙和尚是师兄弟。
这两个命题很容易写成用三元谓词符号表达的三元关系。对命题（9），用a表 示“武汉”，b表示“重庆”，c表示“上海”，用H(x1, x2, x3)表示“x1位于x2和x3之 间”，那么H(a, b, c)表示“武汉位于重庆与上海之间”。命题（10）的符号形式类似 表示。
除了“所有”和“有的”这两个量词之外，自然语言中还有许多量词。例如，至 少有两个、至多有两个、恰好有两个；大多数、少许、许多；有穷多个、无穷多个， 等等。在谓词逻辑中，我们仅仅关心“所有”和“有的”这两个量词以及能够在谓词 逻辑中定义的其它量词，如至少有两个、至多有两个、恰好有两个，等等。
第二节 谓词逻辑的形式语言
我们构造项的符号有三种：个体变元：个体常元：c0, c1, c2, …；个体常元：x0, x1, x2, …；n（1自然数）元函数符号：fn, gn, hn, …。我们用s、t等代表任何项。项是 按如下规则构造的表达式：
（T1）每个个体变元x是项。
（T2）每个个体常元c是项。
（T3）如果t1, …, tn是项并且f是一个n元函数符号，那么f(t1, …, tn)是项。 （T4）只有按照（T1）—（T3）构造的表达式才是项。
数学逻辑推理：通过逻辑推理训练提高学生的数学思维和问题解决能力
案例分析2
解析案例中的推理过程和 方法
集合论实践
01 实践一
应用集合论解决实际问题
02 实践二
讨论集合运算的实际意义
03
● 05
第五章 数学逻辑推理的训练 方法
逻辑思维训练的 重要性
逻辑思维是数学推理 的基础，需要通过训 练不断提高。强化逻 辑思维训练可以帮助 学生更好地理解数学 问题和解决难题。
结语
数学逻辑推理在学习 和教育中具有重要意 义。通过逻辑推理的 训练，学生不仅可以 提高数学思维和问题 解决能力，还能培养 出严谨的思维方式， 为未来的学习和工作 打下坚实的基础。鼓 励学生在日常学习中 多加练习逻辑推理， 不断提升自己的能力。
结语
重要性
提高思维能力 培养解决问题能力
实践意义
应用于日常生活 提升工作效率
数学逻辑推理的定义
逻辑规则和 推理方法
解决数学问题的 过程
要求逻辑思 维
进行分析和解决 问题
数学逻辑推理的分类
01 命题逻辑
规则和方法锻炼思维能力
02 谓词逻辑
逻辑形式帮助解决问题
03 集合论
独特规则和方法
数学逻辑推理的应用
数学领域
重要应用场景
日常生活
解决问题能力提升
其他学科
思维清晰度提升
谓词逻辑的概念 和特点
谓词逻辑是一种更为 复杂的逻辑形式，研 究命题中的主语和谓 语之间的关系。学习 谓词逻辑可以帮助学 生深入理解数学问题 的本质和内在逻辑。
谓词逻辑的量词
全称量词
用于表达全部对 象满足某种性质
存在量词
用于表达至少一 个对象满足某种
性质
谓词逻辑的复合命题
01 合取
第四章、谓词逻辑-李娜 (1)
我们也可以从函数符号复合得到新的函数符号，因此，从给定的个体词通过函 数复合可以得到新的个体词。例如，令f(x)表示“x的父亲”。那么我们有如下复合 函数：
每个项都是从个体变元和个体常元用函数符号构造起来的。最后，我们来看每个 项如何代表个体。为了谈论一些个体，首先要确定一个个体范围。这在数学中是常 见的，比如谈论实数、自然数、有理数或者整数，等等。在谈论项代表的个体时， 首先要明确所谈论的个体是取自哪个范围的。我们把这样的个体范围叫作论域，一 般地用D、W等表示论域。我们要假定论域是非空的，即每个论域至少有一个元素。
猫科动物都是哺乳动物。（p）
老虎都是猫科动物。 （q）
所以，老虎都是哺乳动物。（r）
这个推理是正确的。但是从命题逻辑的观点看，这个推理的前提和结论 分别是三个简单命题p、q和r。在命题逻辑中，从p和q不能推出r。
虽然传统三段论是有效的，但是传统三段论的推理形式是有限的，无法 处理一些更复杂的推理，比如：
这里f(x)是一个函数，它是以一些个体作为个体变元x的取值，从而得到另一个个 体作为它的函数值。像这样只有一个个体变元的函数称为一元函数。相应地还有一 些二元函数，例如：
（s1）x与y的和 （s2）中国与美国之间的最大海洋 （s3）直线x与直线y的交点 这三个表达式也都是个体词，因为它们代表唯一的个体。但是它们不是由一元 函数形成的，而是由二元函数形成的个体词。例如（s2），我们用g(x,y)表示x和y之 间的最大海洋；用a表示“中国”，用b表示“美国”，那么（s2）就写成g(a,b)。 一般地说，一个n元函数符号是带有n个个体变元的函数符号，记为f(x1, …, xn)。 这样我们得到构成第三种个体词的符号：
04-2第四章 推理技术-谓词逻辑
第4章 推理技术
解 释(语义)
语言的解释是在某个论域(domain)中定义非逻辑 符号。语句的语义是在解释下定义出语言L的真假值。 I是L的一个解释，且在I中为真，则记为 I ⊨ ，称作I满足 ，或者I 是的一个模型。 类似地，给定一个语句和一个语句 ，如果对 每个解释I ，有I ⊨ 蕴含I ⊨ ，换言之，如果I 是 的一个模型则I也是的一个模型，则记为 ⊨ ，我 们称为的一个逻辑结果。
推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。也叫做符号逻
辑。 20世纪30年代，数理逻辑广泛发展，成为数学和计算 机科学基础。
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第4章 推理技术
逻辑系统
一个逻辑系统是定义语言和它的含义的方法。
逻辑系统中的一个逻辑理论是该逻辑的语言的一个语句集合，它包括： • 逻辑符号集合：在所有该逻辑的逻辑理论中均出现的符号；
逻辑学与计算机科学
• 逻辑学：研究思维规律的科学 • 计算机科学：模拟人脑行为和功能（思维）的科学 • 思维：大脑、逻辑、语言、计算机 • 逻辑是知识表示和推理的重要形式和工具
第4章 推理技术
逻辑的历史
• Aristotle——逻辑学 • Leibnitz——数理逻辑： 逻辑+数学 • Gottlob Frege (1848-1925)——一阶谓词演算系统 逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早 由古希腊学者亚里士多德创建的。用数学的方法研究关于
1、在一条街上，有5座房子，喷了5种颜色； 2、每个房里住着不同国籍的人； 3、每个人喝不同的饮料，抽不同品牌的香烟，养不同的 宠物。
问题是：谁养鱼？
第4章 推理技术
爱因斯坦的世界难题（2）
条件是：
1、英国人住红色房子； 2、瑞典人养狗； 3、丹麦人喝茶； 4、绿色房子在白色房子左面； 5、绿色房子主人喝咖啡； 6、抽PallMall香烟的人养鸟； 7、黄色房子主人抽Dunhill香烟；
第四章一阶逻辑的基本概念详解
谓词常项 谓词变项
如, S： … 是大学生, 如, F： … 具有性质F
S(a)
F(x)
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在谓词中包含的个体变元数目称为谓词的元数。与一个个 体变元相联系的谓词叫一元谓词，与多个个体变元相联系 的谓词叫多元谓词。
n(n1)元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如：S(x)是一元谓词 L(x,y)：x与 y 有关系 L是二元谓词
xy(F(x)G(y)L(x,y))
(2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y) ) )
或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
0元谓词——不含个体变项的谓词
特别的，若F,G,S,L为谓词常项，则方为命题
量词
量词——表示数量的词 (1)全称量词: 表示所有的,任意的，每一个等 x : 对个体域中所有的x 如, xF(x)表示个体域中所有的x具有性质F xyG(x,y)表示个体域中所有的x和y有关系G (2)存在量词: 表示存在, 有一个 x : 个体域中有一个x 如, xF(x)表示个体域中有一个x具有性质F xyG(x,y)表示个体域中存在x和y有关系G xyG(x,y)表示对个体域中每一个x都存在一个y使得 x和y有关系G xyG(x,y)表示个体域中存在一个x使得对每一个y, x和y有关系G
(3) 如果2>3，则3<4
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实例2
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解 (a) (1) xG(x), G(x)：x爱美
(2) xH(x), H(x)：x用左手写字 (b) M(x)：x为人
谓词逻辑知识点总结
谓词逻辑知识点总结一、语言和推理的形式化语言和推理的形式化是数理逻辑的基础，它主要研究如何用严格的符号化方法来表示和分析自然语言中的语言和推理。
在谓词逻辑中，我们通常将自然语言中的命题分解成基本的谓词和常量，然后用谓词逻辑公式来表示这些命题。
例如，对于命题“人类都是有智慧的”，我们可以用P(x)来表示“x是人类”，用Q(x)表示“x有智慧”，那么这个命题可以表示为∀x(P(x)→Q(x))。
而推理的形式化则主要是研究如何用逻辑规则和演绎推理方法来推导出符合逻辑规律的结论。
二、谓词演算及其语义谓词逻辑的核心内容就是谓词演算，它是一种用来分析和推导谓词逻辑公式的形式系统。
谓词演算主要包括语法、语义和推导三个方面。
在语法方面，我们主要研究谓词逻辑公式的形式和结构，包括原子公式、复合公式和量词公式等。
在语义方面，我们主要研究谓词逻辑公式的意义和解释，包括谓词的扩展、量词的解释、模型的概念等。
在推导方面，我们主要研究如何用逻辑规则和推导方法来推导谓词逻辑公式的推导系统。
三、逻辑推导逻辑推导是谓词逻辑的核心内容之一，它主要研究如何用逻辑规则和演绎推理方法来推导出新的谓词逻辑公式。
在逻辑推导中，我们主要研究形式系统中的推理规则和推导方法，包括假言推理、析取推理、量词引入和消去等基本推理规则。
通过逻辑推导，我们可以推导出符合逻辑规律的结论，从而解决一些具体的逻辑问题。
四、完全正式系统完全正式系统是谓词逻辑的一个重要概念，它主要指的是一个完全形式化的逻辑系统，包括语法、语义和推导等方面。
在完全正式系统中，我们可以用严格的形式化方法来表示和分析逻辑语言和推理，从而解决一些具体的数理逻辑问题。
完全正式系统的建立对于谓词逻辑的发展具有重要意义，它不仅为逻辑学理论的研究提供了统一的规范框架，同时也为数理逻辑在实际应用中的推广提供了重要的理论基础。
五、争议在谓词逻辑的发展过程中，一些争议性问题也是不可避免的。
比如，有关谓词逻辑的语言和推理的形式化方法，不同的学者有着不同的观点和理论，针对谓词逻辑公式的语法和语义，也存在一些争议性问题。
第四章 确定性推理
（非）加在谓词公式前面，称为否定，或取反。 （与）连接谓词公式，称为合取； 产生的逻辑语句称为合取式，每个成分成为合取项。
（或）连接谓词公式，称为析取； 产生的逻辑语句称为析取式，每个成分成为析取项。
（蕴涵）连接谓词公式产生蕴涵式； 左部称为前项，右部称为后项。 （等价）连接谓词公式产生等价式；正、逆向蕴涵式的合取。
推理的控制策略
④ 双向推理 双向推理是指正向推理与逆向推理同时进行，且在 推理过程中的某一步骤上“碰头”的一种推理。 正向推理所得的中间结论恰好是逆向推理此时要求 的证据 2、求解策略 推理是只求一个解还是求所有解以及最优解等 3、限制策略 对推理的深度、宽度、时间、空间等进行限制
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4.1 推理技术概述
1、演绎推理、归纳推理、默认推理 推理的基本任务是从一种判断推出另一种判断 按判断推出的途径来划分，可分为演绎推理、归纳推理 及默认推理 （1）演绎推理
演绎推理是从全称判断推导出特称判断或单称判断的过程 演绎推理有多种形式，经常用的是三段论式 三段论式包括 大前提：已知的一般性知识或假设 小前提：关于所研究的具体情况或个别事实的判断 结论：由大前提推出的适合于小前提所示情况的新判断
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推理的控制策略
推理过程是一个思维过程，即求解问题的过程 推理的控制策略主要包括推理方向、搜索策略、 冲突消解策略、求解策略及限制策略等 1、推理方向 推理方向用于确定推理的驱动方式，分为正向 推理、逆向推理、混合推理及双向推理四种
知识库 综合数据库 推理机
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推理的控制策略
① 正向推理 正向推理是从初始状态出发，使用规则， 到达目标状态。又称为数据驱动推理、前向链 推理、模式制导推理及前件推理。 ② 逆向推理 逆向推理是以某个假设目标为出发点的 一种推理，又称为目标驱动推理、逆向链推理 、目标制导推理及后件推理。
逻辑学第四章谓词逻辑
严格地讲，一阶语言的语义解释就是在把个体词解释 成为个体域中的个体、把谓词解释为个体域中的性质或个 体域上的关系的基础上，确定公式的真值即给公式赋值。
2021年4月23日星期五
第四章 谓词逻辑
第一节 谓词逻辑概述
命题逻辑和谓词逻辑
命题逻辑：不分析简单命题内部结构，讨论关于联 结词的推理理论。例如：
如果某甲作案，那么他一定有作案动机。 某甲没有作案动机。 所以，某甲没有作案。
谓词逻辑：分析简单命题有作案动机。 某甲没有作案动机。 所以，某甲不是作案者。
可满足性
设A是公式， µ是任意模型；如果存在赋值δ，使得δ（A）=T，则称模型µ满足A， 记为： µ =A，否则，称模型µ 不满足A，记为： µ ≠ A。
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公式的基本语义定义
设一阶语言L 包括二元谓词符号G，个体常项a和b，取模型µ，使得个体域D 是整数，Gµ是“＜”（整数上的小于关系），aµ=10，bµ=11。δ=〈µ,ρ〉,其中ρ 为：ρ(x)=－2，ρ(y)=13，ρ(z)=8，…
那么：δ(Gab)=T(命题“10＜11”为真)； δ(Gay)=T(命题“10＜13”为真)； δ(Gyx)=F(命题“13＜－2”为假)。
（1）对于公式Px→Qx，用A(x)来表示x是自由变元：A(x)：Px→Qx （2）对于公式x(Qx∧Rxy)，用B(y)来表示y是自由变元：B（y）：x(Qx∧Rxy)；（3）用个 体变元y代替A(x)中的自由变元：A(x/y)：Py→Qy； （4）用常元a代替A(x)中的自由变元：A(x/a)：Pa→Qa。
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– City（北京） – City（上海） – Age（张三，23） – (x)( y)( z) (F(x, y)F(y, z)GF(x, z)）
第4章 推理技术
谓词逻辑中的形式演绎推理
将自然语言中的陈述语句 利用谓词公式表示
利用逻辑等价式 将谓词公式进行变换
第4章 推理技术
逻辑的历史
• Aristotle——逻辑学 • Leibnitz——数理逻辑： 逻辑+数学 • Gottlob Frege (1848-1925)——一阶谓词演算系统
逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早 由古希腊学者亚里士多德创建的。用数学的方法研究关于 推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。也叫做符号逻 辑。 20世纪30年代，数理逻辑广泛发展，成为数学和计算 机科学基础。
第4章 推理技术
逻辑推理举例
经典推理：苏格拉底之死
如何判别谎言？ ABC三人都喜欢说谎话，偶尔也说真话。某天，A指责B说谎 话，B指责C说谎话，C说AB两人都在说谎话。问谁在说谎？
第4章 推理技术
有几条疯狗？
村里有50户人家，每家都养了一条狗。现发现村子里面出现 了n只疯狗，村里规定，谁要是发现了自己的狗是疯狗，就要将自 己的狗枪毙。但问题是，村子里面的人只能看出别人家的狗是不 是疯狗，而不能看出自己的狗是不是疯的，如果看出别人家的狗 是疯狗，也不能告诉别人。于是大家开始观察，第一天晚上，没 有枪声，第二天晚上，没有枪声，第三天晚上，枪声响起（具体 几枪不清楚），问村子里有几只疯狗？只有晚上才能看出病狗， 并且一天晚上只能看一次。
1、英国人住红色房子；
8、住在中间房子的人喝牛奶；
2、瑞典人养狗；
9、挪威人住第一间房；
3、丹麦人喝茶；
10、抽Blends香烟的人住在养猫的人隔壁
4、绿色房子在白色房子左面； 11、养马的人住抽Dunhill香烟的人隔壁；
5、绿色房子主人喝咖啡；
12、抽BlueMaster的人喝啤；
6、抽PallMall香烟的人养鸟； 13、德国人抽Prince香烟；
第4章 推理技术
逻辑与程序语言的对比
逻辑
逻辑符号
非逻辑符号
语句规则 语义规则 推理规则、公理和证明
程序语言
保留字或者符号
用户自定义的符号(变量名，函数名等) 构造一个程序的语句规则 定义程序做什么的语句规则 没有
第4章 推理技术
1.3 命题逻辑
• 命题：可以确定其真假的陈述句。Bolle提出了布尔代数。 • 语言:原子Q、否定¬、吸取V、合取、蕴含 、等价<-> • 公式：AV¬B， (AB,A)=> ?
第4章 推理技术
第四章 推理技术
4.1 一阶谓词逻辑推理 4.2 归结演绎推理
第4章 推理技术
推理技术概述
推理是人类求解问题的主要思维方法，即按照某种策略从已有事 实和知识推出结论的过程。按思维方式可分演绎推理、归纳推理、 类比推理等。
逻辑推理：按逻辑规则进行的推理。分为：
经典逻辑推理 :主要指命题逻辑和一阶谓词逻辑推理，也称精确推理或确 定性推理； 非经典逻辑推理：主要指除经典逻辑之外，按多值逻辑、模糊逻辑、概 率逻辑等的推理，也称为非精确推理或非确定性推理。
是可推导出的，则记为 ⊢ ，称为可证明的。
称一个假设是不协调的，如果存在一个语句 使得和的否定均可由推导得出。
称一个逻辑系统是一致的，或相容的(consistent)， 如果不存在逻辑系统的公式A，使得⊢A与⊢¬A同时成 立。
第4章 推理技术
第4章 推理技术
第4章 推理技术
公司招聘工作人员，有M,N,Q三人应聘，经面试后，公司表示如 下想法：（1）三人中至少录取一人;（2）如果录取M,则一定录取 N；（3）如果录取N,则一定录取Q。结果如何？
第4章 推理技术
1.4 谓词逻辑(一阶逻辑)
谓词逻辑是一种形式语言，具有严密的理论体系，也是一种常用的 知识表示方法。
第4章 推理技术
爱因斯坦的世界难题（1）
爱因斯坦在20世纪初出一个谜语。他说世界上有98％的人答不出来。
1、在一条街上，有5座房子，喷了5种颜色； 2、每个房里住着不同国籍的人； 3、每个人喝不同的饮料，抽不同品牌的香烟，养不同的
宠物。
问题是：谁养鱼？
第4章 推理技术
爱因斯坦的世界难题（2）
条件是：
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第4章 推理技术
逻辑系统
一个逻辑系统是定义语言和它的含义的方法。 逻辑系统中的一个逻辑理论是该逻辑的语言的一个语句集合，它包括： • 逻辑符号集合：在所有该逻辑的逻辑理论中均出现的符号； • 非逻辑符号集合：不同的逻辑理论中出现的不同的符号； • 语句规则：定义什么样的符号串是有意义的； • 证明：什么样的符号串是一个合理的证明； • 语义规则：定义符号串的语义。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7、黄色房子主人抽Dunhill香烟； 14、挪威人住蓝色房子隔壁；
15、抽Blends香烟的人有一个喝水的邻居。
第4章 推理技术
逻辑学与计算机科学
• 逻辑学：研究思维规律的科学 • 计算机科学：模拟人脑行为和功能（思维）的科学
• 思维：大脑、逻辑、语言、计算机
• 逻辑是知识表示和推理的重要形式和工具
(3)S(a)
［前提］
(4)M(a)
［(2),(3),I3］
得结果：M(a)，即“小王学过计算机”。
这种推理过程完全是一种符号变换过程，很类似于人们用 自然语言推理的思维过程，因而称为自然演绎推理
第4章 推理技术
证 明(语法)
在语法上，如果存在一个从假设到的证明， 则记为 ⊢ ，称由可推导出的，或可证明的。
试问：小王学过计算机吗？ 解 令S(x)：x是大学生; M(x)：x学过计算机; a：小王。
则上面的两个命题可用谓词公式表示为
(1) x(S(x)→M(x))
(2) S(a)
第4章 推理技术
下面我们进行形式推理：
(1) x(S(x)→M(x)) ［前提］
(2)S(a)→M(a)
［(1),US］
利用逻辑蕴含式 推出结论
符号化过程 公式变形 推理过程
第4章 推理技术 表4.1 常用逻辑等价式
第4章 推理技术
第4章 推理技术
第4章 推理技术
第4章 推理技术 表4.2 常用逻辑蕴含式
第4章 推理技术
第4章 推理技术 例
设有前提： (1)凡是大学生都学过计算机； (2)小王是大学生。