有限元原理(加权余量法和变分法)

上述过程中，已经将偏微分方程转化为 个代数方程组 便于计算机求解。 个代数方程组， 上述过程中，已经将偏微分方程转化为j个代数方程组，便于计算机求解。
3. 加权余量法－－例1
两极电容板内部电场分布问题： 例1.两极电容板内部电场分布问题： 两极电容板内部电场分布问题 根据问题特点将3维问题简化为 维 根据问题特点将 维问题简化为2维， 维问题简化为 进一步简化为1维 进一步简化为 维。 该问题是静态电场问题， 该问题是静态电场问题， 偏微分方程和边界条件： 偏微分方程和边界条件：
待定系数是真 正的求解目标
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数） 加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数），并设 法使其最小的方法。 法使其最小的方法。 加权余量法误差（即余数）的定义： 加权余量法误差（即余数）的定义：
w j＝w ＝ψ j
* j
即：迦辽金法选取尝试函数本身为加权函数
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
由此构建加权量法的目标函数： 由此构建加权量法的目标函数：
F j ( R ) = ∫ ψ j R d + ∫ ψ j RΓ dΓ，
Γ
关于函数的函数， 称为：泛函数，或 泛函
令 F j ( R ) = 0 则余数最小， φ 趋于φ
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
电磁场问题总可以用位函数的偏微分方程和相应的边界条件表述
2 2 A A ε 2 = J t ρ 2φ 2φ ε = 2 t ε
φ
φ t
Γ1
= g (Γ1) (Γ
+ σ (Γ 2)φ
Γ2
Γ2
= h(Γ 2)
两个偏微分方程形式相同，故以电位方程的求解过程为例。 两个偏微分方程形式相同，故以电位方程的求解过程为例。磁位矢 量的方程可以分解到各个分量上变为标量方程。 量的方程可以分解到各个分量上变为标量方程。
Γ
= ∫ x 2 (2C2 )d + ∫
0
d
Γ| x = 0 Γ| x = d
x 2 ((C1 x1 + C2 x 2 ) x 2 ((C1 x1 + C2 x 2 )
x =0 x =d
0) dΓ 10) dΓ
+∫
2 = C2 d 3 + 0 + (C1d 3 + C2 d 4 10d 2 ) 3 2 = d 3C1 + d 3 ( + d )C2 10d 2 = 0 3
j = 1时 , 得到一个代数方程： F1( R ) = ∫ ψ 1 R d + ∫ ψ 1 RΓ dΓ
Γ
Γ
= ∫ x( 2C2 )d + ∫
0
d
Γ | x =0 Γ | x=d
x( ( C1 x1 + C2 x 2 ) x( ( C1 x1 + C2 x 2 )
x =0 x =d
0 ) dΓ 10 ) dΓ
2.数值求解方法
2/4
1. 基本思想：
以偏微分方程的近似解来代替其真解， 以偏微分方程的近似解来代替其真解，只要近似解与真解足够 接近，就可以近似解作为问题的解，并满足足够的精度。 接近，就可以近似解作为问题的解，并满足足够的精度。
尝试函数，基 函数，形函数
2. 基本方法：
1. 2. 3.
假设一个近似解，该解为一组（形式上） 假设一个近似解，该解为一组（形式上）简单函数 ψ i 的线性组合 来表示， 来表示，线性组合的系数就是一组待定系数 Ci 然后建立一种考虑了微分方程和边界条件的关于真解 φ 和近似解φ 间误差的目标函数 F 用适当的算法使得该目标函数最小化――最小化的过程就确定了 用适当的算法使得该目标函数最小化 最小化的过程就确定了 待定系数，从而也就得到了问题的近似解。 待定系数，从而也就得到了问题的近似解。
Γ Γ
系数 代数方程写成矩阵形式：
系数矩 阵n×n
激励
边界条件
[ K ][C ] = [ F ][b]
待定系数矩阵、源矩阵、 边界矩阵n×1
K源自文库ji = w j (ψ i )d + w *ξ (ψ i )dΓ ∫ ∫Γ j 虽然元素值还需要积分、 矩阵元素值： 微分的求得，还难以借助 计算机求解，但至少化为 F j = ∫ w j q d 了代数方程组。 b j = ∫ w * s dΓ 通过选择合适的加权函数 j Γ 和尝试函数可以大大简化
i =1 i =1
2.结合问题，写出余数表达式： 结合问题，写出余数表达式： 结合问题
2 2 2 φ = (∑ Ci x i ) = 2 (C1 x1 ) + 2 (C2 x 2 ) i =1 = 0 + 2C2 2 φ = 0
: R = 2φ 2φ
= 2C2
3. 加权余量法－－例1
2φ = 0 φ 0 = 0; φ d = 10;
3. 加权余量法－－例1
加权余量法求解： 加权余量法求解： 1.选取尝试函数、构造近似解： 选取尝试函数、 选取尝试函数 构造近似解：
理论上任意选取， 操作中越简单越好
n 2
ψ i = x (i = 1,2)
i
φ = ∑ Ciψ i = ∑ Ci x i = C1ψ 1 + C2ψ 2 = C1 x1 + C2 x 2
n i =1
w j (ψ i )d ] + [ ∫ w*jξ (ψ i )dΓ ] Ci = ∫ w j q d + ∫ w*j s dΓ
Γ Γ
}
有j个代数方程， 通常等于待定系 数个数
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
∑{[ ∫
i =1
n
w j (ψ i )d] + [ ∫ w*ξ (ψ i )dΓ]}Ci = ∫ w j q d + ∫ w* s dΓ j j
问题的自 由度
场域 内 : R = 2φ 2φ 边界Γ上： Γ = φ Γ） φ Γ） R （ （
注意：一般余数并不表示近似解与真解间的代数差（场域内） 注意 ： 一般余数并不表示近似解与真解间的代数差 （场域内 ） ， 加权余 量法的采用拉普拉斯算子作用后的差别（即余数） 量法的采用拉普拉斯算子作用后的差别 （ 即余数 ） ， 来代表近似解 整体接近偏微分方程真解的程度。 整体接近偏微分方程真解的程度。
3. 加权余量法－－例1
该静态电场问题的真解（解析解： 该静态电场问题的真解（解析解：）
真解与近似解相同是由于尝试 函数选择的刚好，通常是有差 别的，如选用三角函数，但求 解过程会复杂，可见尝试函数 的选取是有技巧的。
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
一般化偏微分方程： 线性微分算子 线性
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余量法 在求解场域内， 在求解场域内，偏微分方程的真解为 φ ，近似解为 φ 它由一组简单函数
ψi
的线性组合表达， 的线性组合表达，表达中有待定系数
近似解
Ci
即：
问题的自 由度
φ = ∑ Ciψ i
i =1
n
简单函数，一般选用 简单形式的函数，一 旦选定就是已知的了
3. 加权余量法－－例1
4. 求解上述两个代数方程组，得到待定系数，从而确定近似解 求解上述两个代数方程组，得到待定系数，
解得：C1＝10 / d； 2＝0 C
10 近似解：φ Γ） ∑ Ci x ＝C1 x + C2 x ＝ x （ ＝ d i =1
i 1 2 2
加权余量法求解流程： 加权余量法求解流程： 1.选取尝试函数、构造近似解 选取尝试函数、 选取尝试函数 2.结合问题，写出余数表达式 结合问题， 结合问题 3. 写出加权余数表达式 4. 令各加权余数表达式为 ，得到代数方程组，解之得到待定 令各加权余数表达式为0，得到代数方程组， 系数， 系数，从而确定近似解
+∫
= C2 d 2 + 0 + ( C1d 2 + C2 d 3 10d ) = d 2C1 + d 2 ( 1 + d )C2 10d = 0
3. 加权余量法－－例1
3. 加权余数表达式： 加权余数表达式：
j = 2时, 又得到一个代数方程： F2 ( R ) = ∫ ψ 2 R d + ∫ ψ 2 RΓ dΓ
(φ ) = q ∈ ξ (φ ) = s ∈ Γ
其中：φ = ∑ C iψ i
i =1 n
R = (φ ) (φ ) = (φ ) q 则其余数为：
令加权余数为0，构建代数方程：
RΓ = ξ (φ ) ξ (φ ) = ξ (φ ) s
F j ( R ) = ∫ w j [(φ ) q ] d + ∫ w * [ξ (φ ) s ] dΓ = 0 j
2 2 A A ε 2 = J 第三讲 t 1.偏微分方程求解－－有限元法的原 ρ 2φ 2φ ε 理（加权余量法和变分法） = 2 ε t
1.
解析法
应用范围有限，适用于理论求解，但有强烈的物理含义（常系数微分方程） 某些复杂问题，很考虑根本找不到解析解
2. 数值法
工程实际中应用广泛，复杂场域问题，但物理含义不很清楚。任何问题总可 以找到数值解（数学方法）
2.结合问题，写出余数表达式： 结合问题，写出余数表达式： 结合问题
φ Γ） ∑ Ci x i＝C1 x1 + C2 x 2 （ ＝
i= i =1
2
Γ： Γ = φ Γ） φ Γ） R （ （
在x = 0处： Γ R R 在x = d处：Γ
在x = 0处： Γ） ＝( C1 x1 + C2 x 2 ) φ x =0 （ x =0 1 2 φ 在x = d处： Γ） x = d ＝( C1 x + C2 x ) （ x=d
i =1 Γ i =1 n n
∫
n
由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形：
{[ ∫ w j (ψ i )d]C i } + ∑ {[ ∫ w *ξ (ψ i )dΓ]C i } = ∫ w j q d + ∫ w * s dΓ ∑ j j
i =1 i =1 Γ Γ
n
∑ {[ ∫
Γ
= ∫ w j [(∑ C iψ i ) q ] d + ∫ w [ξ (∑ C iψ i ) s ] dΓ = 0
i =1 Γ * j i =1
n
n
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
w j [(∑ C iψ i ) q ] d + ∫ w * [ξ (∑ C iψ i ) s] dΓ = 0 j
设加权函数为：w j ∈ ; w ∈ Γ
* j
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余数的定义： 加权余数的定义：
目标函数：
∫
w j R d + ∫ w* RΓ dΓ， j = 1,2,.... j
Γ
加权函数的选取方法很多：如点重合、子域重合、最小二乘法、迦辽金法。 加权函数的选取方法很多：如点重合、子域重合、最小二乘法、迦辽金法。 效果较好的、运用较多的是迦辽金法： 效果较好的、运用较多的是迦辽金法：
2.数值求解方法
2/4
目标函数最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解； 目标函数最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解； 另一方面，求得构成近似解的待定系数。 另一方面，求得构成近似解的待定系数。
数学上，构成目标函数的方法很多， 数学上，构成目标函数的方法很多，不同的构成方法就形成了不同的 数值解法，电磁场中就常见的是：加权余量法和变分法。 数值解法，电磁场中就常见的是：加权余量法和变分法。
x =0
＝0
在x = 0处： Γ）x =0＝0 φ （ φ 在x = d处： Γ）x = d ＝10 （
＝( C1d 1 + C2 d 2 ) 10 x=d
3. 加权余量法－－例1
3. 加权余数表达式： 加权余数表达式：
F j ( R ) = ∫ ψ j R d + ∫ ψ j RΓ dΓ，j = 1,2
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
当余数小于要求的精度时，就可以认为近似解就是偏微分方程的解。 当余数小于要求的精度时，就可以认为近似解就是偏微分方程的解。 要减少余数，我们可以通过寻求适当的待定系数来实现。 要减少余数，我们可以通过寻求适当的待定系数来实现。 为有效表达减小余数的效果，还选取适当的加权函数， 为有效表达减小余数的效果， 还选取适当的加权函数，以使余数和该加 权函数的积分为0。－－“加权余量法”的来由。 权函数的积分为 。－－“加权余量法”的来由。