第3章 刚体的定轴转动习题解答

习题3-1 一汽车发动机曲轴的转速在12s 内由每分钟1200转匀加速地增加到每分钟2700转，求：（1）角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转？解：（1）)/(401s rad πω= )/(902s rad πω= )/(1.13)/(6251240902212s rad s rad t≈=-=∆-=πππωωβ匀变速转动（2）)(78022122rad πβωωθ=-= )(3902圈==πθn3-2 一飞轮的转动惯量为J ,在0=t 时角速度为0ω，此后飞轮经历制动过程。

阻力矩M 的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数0>K 。

求：（1）当30ωω=时,飞轮的角加速度；（2）从开始制动到30ωω=所需要的时间。

解：（1）依题意 2ωβK J M -== )/(92202s rad JK JK ωωβ-=-=（2）由JK dtd 2ωωβ-== 得⎰⎰-=3200ωωωωK Jd dt tωK J t 2=3-3 如图所示， 发电机的轮A 由蒸汽机的轮B 通过皮带带动。

两轮半径A R =30cm ，=B R 75cm 。

当蒸汽机开动后，其角加速度π8.0=B βrad/s 2，设轮与皮带之间没有滑动。

求（1）经过多少秒后发电机的转速达到A n =600rev/min ？（2）蒸汽机停止工作后一分钟内发电机转速降到300rev/min ，求其角加速度。

解：（1）t A A βω= t B B βω=因为轮和皮带之间没有滑动，所以A 、B 两轮边缘的线速度相同，即B B A A R R ωω=又)/(20606002s rad A ππω=⨯=联立得)(10s R R t BB A A ==βω（2）)/(10603002s rad A ππω=⨯= )/(62s rad tAAA πωωβ=-'=3-4 一个半径为=R 1.0m 的圆盘，可以绕过其盘心且垂直于盘面的转轴转动。

一根轻绳绕在圆盘的边缘，其自由端悬挂一物体。

若该物体从静止开始匀加速下降，在t ∆＝2.0s 内下降的距离h ＝0.4m 。

求物体开始下降后第3秒末，盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度。

解：物体下落的加速度())/(2.0222s m t ha =∆=又 βR a a t == ，得圆盘的角加速度 )/(2.02s rad =β 第3秒末，圆盘的角速度)/(6.0s rad t ==βω 所以 )/(2.02s m a t = )/(36.022s m R a n ==ω3-5 一个砂轮直径为0.4m ，质量为20kg ，以每分钟900转的转速转动。

撤去动力后，一个工件以100N 的正压力作用在砂轮边缘上，使砂轮在11.3s 内停止，求砂轮和工件的摩擦系数(忽略砂轮轴的摩擦)。

解：βJ M =其中NR M μ-= ，得JNRJ M dtd μωβ-===⎰⎰-=ωμωNRJd dt t， 即NRtJ 0ωμ=又)/(306090020s rad ππω=⨯=，)(4.022122m kg d m J ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=得167.0=μ3-6 如图所示，质量为m 的匀质圆环，半径为R ，当它绕通过环心的直径轴转动时，求圆环对轴的转动惯量J 。

解：方法一：设过环心且垂直于圆环所在平面的轴线为z 轴，过环心的两条互相垂直的直径分别为x 轴和y 轴，根据垂直轴定理y x z J J J +=由对称性可知y x J J =，又2mR J z =得221mR J J J y x ===方法二：θλλRd dl dm ==，其中Rm πλ2=()θθλθd R R dm dJ 232sinsin ==23202321sin mR R d R J ===⎰λπθθλπ习题3-6图习题3-3图3-7 如图所示，长为L 2的匀质细棒，质量为M ，未端固定一质量为m 的质点，当它绕过棒中点的水平轴转动时，求转动惯量J 。

解:22M 31mL ML J J J m +=+=3-8 如图所示，从质量为M ，半径为R 的匀质薄圆板上挖去一个半径为r 的圆孔，圆孔的中心位于半径的中点。

求此时圆板对于原板中心且与板面垂直的轴线的转动惯量。

解：可以把带孔的圆板看成均匀的完整圆板减去一个跟圆孔大小一致的圆板，即孔板圆板J J J -=221MR J =圆板，22)2(21R m mrJ +=孔板，其中M Rr m 22ππ=得2242412121MrRr MMRJ --=3-9 如图所示，把两根质量均为m ，长为l 的匀质细棒一端焊接相连，其夹角︒=120θ，取连接处为坐标原点，两个细棒所在的平面为Oxy 平面，求此结构分别对Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴的转动惯量。

习题3-7图习题3-8图解：（1）x x x J J J 右左+=, 其中0=x J 右︒=30cos y l ，︒===30cos 222l dy my dl lm ydmydJ x 左，⎰︒=︒=30cos 0224130cos l x ml l dy my J 左，即241ml J J J x x x =+=右左（2）y y y J J J 右左+=, 其中231ml J y =右︒=30sin x l , ︒===30sin 222l dx mx dl lm xdmxdJ y 左，⎰︒=︒=30sin 02212130sin l ml l dx mx J 左，所以2125ml J J J y y y =+=右左(3) 222323131ml ml mlJ z =+=或 2223212541ml mlml J J J y x z =+=+=3-10 如图所示，在边长为a 的正六边形的六个顶点上各固定一个质量为m 的质点，设这正六边形放在Oxy 平面内，求：（1）对Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴的转动惯量；（2）对过中心C 且平行于Oy 的y O '轴的转动惯量。

习题3-9图习题3-10图解：（1）223)23(402ma a m J x =⨯+⨯=22229)2(1)23(2)2(201ma a m a a m J y =⨯+⨯+⨯+⨯=222212)2(1)3(2201ma a m a maJ z =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）2223)2(42ma am ma J y =⨯+⨯='或根据平行轴定理2236ma a m J J y y =⨯-='3-11 匀质圆盘质量为m 、半径为R ，放在粗糙的水平桌面上，绕通过盘心的竖直轴转动，初始角速度为0ω，已知圆盘与桌面的摩擦系数为μ，问经过多长时间后圆盘静止？解：可以把圆盘看成由许许多多的小圆环组成，其中半径为r 、宽度dr 的质量为rdr dS dm πσσ2== ，其中2Rmπσ=，受到的摩擦力矩为dr gr dmgr dM 22πμσμ-=-=所以整体圆盘受到的摩擦力矩为mgR gR dr gr M Rμπμσπμσ3232232-=-=-=⎰又βJ M =， 221mR J =Rg J M dtd 34μωβ-===常量gR t μωβω43000=-=3-12如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为r 、转动惯量为J 、受到的驱动力矩M ，通过绳索牵引斜面上质量为m 的物体，物体与斜面间摩擦系数为μ，求重物上滑的加速度。

绳与斜面平行，不计绳质量。

解：⎪⎩⎪⎨⎧==--=-βθθμβr a ma mg mg T J Tr M sin cos得 2)sin cos (mrJ rmg umg M a +--=θθ3-13 如图所示，两物体质量分别为1m 和2m ，定滑轮的质量为m 、半径为r ，可视作均匀圆盘。

已知2m 与桌面间的滑动摩擦系数为k μ，求1m 下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？设绳子和滑轮间无相对滑动，滑轮轴受的摩擦力忽略不计。

解: ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===-=-=-r a mr J J r T r T a m g m T a m T g m k ββμ22122211121习题3-12图习题3-13图得 mm m g m g m a k ++-=212122)(2μmm m gmm g m m a g m T k ++++=-=211211122)1(2)(μ •mm m gmm g m m a m g m T k k k ++++=+=2122122222)1(2μμμ3-14 如图所示的飞轮制动装置，飞轮质量m ＝600kg ，半径R ＝0.25m ，绕其水平中心轴O 转动，转速为900rev/min 。

闸杆尺寸如图示，闸瓦与飞轮间的摩擦系数40.0=μ，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算，现在闸杆的一端加一竖直方向的制动力N 100=F ，问飞轮将在多长时间内停止转动?在这段时间内飞轮转了几转？解：设作用在飞轮上的压力为N ，则有)75.05.0(5.0+⨯=⨯F N ，得)N (250=N)/(340221s rad mRNRJM -=-==μβ习题3-15图习题3-14图又)/(306090020s rad ππω=⨯=， 所以)(07.700s t ≈-=βω又βωθ2020-=，得)(532转==πθn3-15 如图所示，长为l ，•质量为M 的匀质细棒可绕过其端点的水平轴在竖直面内自由转动，现将棒提到水平位置并由静止释放，当棒摆到竖直位置时与放在地面上质量为m 的物体相碰。

设碰后棒不动，物体与地面的摩擦系数为μ，求碰撞后物体经过多少时间停止运动？解：由机械能守恒2212ωJ L Mg=，得J MgL =ω又角动量守恒得mvL J =ω，有LMgJ mmLJ v 1==ω又g a μ-=，得LMgJ mgav t μ10=-=又231ML J =，即gL mgM t 33μ=3-16 质量为M 、半径为R 的水平转台，可绕过中心的竖直轴无摩擦地转动。

质量为m 的人站在转台的边缘，人和转台原来都静止。

当人沿转台边缘走一周时，求人和转台相对地面转过的角度。

解：以人和转台组成的系统为研究对象，设人相对于转盘的角速度为ω'，转台相对地的角速度为ω，由角动量守恒得ωωω2221)(MR mr =-'移项得 ωω)21(222mr MR mr +='即 dtd mr MR dtd mr θθ)21(222+='两边消去dt ，并积分的⎰⎰+='θπθθ022202)21(d mr MRd mr解得 221222MRmrmr +=πθ3-17 质量为M 、半径为R 的水平转台，可绕过中心的竖直轴无摩擦地转动。

初角速度为0ω，当质量为m 的人以相对转台的恒定速率v 沿半径从转台中心向边缘走去，求转台转过的角度随时间t 的变化函数。