线性代数第三章习题及解答
线性代数第3章习题解答(rr)
1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T Tααα=--=-- 求1223αα+ 解:∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=-----1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4T T=-----=-∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]TTTαα+=-+-=2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T Tαα==3123[4,1,1,1],3()2()5()0Tααααααα=--++-+=并且求 α解:∵ 1236325αααα=+-[6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24],T T TT=+--=∴ [1,2,3,4].Tα=3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ====L 时， 11220m m k k k ααα+++=L 成立， 则向量组12,,m αααK 线性相关解：不正确.如：[][]121,2,3,4T Tαα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。
(2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k L 使11220,m m k k k ααα+++≠L 则向量组12,,,m αααL 线性无关。
解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,TTk αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关(3) 如果向量组12,,,m αααL 线性无关,则其中任何一个向量都不能由其余向量线性表出. 解： 正确。
（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m αααL 线性相关，与题没矛盾。
(4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。
解：不正确。
例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,TTTααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。
线性代数第三章习题与答案(东大绝版)
第三章 习题与答案 习题 A1.求向量123(4,1,3,2),(1,2,3,2),(16,9,1,3)T T T=--=-=-ααα的线性组合12335.+-ααα 解 12341161293535331223⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-=+- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα1251613109491512561037⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2.从以下方程中求向量α1233()2()5()-++=+αααααα，其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1,1,1).TT T ===-ααα 解 由方程得1233322550-++--=αααααα，1232104651112632532515118310124⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα故1234⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,即(1,2,3,4)T =α.3.求证:向量组12i s α,α,,α,α 中的任一向量i α可以由这个向量组线性表出. 证 120010(1,2,,)i i s i s =+++++= ααααα4.证明: 包含零向量的向量组线性相关.证 设向量组为1211α,α,,α,0,α,,αi i s -+ ,则有12110α0αα00α0α0,0i i s k k -++++++++=≠而0,0,,0,,0,,0k 不全为0,故向量组线性相关.5.设有m 个向量12α,α,,αm ,证明: 若αα()i j i j =≠,则向量组12α,α,,αm 线性相关. 证 显然有1210α0αα0α()α0α0,0i i j m k k k +++++++-++=≠ , 而0,,0,,0,,0,,0,,0k k - 不全为0.故向量组线性相关.6.判断下列向量组的线性相关性(1) (1,1,0),(0,1,1,),(3,0,0,); (2) (2,0),(0,-1);(3) (-4,-5,2,6),(2,-2,1,3),(6,-3,3,9),(4,-1,5,6);(4) (1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12).解 (1)设有三个数123,,k k k ,使123(1,1,0)(0,1,1,) (3,0,0,)=(0,0,0)k k k ++则有方程组131223000k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,因为系数行列式10311030010D =≠.方程组仅有零解,所以三个向量线性无关. (2)设有两个数12,k k 使12(2,0)(0,-1)=(0,0)k k + 则有方程组12200k k =⎧⎨-=⎩,由此解得120k k ==,所以两个向量线性无关.另外,也可由其分量不成比例看出两个向量线性无关. (3)设有四个数1234,,,k k k k ,使1234(-4,-5,2,6)(2,-2,1,3)(6,-3,3,9)(4,-1,5,6)=(0,0,0,0)k k k k +++,则有方程组1234123412341234426405230235063960k k k k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪----=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩,其系数行列式42645231021356396D ----==,所以方程组有非零解,向量组线性相关.(4) 设有四个数1234,,,k k k k ,使1234(1,0,0,2,5)(0,1,0,3,4)(0,0,1,4,7)(2,-3,4,11,12)=(0,0,0,0)k k k k +++则有方程组14243412341234203040234110547120k k k k k k k k k k k k k k +=⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪+++=⎪⎪+++=⎩由前三个方程得1424342,3,4k k k k k k =-==-,代入第五个方程得4140k -=, 即40k =,从而1230k k k ===,所以向量组线性无关.7.设123α,α,α线性无关,证明:122331αα,αα,αα+++也线性无关. 证 设有三个数123,,k k k ,使()()()112223331αααααα0k k k +++++=, 则()()()131122233ααα0k k k k k k +++++=,因123α,α,α线性无关,故13122300k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,因系数行列式10111020011D ==≠,所以只有1230k k k ===, 由此知122331αα,αα,αα+++线性无关.8.设12α,α,,αn 线性无关,问向量组122311αα,αα,,αα,ααn n n -++++ 是线性相关,还是线性无关?并给出证明. 解 设有n 个数12,,,,n k k k 使()()()()112223111αααααααα0n n n n n k k k k --++++++++= ,则得方程组1122310000n n n k k k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 其系数行列式11000011100000110001(1),000110000011n n D +==+-可见,当n 为奇数时,20n D =≠,方程组仅有零解,向量组线性无关, 当n 为偶数时,0n D =,方程组有非零解,向量组线性相关.9.设12α(,,,)(1,2,,)i i i in a a a i n == ,证明:向量组12α,α,,αn 线性相关的充分必要条件是det()0ij a =.证 必要性:设12α,α,,αn 线性相关,则存在不全为0的n 个数12,,,,n k k k 使1122ααα0n n k k k +++= ,即有方程组()11121211212222112200*0n n n nn n nn n a k a k a k a k a k a k a k a k a k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 该方程组有非零解,故系数行列式0n D =,即det()0ij a =,充分性: 对于方程组(*)当det()0ij a =时,系数行列式0n D =,所以有非零解,即存在不全为0的12,,,,n k k k 使1122ααα0n n k k k +++= 成立,故12α,α,,αn 线性相关.10.设12α,α,,αn 是一组n 维向量.已知n 维标准单位向量组12e ,e ,,e n 能由它们线性表出,证明: 12α,α,,αn 线性无关.证 设12α(,,,)(1,2,,)i i i in a a a i n == ,则有1122αe e e ,i i i in n a a a =+++可见12α,α,,αn 也能由12e ,e ,,e n 线性表出,从而两个向量组等价. 因为12e ,e ,,e n 线性无关,所以12α,α,,αn 也线性无关.11.设12α,α,,αn 是一组n 维向量.证明:它们线性无关的充分必要条件是:任一n 维向量都可由它们线性表出.证 必要性:设12α,α,,αn 线性无关,β为任一n 维向量,则12α,α,,αn ,β必线性相关.(个数大于维数),因此β可由12α,α,,αn 线性表出.充分性:设任一n 维向量β都可由12α,α,,αn 线性表出.因此12α,α,,αn 与12e ,e ,,e n 等价,从而12α,α,,αn 线性无关.12.判断下列向量是否线性相关,并求出一个极大线性无关组.(1)123α(1,2,1,4),α(9,100,10,4),α(2,4,2,8);T T T =-==--- (2) 123α(1,1,0),α(0,2,0),α(0,0,3);T T T ===(3) 1234α(1,2,1,3),α(4,1,5,6),α(1,3,4,7),α(2,1,1,0);T T T T ==---=---=- 解 (1)19221004A 1102448-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 192082001900320-⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭192010000000-⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭102010000000-⎛⎫⎪ ⎪→⎪ ⎪⎝⎭, 向量组的秩为2, 12α,α为一个极大线性无关组.(2) 100A 120003⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100020003⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭向量组的秩为3, 123α,α,α为一个极大线性无关组.(3) 14122131A 15413670⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪--- ⎪--⎝⎭141209530953018106⎛⎫ ⎪--- ⎪→ ⎪--- ⎪---⎝⎭1412095300000000⎛⎫ ⎪--- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭向量组的秩为2, 12α,α为一个极大线性无关组.13.求一个秩是4的方阵,它的两个行向量是(1,0,3,0,0),(1,1,0,0,0)--. 解 所求方阵可写成1030011000A 001000001000000⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则1030001300A 00100000100000⎛⎫⎪- ⎪⎪→⎪⎪ ⎪⎝⎭显然(A)4R =.14.已知12α,α,,αs 的秩为r ,证明: 12α,α,,αs 中任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证 设12α,α,,α,r i i i 为12α,α,,αs 中任意r 个线性无关的向量,因为向量组的秩为r ,故1212α,α,,α,α,(,,)r i i i i r i i i i ≠ 线性相关.可见12α,α,,αs 中的每个向量都可由12α,α,,α,r i i i 线性表出.因此, 12α,α,,α,r i i i 是12α,α,,αs 的一个极大线性无关组.15.用初等变换化下列矩阵为阶梯形,并判断其秩.(1)001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (2)1234110215610-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;(3)023*********-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭;(4)1725314353759413254759413420253248⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭.解 (1) 001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭131********r r ↔⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,秩为3.(2) 1234110215610-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭2131123403360336r r r r+-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭32123403360000r r -⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,秩为2.(3)023*********-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭12011203430471r r ---⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭213134011200130039r r r r ++--⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪--⎝⎭323011*********r r ---⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭, 秩为2.(4)1725314353759413254759413420253248⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭213143317253143201330153015r r r r r r ---⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭433217253143201310020000r r r r --⎛⎫⎪⎪→⎪ ⎪⎝⎭1310022013172531430000r r ↔⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭2131217100200110253190000r r r r --⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭23100202531900110000r r ↔⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪- ⎪⎝⎭,秩为3. 16.证明: 两个矩阵和的秩不超过这两个矩阵秩的和,即 (A B)(A)(B)R R R +≤+.证 设1A (α,,α),(A),n R r == 1α,,αr 为一个极大线性无关组,1B (β,,β),(B),n R s == 1β,,βs 为一个极大线性无关组, 1A B (r ,,r )n += .因为1r ,,r n 可由1α,,αn ,1β,,βn 线性表出,从而也可由1α,,αr ,1β,,βs 线性表出.故()1A B (r ,,r )n R R +=≤ ()11α,,α,β,,βr s R r s =+=(A)(B)R R +.17.设A 与B 可乘,且AB 0=,证明: (A)(B)A R R +≤的列数. 证法一 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n l ⨯矩阵 由AB 0=,有11111111n l m mn n nl m n n l a a b b a a b b ⨯⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0000m l⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 比较等式两边对应元素,有111111111100n n m mn n a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩,11121211220,0n n m mn n a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩ ,11111100l n nl m lmn nl a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩ . 可见B 的列向量组为上述l 个齐次线性方程组的解向量,因此有 (B)(A)R n R ≤-, 移项得(A)(B)R R n +≤(A 的列数).证法二 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n l ⨯矩阵, 12(A),(B)R r R r ==,因为1(A)R r =,则A 的标准形可写成1E 000r ⎛⎫⎪⎝⎭,即存在可逆阵P,Q 使得 PAQ 1E 000r ⎛⎫=⎪⎝⎭.又设()111B Q B B r m n r m ⨯--⨯⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 则10(AB)(PAB)(PAQQ B)R R R -===,但()111111B E 0B PAQQ B Q B B 000r m r r m n r m ⨯⨯---⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 可见11(B )(PAQQ B)0r m R R -⨯==,又因为12(Q B)(B)R R r -==,所以()12(B )n r m R r -⨯=,而()1B n r m -⨯共1n r -行,因此12n r r -≥,即12r r n +≤或(A)(B)R R n +≤.习题 B1.证明: 12α,α,,αs (其中1α0≠)线性相关的充要条件是至少有一个α(1)i i s <≤可被121α,α,,αi - 线性表出.证 必要性:设12α,α,,αs 线性相关(1α0≠),则存在不全为0的s 个数12,,,s k k k 使1122ααα0s s k k k +++= ,设i k 是12,,,s k k k 中最后一个不为零的数,即0i k ≠,而10i s k k +=== ,则1122ααα0i i k k k +++= ,因为1α0≠,所以1i >,即1i s <≤,(否则120,0s k k k ≠=== 则1α0k =不能成立),于是1111αααi i i i ik k k k --=--- ,即αi 可由121α,α,,αi - 线性表出.充分性:如果1111αααi i i k k --=++ ,则11111ααα0αα0i i i i s k k --+++-+++= ,而11,,,1,0,,0i k k -- 不全为0,所以12α,α,,αs 线性相关.2.证明:一个向量组的任一线性无关组都可扩充为一个极大线性无关组. 证 设有向量组12α,α,,αn 秩为s ,12α,α,,αr i i i 是它的任意一个线性无关组,如果r s =,则它就是12α,α,,αn 的一个极大线性无关组.如果r s <,则12α,α,,αn 的其余向量中一定可以选出向量1αr i +,使12α,α,,αr i i i ,1αr i +线性无关(否则与12α,α,,αn 秩s r >矛盾),只要1r s +<,重复上述过程,直到r i s +=时为止.这样121α,α,,α,α,,αr r s i i i i i + 就是由12α,α,,αr i i i 扩充成的一个极大线性无关组.3.已知两向量组有相同的秩,且其中之一可被另一个线性表出,证明:这两个向量组等价. 证 设12A :α,α,,α;s 12B:β,β,,βt 为两个秩为r 的向量组, 1212α,α,,α;β,β,,βr r 分别为A,B 极大线性无关组,设B 可由A 线性表出,则有()()1212β,β,,βα,α,,αTr r K = ,其中K 为组合系数构成的r 阶方阵,因为1212α,α,,α;β,β,,βr r 线性无关,所以K 可逆,()()11212α,α,,αβ,β,,βr r K -= ,从而12α,α,,αr 可由12β,β,,βr 线性表出,从而可由12β,β,,βt 线性表出,又12α,α,,αs 可由12α,α,,αr 线性表出,所以12α,α,,αs 可由12β,β,,βt 线性表出,即A 可由B 线性表出,因此向量组A ,B 等价.4.设向量组12α,α,,αs 的秩为r ,在其中任取m 个向量12α,α,,αm i i i ,证明:{}12α,α,,αm i i i R r m s ≥+- .证 设12α,α,,αm i i i 的秩为t ,从它的一个极大线性无关组(含t 个向量)可扩充为12α,α,,αs 的一个极大线性无关组(含r 个向量),所扩充向量的个数为r t -个.但12α,α,,αs 中除了12α,α,,αm i i i 外,还有s m -个向量,故r t s m -≤-,即t r m s ≥+-.5.设n m ⨯阶矩阵A 的秩为r ,证明:存在秩为r 的n r ⨯阶矩阵P 及秩为r 的r m ⨯阶矩阵Q ,使A PQ =.证 因(A)R r =,故可经有限次初等行变换和初等列变换化为标准形,即存在m 阶可逆阵F 和n 阶可逆阵G ,使得 E 0GAF 00r ⎛⎫=⎪⎝⎭,即11E 0A GF ,00r--⎛⎫= ⎪⎝⎭记111212122G G G ,G G -⎛⎫= ⎪⎝⎭111212122F F F F F -⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中1111G ,F 均为r 阶方阵,则111211121121222122G G F F E0E 0A G F GG F F 0000rr--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112212122G 0F F G 0F F ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=1111111221212122G F G F G F G F ⎛⎫ ⎪⎝⎭()11112121G F F G ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 记1121G P G ⎛⎫=⎪⎝⎭,则P 为n r ⨯矩阵且(P )R r =(因1G -可逆,故其前r 列线性无关), ()1121Q F F =,则Q 为r m ⨯矩阵且(Q)R r =(因1F -可逆,故其前r 列线性无关),而A PQ =.。
线性代数第3章_线性方程组习题解答
习题33-1．求下列齐次线性方程组的通解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=+-087305302z y x z y x z y x .解 对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1440720211873153211A)(000720211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0270211z y z x ， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=z y z x 27211（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系T)1,27,211(--=ξ, 所以，方程组的通解为,)1,27,211(Tk k --=ξk 为任意常数． （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++++086530543207224321432154321x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21202014101072211086530543272211A)(7000014101072211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−70000141010211201)(100000101001201行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==+=++0002542431x x x x x x ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=02542431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T)0,0,1,0,2(1-=ξ，T)0,1,0,1,1(2--=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )0,1,0,1,1()0,0,1,0,2(21--+-，21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0742420436240203543215432143215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x ．解 对系数矩阵施行行初等变换，得11031112104263424247A --⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭11031022210003100000--⎛⎫⎪- ⎪−−→⎪- ⎪⎪⎝⎭)(阶梯形矩阵B =)(0000031100065011067011行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=-+03106506754532531x x x x x x x x ， 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=54532531316567x x x x x x x x （其中53,x x 是自由未知量）， 令=T x x ),(53(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T )0,0,1,1,1(1-=ξ，T )1,31,0,65,67(2=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )1,31,0,65,67()0,0,1,1,1(21+-，21,k k 为任意常数．3-2．当λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++z z y x y z y x x z y x λλλ6774334 有非零解？解 原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=++-0)6(707)4(303)4(z y x z y x z y x λλλ, 上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式0671743134=-----λλλ，即0)756(2=-+λλλ，从而当0=λ和2123±-=λ时方程组有非零解．3-3．求解下列非齐次线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-5521212432143214321x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=551211112111121A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−000001100011121B =，因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−000001100000121C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧==+-124321x x x x , 即⎩⎨⎧=-=124321x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令TT x x )0,0(),(32=，得到非齐次方程组的一个解T )1,0,0,0(0=η，对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧=-=024321x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令T x x ),(32(1,0)T =，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,0,1,2(1=ξ，T )0,1,0,1(2-=ξ,方程组的通解为0112212(0,0,0,1)(2,1,0,0)(1,0,1,0)T T T k k k k ηηξξ=++=++-，其中21,k k 为任意常数．（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+--=-+-810957245332231324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=810957245113322311312A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131024511B =， 因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131015801C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧-=-+-=-+3913158432431x x x x x x , 即⎩⎨⎧+--=+--=4324319133581x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)(0,0)T Tx x =，得到非齐次方程组的一个解T )0,0,3,1(0--=η,对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧+-=+-=43243191358x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,1,13,8(1--=ξ，T )1,0,9,5(2-=ξ，方程组的通解为0112212(1,3,0,0)(8,13,1,0)(5,9,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=--+--+-,其中21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+=-+-=-+10013212213321321321321x x x x x x x x x x x x ．解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=101400201034101311100111132112121311A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−96000540034101311101400540034101311，因为3)(4)(=≠=A r A r ，所以方程组无解.3-4．讨论下述线性方程组中，λ取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解．⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3)1(2)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλλλ． 解 方程组的系数行列式为231211(1)3(1)3A λλλλλλλλ+=-=-++.（1）当0A ≠时，即01λλ≠≠且时，方程组有惟一解． （2）当0A ＝时，即01λλ＝或＝时， (i) 当0λ＝时,原方程组为12323133200333x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩， 显然无解．(ii) 当1λ＝时，原方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++346112432131321x x x x x x x x ， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换412110111011012361430000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()23r A r A ==<，所以方程组有无穷多组解， 与原方程组同解的方程组为1323123x x x x +=⎧⎨-=-⎩， 即1323132x x x x =-⎧⎨=-+⎩（其中3x 为自由未知量）， 令30x =，得到非齐次方程组的一个解0(1,3,0)T η=-，对应的齐次方程组（即导出方程组）为13232x x x x =-⎧⎨=⎩（其中3x 为自由未知量）， 令31x =，得到对应齐次方程组的一个基础解系(1,2,1)T ξ=-，方程组的通解为0(1,3,0)(1,2,1)T T k k ηηξ=+=-+-，其中k 为任意常数．3-5．写出一个以1222341001x c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为通解的齐次线性方程组．解 由已知，1(2,3,1,0)Tξ=-和2(2,4,0,1)T ξ=-是齐次线性方程组AX O =的基础解系，即齐次线性方程组AX O =的基础解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4，所以齐次线性方程组AX O =的系数矩阵A 的秩为422-=，故可设系数矩阵1112131421222324a a a a A a a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭, 由AX O =可知()111121314,,,a a a a α=和()221222324,,,a a a a α=满足方程组()12342234,,,1001x x x x O -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即方程组123124230240x x x x x x -+=⎧⎨-++=⎩的线性无关的两个解即为12,αα,方程组的系数矩阵2310204324010111-⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,该方程组等价于134234243x x x x x x =--⎧⎨=--⎩（其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到该齐次方程组的一个基础解系1(2,1,1,0)T α=--，23(,1,0,1)2T ξ=--，故要求的齐次线性方程组为AX O =，其中211031012A --⎛⎫⎪= ⎪--⎝⎭,即12312420302x x x x x x --+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩. 3-6．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++0022111212111n mn m m n n x a x a x a x a x a x a， 的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，试证Tn b b b ),,,(21 =β是向量组T n a a a ),,,(112111 =α,T n a a a ),,,(222212 =α, ,),,,(21mn m m m a a a =α的线性组合．证 把该线性方程组记为（*），由已知，方程组（*）的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，所以方程组（*）与方程组111122111221122000n n m m mn n n n a x a x a x a x a x a x b x b x b x ++=⎧⎪⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩, 同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组12,,,m ααα和12,,,,m αααβ的秩相同，故β可由12,,,m ααα线性表示．3-7．试证明：()()r AB r B =的充分必要条件是齐次线性方程组O ABX =的解都是O BX =的解．证 必要性.因为()()r AB r B =，只须证O ABX =与O BX =的基础解系相同．O ABX =与O BX =的基础解系都含有()n r B -个线性无关的解向量．又因为O BX =的解都是O ABX =得解．所以O BX =的基础解系也是O ABX =的基础解系．即O ABX =与O BX =有完全相同的解．所以O ABX =的解都是O BX =的解．充分性.因O ABX =的解都是O BX =的解，而O BX =的解都是ABX O =的解，故O ABX =与O BX =有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故()()n r AB n r B -=-，所以()()r AB r B =．3-8．证明()1r A =的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使T A ab =．证 充分性.若存在列向量12m a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及行向量()12T n b b b b =，其中,i j a b 不全为零1,,i m =，1,,j n =，则有()1111212212221212n n T n m m m m n a a b a b a b aa b a b a b A ab b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 显然矩阵A 的各行元素对应成比例，所以()1r A =．必要性.若()1r A =，则A 经过一系列的初等变换可化为标准形100000000D ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 而矩阵D 可以表示为()100100001,0,,0000D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则存在可逆矩阵P ，Q 使得1P AQ D -=，从而()11101,0,,00A PDQ P Q --⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，其中1,P Q -均可逆，记100a P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ()11,0,,0T b Q -=，又因为P 可逆，则P 至少有一行元素不全为零，故列向量a 的分量不全为零，同理，因为1Q -可逆，所以行向量Tb 的分量不全为零．因此，存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使TA ab =．补充题B3-1.设A 是m n ⨯矩阵，AX O =是非其次线性方程组AX b =所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）.（A ） 若AX O =仅有零解，则AX B =有惟一解； （B ） 若AX O =有非零解，则AX B =有无穷多个解； （C ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =仅有零解；（D ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =有非零解．B3-2.设A 为n 阶实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组 （ⅰ）AX O =； （ⅱ）TA AX O =，必有（ D ）． （A ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解； （B ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解； （C ）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解； （Ｄ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解．B3-3．设线性方程组AX B =有n 个未知量，m 个方程组，且()r A r =，则此方程组（ A ）．（Ａ）r m =时，有解； （Ｂ）r n =时，有惟一解；（Ｃ）m n =时，有惟一解； （Ｄ）r n <时，有无穷多解．B3-4．讨论λ取何值时，下述方程组有解，并求解：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++21λλλλλz y x z y x z y x ． 解 （法一）方程组的系数行列式21111(1)(2)11A λλλλλ==-+，（1）当0A ≠时，即12λλ≠≠-且时，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++．（2）当0A ＝时，即12λλ-＝或＝时 (i) 当λ＝1时,原方程组为1x y z ++=，因为()()1r A r A ==，所以方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数． (ii) 当λ＝-2时，原方程组为212224x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2111112412120112112400015A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因为()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．解 （法二）对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2211111111111111A λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2223110110111λλλλλλλλλ⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭22223110110021λλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪⎪--+--⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)B λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→---= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，(1)当12λλ≠≠-且时, ()()3r A r A ==，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++.(2) 当λ＝1时， ()()1r A r A ==，方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数．(3) 当λ＝-2时，由B 知，()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．B3-5.若321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：122331,,ηηηηηη+++也是该方程组的一个基础解系．证 设有三个数123,,k k k 使得112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=,则有131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=,因为321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以321,,ηηη线性无关，故131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 该方程组的系数行列式10111020011=≠, 所以该方程组只有零解．即1230k k k ===．即122331,,ηηηηηη+++线性无关． 又由齐次线性方程组的性质知122331,,ηηηηηη+++都是方程组的解．所以122331,,ηηηηηη+++构成方程组的一个基础解系．B3-6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ξξξ是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ξξ，求该方程组的通解．解 因为4,3n r ==，故原方程组的导出组的基础解系含有1n r -=个解向量，所以只须找出其导出组的一个非零解向量即可． 由解的性质知，1213,ξξξξ--均为导出组的解，所以1213123()()2()ξξξξξξξ-+-=-+为导出组的解，即123342()56ηξξξ⎛⎫⎪ ⎪=-+= ⎪ ⎪⎝⎭,为导出组的解．故原方程组的通解为123344556k k ξξη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 为任意常数．B3-7. 设*ξ是非齐次线性方程组B AX =的一个解，r n -ηηη,,,21 是它对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关；（2）r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．证 （１）反证法.设,*ξr n -ηηη,,,21 线性相关，由r n -ηηη,,,21 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系知r n -ηηη,,,21 线性无关，故*ξ可由r n -ηηη,,,21 线性表示，即*ξ是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾．故,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关．（2）反证法.设r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性相关，则存在不全为零的数012,,,,n r k k k k -，使得****01122()()()0n r n r k k k k ξξηξηξη--+++++++=,即*0121122()0n r n r n r k k k k k k k ξηηη---++++++++=,由（１）知，,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关，则0120n r k k k k -++++=，10k =，20k =，．．．，0n r k -=,从而00k =，这与012,,,,n r k k k k -不全为零矛盾,故r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．B3-8．设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212*********， 的系数矩阵的秩等于矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02121222221111211nn nn n n n n b b b b a a a b a a a b a a a 的秩，试证这个方程组有解．证 令111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212n n n n nn n a a a b a a a b A a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212120n n n n nn n na a ab a a a b B a a a b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 因为A 比A 多一列，B 比A 多一行，故()()()r A r A r B ≤≤,而由题设()()r A r B =，所以()()r A r A =，所以原方程组有解．B-9．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明：⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1,01,1,n r n r nr n r A A A A 当当当. 证 若A r n =，因为0A ≠，而**AA A A A E ==，1*0n A A-=≠，故A r n *=．若1A r n =-，因为0A =，所以*AA A E O ==，又因为A AA A r r r n **≥+-，而0AA r *=，所以1A r *≤；又因为1A r n =-，所以至少有一个代数余子式0ij A ≠，从而1A r *≥，故1A r *=．若1A r n <-，则A 的任一个代数余子式0ij A =，故*0A =，所以0A r *=．B3-10．设A 是m n ⨯阶方阵，证明：AX AY =，且A r n =，则X Y =． 证 因为AX AY =，所以()A X Y O -=，又因为A r n =，所以方程组()A X Y O -=只有零解，即X Y O -=，所以X Y =．。
线性代数第三章习题及答案
习 题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ． 解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。
3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α； （3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ． 解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。
（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解， 即β不能由21,αα线性表示。
线代第3章习题答案
第3章1. 34(30,10,20,16)γαβ=-=---.2. (1) 能，唯一一种表示：12323βααα=--. (2) 不能.(3) 能，很多种表示：123(21)(35)c c c βααα=-+-++，c 为任意常数. 3. 证明略，唯一表达式为：12123234344()()()b b b b b b b βαααα=-+-+-+. 4. (1) 线性无关. (2) 线性相关.(3) 线性相关，因为4个向量，每个向量维数3维. (4) 若a ,b ,c 均不相等，线性无关，否则线性相关. 5. (1) 线性无关 (2) 线性无关 (3) 线性相关.6. 解：设112223334441()()()()0k k k k αααααααα+++++++=，整理可得141122233344()()()()0k k k k k k k k αααα+++++++=，因为已知1234,,,αααα是线性无关的，故有 141223340,0,0,0,k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩系数矩阵1001100111000101011000110011000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()3r A =. 故12233441,,,αααααααα++++是线性相关的.7. 证：因为任意1n +个n 维向量必线性相关，故12,,,,n αααβ 线性相关，存在 不全为零的1n +个数121,,,n k k k + ，使得112210n n n k k k k αααβ+++++= . 若10n k +=，12,,,n ααα 线性相关，矛盾.所以10n k +≠，β可由12,,,n ααα 线 性表出.下证表达式唯一，类似于定理3.5的证明.8. 证：（反证法即得）.假设1234,,,k k k k 不全为零，其中某个为零，其他的不为零.不妨假设10k =，则2233440k k k ααα++=，其中234,,k k k 均不为零，则可推出 234,,ααα是线性相关的，这与已知任意三个向量都线性无关矛盾,故假设不成 立.由假设的任意性可知112233440k k k k αααα+++=，其中1234,,,k k k k 全不为 零.9. 证：设前一向量组的秩为r ，则显然r s ≤，又后一组的秩也为r ，则有1r s s ≤<+，故后一向量组是线性相关的.若r s =,则前一组是线性无关 的，后一组是线性相关的，则由定理3.5知，β可由1α,2α, ,s α线性表出， 且表达式唯一.若r s <，则两组均是线性相关的，且两个向量组的秩是相等 的，也可推出β可由1α,2α, ,s α线性表出. 10. 证：因为12,,n εεε 能由12,,n a a a 线性表示, 所以 1212(,,,)(,,,)n n r r a a a εεε≤ ，而12(,,,)n r n εεε= ，12(,,,)n r a a a n ≤ ，所以12(,,,)n r a a a n = ，从而 12,,n a a a 线性无关.11. 证：因为任一向量β可由12,,,s ααα 线性表出，故n 维基本向量组12,,s εεε能由12,,,s ααα 线性表出，又知12,,,s ααα 可由基本向量组12,,s εεε 表出，故12,,,s ααα 与12,,s εεε 等价，所以12,,,s ααα 的秩为s ，即 12,,,s ααα 线性无关.12. 证：由于123,,ααα线性无关，而1234,,,αααα线性相关，故一定存在123,,k k k , 使得4112233k k k αααα=++.若其中某个i k 不为零，假定10k ≠，则1422331()/k k k αααα=--，知423,,ααα也是极大线性无关组，唯一性矛盾. 故一定有1230k k k ===，即40α=.13. 证：必要性.若12,,,s βββ 线性无关，则12,(,,)s r s βββ= ，又因为 12,12(,,)min{(),(,,,)}s s r r A r βββααα≤ ，而12(,,,)s r s ααα= ，故12,(,,)()s r s r A βββ=≤ ，又因为()r A s ≤，则一定有()r A s =，即矩阵A 可 逆.充分性,若矩阵A 可逆，则在等式两边左乘1A -，然后根据矩阵秩的不等 式可得11212,(,,,)min{(),(,,)}s s r r A r αααβββ-≤ ，显然有112(,,,)()s r s r A s ααα-=≤= ，可推出1212,(,,,)(,,)s s r s r αααβββ=≤ ， 又12,(,,)s r s βββ≤ ，故只能12,(,,)s r s βββ= ，即12,,,s βββ 线性无关. 14. 证：因为向量组12,,,s ααα 的秩为1r ，则其中有1r 个线性无关的向量，设为 112,,,r c c c .向量组12,,,t βββ 的秩为2r ，则其中有2r 个线性无关的向量，设 为212,,,r d d d .则向量组1212,,,,,,s t αααβββ 中线性无关的向量一定在 121212,,,,,,r r c c c d d d 中选取，所以312r r r ≤+. 15. 定义即得.16. （例题）12(,,,)s r r ααα= ，且12,,,r i i i ααα 为其中r 个线性无关的向量.设 k α是向量组中任意一个向量，则12,,,,r i i i k αααα 线性相关，否则向量组的 秩会大于r .所以，由定理3.5，k α可由12,,,r i i i ααα 线性表出，故 12,,,r i i i ααα 为向量组的一个极大线性无关组.17. (1) 11311322601003000004000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,故123()(,,)2r A r ααα==, 1α 2α 3α故一个极大线性无关组是1α，2α.(2) 24611231123100013691000012310000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1234()(,,,)2r A r αααα==, 故一个极大线性无关组是1α，4α.(3) 12341234234501233456000045670000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1234()(,,,)2r A r αααα==, 故一个极大线性无关组是1α，2α.18. (1) 11511151112302743181000013970000A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组 123423450,2740,x x x x x x x ⎧-+-=⎨-+=⎩方程组的一般解为:34343432722x x x x X x x ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 可得方程组的一个基础解系为：137,,1,022Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，[]21,2,0,1T η=--.通解为1122X k k ηη=+，1k ，2k 为常数.(3) 212112133112054736290010A ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，于是得阶梯形方程组12342343230,5470,0,x x x x x x x x ---=⎧⎪++=⎨⎪-=⎩方程组的一般解为44417,,0,55TX x x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，可得方程组的一个基础解系：117,,0,155Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，通解为11X k η=.(4) 方程组本身即为一个阶梯形方程组，其一般解为:()23423413,,,4TX x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦,可得方程组的一个基础解系：11,1,0,04Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，23,0,1,04Tη⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，31,0,0,14Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.通解为112233X k k k ηηη=++，1k ，2k ，3k 为常数.19. 证:首先由定理3.9知AX O =的基础解系含有n r -个线性无关的解向量.设 12,,,r ηηη 是AX O =的任意n r -个线性无关的解向量，要证12,,,r ηηη 是 AX O =的基础解系，只需证AX O =的任一解向量β都可由12,,,r ηηη 线性 表出.事实上，12,,,,r ηηηβ 必线性相关（否则AX O =的基础解系至少含有 1n r -+个线性无关的解向量，与已知矛盾），所以β都可由12,,,r ηηη 线性 表出，故12,,,r ηηη 是AX O =的基础解系.20. 证:假定一个基础解系为12,,s ηηη ,向量组12,,,s βββ 与其等价，故也含 有s 个向量.已知向量组12,,,s βββ 满足线性无关性，又因为每一个解向量 都可以由12,,s ηηη 线性表出，而12,,s ηηη 和12,,,s βββ 是等价向量组， 根据线性表出的传递性，每个解向量都可以由12,,,s βββ 线性表出，故 12,,,s βββ 也是一个基础解系.21. 证：先证122331,,ηηηηηη+++线性无关.设存在123,,k k k ,使得 112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=，即131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=，又因为123,,ηηη线性无关，则1312230,0,0,k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 可得只能1230k k k ===，即122331,,ηηηηηη+++线性无关.由于112223331()()()X k k k ηηηηηη=+++++ 131122233()()()k k k k k k ηηη=+++++，可知任意一个向量都可由122331,,ηηηηηη+++线性表出， 即122331,,ηηηηηη+++也是AX O =的一个基础解系.22. 证:（1）反证法，若12,γγ线性相关，则12,γγ一定成倍数关系，不妨令12k γγ=. 又因为12γγ≠,故1k ≠.由于12γγ-为齐次线性方程组AX O =的解，并且 122(1)k γγγ-=-，所以有22(1)(1)A k k A O γγ-=-=，而1k ≠，则有2A O γ=， 这与2A γβ=矛盾，所以假设不成立，即12,γγ线性无关.（2）若()1r A n =-，则齐次线性方程组AX O =的基础解系中只有一个解向 量，又12()A O γγββ-=-=，故112()k γγ-即为基础解系，其中1k 为某个非 零常数，又已知η是齐次线性方程组AX O =的解，则一定有2112()k k ηγγ=-， 即说明12,,ηγγ是线性相关的.23. (1)[]27316121123522401151109417200000A β---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组：123423422,11510,x x x x x x x --+=-⎧⎨+-=⎩取3x ，4x 为自由变量，则方程组一般解为：()()3434341129,105,,1111TX x x x x x x ⎡⎤=-+--+⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：0210,,0,01111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：115,,1,01111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，291,,0,11111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：01122122191111111051111111010001X k k k k ηηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中1k ，2k 为常数. (2) []15231115231131425021131901170091475361100000A β----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 于是得阶梯形方程组：12342343452311,23,9147,x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎨⎪-=⎩取4x 为自由变量，可得方程组一般解为：()444431751,,714,29189TX x x x x ⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：01770,,,099Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：13514,,,12189T η⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数.(3) []211331321451010407551132121000152A β---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组：12342344324,75511,152,x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩取3x 为自由变量，可得方程组一般解为：333131552,,,1573715TX x x x ⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：01352,,0,15315Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：115,,1,077Tη⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数. (4) 方程组本身即为一个阶梯形方程组，其一般解为: []2345234544236,,,,TX x x x x x x x x =+-+-, 可得一个特解为：[]04,0,0,0,0Tη=， 一个基础解系：[]14,1,0,0,0Tη=，[]22,0,1,0,0Tη=-，[]33,0,0,1,0Tη=,[]46,0,0,0,1Tη=- 通解为011223344X k k k k ηηηηη=++++，1k ，2k ，3k ,4k 为常数.24. 解:[]2211230112302325012112020000A βλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 当20λλ-=，即0λ=或1λ=时有解. 当20λλ-≠，即0λ≠且1λ≠时无解.若有解，得阶梯形方程组：1234234230,2,x x x x x x x λ+-+=⎧⎨+-=⎩取3x ，4x 为自由变量，则方程组一般解为： []34343444,2,,TX x x x x x x λλ=-+--+， 可得一个特解为：[]0,,0,0Tηλλ=-，一个基础解系为：[]14,2,1,0Tη=-，[]24,1,0,1Tη=-. 则方程组的通解为：01122X k k ηηη=++，其中1k ，2k 为常数，0λ=或1λ=.25. 解:[]11321113211316301121151010001053115230002226A b b a a b β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥---+--⎣⎦⎣⎦，若220a -+=且260b --≠时，即1a =且3b ≠-时，无解. 若1a ≠时，有唯一解为：263420,6,5,11Tb b X b b b a a ++⎡⎤=--+-+⎢⎥--⎣⎦. 若1a =且3b =-时，有无穷多解.此时阶梯形方程组为：12342343321,21,2,x x x x x x x x +++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩取4x 为自由变量，可得方程组一般解为： []448,32,2,TX x x =--， 可得一个特解为：[]08,3,2,0Tη=-， 一个基础解系为：[]10,2,0,1T η=-.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数 26. 证法1：单位矩阵E 的每一列都是AX O =的解，故A AE O ==. 证法2：假设A O ≠，则()0r A r =≠，所以AX O =只有n r -个线性无关的解， 显然矛盾.27.证:已知齐次线性方程组AX O =的系数矩阵的秩为()r r n <，则AX O =的基 础解系中含有n r -个线性无关的解向量.反证法假设12(,,,)t r n r ααα>- ， 则其中有大于n r -个线性无关的解向量，并且其中每个解向量都可由这 12(,,,)t r ααα 个解向量线性表出，这说明AX O =的基础解系中含有大于 n r -个线性无关的解向量，这与已知矛盾，故假设不成立.则 12(,,,)t r n r ααα≤-28.证:(1)AX O =的基础解系中含有()n r A -个线性无关的解向量，BX O =的基 础解系中含有()n r B -个线性无关的解向量.若AX O =的解均为BX O =的解，即有()()n r A n r B -≤-，故()()r A r B ≥.(2)若AX O =与BX O =同解，通过(1)的结论，基础解系中含有相同个数的 线性无关的解向量，则()()n r A n r B -=-，故()()r A r B =. (3)略.(4)不能.只能说基础解系中含有相同个数的线性无关的解向量，但这些解向 量不一定相等.。
线性代数第五版第三章常见试题及解答
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设α1=[1，2，1]，α2=[0，5，3]，α3=[2，4，2]，则向量组α1，α2，α3的秩是（）A．0 B．1C．2 D．3答案：C2．若向量组α1=（1，t+1，0），α2=（1，2，0），α3=（0，0，t2+1）线性相关，则实数t=（）A．0 B．1C．2 D．3答案：B3．设A是4×5矩阵，秩（A）=3，则（）A．A中的4阶子式都不为0 B．A中存在不为0的4阶子式C．A中的3阶子式都不为0 D．A中存在不为0的3阶子式答案：D4．设向量组α1，α2，…，αs线性相关，则必可推出（）A．α1，α2，…，αs中至少有一个向量为零向量B．α1，α2，…，αs中至少有两个向量成比例C．α1，α2，…，αs中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D．α1，α2，…，αs中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合答案：C5.设β可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中β只能是A.（2，1，1）B.（-3，0，2）C.（1，1，0）D.（0,-1,0）答案：B6.向量组α1 ，α2 ，…，αs 的秩不为s(s 2≥)的充分必要条件是（ ） A. α1 ，α2 ，…，αs 全是非零向量 B. α1 ，α2， …，αs 全是零向量C. α1 ，α2， …，αs 中至少有一个向量可由其它向量线性表出D. α1 ，α2， …，αs 中至少有一个零向量 答案：C7．向量组α1，α2，…αs ，(s ＞2)线性无关的充分必要条件是（ ） A ．α1，α2，…，αs 均不为零向量B ．α1，α2，…，αs 中任意两个向量不成比例C ．α1，α2，…，αs 中任意s-1个向量线性无关D ．α1，α2，…，αs 中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示答案：D8.已知向量组A ：4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么（ ） A. 4321,,,αααα线性无关 B. 4321,,,αααα线性相关 C. 1α可由432,,ααα线性表示 D. 43,αα线性无关答案：B9.向量组s 21,,ααα 的秩为r ，且r<s ，则（ ） A. s 21,,ααα 线性无关B. s 21,,ααα 中任意r 个向量线性无关C. s 21,,ααα 中任意r+1个向量线性相关D. s 21,,ααα 中任意r-1个向量线性无关 答案;C10．设向量),,,(),,,,(),,,(),,,(222221111122221111d c b a d c b a c b a c b a ====ββαα，下列命题中正确的是（ ）A ．若21αα,线性相关，则必有21ββ，线性相关B ．若21αα,线性无关，则必有21ββ，线性无关C ．若21ββ，线性相关，则必有21αα,线性无关D ．若21ββ，线性无关，则必有21αα,线性相关 答案：B11．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A ，B ）的列向量构成的向量组，则必有（ ） A ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关 B ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性相关 C ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性无关 D ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性相关D 答案：C12．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量答案：B13.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4，其中α1，α2，α3线性无关，则（ ） A.α1，α3线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性无关 C.α1，α2，α3，α4线性相关 D.α2，α3，α4线性相关 答案：A14．设4321,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表示法惟一，则向量组4321,,,αααα的秩为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：C15．设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（ ） A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合答案：A16.设α1，α2，α3，α4是三维实向量，则（）A.α1，α2，α3，α4一定线性无关B.α1一定可由α2，α3，α4线性表出C.α1，α2，α3，α4一定线性相关D.α1，α2，α3一定线性无关答案：C17.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（）A.1B.2C.3D.4答案：C的是（）18.下列命题中错误．．A.只含有一个零向量的向量组线性相关B.由3个2维向量组成的向量组线性相关C.由一个非零向量组成的向量组线性相关D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关答案：C19.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（）A.α1必能由α2,α3，β线性表出B.α2必能由α1,α3，β线性表出C.α3必能由α1,α2，β线性表出D.β必能由α1,α2,α3线性表出答案：D1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中αi（i=1,2,3）为A的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α）|=6，则| A |=( )3A.-12B.-6C.6D.124.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( )A.α1，α2，α3，α4线性无关B.α1，α2，α3，α4线性相关C.α1可由α2，α3，α4线性表示D.α1不可由α2，α3，α4线性表示二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
《线性代数》第3章习题解答(rr)
1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解:∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4T T=-----=-∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]TTTαα+=-+-=2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα==3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且 求 α解:∵ 1236325αααα=+-[6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24],T T TT=+--=∴ [1,2,3,4].T α=3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ==== 时， 11220m m k k k ααα+++= 成立， 则向量组12,,m ααα 线性相关解：不正确.如：[][]121,2,3,4T Tαα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。
(2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k 使11220,m m k k k ααα+++≠ 则向量组12,,,m ααα 线性无关。
解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,TTk αα====存在k 使121220,,.αααα+≠但显然线性相关(3) 如果向量组12,,,m ααα 线性无关,则其中任何一个向量都不能由其余向量线性表出. 解： 正确。
（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m ααα 线性相关，与题没矛盾。
(4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。
解：不正确。
例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,TTTααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。
线性代数第三章习题及解答
解：取 α1 = (1, 0, 0)T , α2 = (0, 1, 0)T , β1 = (−1, 0, 0)T , β2 =
(0, −1, 0) α1 + α2 + β1 + β2 = 0, 但 α1 , α2 线性无关， 且 β1 , β2 也线性无关 (3) 若只有当 λ1 , . . . , λm 全为 0 时，等式 λ1 α1 + · · · + λm αm + λ1 β1 +· · ·+λm βm = 0 才能成立， 则 α1 , α2 , . . . , αm 线性无关， β1 , β2 , . . . , βm
证明：因为 n = R(e1 , . . . , en ) ≤ R(α1 , . . . , αn ) ≤ n 于是 R(α1 , . . . , αn ) = n， 则 α1 , α2 , . . . , αn 线性无关
7. 设向量组 α1 , α2 , . . . , αm 线性相关，且 α1 ̸= 0, 证明：存在某
2
(0, 0, 0)T , β3 = (−1, −1, 1)T 5. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大线性无关
组， 并把其余列向量用最大线性无关组线性表示 . 25 31 17 43 75 94 53 132 (1) 75 94 54 134 25 32 20 48 25 31 17 43 25 31 17 75 94 53 132 0 1 2 解： 75 94 54 134 −→ 1 3 0 25 32 20 48 0 1 3 α1 α2 α3 α4 25 31 17 43 1 0 0 8 5 0 1 2 3 0 1 0 −1 −→ 0 0 1 2 −→ 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 于是最大线性无关向量组之一为 α1 , α2 , α3
线性代数第三章矩阵的逆(习题课)
目录
• 矩阵的逆的定义和性质 • 逆矩阵的运算规则 • 逆矩阵的应用 • 习题解析与解答
01
矩阵的逆的定义和性质
定义与性质
逆矩阵的定义
如果存在一个矩阵A-1，使得A*A-1=I （单位矩阵），则称A为可逆矩阵， A-1为A的逆矩阵。
逆矩阵的性质
若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵A-1也 是可逆矩阵，且(A-1)-1=A。同时， 若B是A的逆矩阵，则AB=BA=I。
03
逆矩阵的应用
解线性方程组
线性方程组
线性方程组是数学中一个常见的 问题，它涉及到多个未知数和方 程。通过矩阵的逆，我们可以找 到线性方程组的解。
求解步骤
首先，将系数矩阵进行转置，然 后计算其行列式值。如果行列式 值不为零，则存在唯一解。最后， 通过矩阵的逆计算出线性方程组 的解。
应用场景
线性方程组广泛应用于各个领域， 如物理、工程、经济等。通过矩 阵的逆，我们可以更高效地解决 这些领域中的问题。
综合题2解析
题目要求求一个给定矩阵的逆矩阵， 并判断其是否可逆。同时，我们需要 解决一个与该矩阵相关的问题。首先 ，我们判断矩阵是否可逆。如果可逆 ，我们再使用公式法或分块法计算逆 矩阵。然后，我们将逆矩阵应用于实 际问题中以获得解决方案。
综合题目3解析
题目要求求多个给定矩阵的乘积的逆 矩阵，并验证其正确性。同时，我们 需要解决一个与这些矩阵相关的问题 。首先，我们计算多个给定矩阵的乘 积。然后，我们使用公式法或分块法 计算其逆矩阵。最后，我们通过乘以 其原矩阵来验证逆矩阵的正确性。同 时，我们将逆矩阵应用于实际问题中 以获得解决方案。
量βi；最后，计算P^(-1)AP=B。
线性代数课本第三章习题详细答案
第三章 课后习题及解答将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21T--=--=--===αααααT2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得14321=+++k k k k24321=--+k k k k14321=-+-k k k k14321=+--k k k k解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，0342=-k k ，1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T1===ααα4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T 1==-=βββ，解：3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立.7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，因为21,αα线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ，可解得021==k k ，故2121,αααα-+线性无关.方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα， 又因为021111≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中,13121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k a a a a α,3222122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks a a a a α ,,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks s s s s a a a a αs βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关，且02110011101≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛盾，故321,,ααα线性无关.方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k因为321,,βββ线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关； 解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。
[整理版]线性代数习题三答案
![[整理版]线性代数习题三答案](https://img.taocdn.com/s3/m/ea5c8460f56527d3240c844769eae009581ba297.png)
第三章 线性方程组一、温习巩固1. 求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x解： 化系数矩阵为行最简式⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000001001-0215110531631121行变换A因此原方程同解于⎩⎨⎧=+-=023421x x x x 令2412,k x k x ==，可求得原方程的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001001221k k x ，其中21,k k 为任意常数。
2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x解：把增广矩阵),(b A 化为阶梯形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换r r b A因此3),(2)(=<=b A R A R ，所以原方程组无解。
3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。
求向量γ，使βγα=+32。
解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=31,0,35,3)2(31αβγ4. 求向量组,)0,2,1,1(,)14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(4321T T T T -===-=ααααT )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。
解：将51,αα 作为列向量构成矩阵，做初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=44000000010110213012422101103033021301601424527121103121301A 所以向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大线性无关组。
二、练习提高⒈ 判断题⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。
线代第三章习题解答
第三章 行列式习题3.13-1-6.用定义计算行列式（1）()2,1,0,,,0000000222211114=≠=i d c b a d c b a d c b a D i i i i解：设444⨯=ija D 则4D 中第1行的非0元为113111,b a a a ==，故11,3j =同法可求：2342,4;1,3;2,4j j j ===∵4321,,,j j j j 可组成四个4元排列 1 2 3 4，1 4 3 2，3 2 1 4，3 4 1 2，故4D 中相应的非0项有4项，分别为2211d b c a ，,2211c b d a -2211d a c b -，2211c a d b 其代数和即为4D 的值，整理后得 ()()122112214d c d c b a b a D --=(2)010...0002 0000...000 0n D n =M M MM解：由行列式的定义121212()12(1)n n nj j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑L L L仅当12,,,n j j j L 分别取2，3,…,n-1,n,1 时，对应项不为零，其余各项都为零12121()(231)1212231(1)(1)(1)(1)(1)12(1)!n n n j j j n n j j nj n n n n D a a a a a a a n n ττ---=-=-=-⋅=-⋅L L L L L习题3.23.2-2.证明(1)0sin cos 2cos sin cos 2cos sin cos 2cos 222222=γγγβββααα证明:22222222222222132222222cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin c c αααααααβββββββγγγγγγγ-=-+-左0= (2) 322)(11122b a b b a a b ab a -=+证明:23222212()()2()11001c c a ab ab b b a a b b a b a b c c a ba b b a b a b a b --------==---左 右=-=3)(b a(3) 121211221100001000001n n n n n nn n x x x a x a x a x a x a a a a a x-------=+++++-+L L M MM O M M L L L证明: 按最后一行展开，得1211000000010001000(1)(1)00010000100101n n n n x x a a x x x ++----=-+-----L L L L O M M M M M O M M L L LL左321220000100000000100(1)(1)0001000000001001n n n x x x x a a x x +----+-++----LL L L L M M M O M M M M M O M M L L LL21100100()(1)000100nx x x a x x--++--LL M M M O M M L L222222121221(1)(1)(1)(1)()(1)n n n n n n n n n n a a x a x a x x a x ----=-+-+-++-++-L 2211221n n n n n n a a x a x a x a x x ----=++++++=L 右3=2-3．计算下列行列式 （1）11111100((1))((1))0x a a a x a a x a x a x n a x n a a a xa a xx a-=+-=+--LL L LLLM M O M M M OM M M OM LLL])1([)(1a n x a x n -+-=-(2)()()()()()()111(1)211111111()1(1)(1)111111nnnn n n n n n n n n nnna a a n a a a n a a a n D a a a n a a a n a a a n ---++---------==-------L L L LM MOMMM O ML L LL（最后一行（n+1）行依次与第n,n-1,…,2,1行交换，经过n 次交换；再将新的行列式的最后一行（即原来的n 行）依次换到第二行，经过n-1次交换；。
《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答
例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解 系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
，故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
，则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ，所以方程组有无穷多解，令 x4 = c1, x5 = c2 ，得
高等数学 线性代数 习题答案第三章
第三章习题3-11． 设s =12gt ２，求2d d t s t=．解：22221214()(2)2lim lim 22t t t g g ds s t s dt t t t →→=-⨯-==-- 21lim (2)22t g t g →=+= 2． 设f (x )=1x，求f '(x 0) (x 0≠0)． 解：1211()()()f x x x x--'''===00201()(0)f x x x '=-≠ 3．试求过点（3，8）且与曲线2y x =相切的直线方程。
解：设切点为00(,)x y ，则切线的斜率为002x x y x ='=，切线方程为0002()y y x xx -=-。
由已知直线过点(3,8),得 00082(3)y x x -=- (1)又点00(,)x y 在曲线2y x =上，故200y x = (2)由(1),(2)式可解得002,4x y ==或004,16x y ==，故所求直线方程为44(2)y x -=-或168(4)y x -=-。
也即440x y --=或8160x y --=。
4． 下列各题中均假定f ′(x 0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么：(1) 0limx ∆→00()()f x x f x x-∆-∆=A ;(2) f (x 0)=0, 0limx x →0()f x x x-＝A ； (3) 0limh →00()()f x h f x h h+--=A ．解：(1)0000000()()[()]()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x x x→-→--+--'=-=--0()A f x '∴=- (2)00000()()()limlim ()x x x x f x f x f x f x x x x x →→-'=-=---0()A f x '∴=-(3)000()()limh f x h f x h h→+--00000[()()][()()]lim h f x h f x f x h f x h→+----=000000()()[()]()lim lim h h f x h f x f x h f x h h→-→+-+--=+-000()()2()f x f x f x '''=+= 02()A f x '∴=5． 求下列函数的导数： (1) y (2) y ；(3) y 322x ．解：(1)12y x x ==11221()2y x x -''∴=== (2)23y x -=225133322()33y x x x ----''∴==-=-=(3)2152362y xx xx -==15661()6y x x-''∴===6． 讨论函数y x =0点处的连续性和可导性． 解：30lim 0(0)x x f →==000()(0)0lim lim 0x x x f x f x x →→→-===∞-∴函数y =0x =点处连续但不可导。
线性代数习题答案第三章
解 R(A)R(B) 这是因为B的非零子式必是A的非零子式 故A的秩不会小于B的秩
8 求作一个秩是4的方阵 它的两个行向量是 (1 0 1 0 0) (1 1 0 0 0)
解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵 此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量
B~ 于是R(A)2 而R(B)3 故方程组无解
(2) 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有
B~ 于是 即 (k为任意常数)
(3) 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有
B~ 于是 即 (k1 k2为任意常数)
(4) 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有
B~ 于是 即 (k1 k2为任意常数)
14 写出一个以 为通解的齐次线性方程组
A~D D~B 由等价关系的传递性 有A~B
11 设 问k为何值 可使
(1)R(A)1 (2)R(A)2 (3)R(A)3 解 (1)当k1时 R(A)1 (2)当k2且k1时 R(A)2 (3)当k1且k2时 R(A)3
12 求解下列齐次线性方程组: (1) 解 对系数矩阵A进行初等行变换 有
A~ 于是 故方程组的解为
3 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵
(1) 解~ ~~ ~ 故逆矩阵为 (2)
解 ~ ~ ~ ~ ~
故逆矩阵为 4 (1)设 求X使AXB 解 因为
所以 (2)设 求X使XAB 解 考虑ATXTBT 因为
所以 从而
5 设 AX 2XA 求X 解 原方程化为(A2E)X A 因为
所以 6 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的r阶子式? 解 在秩是r的矩阵中 可能存在等于0的r1阶子式 也可能存在等于0的r
线性代数(含全部课后题详细答案)3第三章矩阵习题解答.docx
习题三A 组1 •填空题.(1)设口 = (1,1,1), 6 = (-1,-1,-1),则ah x= _____________ , a vh= _________ro o>1 ](3)若么=(1, 2, 3), B — 1, —, — , A — a}d ,则 A n =I 2 3丿‘1 0⑷设A= 0 2J o解0.(5)设 a = (l, 0, -if ，矩阵 A=aa l \ 斤为正整数，贝 i\kE - A n解 k 2(k-2n ).(6)设昇为斤阶矩阵，且A =2,贝ij AA T= _________ , AA ： = _______2(2)设八1-3 2),B =-3丿1 -13 1 3>则AB = (0 0丿(—3 -3丿2 13232 3 1 1)0 ,正整数 /7 > 2 ,则 A n -2A ,l ~' =2“+i2".(cos& -sin&\(7)、sin& cos& 丿cos& sin&\、一sin& cos& 丿0 0、2 0 ,则(A*y =4 5,解討丫2(10)设矩阵/二,矩阵B满足BA = B + 2E,则B二，B<-1 2(2 0(11)设/，〃均为三阶矩阵，AB = 2A + B f B= 0 4,2 0‘0 0 P解0 1 0b o oj(12)设三阶矩阵/满足|力|二*, (3A)~l-2A* =1627(13)设/为加阶方阵,B为兀阶方阵,同=Q,\B\ = b, C =°, 则\c\ =(8)设…®?工0 ,则、\Z曾丿1)a n1%■■1 1■色丿丿a lP(9)设A= 22、0 ,贝=2丿/0、0 ,矩阵〃满足关系式ABA =2BA ^E,其屮才'为力的伴随矩阵，则|B | =解*•解0.解一3・是nxp 矩阵，C 是pxm 矩阵，加、n 、p 互不相等，则下列运算没有(B) ABC ；解D.(2)设/是mxn 矩阵(m n), B 是nxm 矩阵，则下列解(一l)〃5b ・(15)设4阶矩阵/的秩为1,则其伴随矩阵/的秩为 (14)设三阶矩阵/ =R(4)解1.(17)设矩阵力'a 、b\ a }b 2■ ■a 2b 2 ■ • ■a n b2,其中匕・工0, (Z=l,2,•••,/?),则力的秩，且7?(J) = 3,则丘=0、 -2i,则将/可以表示成以下三个初等矩阵的乘积(D) AC T .的运算结果是n 阶力•阵.(A) AB ；解B.(B) A YBT；(C) B r A T ；(D) (4B)T.(16 )设？1 = •咕、 ・仇 ・ a n b n)解2.选择题.(1)设/是mxn 矩阵,(3) 设力」是斤阶方阵，AB = O,贝I 」有 ________ • (A) A = B = Ox(B) A + B = O ； (C)同=0或|同=0；(D)同 + 圖=0・解C ・(4) 设力，〃都是斤阶矩阵，则必有 _______ . (A) \A + B\ = \^ + \B\； (B) AB = BA ； (C) \AB\ = \BA\ ；(D) (/1 + B)T M /T + BT ・解C ・(5) 设/,B 是斤阶方阵，下列结论正确的是 __________ ・ (A)若均可逆，则A^B 可逆； (B)若力，〃均可逆，则力〃可逆； (C)若A + B 可逆，则A-B 可逆；(D)若A + B 可逆，则4〃均可逆.解B.(6) 设斤阶方阵A,B,C 满足关系式 ABC = E ，则必有 ___________ ・ (A) ACB = E ； (B) CBA = E ；(C) BAC = E ；(D) BCA = E .解D.(7) 设昇，B,力 + B, /T+BT 均为斤阶可逆矩阵，贝等于 ________________________ (A)(B) A + B ；(C) (D) g + 3)".解C.(8) 设£B,C 均为兀阶矩阵，若B = E + MB , C = A^CA.则B-C 为 ________________ . (A) E\ (B) —E ； (C) ； (D) —A.. 解A.(9) 设矩阵A = (a i .} 满足才其中才是/的伴随矩阵，川为昇的转置矩阵.若\ "3x3。
线性代数第3章习题答案PPT课件
k11 k22 knn .
成立.
(2) 设 1 = (1, 0, 0, 1),2 = (1, 2, 0, 2 ),3 (1,2,3,3),
4 (2,1,5,4 ),其中 1, 2 , 3, 4是任意实数, 则有( C ).
(A) 向量组 1,2,3 总线性相关; (B) 向量组 1,2,3,4 总线性相关; (C) 向量组 1,2,3 总线性无关;
问:向量 可以由向量 1,2,3 线性表示?若可以，
写出其表达式.
解： 设 k11 k22 k33, 则有:
8,3,1 k1 1,2,3 k2 3,1,0 k3 1,1,1
即 k1 3k2 k3 8 2k1 k2 k3 3 3k1 k3 1
1 3 1 D 2 1 1 1 0
,r线性表示.选项(A)正确. 此外,显然 1可由1,2 , ,r线性表示, 选项(C)正确. n可由r1 ,r2 , ,n线性表示.选项(D)也正确.
由排除法知选项(B)错误. 故应选(B).
2、 若向量组1,2, ,s 的秩r s ，则 （ B ） A 向量组 1,2, ,s 线性无关；
B 向量组 1,2, ,s 线性相关； C 存在一个向量i 1 i r 可以由其余向量 线性表示； D 任一向量都不能由其余向量线性
线性代数第三章习题答案
线性代数 (同济四版) 习题参考答案
1 2 3
35
列变换, 即: 两边分别左乘、 右乘了相应的初等矩阵, 那么矩阵 4 5 6 也要进行相应的行变换、 7 8 9 1 0 1 =⇒ 0 0 1 =⇒ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 4 7 4 1 7 2 5 8 5 2 8 5 2 8 3 6 9 6 3 9 2 2 2 0 A 1 0 0 A 1 1 0 = 0 1 0 1 1 0 = 0 1 1 0
4 1 7
5 2 8
6
3 9
0 0 0 1 4 5 2 1 2 2 7 8 2
得
A= 1 2 2 7 8 2
或者有下面的解法 . 1 2 3 记B= 4 5 6 . 注意到 A 两边乘以的是初等矩阵, 可知矩阵 B 是把 A 进行初等变换 r1 ↔ r2 7 8 9 和 c3 + c1 得到的. 所以要得到 A, 需要将 B 进行初等变换 c3 − c1 和 r1 ↔ r2 . 即 1 2 3 1 2 2 4 5 2 c3 − c1 4 5 2 r1 ↔ r2 1 2 2 = A B= 4 5 6 7 8 9 7 8 2 7 8 2
1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 4 7 1 0 0 4 1 7 2 3 1
0 1
r1 ↔ r2 0 5 6 8 9 0 0 1 0 5 2 8 0 1 c3 − c1 6 3 9 4 5 2 1 1 0
线性代数第三章习题答案
习题三 A 组1. 设1232()3()2()αααααα-++=+，求α，其中1110α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭， 2011α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，3340α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭。
解123103423221312430103αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关。
(1)131-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，210⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，141⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；（2）230⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭，140-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，002⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭解（1）121121121101101314077011011011101022000000000-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭::::, R(A)=2，线性相关（2）210210*********00102002000002-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭::, R(A)=3，线性无关 3. a 取什么值时，下列向量组线性相关？111a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 211a α-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，311a α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 解 (法一)求系数行列式3211112(1)(2)11a a a a a a a a-=-+=+-+，令其为0，得1a =-。
由此可知，当1a =-时，R(A)<3，即题给向量组线性相关。
(法二)()23121212311110110101,,111101101111111111r r r r r r a a a a a a a a a a a a a a a a a ααα-+--+-+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭:::向量组线性相关，所以10a +=，即1a =-4. 设123,,ααα线性无关，证明：1α，12αα+，123ααα++也线性无关. 证明：设112123123()()0,k k k αααααα+++++=即123123233()()0.k k k k k k ααα+++++=由123,,ααα线性无关，有1232330,0,0.k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩ 所以1230k k k ===，即112123,,αααααα+++线性无关. 5.设1(1,1,1)α=，2(1,2,3)α=，3(1,3,)t α=，问： (1) t 为何值时向量组123,,ααα线性相关。
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43
3 5 5
2 2 1 5 2 0 0 0 −1 1 0 0
−1 3 0
1
3
6. 设 α1 , α2 , . . . , αn 是一组 n 维向量，已知 n 维单位坐标向量 e1 , e2 , . . . , en 能由它们线性表示， 证明 α1 , α2 , . . . , αn 线性无关.
4 1 −1 1 −2 −22 1 −2 −1 3 6
−24 −11 3 −2 1 −2 −1 0 11 −→ 10 5 −20 0 0 0
10 0
5 9 1 T T 齐次方程的基础解系为 ξ1 = ( 21 11 , 11 , 1, 0) , ξ2 = (− 11 , 11 , 0, 1)
α4 = 8 α − α2 + 2α3 5 1 1 1 2 2 1 0 2 1 5 −1 (2) 3 2 0 3 −1 1 1 0 4 −1 1 1 2 2 1 1 1 0 2 1 5 −1 0 2 解： 2 0 3 −1 3 −→ 0 0 1 1 0 4 −1 0 0 α1 α2 α3 α4 α5 1 1 0 4 −1 1 0 0 1 0 1 0 3 −1 3 −→ 0 1 0 0 0 1 −1 1 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 于是最大线性无关向量组之一为 α1 , α2 , α3 α4 = α1 + 3α2 − α3 , α5 = α3 − α2
T
− 20 83
5 83
− 17 83
0 1 0
0 0 1
−2
0
−7 2 − 21 4
−1 2
ξ = (2, 14, −21, 4)
10. 求下列非齐次线性方程组的一般解 2x + 7x2 + 3x3 + x4 =6 1 (1) 3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4 9x + 4x + x + 7x =2 1 2 3 4 2 7 3 1 6 2 7 解 3 5 2 2 4 −→ 1 −2 1 9 4 −2 1 7 5 −10 2 1 −1 2 0 11 0 −22 −1 1
(2) 反证，若 α4 可由 α1 , α2 , α3 线性表示, 则 α4 可由 α2 , α3 线
性表示， 与 R(α2 , α3 , α4 ) = 3 矛盾
2.a 取什么值时下列向量组线性相关？ α1 = (a, 1, 1)T , α2 = (1, a, −1)T , α3 = (1, −1, a)T a 1 1 0 1+a 1 − a2 解： a −1 1 −→ 0 1 + a −(1 + a) 1 −1 a 1 −1 a
不全为 0 的数 λ1 , . . . , λm , 使得 λ1 α1 + · · · + λm αm = 0, λ1 β1 + · · · +
λm βm = 0 同时成立.
解： 取 α1 = (0, 0, 0)T , α2 = (0, 1, 0)T , α3 = (1, 1, 0)T β1 = (1, 0, 0)T , β2 =
非齐次方程组的一个解为 η = (−16, 23, 0, 0, 0)T 于是原方程组的通解为 ξ = C1 ξ1 + C2 ξ2 + C3 ξ3 + η , 其中 Cj (j =
1, 2, 3) 为任意常数 11. 设 n 阶矩阵 A 满足：A2 = A, E 为 n 阶单位矩阵，证
明：R(A) + R(A − E ) = n 证明：因为 A(A − E ) = 0 若 A = E , 所证命题显然成立 若 A ̸= E ，则线性方程组 AX = 0 有非零解，即矩阵 A − E 的 列向量组是 AX = 0 的解集， 必然可以由其基础解系线性表示， 那么
6
R(A − E ) ≤ n − R(A), 即 R(A) + R(A − E ) ≤ n
解：取 α1 = (1, 0, 0)T , α2 = (0, 1, 0)T , β1 = (−1, 0, 0)T , β2 =
(0, −1, 0) α1 + α2 + β1 + β2 = 0, 但 α1 , α2 线性无关， 且 β1 , β2 也线性无关 (3) 若只有当 λ1 , . . . , λm 全为 0 时，等式 λ1 α1 + · · · + λm αm + λ1 β1 +· · ·+λm βm = 0 才能成立， 则 α1 , α2 , . . . , αm 线性无关， β1 , β2 , . . . , βm
第三章练习题
1. 已知 R(α1 , α2 , α3 ) = 2, R(α2 , α3 , α4 ) = 3, 证明： (1)α1 能由 α2 , α3 线性表示； (2)α4 不能由 α1 , α2 , α3 线性表示.
证明：(1) 因为 R(α2 , α3 , α4 ) = 3, 于是 α1 可由 α2 , α3 唯一的线 性表示
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2 10 非齐次方程的一个解为 η = (− 11 , 11 , 0, 0)T , 于是原方程组的通
解为
ξ = C1 ξ1 + C2 ξ2 + η , 其中 Cj (j = 1, 2) 为任意常数 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =7 3x1 + 2x2 + x3 + x4 − 3x5 = −2 (2) x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23 5x + 4x + 3x + 3x − x = 12 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 7 1 1 1 1 1 7 0 1 2 2 6 23 3 2 1 1 −3 −2 −→ 解 0 6 23 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 4 3 3 −1 12 齐次方程的基础解系为 ξ1 = (5, −6, 0, 0, 1)T , ξ2 = (1, −2, 0, 1, 0)T , ξ3 = (1, −2, 1, 0, 0)T
一个向量 αk (2 ≤ k ≤ m) 使得 αk 能由 α1 , α2 , . . . , αk−1 线性表示. 证明：反证若 ∀αk 都不能被 α1 , α2 , . . . , αk−1 线性表示，于是对 于 k1 α1 + k2 α2 + · · · + km αm = 0，则 km = 0, 若否 αm 可以被前面
m − 1 个向量线性表示以此类推 k2 = k3 = · · · = km−1 = km = 0, 由
于 k1 , k2 , . . . , km 不全为零，于是 k1 ̸= 0 , 那么 α1 = 0 与题设矛盾， 因此命题成立.
8. 设向量组 B : β1 , β2 , . . . , βr 能由向量组 A : α1 , α2 , . . . , αs 线
性表示为
(β1 , β2 , . . . , βr ) = (α1 , α2 , . . . , αs )K,
其中 K 为 s × r 矩阵，且 A 向量组线性无关，证明：向量组 B 线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩为 r 证明： (=⇒) 因为向量组 B 线性无关， 于是 R(β1 , . . . , βr ) = r, 注 意到 r = R(B ) ≤ R(K ) ≤ r 那么 R(K ) = r
亦线性无关. 解： 取 α1 = (1, 0, 0)T , α2 = (1, 0, 0)T , α3 = (0, 0, 0)T β1 = (0, 1, 1)T , β2 =
(0, 0, 1)T , β3 = (0, 0, 1)T (4) 若 α1 , α2 , . . . , αm 线性相关， β1 , β2 , . . . , βm 亦线性相关， 则有
那么 a = −1 或 a = 2, 则三个向量线性相关
3. 设 α1 , α2 线性无关，α1 + β, α2 + β 线性相关，求向量 β 用 α1 , α2 线性表示的表示式.
解：因为 α1 + β = k(α2 + β ), 于是
β=
1 k−1 α1
+
k 1−k α2
4. 举例说明下列各命题是错误的： (1) 若向量组 α1 , α2 , . . . , αm 是线性相关的， 则 α1 可由 α2 , α3 , . . . , αm
证明：因为 n = R(e1 , . . . , en ) ≤ R(α1 , . . . , αn ) ≤ n 于是 R(α1 , . . . , αn ) = n， 则 α1 , α2 , . . . , αn 线性无关
7. 设向量组 α1 , α2 , . . . , αm 线性相关，且 α1 ̸= 0, 证明：存在某
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线性表示； 解： 例如 α1 ̸= 0, α2 , α3 为零向量， 显然 α1 不能用其余向量线性 表示
(2) 若有不全为 0 的数 λ1 , λ2 , . . . , λm , 使得 λ1 α1 + λ2 α2 + · · · + λm αm + λ1 β1 + · · · + λm βm = 0 成立，则 α1 , . . . , αm 线性相关， β1 , β2 , . . . , βm 亦线性相关.