(完整版)固体物理胡安第三章课后答案

3.1 在单原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如图所示相间变化，且21

ββ>。

试证明在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为

⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-±+=212

21221212

)2(sin 411M ）（ββββββωqa 证明：

第2n 个原子所受的力

1

21122221212121222)()()(-+-++++-=-+-=n n n n n n n n u u u u u u u F ββββββ

第2n+1个原子所受的力

n

n n n n n n n u u u u u u u F 22121122112221222112)()()(ββββββ+++-=-+-=++++++

这两个原子的运动方程：

212222112121122112222()()n n n n n n n n

mu u u u mu u u u ββββββββ+-+++=-+++=-+++

方程的解

⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

+-+⎥

⎦⎤⎢⎣

⎡

-==q a n t i n q a n t i n Be

u Ae

u 2)12(122)2(2ωω

代入到运动方程，可以得到

B A e e B m A B e e A m q a

i q a i q a i q a i )()(21222122122212ββββωββββω+-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=-+-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=--- 经整理，有

0)(0)(22122212221221=-+-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--+--B m A e e B e e A m q a

i q a i q a

i q a i ωββββββωββ 若A ，B 有非零解，系数行列式满足

222

12

122

2

21212,0,a a i q i q

a

a i q i q

m e e e e m ββωββββββω--+-+=++-

根据上式，有

⎪

⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-±+=212

21221212

)2(sin 411M ）（ββββββωqa

3.3

(a) 设单原子链长度L=Na

波矢取值2q h Na π

=⨯ 每个波矢的宽度2q Na π=，状态密度

2Na π

dq 间隔内的状态数2Na

dq π

，对应±q ，ω取相同值 因此()22Na dq dq ρωπ

=⨯

一维单原子链色散关系，2aq ω⎛⎫

=

⎪⎝⎭

令

00sin 2aq ωωω⎛⎫

=

= ⎪⎝⎭

两边微分得到0cos 22a aq d dq ωω⎛⎫= ⎪⎝⎭

将cos 2aq ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

cos 22a aq d dq ωω⎛⎫

= ⎪⎝⎭

,dq d d ωω==

频率分布函数(

)122Na d dq

ρωωπ=⨯==

3.4

三维晶格振动的态密度为

3

(2)V

π

根据态密度定义3()(2)|()|

q V dS

q ρωπω∇⎰＝

对()20q Aq ω

ω=-两边微分得到()2d q Aqdq ω=-

在球面上2q d Aq dq ω

ω∇=

=-

，半径q =代入到态密度函数得到

()()()

()()201/2003

23/21

44,42q V

q V A

q π

ωωπρωωωωωπωπ-=

=-<∇⎰

最小截止频率m ω

()()

1/2

023/2

34m m

V

d d N A ωωωωρωωωωωπ=-=⎰⎰

可得

2/3

2min

06N A V ωωπ⎛⎫=- ⎪

⎝⎭

所以

()()1/2

0min 023/2,4V A

ρωωωωωωπ=-<<

在0min ωωωω><或时，是不存在频率ω的分布的，也就不会有频率分布的密度。 即()0ρω=

3.5

证明：此题可推广到任意维m ，由于

()11m d Aq dq ωρω--⎛⎫

∴= ⎪

⎝⎭

而德拜模型中uq ω=，故()1

1m m q

ρωω--∝∝

()()

2

21

B B k T v B k T B e d

C k k T e ωωρωω

ω⎛⎫∴= ⎪⎝⎭-⎰ 令

x kT

ω=，则上式变为

(

)

(

)

1

1

1

2

2

1

1

D

x m x m x m m v

x x e x e x C T T dx

T

dx e e ++-∝=--⎰⎰

在低温时

D

D x kT

ω=→∞

则积分()

1

2

1x m x

e x dx e +∞

-⎰

为一个于T 无关的常数

故 m v C T ∝ 对三维 m ＝3 3v C T ∝ 对本题研究的二维 m ＝2 2v C T ∝ 对一维 m ＝1 v C T ∝