用弹性力学理论分析合理拱轴线

用弹性力学理论分析合理拱轴线胡文亚1，齐永正2（1. 中铁四局集团一公司，安徽合肥230041; 2. 合肥工业大学土木建筑工程学院，安徽合肥230009）摘要：本文从弹性力学的角度用极坐标应力函数法求解出了无铰圆拱在径向均布荷载作用下不考虑荷载引起的轴向变形情况的应力及内力弹性解，从而证明了结构力学中拱在径向均布荷载作用下，合理轴线为圆弧，轴力为常数的结论是合理的；文章最后讨论了超静定圆拱在径向均布荷载下考虑轴向变形的弹性计算方法。

关键词：应力函数法；圆拱；径向均布荷载；轴向变形；弹性解；合理拱轴线Analysis of appropriate axis of arches usingMechanical Theory of ElasticityHU Wen-ya1，QI Yong-zheng2(1. The 1st engineering Co., Ltd of China Tisiju Civil Engineering Group, Hefei 230041, China; 2. School of CivilEngineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)Abstract:In the paper, accurate stress and internal force elastic solutions of fixed-supported circular arch carrying a radial-uniform-load are obtained without considering axial deformation effects by stress functional method under the point of view on mechanics of elasticity, which prove that the results in the mechanics of structure that appropriate axis of arches carrying a radial-uniform-load is arc, and axial forces is constant, are accurate and efficient. Finally elastic calculation method of statically indeterminate arches carrying a radial-uniform-load are discussed when axial deformation effects are taken into account.Key words: stress functional method; circular arch; radial-uniform-load; axial deformation; elastic solutions; appropriate axis of arches0 引言结构力学教材[1]及大量文章[5~6]用结构力学的方法推导了拱在各种荷载作用下的合理轴线的曲线方程。

本文仅以求解等截面圆拱受径向均布荷载产生的弹性应力解为例证明结构力学结论的正确性。

设以拱的任一截面左边（或右边）所有外力的合力（包括数量、方向和作用点）作出合力多边形，这个合力多边形称为拱的压力线。

当拱的压力线与拱的轴线重合时，各截面的弯矩为零，拱处于无弯矩状态，这时各截面只受轴力作用,材料的使用最经济。

在固定荷载下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理拱轴线。

结构力学中推导了拱在均匀水压力作用下的合理轴线（即无弯矩状态）为圆弧，此时拱只受常值轴力的作用，本文从结构力学的结论出发，用弹性力学中的应力函数法求解径向均布荷载作用下圆拱的弹性解，从而验证了结构力学结论的正确性。

作者简介：胡文亚（1974—），男，安徽安庆人，中铁四局集团一公司，工程师1 结构力学的推导过程为了将问题分析得更透彻，先将结构力学的推导过程（文献[5]有相似推导）简介如下： 如图1所示，从曲杆中取微段为隔离体。

设微段杆轴的曲率半径为R ，两端截面的夹角为ϕd ，微段轴线长度为ϕRd ds =。

用s 和r 分别表示杆轴的切线和法线方向。

沿s 和r 方向的荷载集度分别为s q 和r q 。

由0=∑s ，得02sin 2sin )(2cos 2cos)(=+-+-=+ds q d Q d dQ Q d N d dN N s ϕϕϕϕ （1） 因为ϕd 很小，令22sin ,12cos ϕϕϕd d d ==，忽略高阶微量，并由ϕRd ds =，可得 s q R Q ds dN -= （2） 同理，由∑=0R ，∑=0M ,得r q R N ds dQ --= ，Q dsdM = （3） 式（2）~（3）为曲杆内力的微分关系。

因为拱受均匀水压力q 作用，故切线荷载0=s q ，法向荷载=r q 常数q 。

因此，曲杆内力的微分关系式（2）~（3）可写成Q dsdM q R N ds dQ R Q ds dN =--==,, （4） 设拱处于无弯矩状态，即0=M ，将此式代入式（4），可得0=Q ，=N 常数，qN R -= （5） 由式（5）知各截面的轴力N 是一个常数，且荷载q 也是常数，因此各截面的曲率半径R 也应是一个常数。

也就是说，均匀水压力作用下拱的轴线应是圆弧曲线。

或者说，拱在均匀压力作用下，合理轴线为圆弧，而轴力为常数Rq N -=。

2 弹性力学应力函数法求解过程如图2所示，有一两端固定的圆拱，内半径为a 、外半径为b ，受径向均布荷载q 作用，下面求圆拱内的应力（体力不计）。

由于结构的的形状是圆弧形，本文采用极坐标应力函数法[2~3]求解，由应力函数在边界上的性质，知应力函数与ϕ无关[2] ，故取应力函数)(),(ρϕρU U =。

将应力函数代入极坐标形式的双调和方程[2~3]即0)11(2222224=∂∂∙+∂∂∙+∂∂=∇U U ϕρρρρρ （6） 式（6）展开后等号两边乘以4ρ有022********=+-+ρρρρρρρρd dU d U d d U d d U d （7） 式（7）是Euler （欧拉）方程，其通解为D C B A U +++=22ln ln )(ρρρρρ （8）式中A ，B ，C ，D 为积分常数，由边界条件确定。

则应力分量表达式为0)1(2)ln 21(/2)ln 21(/112222222=∂∂∙∂∂-=+++-=∂∂=+++=∂∂∙+∂∂∙=ϕρρτρρρσρρϕρρρσρϕϕρU C B A U C B A U U （9）由弹性力学物理方程及几何方程得位移分量为 )1(ln )1(2)31(/)1([--+-++-=ρρρρρB v B v A v uϕϕρcos sin /])1(2K I E C v ++-+ （10）ϕϕρρϕϕsin cos /4K I H E B u -++=式中H 、I 、K 为物体的刚体位移，当不考虑荷载引起的轴向变形且不计刚体的位移时，0,0=====K I H B u ϕ，应力分量表达式（9）及位移分量表达式（10）可简化如下0,2/,2/22=+-=+=ρϕϕρτρσρσC A C A （11）E C v A v u /])1(2/)1([ρρρ-++-= （12）由边界条件q b a -====ρρρρσσ)(,0)(得积分常数为)(2,2222222a b qb C a b q b a A --=-= （13） 将式（13）代入式（11）得圆拱的应力分量，即拉梅（Lam é）解为0),1(),1(2222222222=+--=--=ρϕϕρτρσρσa a b qb a a b qb （14） 将式（13）代入式（12）得圆拱的位移分量为0)],()[()(2222222=-++--=ϕρρρρu a v a a b E qb u （15） 因为a ≥ρ，所以ϕρσσ,均是压应力，在垂直轴线的截面上只作用有主应力，剪应力为零，其分布图如图3所示。

最大压应力发生在内周壁：)/(2222a b qb --=ϕσ ，主应力迹线为垂直于轴线的一组径向直线，应力等值线为平行于轴线的一组圆弧[4]，如图4所示。

令壁厚a b h -=，则拱每延米宽的横断面面积为a b h -=，乘以式（14）即求得拱的内力为 )1()(222++-=-∙=ρσϕa a b qb a b N （16）由于垂直轴线的截面上无剪应力，所以该截面上剪力为零。

由轴向应力在截面上不是均匀分布，可知当拱壁较厚时，应考虑轴向应力在拱壁中产生的弯矩影响；当拱壁较薄时，可认为轴向应力沿拱横截面均匀分布。

即若拱的中轴线曲率半径R >>（b-a ），则R b a ≈≈≈ρ，代入式（16）得拱的内力为0,0,==-=M Q Rq N （17）由式（17）可以看出通过弹性力学的应力解所得出拱的内力与结构力学中推导的结果完全相同，由合理拱轴线的定义即可认为拱在径向均布荷载作用下，圆弧是拱的合理拱轴线，此时拱只受轴力Rq N -=的作用，负号表示压力。

从而验证了结构力学的结论。

3 结论及分析（1）本文中的求解是在假设两端固定的拱不考虑轴向变形下的解，由本文的推导过程可以看出仅由应力边界条件即可求得此状态下的全部积分常数。

当考虑轴向变形时积分常数B 将不再为零，此时仅由应力边界条件不能确定全部积分常数，尚需考虑到支座处的位移边界条件。

对于两铰拱和无铰拱，由于其位移约束条件不同，其解亦具有一定的差异。

由于求解过程非常复杂，本文从略。

（2）结构力学中推导在均匀水压力作用下三铰拱的合理轴线为圆弧。

本文用弹性力学应力函数法求解了超静定圆拱假设不考虑轴向变形的弹性解，表明在此荷载下的薄壁圆拱处于无弯矩状态，拱只受常值轴力作用。

结构力学中求解等截面圆弧形无铰拱在均匀水压作用下的内力中假设不考虑轴向变形时荷载引起的受力状态为无弯矩状态[1]，因为拱的壁厚与拱的曲率半径相比是非常小的，所以这种假设是合理的。

结构力学中求解单纯由轴向变形引的受力状态——附加内力状态时，从所得结果可知拱内弯矩是沿拱轴线变化的，最大弯矩发生在拱顶和拱脚处。

但从弹性力学的应力解答来看，无论是否考虑轴向变形，拱在垂直轴线的截面上都只作用有主应力，剪应力为零，拱内弯矩沿拱轴线是不变的，且值很小。

当圆拱承受如图5所示的荷载时，由应力函数在边界上的性质可知些时的应力函数与ϕ有关，可设应力函数为ϕρ2cos )(f U =，进内力解答与结构力学中的解答是相符的。