用弹性力学理论分析合理拱轴线

用弹性力学理论分析合理拱轴线

胡文亚1，齐永正2

（1. 中铁四局集团一公司，安徽合肥230041; 2. 合肥工业大学土木建筑工程学院，安徽合肥230009）

摘要：本文从弹性力学的角度用极坐标应力函数法求解出了无铰圆拱在径向均布荷载作用下不

考虑荷载引起的轴向变形情况的应力及内力弹性解，从而证明了结构力学中拱在径向均布荷载作

用下，合理轴线为圆弧，轴力为常数的结论是合理的；文章最后讨论了超静定圆拱在径向均布荷

载下考虑轴向变形的弹性计算方法。

关键词：应力函数法；圆拱；径向均布荷载；轴向变形；弹性解；合理拱轴线

Analysis of appropriate axis of arches using

Mechanical Theory of Elasticity

HU Wen-ya1，QI Yong-zheng2

(1. The 1st engineering Co., Ltd of China Tisiju Civil Engineering Group, Hefei 230041, China; 2. School of Civil

Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Abstract:In the paper, accurate stress and internal force elastic solutions of fixed-supported circular arch carrying a radial-uniform-load are obtained without considering axial deformation effects by stress functional method under the point of view on mechanics of elasticity, which prove that the results in the mechanics of structure that appropriate axis of arches carrying a radial-uniform-load is arc, and axial forces is constant, are accurate and efficient. Finally elastic calculation method of statically indeterminate arches carrying a radial-uniform-load are discussed when axial deformation effects are taken into account.

Key words: stress functional method; circular arch; radial-uniform-load; axial deformation; elastic solutions; appropriate axis of arches

0 引言

结构力学教材[1]及大量文章[5~6]用结构力学的方法推导了拱在各种荷载作用下的合理轴线的曲线方程。本文仅以求解等截面圆拱受径向均布荷载产生的弹性应力解为例证明结构力学结论的正确性。设以拱的任一截面左边（或右边）所有外力的合力（包括数量、方向和作用点）作出合力多边形，这个合力多边形称为拱的压力线。当拱的压力线与拱的轴线重合时，各截面的弯矩为零，拱处于无弯矩状态，这时各截面只受轴力作用,材料的使用最经济。在固定荷载下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理拱轴线。结构力学中推导了拱在均匀水压力作用下的合理轴线（即无弯矩状态）为圆弧，此时拱只受常值轴力的作用，本文从结构力学的结论出发，用弹性力学中的应力函数法求解径向均布荷载作用下圆拱的弹性解，从而验证了结构力学结论的正确性。

作者简介：胡文亚（1974—），男，安徽安庆人，中铁四局集团一公司，工程师

1 结构力学的推导过程

为了将问题分析得更透彻，先将结构力学的推导过程（文献[5]有相似推导）简介如下： 如图1所示，从曲杆中取微段为隔离体。设微段杆轴的曲率半径为R ，两端截面的夹角为ϕd ，微段轴线长度为ϕRd ds =。用s 和r 分别表示杆轴的切线和法线方向。沿s 和r 方向的荷载集度分别为s q 和r q 。

由0=∑s ，得

02

sin 2sin )(2cos 2cos

)(=+-+-=+ds q d Q d dQ Q d N d dN N s ϕϕϕϕ （1） 因为ϕd 很小，令2

2sin ,12cos ϕϕϕd d d ==，忽略高阶微量，并由ϕRd ds =，可得 s q R Q ds dN -= （2） 同理，由∑=0R ，∑=0M ,得

r q R N ds dQ --= ，Q ds

dM = （3） 式（2）~（3）为曲杆内力的微分关系。

因为拱受均匀水压力q 作用，故切线荷载0=s q ，法向荷载=r q 常数q 。因此，曲杆内力的微分关系式（2）~（3）可写成

Q ds

dM q R N ds dQ R Q ds dN =--==,, （4） 设拱处于无弯矩状态，即0=M ，将此式代入式（4），可得

0=Q ，=N 常数，q

N R -= （5） 由式（5）知各截面的轴力N 是一个常数，且荷载q 也是常数，因此各截面的曲率半径R 也应是一个常数。也就是说，均匀水压力作用下拱的轴线应是圆弧曲线。或者说，拱在均匀压力作用下，合理轴线为圆弧，而轴力为常数Rq N -=。

2 弹性力学应力函数法求解过程

如图2所示，有一两端固定的圆拱，内半径为a 、外半径为b ，受径向均布荷载q 作用，下面求圆拱内的应力（体力不计）。

由于结构的的形状是圆弧形，本文采用极坐标应力函数法[2~3]求解，由应力函数在边界上的性质，知应力函数与ϕ无关[2] ，故取应力函数)(),(ρϕρU U =。将应力函数代入极坐标形式的双调和方程[2~3]即

0)11(222

2224

=∂∂∙+∂∂∙+∂∂=∇U U ϕρρρρρ （6） 式（6）展开后等号两边乘以4ρ有

022********

=+-+ρρρρρρρρd dU d U d d U d d U d （7） 式（7）是Euler （欧拉）方程，其通解为

D C B A U +++=22ln ln )(ρρρρρ （8）

式中A ，B ，C ，D 为积分常数，由边界条件确定。则应力分量表达式为

0)1(2)ln 21(/2)ln 21(/11

2222222=∂∂∙∂∂-=+++-=∂∂=+++=∂∂∙+∂∂∙=ϕ

ρρτρρρ

σρρϕρρρσρϕϕρU C B A U C B A U U （9）

由弹性力学物理方程及几何方程得位移分量为 )1(ln )1(2)31(/)1([--+-++-=ρρρρρB v B v A v u

ϕϕρcos sin /])1(2K I E C v ++-+ （10）

ϕϕρρϕϕsin cos /4K I H E B u -++=