基尔霍夫衍射理论
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3第二章 衍射理论(4)菲涅耳和夫琅和费衍射
结论：可以把光波在衍射孔径后的传播现象 看作是线性不变系统。
2.衍射的角谱理论
A
cos
,
cos
A0
cos
,
cos
exp(
jkz
1 cos 2 cos 2 )
衍射公式的频谱表示： A( f x , f y ) A0( f x , f y )H ( f x , f y )
H( fx ,
复习： 1.近轴条件下的基尔霍夫衍射公式
U(P)
1
j
U(P0 )cos(n, r)
cos(n, r0 )
2
e jkr r
ds
1
e jkr cos 1
U(P) j U0(P0 ) r
dS 2
1 e jkr
h(P, P0 ) j z
U( x, y) U( x0 , y0 )h( x x0 , y y0 )dx0dy0
m [ (
4
fx
f0 ,) (
fx
f0 ,)]
F[t( x0 ,
y0 )]
F
1 2
m 2
cos(2f0 x0 )
Frect
x0 l
rect
y0 l
l2 2
s
in
c(lf
y
)s
in
c(lf
x
)
m 2
sinc[l(
fx
f0
)]
m 2
sinc[l(
fx
f
0
)]
将
fx
x
z
,
fy
y
z
代入上式, 并将上式代入U(x,y), 得
U(x, y)
信息光学-第3章 标量衍射理论
rz2 x x 0 2 y y 0 2 z1 x x 0 2z 2 y y 0 2
对上式进行二项式展开，并考虑徬轴近似，上式可进一步简化为：
rzxx02yy02
泰勒公式：f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a2整)z理(xpp-ta)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n!
此时，称A(cos/，cos/ )为xy平面上复振幅分布的角谱。 引入角谱概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义： (1)单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的
单色平面波的叠加; (2) 在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它们
的值分别取决于角谱的模和幅角。
角谱如何求？就用傅里叶变换整理就ppt 行，注意坐标替换
整理ppt
试写出传播方向余弦为(cosα,0)的单色平面波在x-y平 面上的复振幅分布（用空间频率来描述）
(fxcos/, fy0)
U (x ,y )A ex p (j2 fxx )
整理ppt
k kx kz;
朝X正方向， fx cos/;
2）不能，波长应该是不会变长的
3）波长应该由时间域的频率 f 决定，即波形变 化的快慢，不是由空间频率决定的。波长=c/f。 也可由公式：X=波长/cosa得到。
1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
UP a0 ejkr
r
rzxx02yy02
2z
思考，公式中的近似 条件为何位相里面不 考虑成r=z
jk z x x02 y y02
U P ae aee 0
2z
0 jkz j2 k z x x02 y y02
对上式进行二项式展开，并考虑徬轴近似，上式可进一步简化为：
rzxx02yy02
泰勒公式：f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a2整)z理(xpp-ta)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n!
此时，称A(cos/，cos/ )为xy平面上复振幅分布的角谱。 引入角谱概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义： (1)单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的
单色平面波的叠加; (2) 在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它们
的值分别取决于角谱的模和幅角。
角谱如何求？就用傅里叶变换整理就ppt 行，注意坐标替换
整理ppt
试写出传播方向余弦为(cosα,0)的单色平面波在x-y平 面上的复振幅分布（用空间频率来描述）
(fxcos/, fy0)
U (x ,y )A ex p (j2 fxx )
整理ppt
k kx kz;
朝X正方向， fx cos/;
2）不能，波长应该是不会变长的
3）波长应该由时间域的频率 f 决定，即波形变 化的快慢，不是由空间频率决定的。波长=c/f。 也可由公式：X=波长/cosa得到。
1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
UP a0 ejkr
r
rzxx02yy02
2z
思考，公式中的近似 条件为何位相里面不 考虑成r=z
jk z x x02 y y02
U P ae aee 0
2z
0 jkz j2 k z x x02 y y02
基尔霍夫衍射理论
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§ 3. 基尔霍夫衍射理论
c.相干光场在自由空间传播的平移不变性
当观察屏足够远，衍射区相对小时，可得：
cos( n r ) 1
cos(
n
r0
)
1
此时点扩散函数为：
Q
h(P,Q )
1 e jkr j r
K ( )
1 e jkr j r
Optical Information Processing
光学信息处理
第二章
Scalar Quantity Diffraction Theory
标量衍射理论
§ 3. 基尔霍夫衍射理论
a.惠更斯-菲涅耳原理与基尔霍夫衍射公式
p
1.惠更斯-菲涅耳原理
S*
波传到的任何一点都是子波的波源， 各子波在空间某点的相干叠加，就 决定了该点波的强度。
b.惠更斯-菲涅耳原理与叠加积分
当令：
h ( p1, p )
1 e jkr j r
K ( )
基尔霍夫衍射公式可表示为：
U ( p ) U 0 ( p 1 ) h ( p 1 , p ) dS
S
h ( p 0 , p ) 的物理意义：
在p1点有一个单位脉冲（U0(p1)dS）在观察点p造成的复振幅分布。 ——脉冲响应函数或点扩散函数
dU ( p ) U ( p 1 ) K ( θ ) dS r
n
dS ·
r
p1
S(波前)
设初相为零
dU(p)
p·
§ 3. 基尔霍夫衍射理论
a.惠更斯-菲涅耳原理与基尔霍夫衍射公式
K( ):倾斜因子
第五章-光的衍射要点
5-2 二、菲涅尔-基尔霍夫衍射公式
目的：把亥姆霍兹-基尔霍夫积 分(5-13)转化为惠更斯-菲涅尔原 理的形式(5-4) 取’= 1+ 2+
(n, r)
r R P
上，E和∂E/∂n由入射光决定 基尔霍夫边界条件假定： 1上， E=∂E/∂n=0 2上，运用辐射条件：limR R(∂E/∂nikE)=0，可忽略2的影响
dE(P)=CK()EQexp(ikr)/r•d
C—常数，K()—倾斜因子
’
z’
图5-3
5-1
菲涅尔假设：K()，K(
只有面上的点对P有贡献 所有面上的点对P点的贡献和：
E(P)=∬dE(P)=C
>=90°)=0，故
E(Q) ∬exp(ikr)/r•K()d (5-2) —惠更斯-菲涅尔原理的数学表达 波前可以是任意曲面，此时 E(P)=∬dE(P)=C ∬ E(Q) exp(ikr)/r•K()d (5-4) —惠更斯-菲涅尔原理的推广
图5-18
5-5
I(P)=E(P)E*(P)=I0[2J1(Z)/Z]2
Z=ka =r/f I0=(a2)2|C’|2是观察屏轴上点的光强
(5-45)
衍射图样圆对称，随r振荡，中央亮斑（爱里斑）
集中了绝大部分能量。亮斑范围由Z=1.22决定， 此时
r0=1.22f/(2a)，
基尔霍夫衍射公式形式
复杂，难以得到解析解 傍轴近似以简化衍射公 式：
(1)取cos1，K() 1 (2)球面波幅度因子1/r 1/z (3)相位因子须更高阶近似
y1 x1 z Q 图5-7 r
y x
P
5-3 二、菲涅尔近似
惠更斯-菲涅尔原理§5-2基尔霍夫衍射理论
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
波动具有两个基本性质，一方面，它是扰动 的传播，一点的扰动能够引起其它点的扰动， 各点相互之间是有联系的。另一方面，它具有 时空周期性，能够相干迭加。
惠更斯原理中的“次波概念反映了上述前一 基本性质，这是其成功的地方。但“时空周期 性”并没有反映。
利用惠更斯原理，可以说明衍射的存在，但 不能确定光波通过衍射屏后沿不同方向传播的 振幅，因而也就无法确定衍射图样中的光强分 布。
1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现 象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳 出人意料地取得了优胜，他吸收了惠更斯 提出的次波概念，用“次波相干迭加”的 思想将所有衍射情况引到统一的原理中来, 这个原理就是惠更斯菲涅耳原理。
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
惠更斯--菲涅耳原理
Z RQθ
其内容如下：
V
闭合曲面∑’传播。
则光波电磁场的 任一直角分量的复振幅
~ E
Σ＇ ε ε P n
n
§5－2基尔霍夫衍射理论
满足亥姆霍兹方程
即
2 E k2 E 0
若不考虑电磁场其它分量的影响，孤立地
把 表示E看面作内标任量一场点，的并E ，用这曲种面理上论的就E 和是标E n值量
衍射理论。
设EΒιβλιοθήκη 和一个位置坐标的任意复函数G在曲面
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
二、惠更斯－菲涅耳原理 此是研究衍射现象的理论基础： 波动具有两个基本性质： 1、波动是扰动的传播，一点的扰动能够引 起其它点的扰动，各点的扰动相互之间是有 联系的； 2、波动具有时空周期性，能够相干叠加。
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
在惠更斯原理中，由于缺少对时空周期性 的反映，从而对各次波如何叠加问题就不 能给出令人满意的回答。
第二章 光的标量衍射理论
4.若/a趋于零衍射现象消失—几何光学是/a趋于零 的极限情况
2.1.1.2.衍射屏和衍射系统 障碍物—衍射屏
照明 空间
x0 , y0
衍射 空间
x, y
U 0 U0
U0是衍射屏前表面的复振幅
是衍射屏后表面的复振幅 U0
照明 空间
U0 U0
衍射屏
t
U x, y
(2.2.1)
．
y
．
0
复振幅分布U(x,y可分解为频率不同的复指数分 量的线性组合，各频率分量的权重因子为A(fx,fy)
z
A( f x , f y )
exp[ j 2 ( f x x f y y)] 代表一个沿 cos f x ,cos f y 所确定方向传播的单色振幅平面波。
复振幅透射函数—屏函数 图2.1.1 衍射系统及其三个重要的分析平面 ( x0 , y0 ) U0 t ( x0 , y0 ) U 0 ( x0 , y0 ) --瞳函数 振幅型—只改变振幅 位相型—只改变位相 ( x0 , y0 ) t ( x0 , y0 )U 0 ( x0 , y0 ) 或 U0
exp( jkr ) dU ( P) CU ( P0 )dSK ( ) r
dS
U ( P0 )
n
P0
r
Σ
图2.1.2
U (P)
波面Σ 在P点的复振幅 (2.1.3)
P
Σ 上所有子波源在P点产生的总振动为
U ( P) C U ( P0 ) K ( )
exp( jkr ) dS r
y
3D
k与x轴夹角为 , 与y轴夹角为，与z轴夹角为
x
2.1.1.2.衍射屏和衍射系统 障碍物—衍射屏
照明 空间
x0 , y0
衍射 空间
x, y
U 0 U0
U0是衍射屏前表面的复振幅
是衍射屏后表面的复振幅 U0
照明 空间
U0 U0
衍射屏
t
U x, y
(2.2.1)
．
y
．
0
复振幅分布U(x,y可分解为频率不同的复指数分 量的线性组合，各频率分量的权重因子为A(fx,fy)
z
A( f x , f y )
exp[ j 2 ( f x x f y y)] 代表一个沿 cos f x ,cos f y 所确定方向传播的单色振幅平面波。
复振幅透射函数—屏函数 图2.1.1 衍射系统及其三个重要的分析平面 ( x0 , y0 ) U0 t ( x0 , y0 ) U 0 ( x0 , y0 ) --瞳函数 振幅型—只改变振幅 位相型—只改变位相 ( x0 , y0 ) t ( x0 , y0 )U 0 ( x0 , y0 ) 或 U0
exp( jkr ) dU ( P) CU ( P0 )dSK ( ) r
dS
U ( P0 )
n
P0
r
Σ
图2.1.2
U (P)
波面Σ 在P点的复振幅 (2.1.3)
P
Σ 上所有子波源在P点产生的总振动为
U ( P) C U ( P0 ) K ( )
exp( jkr ) dS r
y
3D
k与x轴夹角为 , 与y轴夹角为，与z轴夹角为
x
基尔霍夫衍射公式瑞利
t(x1, y1 )U (x1, y1 )
r
dx1dy1
考虑到 的影响
U ( p)
U (x1,
e jkr y1 ) r
K ( )dx1dy1
xy P dU(x,y)
惠更斯—菲涅耳原理存在的问题： ①由上式计算的光场复振幅比实际的落后/2；
②K()的形式不知道；
③两边的量纲不相等。
（2）( fx )2 ( fy )2 1 1 (f x )2 (f y )2 j (f x )2 (f y )2 1
exp
jk
z
1
(f x ) 2
(f y
)2
exp
kz
(f x ) 2 (f y ) 2 1
称为倏逝波，应用矢量理论讨论。
exp( jkr) U0 ( p0 ) r
K ( )ds
U (P)
1
j
U0
(
p0
)
exp( jkr) r
1
cos
2
ds
惠更斯—菲涅耳原理 基尔霍夫衍射公式
U (P) 1 j
U
0
(
p0
)
exp
( jkr) r
cos
ds
瑞利—索末菲衍射公式
三个衍射公式等价的条件为：
例：当用=632.8nm的光波照射衍射屏时
f max
1
1580 / mm
即衍射屏上频率在1580/mm以内的信息能传到观察屏上，大于它的则不能传递。
光线垂直照射时光栅的衍射方程为
d sin k
菲涅尔基尔霍夫衍射
菲涅尔基尔霍夫衍射菲涅尔基尔霍夫衍射是物理学中一项重要的光学现象，也是研究光的传播和衍射的经典实验之一。
它以法国物理学家菲涅尔和德国物理学家基尔霍夫的名字命名，是基于赫歇尔原理（赫歇尔原理是指光传播遵循的最短时间原理）的推导而成的。
菲涅尔基尔霍夫衍射展示了光在通过一个孔或者障碍物时发生弯曲和扩散的现象。
它起源于菲涅尔的研究，他注意到，当光通过一个小孔照射到一个屏幕上时，光波会呈现出环形的扩散样式。
这一现象被他称为菲涅尔衍射。
基尔霍夫进一步研究了菲涅尔衍射现象，并提出了一种数学模型来描述这一现象。
他发现，菲涅尔基尔霍夫衍射可以用赫歇尔原理来解释，即光波在传播过程中总是选择行进时间最短的路径。
当光通过一个小孔时，光波会在孔的边缘处发生弯曲，形成扩散的光线。
菲涅尔基尔霍夫衍射不仅仅是一种美丽的自然现象，更是一种重要的工具和实验方法。
它在光学器件的设计和光学成像的研究中起到了重要的作用。
通过观察和研究菲涅尔基尔霍夫衍射现象，我们可以了解光的性质和传播规律，进一步探索光学的各种应用领域。
在实际应用中，菲涅尔基尔霍夫衍射可以用于成像系统的校准和检测。
例如，在显微镜中，我们可以利用菲涅尔基尔霍夫衍射来检查镜头的质量和焦距的准确度。
通过观察菲涅尔基尔霍夫衍射图案的形状和尺寸，我们能够得出关于物镜和眼镜的参数信息，从而对显微镜的性能进行评估和改进。
此外，菲涅尔基尔霍夫衍射还可以应用于激光技术和光学通信领域。
通过利用菲涅尔基尔霍夫衍射的原理，我们可以设计出各种薄膜和光学元件，用于激光器和光学器件的制造和调整。
同时，基于菲涅尔基尔霍夫衍射的方法也可以用于光学通信系统中的信号传输和解调，提高光纤通信的传输效率和稳定性。
综上所述，菲涅尔基尔霍夫衍射是一项重要的光学现象，它不仅可以展示光的传播规律和衍射特性，还可以应用于各种光学器件的设计和光学成像的研究。
通过深入研究和理解菲涅尔基尔霍夫衍射，我们能够更好地探索和利用光学技术，进一步推动科学和技术的发展。
常月娥+基尔霍夫衍射公式模型
算的难度。实际上，积分面也可以选取为衍射孔径平面Σ，
这时，对不同位置的子波源来说，由于入射波的复振
• 幅不同，因而有不同的源强度和初位相。设S发出的球面 波在衍射孔径平面Σ上的复振幅分布为 B(,)，由菲涅耳公 式又可以推广为：
•
E(P)
K
D(
)
B(
,
)
exp( r
jk
'
r'
)d
（2）
• 特别是，当用平面波正入射照明时，B(,) A ，Σ平面上 各子波源具有相同的源强度和初位相，菲涅耳公式简化为：
• 于是亥姆霍茨-基尔霍夫公式可表示为：
E(P) 1
{E [exp( jkr)] E [exp( jkr)]}d
4 12 n
r
n r
• 应用基ห้องสมุดไป่ตู้霍夫边界条件和索末菲辐射条件，上式可简化为：
E(P) 1 Aexp( jkr0 ) exp( jkr)(cos1 cos 2 )d
j
r0
r
处理模型时忽略的因素
• 基尔霍夫在处理上述问题时，没有考虑电 磁场的其他直角坐标分量，只考虑了电场 分量 E ，并且把 E 作为标量处理，所以这 样得出的理论称为标量衍射理论。显然这 个理论可以作为严格求解衍射问题的基础。
菲涅耳公式模型的具体描述
• 图中S为单色点光源，源强度为A’，在通过衍射孔 径中心点θ的球面波波前Ω上划分子波源，令 S r0
• ，则Ω上入射波的复振幅可表示为：
E0
A'
exp( jkr0 ) r0
• 设衍射屏Σ上有一开孔，开孔上未受阻挡的 部分波前为Ω’，将Ω’划为一系列小面元，位 于任意点M处的面元为dσ，P为观察屏Π上 任一点，M到P点距离为r’。按照惠更斯-菲 涅耳原理，P点的光振动是Ω’上所有小面元
基尔霍夫衍射公式
这就是亥姆霍兹—基尔霍夫积分定理。
0 E G ( P) G E d 4 π E n n
1.基尔霍夫积分定理
它将 P 点的光场与周围任一闭合曲面Σ 上的光场 联系了起来：
ikr eikr 1 E e E ( P) ( ) E ( ) d (10) 4 π n r n r
惠更斯原理:
S
平面波
球面波
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle)
根据惠更斯—菲涅耳原理: 可以看作是 S 和 P 之 间任一波面Σ上各点发出的次波在 P 点相干叠加的 结果。 z
R S Q
r
P
z
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle)
P
2. 基尔霍夫衍射公式 围绕 P 点作一闭合曲面。该闭合曲面由三部分组成 ：开孔Σ，不透明屏的部分背照面Σ1，以 P 点为中 心、R 为半径的大球的部分球而Σ2。
(n, r) (n, l) n S l
Q r
1
R
2
P
2. 基尔霍夫衍射公式
在这种情况下，P 点的光场复振幅为
eikr 1 E ( P) E 4π 1 2 n r eikr E n r d (11)
第4章 光的衍射 (Diffraction)
在基尔霍夫标量衍射理论的基础上，研究两种最 基本的衍射现象和应用：
菲涅耳衍射(近场衍射)
夫琅和费衍射(远场衍射)
4.1.1 光的衍射现象 (Diffraction phenomena)
《物理光学》第5章 光的衍射
R 2
1 Aeikl cosn，l cosn，r e ikr ~ E P r d i l 2
1、P点的场是由开孔平面的无穷多个虚设的次波源产生的。
2、次波源的复振幅与入射波在该点的复振幅成正比，与λ成
反比； 3、因子 1 / i 表明，次波源的振动位相超前于入射波90°。 4、倾斜因子在各个方向上是不同的，其值在0与1之间。
二、菲涅尔-基尔霍夫衍射
基尔霍夫（ Kirchhoff ）从波动方程出发，用场论的数学工 具导出了比较严格的公式 ：
ikr e ikr E e P 1 E 1 2 3 { n r E n [ r ]}d 4
(n,r) l S 1
e ikr e ikr ~ ~ ~ E P C E Q K d C E Q K d 1 2 r r ~ ~ ~ E P E1 P E 2 P
互补屏单独产生的衍射场复振幅之和，等于没有屏时的复
振幅。
在复振幅为0的点，互补屏分别产生的场位相差为，强度
第5章 光的衍射
“光的衍射” 就是光可以“绕过”障碍物而在某种程度上 传播到障碍物的几何阴影区。点光源透过圆孔Σ照射屏幕， 逐渐改变圆孔的大小: 1、圆孔大，光斑大小就是几何投影。 2、圆孔小，圆斑外产生若干同心圆环。 3、圆孔更小，光斑及圆环不但不 跟着变小，反而会增大起来。
按光源、衍射开孔和观察衍射的幕三者之间距离的大小， 分为两种类型：1、菲涅耳(Fresnel)衍射； 2、夫琅和费(Fraunhofer)衍射。
z1大到使得上式第三项的后项对kr位相的作用远小于时.
即
第三项以后的诸项均可忽略,观察平面上的衍射是近场衍射。
基尔霍夫衍射理论
UQ
U0
P
F
0
,
e jkr r
dS
衍射公式的适用范围：任意单色光波照明孔径的情况。
因为任意复杂的光波都可以看成是简单球面波的线性组
合。因此，上式中的 U0P 可以理解为在任意单色光照
明下对孔径平面产生的光场分布。
对教材80页一段话的理解。
4. 光波传播的线性性质
基尔霍夫衍射公式
称为脉冲响应。
叠加积分公式表明：观察点Q的光波分布U Q 是 上所
有单位脉冲在Q点引起的光波扰动的相干叠加。
条件：（1）点光源P0足够远，且入射光在孔径平面上各点的 入射角都不大。
（2）观察平面与孔径平面的距离z远大于孔径，且在 观察面上仅仅考虑一个对孔径上各点张角不大的范围。
满足以上条件，则有 hP,Q 1 e jkr
单色光场中任意一点Q的光振动u满足
2u
1 c2
2u t 2
0
其中
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
--------拉普拉斯算符
将单色光波分布 u Q, t U Q e j2t 代入波动方程,得到
2 k 2 U Q 0
--------亥姆霍兹方程
1
常用衍射屏的透过率函数表示（2）：
（4）圆孔衍射物，直径为d。
d
tx, y circ
x2 d
y2
circ
r d
1 0
r d/2 r d /2
说明：上面举例都是衍射屏的振幅变化分布，至于 相位变化型的衍射屏，最典型的是 透镜 。
3.1衍射的基本理论详解
10/11/2018
3. 基尔霍夫衍射公式的近似
1)傍轴近似 在一般的光学系统中，对成像起主要作用的是那些与光 学系统光轴夹角极小的傍轴光线。- -低空间频率
对于傍轴光线，图36所示的开孔Σ的线度 和观察屏上的考察范 围都远小于开孔到观 察屏的距离。
下面的两个近似条件通常都成立： ①cos(n,r)≈1,cos(n,l)= -1, 于是K(θ )≈1；②r≈z1。
基尔霍夫公式
10/11/2018
i ~ ~ ikr E ( P) E ( Q ) e d z1
(3 - 15)
2) 距离近似- -菲涅耳近似和夫朗和费近似
在前面介绍衍射种类时，已知观察屏距衍射孔 的距离不同，衍射图样是不同的；
r0 增加 r0 → ∞
屏上 r0 很小 图形：
衍射现象在数学处理上遇到很大困难， 许多实际问题得不到严格的解。 衍射理源自大多是近似理论。
惠更斯原理 惠更斯－菲涅耳原理
10/11/2018
惠更斯原理
波面：光场中，相位相同点的构成的轨迹称为等相面， 也称波阵面。- -数学概念 惠更斯原理（图示） 任意时刻波面上的各点都可以作为次波源，各自发出 球面次波；在下一时刻，这些次波波面的包络面即是 该时刻的新波面。 较好地解释光的
直线传播规律 反射折射规律 双折射现象
成功之处
定性地解释光的干涉、衍射现象
不足之处
10/11/2018
不能解释干涉、衍射光的振幅大小变化 不能解释衍射光场中光强的重新分布
惠更斯原理对平面与球面波的解释
子波源 子波
子波
子波源 新波阵面 新波阵面
10/11/2018
惠更斯基尔霍夫衍射公式
第 3.1.1 惠更斯-基尔霍夫衍射公式
三 章
1.惠更斯提出了关于子波的概念，认为波面上每一点可看作次球面子波的波源， 下一时刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定。空间光场是各子波干涉叠加
激 的结果。
光
器 2. 惠更斯－菲涅耳原理
的 输 出
设波阵面上任一源点P' 的光场复振幅为 u'(P')，则空间任一观察点P的光场复振 幅 u(P)由下列积分式计算：
图3-2 镜面上场分布的计算示意图
的
衍 射
➢考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相位移
理 动的常数因子以外，uq1应能够将uq 再现出来，两者之间应有关系：
论
uq1 uq
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第 3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程
三 2. 自再现模积分方程
三 3. 积分方程解的物理意义
章
激
(2)本征值 mn 和单程衍射损耗、单程相移
光 ➢损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用
器 表示。定义为 的 输 出 特
uq
2
uq
uq1
2
2
mn
1 mn 2
uq1 uq
性
➢本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。
射
理 论
➢举例2：30cm腔长的He-Ne激光器 可能出现的纵模数（三种，多纵模）
图(3-4) 腔中允许的纵模数
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出 特 性
➢假设uq (x', y') 为经过q次渡越后在某一镜面上所形成 的场分布，uq1(x, y)表示光波经过q+1次渡越后，到达
三 章
1.惠更斯提出了关于子波的概念，认为波面上每一点可看作次球面子波的波源， 下一时刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定。空间光场是各子波干涉叠加
激 的结果。
光
器 2. 惠更斯－菲涅耳原理
的 输 出
设波阵面上任一源点P' 的光场复振幅为 u'(P')，则空间任一观察点P的光场复振 幅 u(P)由下列积分式计算：
图3-2 镜面上场分布的计算示意图
的
衍 射
➢考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相位移
理 动的常数因子以外，uq1应能够将uq 再现出来，两者之间应有关系：
论
uq1 uq
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第 3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程
三 2. 自再现模积分方程
三 3. 积分方程解的物理意义
章
激
(2)本征值 mn 和单程衍射损耗、单程相移
光 ➢损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用
器 表示。定义为 的 输 出 特
uq
2
uq
uq1
2
2
mn
1 mn 2
uq1 uq
性
➢本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。
射
理 论
➢举例2：30cm腔长的He-Ne激光器 可能出现的纵模数（三种，多纵模）
图(3-4) 腔中允许的纵模数
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出 特 性
➢假设uq (x', y') 为经过q次渡越后在某一镜面上所形成 的场分布，uq1(x, y)表示光波经过q+1次渡越后，到达
基尔霍夫衍射理论
§5－3基尔霍夫衍射公式的近似
菲涅耳衍射将过渡到夫琅和费衍射。 此时，得到夫琅和费衍射的计算公式：
~ E x, ik exp ikz1 ~ 2 2 y exp x y E x1 , iz1 2z1 ik y1 exp xx 1 yy 1 dx1 dy1 z1
2 2 2 2 2 1 x x1 y y1 1 x x1 y y1 r z1 1 2 2 2 8 z z 1 1
此为菲涅耳近似。 此条件看到的衍射现象为菲涅耳衍射，此 时观察屏所处的区域为菲涅耳衍射区。
~ ~ E E 0 n
r - cos n , 2
l d
§5－2基尔霍夫衍射理论
1 令：c i Aexp ikl ~ E Q l cos(n , r ) cos(n , l ) K 2
3.夫琅和费近似：
x 2 y 2 xx1 yy1 r z1 2 z1 z1
ik exp ikz1 ~ ~ 2 2 x x1 y y1 dx1dy1 E x, y E x1 , y1 exp iz1 2 z1
r z1 1 2
z
2 1
§5－3基尔霍夫衍射公式的近似
将此r表达式代入傍轴近似后的基尔霍夫公
式，得： 菲涅耳衍射的计算公式：
三、夫琅和费近似：
ik exp ikz1 ~ ~ 2 2 E x, y E x1 , y1 exp x x1 y y1 dx1 dy1 iz1 2 z 1
衍射理论基础
ikr 1 e ik cos n , r n r r
由于
G n
e jk lim 0
e jkr / r r r
E 2 E Eik d E ( P)d 4 E ( P) n
衍射理论基础
从惠更斯原理到菲涅耳—基尔霍
夫衍射公式
衍射是指波遇到障碍物时偏离原来直线传播的物理现象。
偏离几何光学传播定律，只能通过波动光学的方法来 分析衍射现象
目录
1 2 3 4 惠更斯—菲涅耳原理 基尔霍夫衍射理论 菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射 基尔霍夫边界条件的问题
1、惠更斯－菲涅尔原理
P
s2 s1 t0
t1
ut
•波前（等相面）上的每
个点都可以看作是一个次
t2
O
级扰动中心（子波源），
它们能产生球面子波
1、全局性：空间各点的扰动相互联系；
2、局域性：来自不同波源的扰动能够叠加。
点源通过波前对观察点的影响
Q
r
R S
Z Q Σ
θ
r
P
Σ＇ ＇ Z
eikr 2 球面波形式： ,k r （波前是球面，P点的扰动与波前的选取无关）
eikr
r
d
e jkr
r
d
菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式
3
菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射
衍射孔径的线度比观察屏到孔径的距离小得多，且 观察屏上的考察范围也比观察屏到孔径的距离小得 多，则有傍轴近似
y1 Q C ∑ z1 x1
r
y
P
x
cos 1 + cos 2 1 2
1 1 r z1
由于
G n
e jk lim 0
e jkr / r r r
E 2 E Eik d E ( P)d 4 E ( P) n
衍射理论基础
从惠更斯原理到菲涅耳—基尔霍
夫衍射公式
衍射是指波遇到障碍物时偏离原来直线传播的物理现象。
偏离几何光学传播定律，只能通过波动光学的方法来 分析衍射现象
目录
1 2 3 4 惠更斯—菲涅耳原理 基尔霍夫衍射理论 菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射 基尔霍夫边界条件的问题
1、惠更斯－菲涅尔原理
P
s2 s1 t0
t1
ut
•波前（等相面）上的每
个点都可以看作是一个次
t2
O
级扰动中心（子波源），
它们能产生球面子波
1、全局性：空间各点的扰动相互联系；
2、局域性：来自不同波源的扰动能够叠加。
点源通过波前对观察点的影响
Q
r
R S
Z Q Σ
θ
r
P
Σ＇ ＇ Z
eikr 2 球面波形式： ,k r （波前是球面，P点的扰动与波前的选取无关）
eikr
r
d
e jkr
r
d
菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式
3
菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射
衍射孔径的线度比观察屏到孔径的距离小得多，且 观察屏上的考察范围也比观察屏到孔径的距离小得 多，则有傍轴近似
y1 Q C ∑ z1 x1
r
y
P
x
cos 1 + cos 2 1 2
1 1 r z1
基尔霍夫衍射公式瑞利
dU(x, y) A e jkr ds r
U ( p) A 1 e jkrds A为常量 r
x1y1
ds
n r
U(x1,y1) U'(x1,y1)
U ( p)
U
(
x1
,
y1
)
e
jkr
r
dx1dy1
t(x1,y1)
e jkr
t(x1, y1 )U (x1, y1 )
V
(G 2U
U
2G)dV
S
(G
U n
U
G )dS n
指S面上每一点沿法线向外的方向导数。 n 如果U是复光场分布，则把G一般称为格林函数。
U是复数光场，必然满足亥母霍兹方程
2U k 2U 0
如果选择的G也满足
2G k 2G 0
则有
(G 2U U 2G)dV 0
n
即空间不存在光场。所以，条件①使得空间不存在光场，条件②又表示 在上有场，所以两者是矛盾的。
索末菲重新选用了格林函数
G
exp( jkr) r
exp( jkr1 ) r1
n
θ
r1
r
•
其中r1由 p点的对称点p1点算起。
P1
P•
根据基尔霍夫积分公式有
U (P) 1
4
U
V
即有
S
(G
U n
U
G )dS n
0
基尔霍夫选择的格林函数为： G( p) e jkr r
它表示圆心在p点的单位振幅的球面波，所以满足
衍射的基本理论ppt课件
出子波，而曲面内空间各点的场值取决于这些子波的
叠加。
26
二、菲涅耳－基尔霍夫公式 可以证明亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理，在 某些近似条件下，可以化为一种与菲涅耳表 达式基本相同的形式。 对于单色点光源S发出的球面波照明无限大 不透明屏上孔径∑的情况，计算P点的场值： 若：孔径线度比波长大，但比孔径到S和P 的距离小得多。 则由亥姆霍兹一基尔霍夫积分定理 选取包围P点的闭合曲面，它由三部分组成
27
（1）孔径∑，
（2）不透明屏右侧∑1 ， （3）以P为中心，
R为半径的部分球面∑2 。 S
（n,r） n
l
Σ1
Q
Σ r θP
R
Σ2
则P点的场强值
E~P
1
4p
1 2
E~
n
exp ik r
r
E~
n
exprikrd
对于∑和∑1面，基尔霍夫假定:
（1）在孔径∑上， E~和
~
E
的值由入射波决定，与
2.菲涅耳近似（对位相项的近似）
r
z12 (x x1 )2 y y1 2 z1
1 x x1 2 y y1 2
z12
z1
x
x1 2 y
2z1
y1 2
[x
x1 2 y
17
Q点处的面光源 d对P点的作用：
Z
dE~P
CK
E~Q
exp ikr
r
d
Q R
r
P
S
菲涅尔假设：
Z'
当 = 0 时，K()=Max, p/2 时，K()=0.
（实验证明是不对的）
若S发出的光源振幅为A（单位距离处）,整个波面’的贡献
惠更斯菲涅尔原理基尔霍夫衍射理论
A expikR
R
Σ＇ Z＇
§5－1惠更斯－Z菲涅尔原理
~ EQ
A expikR
R
RQθ
Σ
r
S
P
Σ＇ Z＇
式中，A是离点光源单位距离处的振幅，
R是波面∑’的半径。
在Q点处取面元dσ，面元发出的子波~在P点 产生的复振幅与在面元上的复振幅 EQ、面 元大小和倾斜因子K(θ)成正比。
面元dσ在P点产生的复振幅可以表示为
定，与不存在不透明屏时完全相同。即
§5－2基尔霍夫衍射理论
E~ Aexpikl
E~
n
A
cos
n,
l
l
ik
1
expikl
l l
cos
n,
l
表示外向法线与从S到上某点Q的
矢量之间
l
夹角的余弦。
（ 假2定）在~不透明E~ 屏右侧∑1上，
E 0
n
假定（1）（2）称为基尔霍夫边界条件：
§5－2基尔霍夫衍射理论
R
E~
n
ikE~ R 2d
Ω为∑2对P点所张立体角。
由索末菲辐射条件：
在辐射场中 lim E~ ikE~ R 0
而 是有界的
exp ikR
R
R
R
n
则R→∞时，可不考虑∑ 的贡献。 即
将
E~（P）
E~
n
1
4
E~
n
A cos
exp ikr
r
n,
l
ik
2
E~
n
expikr
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
二、惠更斯－菲涅耳原理 此是研究衍射现象的理论基础： 波动具有两个基本性质： 1、波动是扰动的传播，一点的扰动能够引 起其它点的扰动，各点的扰动相互之间是有 联系的； 2、波动具有时空周期性，能够相干叠加。
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a
a
（3）双缝光栅，如图
y
aa
x
d
0
d
2
2
t
x,
y
rect
x
d a
/
2
rect
x
d a
/
2
1
常用衍射屏的透过率函数表示（2）：
（4）圆孔衍射物，直径为d。
d
tx, y circ
x2 d
y2
circ
r d
1 0
r d/2 r d /2
说明：上面举例都是衍射屏的振幅变化分布，至于 相位变化型的衍射屏，最典型的是 透镜 。
对r进行二项式展开并化简，有
脉冲响应：
hx, x0; y, y0
1 jz
exp
jk
x
x0
2
y
y0
2
z2
hx x0 , y y0
显然，脉冲响应具有空间不变的函数形式。
无论孔径平面上子波源的位置如何，它所 产生的球面子波的形式是一样的。
hx x0 , y y0
1 jz
exp
jk
x
（2） 外， U 0 P 0
衍射公式的积分限可以被扩展到无穷，即：
UQ
U0
P
F
0
,
e jkr r
dS
衍射公式的适用范围：任意单色光波照明孔径的情况。
因为任意复杂的光波都可以看成是简单球面波的线性组
合。因此，上式中的 U0P 可以理解为在任意单色光照
明下对孔径平面产生的光场分布。
对教材80页一段话的理解。
与惠更斯—菲涅耳衍射积分公式比较：
UQ
1
j
a0e jkr0 r0
cosn,
r
cosn,
r0
2
e jkr r
dS
U Q
c U0 P F 0 ,
e jkr
r
dS
惠更斯—菲涅耳衍射积分公式
可以看出：
常数
c
1
j
倾斜因子
F
0
,
cosn,
r
cosn,
2
r0
基尔霍夫假设：
（1）在上， U0P 与无屏时一样；
有单位脉冲在Q点引起的光波扰动的相干叠加。
条件：（1）点光源P0足够远，且入射光在孔径平面上各点的 入射角都不大。
（2）观察平面与孔径平面的距离z远大于孔径，且在 观察面上仅仅考虑一个对孔径上各点张角不大的范围。
满足以上条件，则有 hP,Q 1 e jkr
j r
r z2 x x0 2 y y0 2
x0 2
y
y0
2
z2
U x, y U0 x0 , y0 hx x0 , y y0 dx0 y0 U0 x, y hx, y
Hale Waihona Puke 上式表明：孔径平面上透射光场和观察平 面上光场之间存在卷积关系。
５. 衍射屏复振幅透过率的定义（重要）
在波动光学中，一般认为衍射屏就是在不透明屏上开各种 各样的孔。
2u
1 c2
2u t 2
0
其中
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
--------拉普拉斯算符
将单色光波分布 u Q, t U Q e j2t 代入波动方程,得到
2 k 2 U Q 0
--------亥姆霍兹方程
k 2 2 c
说明: 1. 亥姆霍兹方程与时间变量无关，因此多用于解决单色光场的
如今，我们将“能引起衍射的障碍物”统称为衍射屏。 例如：
障碍物的振幅以一定的分布衰减;（以一定的形式限定波 面的变化） 障碍物的相位延迟；（衍射屏的光学厚度发生变化）
或两者兼而有之。
表示衍射屏的光学性质的一个重要参数是：复振幅透过率，
有些场合里 又称为孔函数或瞳函数，一般用 tP 或 tx, y, z
空间分布。 2. 我们今后假定，在自由空间传播的任何单色光波的光场分布
必须满足亥姆霍兹方程。
2.基尔霍夫衍射理论的任务（所要解决的问题）
光场中任意一点Q的复振幅能否用光场中其他各点 的复振幅表示出来？
比如：通过孔径平面的场分布计 算孔径后面任意一点的复振幅。
解决的方法：利用格林定理，通过假定 衍射屏的边界条件，求解波动方程，得 到基尔霍夫衍射公式。
4. 光波传播的线性性质
基尔霍夫衍射公式
UQ
1
j
U
0
P
F
0
,
e jkr r
dS
令
1
j
F
0
,
e
jkr
r
hP,Q
则（1）式化简为
UQ U0PhP,QdS
（1） （2）
UQ U0PhP,QdS 的物理意义
P点有一个单位脉冲，它 在观察点Q造成的光波分
布是 hP,Q ，它被称
为脉冲响应。
叠加积分公式表明：观察点Q的光波分布U Q 是 上所
表示。
前
后
Ui P
Ut P
衍射屏
定义：
tP
Ut Ui
P P
常用衍射屏的透过率函数表示（1）：
（1）一个矩形孔为 0.2 2mm2
的衍射物。
y
x
tx, y rect x , y
0.2 2
（2）平行x轴的单狭缝，y轴上宽度为a。
y
x
tx, y rect x , y rect y
你只需要知道这个方法 可以推导出基尔霍夫衍 射公式即可！
3.基尔霍夫衍射公式
UQ
1
j
a0e jkr0 r0
cosn,
r
cosn,
r0
2
e jkr r
dS
教材７９页（３－５０）
（1）孔径平面上的光波分 布是P0点发射的单色球面波 产生的；
因此有
U0
P
a0 e jkr0 r0
点光源P0照明平面屏幕
3.2 基尔霍夫衍射理论
（一）惠更斯—菲涅耳原理
U Q
C U0 P K
e jkr
r
dS
（1）
惠更斯—菲涅耳原理建立在“子波 源”的假说上。
叠加积分公式表明：观察点Q的光波分布 U Q 是 上
所有单位脉冲在Q点引起的光波扰动的相干叠加。
（二）亥姆霍兹方程
1. 波动方程(标量)
单色光场中任意一点Q的光振动u满足