中级经济师基础第二十四章描述统计

第二十四章描述统计

本章重点：

1.测度数据集中趋势的统计量：均值、中位数和众数。

2.测度数据离散程度的统计量：方差、标准差和离散系数。

3.测度数据分布偏态的统计量：偏态系数、标准分数。

4.测度变量相关关系的统计量：散点图、相关系数。

知识点一：集中趋势的测度

1.均值。平均数，就是数据组中所有数值的总和除以该组数值的个数。

均值是集中趋势最主要的测度值，它是一组数据的重心所在，解释了一组数据的平均水平。

【示例】某售货小组5名营业员，元旦一天的销售额分别为520元、600元、480元、750元和500元，求该日平均销售额。

平均销售额＝（520＋600＋480＋750＋500）÷5＝570（元）

【注意1】均值主要适用于数值型数据，但不适用于分类和顺序数据。

【注意2】均值容易受到极端值的影响，极端值会使得均值向极大值或极小值方向倾斜，使得均值对数据组的代表性减弱。

需要全部信息避不开极端值！

2.中位数。把一组数据按从小到大或从大到小的顺序进行排列，位置居中的数值叫做中位数，用Me表示：

【注意1】中位数是一个位置代表值，主要用于顺序数据和数值型数据，但不适用于分类数据。

【注意2】中位数的优点：不受极端值的影响，抗干扰性强，尤其适用于偏斜分布的数值型数据。

不需要全部信息能避开极端值！

3.众数：指一组数据中出现次数（频数）最多的变量值。不适用于定量数据。

【注意】适用于描述分类数据和顺序数据的集中趋势。在定量数据中，可能出现多众数和无众数的情况，因此众数不适于描述定量数据的集中位置。

不需要全部信息能避开极端值！

指标适用特点

均值定量变量◎利用全部信息，受极端值影响◎如有明显极端值，则代表性差

中位数顺序变量定量变量◎不受极端值影响

◎适用于分布不对称的数据

◎没有充分利用全部信息，稳定性优于众数，差于均值

众数分类变量顺序变量◎没有充分利用全部信息，不受极端值影响◎适用于分布明显呈偏态的数据

◎可能不唯一

【例题·单选题】（2018年）下列统计量中，适用于描述分类数据和顺序数据集中趋势的是（）。

A.众数

B.均值

C.标准分数

D.中位数

『正确答案』A

『答案解析』本题考查众数。众数适用于描述分类数据和顺序数据的集中趋势。

【例题·单选题】（2017年）2016年某企业集团下辖8个分公司的销售额分别为10000万元、3600万元、800万元、1000万元、600万元、3000万元、2800万元、2200万元，这组数据中的中位数是（）万元。

A.2200

B.2800

C.2500

D.3000

『正确答案』C

『答案解析』本题考查中位数的计算。（2800＋2200）/2＝2500。

【例题·单选题】在对数据集中趋势的测度中，适用于偏斜分布的数值型数据的是（）。

A.中位数

B.均值

C.标准差

D.方差

『正确答案』A

『答案解析』本题考查中位数。中位数主要适用于顺序数据，也适用于数值型数据，但不适用于分类数据，中位数不受极端值的影响，抗干扰性强，尤其适用于收入这类偏斜分布的数值型数据。

知识点二：离散程度的测度

（一）方差和标准差

离散程度：反映的是数据之间的差异程度。集中趋势的测度值对一组数据的代表程度，取决于该组数据的离散水平。

数据的离散程度越大，集中趋势的测度值对该组数据的代表性就越差；离散程度越小，其代表性就越好。

1.方差

（1）方差：数据组中各数值与其均值离差平方的平均数。

（2）方差越小，说明数据值与均值的平均距离越小，均值的代表性越好。

总体方差公式：

【示例】某售货小组5名营业员，元旦一天的销售额分别为520元、600元、480元、750元和500元，平均销售额为570元，计算日销售额的样本方差。

＝［（520－570）2＋（600－570）2＋（480－570）2＋（750－570）2＋（500－570）2］÷（5－1）＝12200（元2）

2.标准差

（1）标准差：方差的平方根。

【示例】5名营业员元旦当天的销售额的标准差

（2）标准差与方差只适用于数值型数据，它们对极端值很敏感。

（二）离散系数

1.离散系数：变异系数或标准差系数。

2.标准差与均值的比值：

3.适用：不同类别数据离散程度的比较。

【注意】标准差的大小不仅与数据的测度单位有关，也与观测值的均值大小有关，不能直接用标准差比较不同变量的离散程度。离散系数消除了测度单位和观测值水平不同的影响，因而可以直接用来比较变量的离散程度。

【示例】某学校学生的平均年龄为20岁，标准差为3岁；该校教师的平均年龄为38岁，标准差为3岁。比较该校学生年龄和教师年龄的离散程度。

『正确答案』学生年龄的离散程度更大。

『答案解析』学生年龄的离散系数＝3/20＝0.15

教师年龄的离散系数＝3/38＝0.0789

【例题·多选题】（2017年）下列统计量中，适用于测度数据离散程度的有（）。

A.众数

B.方差

C.中位数

D.标准差

E.均值

『正确答案』BD

『答案解析』本题考查测度数据离散程度的指标。选项ACE属于测度集中趋势的指标。

【例题·多选题】（2015年）下列统计量中，容易受极端值影响的有（）。

A.均值

B.方差

C.众数

D.中位数

E.标准差

『正确答案』ABE

『答案解析』本题考查集中趋势和离散程度的测度指标。均值、方差、标准差容易受极端值的影响。