历年全国初中数学联赛试题总汇#精选.

S2 3 和 S3 1，那么，正方形 OPQR 的边长是
（Ａ） 2 ；（Ｂ） 3 ；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ）
S1 1
S2 3
S3 =1
８． 在锐角ΔABC 中， AC 1， AB c ， A 60 ，ΔABC 的外接圆半径 R ≤1，则
（Ａ） 1 < c < 2 ； 2
（Ｂ）0< c ≤ 1 ； 2
1991-2008 年全国初中数学联赛试题总汇 搜集整理：田祥彪
1991 年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一、选择题 本题共有 8 个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是 正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．
１． 设等式 a(x a) a(y a) x a a y 在实数范围内成立，其中 a，x，y 是
答（
）
６． 若 a，c，d 是整数，b 是正整数，且满足 a b c ， b c d ， c d a ，那么
a b c d 的最大值是
（Ａ） 1；（Ｂ） 5 ；（Ｃ） 0 ；（Ｄ）１．
答（
）
７． 如图，正方形 OPQR 内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是 S1 1，
(A)1:2
(C)2:5 答( )
(B)1:3 (D)3:10
8.设 x1, x2 , x3 , , x9 均为正整数,且
x1 x2 x9 , x1 x2 x9 220 ,则当 x1 x2 x3 x4 x5 的值最大时, x9 x1 的最小
值是
(A)8;
(B)9;
(B) x4 x2 x1 x3 x5 ;
(C) x3 x1 x4 x2 x5 ;
(D) x5 x3 x1 x4 x2 .
5.不等式 x 1 (x 1)2 3x 7 的整数解的个解
(A)等于 4
(B)小于 4
(C)大于 5
6.在 ABC中, A是钝角,O是垂心, AO BC ,
(A)1;
(B)2;
(C)3;
(D)4.
2.若 x0 是一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根,则判别式 b2 4ac 与平方式
M (2ax0 b)2 的关系是
(A) > M
(B) = M
(C) > M ;
(D)不确定.
3.若 x2 13x 1 0 ,则 x4 x4 的个位数字是
（A） 1 5 ； 2
（B） 1 5 ； 2
（C） 1 5 或 1 5 ；
2
2
答（ ）
（D） 1 5 ． 2
４．
已知：
x
1
(1991
1 n
1
1991 n
) （n
是自然数）．那么 (x
1 x2 )n ，的值是
2
（Ａ）19911 ；
（Ｂ） 19911 ；
（Ｃ） (1)n1991 ；
（Ｄ） (1)n1991 1 ．
(C)10;
(D)11.
答( )
二.填空题
1.若一等腰三角形的底边上的高等于 18cm,腰上的中线等 15cm,则这个等腰三角形的面
积等于________________.
2.若 x 0 ,则 1 x 2 x 4 1 x 4 的最大值是__________. x
3. 在 ABC 中 , C 90 , A和B 的 平 分 线 相 交 于 P 点 ， 又 PEAB 于 E 点 ， 若
1.多项式 x12 x6 1除以 x2 1的余式是
(A)1;
(B)-1;
(C) x 1;
(D) x 1;
2.对于命题
Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.
Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是
(A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错.
3.设 x 是实数, y x 1 x 1 .下列四个结论:
(A)1; 答( )
(B)3;
(C)5;
(D)7.
4.在半径为 1 的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于 1 且小于 2 ,则这个多边形的
边数必为
(A)7; 答( )
(B)6;
(C)5;
(D)4.
5.如图,正比例函数 y x和y ax(a 0) 的图像与反比例函
的图像分别相交于 A 点和 C 点.若 RtAOB和 COD 的面积分别为 与 S2 的关系是
BED 2CED A . 求证： BD 2CD .
三、某个信封上的两个邮政编码 M 和 N 均由 0，1，2，3，5，6 这六个不同数字组成，
现有四个编码如下：
A：320651
B：105263
C：612305
D：316250
已知编码 A、B、C、D 各恰有两个数字的位置与 M 和 N 相同.D 恰有三个数字的位置
1992 年全国初中数学联合竞赛决赛试题
word.
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第一试
一.选择题
本题共有 8 个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请 把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
1.满足 a b ab 1的非负整数 (a,b) 的个数是
CD = 6，则 AD =
．
135
120
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第二试
x + y， x － y， x y， x y
四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）． 二、ΔABC 中，AB＜AC＜BC，D 点在 BC 上，E 点在 BA 的延长线上，且
答（
）
５． 若1 2 3 99100 12n M ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自
然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．
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(B) a : b : c
(C) cosA : cosB : cosC
(D) sin A: sin B : sinC .
答( )
8. 3 3(3 4 3 2 3 1 )1 可以化简成 999
为 m, n,
(A) 3 3(3 2 1) ; 答( )
二.填空题
(B) 3 3(3 2 1)
(C) 3 2 1
(D)等于 5
则cos( OBC OCB) 的值是
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(A) 2 2
(B) 2 2
(C) 3 2
(D) 1 . 2
答( )
7.锐角三角 ABC 的三边是 a, b, c,它的外心到三边的距离分别
p,那么 m:n:p 等于
(A) 1 : 1 : 1 ; abc
(D) 3 2 1
1.当 x 变化时,分式 3x2 6x 5 的最小值是___________.
1 2
x2
x
1
2.放有小球的 1993 个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有 7 个小球,且每四个 相邻的盒里共有 30 个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.
3.若方程 (x2 1)( x2 4) k 有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,
两两不同的实数，则 3x2 xy y2 的值是 x2 xy y 2
（A）3 ； （B） 1 ； （C）2； （D） 5 ．
3
3
答（ ）
２． 如图，AB‖EF‖CD，已知 AB=20，CD=80，BC=100，那么 EF 的值是
（A） 10；
（B）12；
（C） 16；
（D）18．
答（ ）
３． 方程 x2 x 1 0的解是
数 y k (k 0) x
S1 和 S2,则 S1
(A) S1 S2
(B) S1 S2
(C) S1 S2
(D)不确定
答( )
6.在一个由 88个方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ组成的边长为 8 的正方形棋盘内放一个半径为 4 的圆,若把圆周
经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为 S1 ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的
三 . 已 知 方 程 x2 bx c 0及x2 cx b 0 分 别 各 有 两 个 整 数 根 x1, x2 及 x1, x2 , 且 x1x2 0, x1x2 0 . (1)求证: x1 0, x2 0, x1 0, x2 0; (2)求证: b 1≤ c ≤ b 1; (3)求 b,c 所有可能的值.
BD＝BE＝AC，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于 F 点（如图）． 求证：BF＝AF＋CF
三、将正方形 ABCD 分割为 n 2 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点 A，C 染成红 色，把 B，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点 同色的小方格的数目必是偶数．
距离变小,这时乘积 SABC SHBC 的值变小,变大,还是不变?证明你
论. 二. ABC中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边 AB ,AC 上分别取点
使线段 DE 将 ABC分成面积相等的两部分.试求这样的线段 DE 小长度.
的结
D, E, 的最
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与 M 和 N 相同.试求：M 和 N.
1993 年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
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一.选择题
本题共有 8 个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的. 请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
x3 x4
x4 x5
a2 ; a3 ;
x4
x5
x1
a4 ;
x5 x1 x2 a5.
其中 a1, a2 , a3 , a4 , a5 是实常数,且 a1 a2 a3 a4 a5 ,则 x1, x2 , x3 , x4 , x5 的大小顺序是
(A) x1 x2 x3 x4 x5 ;
面积之和记为 S2 ,则
S1 S2
的整数部分是
(A)0; 答( )
(B)1;
(C)2;
(D)3.
7. 如 图 , 在 等 腰 梯 形 ABCD 中 , AB//CD, AB=2CD, A 60 ,又 E 是底边 AB 上一点,且 FE=FB=AC, FA=AB.
则 AE:EB 等于
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Ⅰ. y 没有最小值;
Ⅱ.只有一个 x 使 y 取到最小值;
Ⅲ.有有限多个 x (不止一个)使 y 取到最大值;
Ⅳ.有无穷多个 x 使 y 取到最小值.
其中正确的是 (A)Ⅰ
(B)Ⅱ
4.实数 x1, x2 , x3 , x4 , x5 满足方程组
(C)Ⅲ
(D)Ⅳ
x1 x2 x3 a1;
x2 x3
则 k =____________. 4.锐角三角形 ABC 中, A 30 .以 BC 边为直径作圆,与 AB, AC
于 D, E,连接 DE, 把三角形 ABC 分成三角形 ADE 与四边形 BDEC, 的面积分别为 S1, S2,则 S1:S2=___________.
第二试
分别交 设它们
一.设 H 是等腰三角形 ABC 垂心,在底边 BC 保持不变的情况下让顶点 A 至底边 BC 的
答（ ）
（C）c > 2；
（D）c = 2．
答（ ）
二、填空题
１．Ｅ是平行四边形 ABCD 中 BC 边的中点，AE 交对角线 BD 于 G，如果ΔBEG 的面积是
１，则平行四边形 ABCD 的面积是
．
２．已知关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，
BC 2, AC 3，则 AE EB
.
4.若 a, b 都是正实数，且 1 1 1 0 ，则 (b )3 ( a )3
.
a b ab
ab
第二试
一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程 x2 6x a 0 的两根，当这样的三角形只 有一个时，求 a 的取值范围.
二、如图，在 ABC中， AB AC, D 是底边 BC 上一点， E 是线段 AD 上一点，且
误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，
2b 3c
．
a
3．设 m，n，p，q 为非负数，且对一切 x >０， (x 1)m 1 (x 1) p 恒成立，则
xn
xq
(m2 2n p)2q
．
４．四边形 ABCD 中，∠ ABC 135 ，∠BCD 120 ，AB 6 ，BC 5 3 ，