高三数学(理科)模拟试卷及答案3套

高三数学（理科）模拟试卷及答案3套

模拟试卷一

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

注意事项：

1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。答题卡不要折叠

2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。答在试卷上无效。

3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}

{}2

|0|2M x x x N x x =-=＜，＜，则 ( )

A ．M N ?=?

B ．M N M ?=

C ．M N M ?=

D ．M N R =U

2． “

”是“方程

表示双曲线”的（ )

A ．充分不必要条件

B ．充要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件 3．正项等差数列{}n a 中的11a ，4027a 是函数()3

214433

f x x x x =-+-的极值点，则20192lo

g a =( ) A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

4．函数1sin cos (0)y x a x a =+>的图象是由函数25sin 5cos y x x =+的图像向左平移?个单位得到的，则cos ?=（） A ．

B ．

C 32

D ．

5．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：

针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（） A ．获得A 等级的人数减少了 B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍 C ．获得D 等级的人数减少了一半

D ．获得

E 等级的人数相同

6．设()0

sin cos a x x dx π

=+?，且21n

x ax ?

?- ???的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的

所有项的系数之和是（） A ．1 B ．

1256 C ．64 D ．1

7．直线(1)(2)0()x y R λλλλ+-++=∈恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，其中0m >，

0n >，则

m n

+的最小值为（） A ．22

B ．4

C ．

52 D ．92

8．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积1

?（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2

π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是 ( )

A ．2+43

B 13+

C ．2+83

D ．4+839．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是（）

A ．3

B ．5

C ．7

D ．9

10．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，点A ，B 分别为()f x 图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB ?为锐角三角形，则ω的取值范围为（）

A ．32π?? ? ???

B ．3,22ππ??

? ???

C ．0,2π??

???

D ．,2π??+∞ ???

11．设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，x R ?∈，有3

()()f x f x x --=，在(0,)+∞上有

22'()30f x x ->，若2(2)()364f m f m m m --≥-+-，则实数m 的取值范围为（）

A ．[1,1]-

B ．(,1]-∞

C ．[1,)+∞

D ．(,1][1,)-∞-+∞U

12．已知函数22,0

()(2),0

x x x f x f x x ?--<=?-≥?，以下结论正确的是（）

A ．(3)(2019)3f f -+=-

B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数

C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ??

∈-

- ??

? D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()6

i x f x =∑的取值范围是()0,6

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．已知

34a b R a i

b i i

+=+∈，（，）其中i 为虚数单位，则a bi +=________；

14．已知数列

{}n a 的首项11a =，且满足11(2)n n n n a a a a n ---=≥，则122320142015a a a a a a +++=L

；

15．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE V 沿DE 翻折，得到四棱锥

1A DEBC -．设1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：

①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；

③存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90°．其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）

16．已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆

交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为_________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2cos 2()3

f x x x x R π?

-∈ ??

(1)求函数()f x 的单调递增区间；

(2)ABC ?内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3

()2B

f =1b =，3c =a b >，试求角B 和角C .

18．（本小题满分10分）

如图，在PBE △中，AB PE ⊥，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =1

AB AP AE ===，将PBA ?沿AB 折起使得二面角P AB E --是直二面角．（l ）求证：CD 平面PAB ；

（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正切值．

19．（本小题满分10分）

2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为

()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．

（1）若1

p =

，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．

20．（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1（﹣1，0），离心率2

e =．（1）求椭圆G 的标准方程；

（2）已知直线11l y kx m =+：与椭圆G 交于 A B ，两点，直线2212l y kx m m m =+≠：（）

与椭圆G 交于C D ，两点，且AB CD = ，如图所示．

①证明：120m m += ；

②求四边形ABCD 的面积S 的最大值．

21．（本小题满分10分）

已知函数()22

2,0x x x f x x ax ax x e

=?+-≥??在(),-∞+∞上是增函数． ()1求实数a 的值；

()2若函数()()g x f x kx =-有三个零点，求实数k 的取值范围．

22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3sin x y α

=???=??（α为参数），在以原点为极点，x 轴

正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2sin 42

πρθ?

-= ?

?．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；

（2）设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．

23．已知函数()()210f x x a x a =++->. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；

（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.

答案

1-5 BDCBB 6-10 DDADB 11.B 12 BCD

13.5 14. 15. ①② 16. 43

17【解析】

（1）233()cos 2cos 22cos 2323

23f x x x x x x ππ???

?=--=-=- ? ??

?Q ，

令222,2

k x k k Z π

ππ-

∈剟，解得5,12

k x k k Z π

ππ-

∈剟

∴故函数()f x 的递增区间为5,()1212k k k ππππ?

?-+∈????

Z . （2

）1,sin 23232B f B B ππ?????

?=-=-∴-=-

? ? ?

??????

， 20,,,33

3366

B B B B π

ππππ

π<<∴-

∴-=-=Q 即，

由正弦定理得：1sin sin

a A π==

sin C ∴=

，0C π<

c π

时，2

A π

：当23C π=

时，6

A π

=（不合题意，舍）所以,6

B C π

18．【答案】（1）证明见解析. （2）

. 【解析】

分析：（1）推导出4,AE AC =是Rt ABE ?的斜边上的中线，从而C 是BE 的中点，由此能证明//CD 平面PAB ；

（2）三棱锥E PAC -的体积为E PAC P ACE V V --=，由此能求出结果．

详解：（1）因为

AE =，所以4AE =，又2AB =，AB PE ⊥，

所以BE =

，又因为1

AC BE ==，

所以AC 是Rt ABE n 的斜边BE 上的中线，

所以C 是BE 的中点，又因为D 是AE 的中点．所以CD 是ABE n 的中位线，所以CD AB n ，又因为CD ?平面PAB ，AB ?平面PAB ，所以CD n 平面PAB ．

（2）据题设分析知，AB ，AE ，AP 两两互相垂直，以A 为原点，AB ，AE ，AP 分别为x ，y ，z 轴

建立如图所示的空间直角坐标系：

因为1

AB AP AE ==

=，且C ，D 分别是BE ，AE 的中点，所以4AE =，2AD =，

所以()040E n n ，()120C n n ，()002P n n ，()020D n n ，

所以()042PE =-u u n v n u ，()122PC =-u u n v n u ，()100CD =-u u n v

n u ，

设平面PCD 的一个法向量为()n x y z '''=n n ，

则00

n CD n PC ??=??=?u u u v u u u v ，即0220x x y z ''''-=??+-=?，所以0

x z y =??='''?，令1y '=，则()011n =n n ，

设直线PE 与平面PCD 所成角的大小为θ，则10

sin PE n PE n

θ?==?u u u v u u u v ．

故直线PE 与平面PCD 所成角的正切值为

． 19．【答案】(1)

32 (2) 最高费用为350万元．对应13

p =．（1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()2

331C p p C p -+，

一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()()221

3111C p p p ??---??

，所以一篇学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为

()()()()2222331

3331111f p C p p C p C p p p ??=-++---??

()()()22

23313111p p p p p p ??=-++---??

5432312179p p p p =-+-+．

∴1

2p =时，

125232

f ??= ???

所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为

2532

．（2）设每篇学术论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500．

()()21315001P X C p p ==-，()()2

390011P X C p p ==--，

所以()()()()22211

33900111500190018001E X C p p C p p p p ??=?--+?-=+-??

．

令()()2

1g p p p =-，()0,1p ∈，()()()()()2

121311g p p p p p p '=---=--．

当10,3p ??∈ ???

时，()0g p '>，()g p 在10,3??

???上单调递增；当1,13p ??

∈ ???时，()0g p '<，()g p 在1,13?? ???

上单调递减．

所以()g p 的最大值为14327

g ??= ???．所以评审最高费用为4

4300090018001035027-???+??= ???（万元）．对应13

p =． 20．

（1）设椭圆G 的方程为

（a ＞b ＞0）

∵左焦点为F 1（﹣1，0），离心率e =．∴c =1，a =，

b 2=a 2﹣

c 2=1

椭圆G 的标准方程为：

．

（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4） ①证明：由

消去y 得（1+2k 2

）x 2

+4km 1x +2m 12

﹣2=0

，

x 1+x 2=，x 1x 2=；

|AB |==2；

同理|CD |=2，

由|AB |=|CD |得2=2，

∵m 1≠m 2，∴m 1+m 2=0

②四边形ABCD 是平行四边形，设AB ，CD 间的距离d =

∵m 1+m 2=0，∴

∴s =|AB |×d =2×

所以当2k 2+1=2m 12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为2

21．

【答案】（1）12a e =

；（2）ln211,2e e ????

?-+∞????????

解：()1当0x <时，()2

f x x =-是增函数，且()()00f x f <=，故当0x ≥时，()f x 为增函数，即()'0f x ≥恒成立，

当0x ≥时，函数的导数()()()211'2221120()x x x x x

e xe x

f x ax a a x x a e e e --??

=+-=+-=--≥ ???恒成立，当1x ≥时，10x -≤，此时相应

120x a e -≤恒成立，即12x a e ≥恒成立，即max 112()x a e e

≥=恒成立，当01x ≤<时，10x ->，此时相应120x a e -≥恒成立，即12x a e ≤恒成立，即1

2a e

≤恒成立，

则12a e =，即1

2a e

=．

()2若0k ≤，则()g x 在R 上是增函数，此时()g x 最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件．故0k >，

当0x <时，()2

g x x kx =--有一个零点k -，

当0x =时，()()0000g f =-=，故0也是故()g x 的一个零点，

故当0x >时， ()g x 有且只有一个零点，即()0g x =有且只有一个解，

即202x x x x kx e e e +--=，得22x x x x kx e e e

+-=，(0)x >，则11

2x x k e e e

+-，在0x >时有且只有一个根，即y k =与函数()11

2x x h x e e e

-，在0x >时有且只有一个交点， ()11

'2x h x e e

=-+，

由()'0h x >得1102x e e -+

>，即11

2x e e <得2x e e >，得ln21ln2x e >=+，此时函数递增，由()'0h x <得1102x e e -+<，即11

2x e e

>得2x e e <，得0ln21ln2x e <<=+，此时函数递减，

即当1ln2x =+时，函数取得极小值，此时极小值为()1ln211ln21

1ln22h e e e

+++=+

- ln211ln2111ln21ln2222222e e e e e e e e e e

=++-=++-=?， ()11

0101h e e

=+-=-，

作出()h x 的图象如图，

要使y k =与函数()11

2x x h x e e e

=+-，在0x >时有且只有一个交点，则ln22k e =

或1

1k e

≥-，即实数k 的取值范围是ln211,2e e ????

?-+∞????????

． 22．

【答案】（1）22193x y +=，10x y -+=；

（266

（1）因为曲线C

的参数方程为3cos x y α

α=???=??（α为参数），

所以曲线C 的普通方程为22

193

x y +=.

因为sin 42

πρθ?

= ?

?，所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=. 所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.

（2）由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l

的参数方程为12x y t ?=-+????=??

，

代入椭圆的方程得2280t -=，

所以1212+40t t t t =

=-<，

所以12|PA|+|PB|=||2

t t -==

. 23．

【答案】（1）5|13x x x >?

?<-????

或；（2）()5,+∞ （1）当1a =时，()121f x x x =++-，故()4f x >等价于1314x x ≤-??

-+>?或1134x x -<≤??-+>?或1314

x x >??->?，解得1x <-或5

3x >.

故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >?

?<-???

?或.

（2）当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->，即2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞U . 又0a >，所以5a >，

综上，a 的取值范围为()5,+∞.

模拟试卷二

一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 已知全集为R ，集合

，则下列结论正确的是（）

A. B.

C. D.

2.设

，那么“

” 是“

” 的（）

A. 充要条件

B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件 3. 已知

，为虚数单位，且

，则

（）

A. B. C. 2 D.

4.若

，则（ A.

C. D.

5. 在ABC ?中，3413AB AC BC ===，，，则AC 边上的高为（） A. B.

6. 若在

上是减函数，则的取值范围是（） A. B.

C. D.

7.设

均为单位向量，且它们的夹角为

，当

取最小值时，实数k 的值为（）

A. B. C. D. 1 8.已知函数，则下列结论正确的是（） A. 的图像关于直线对称 B. 的图像向左平移个单位后为偶函数图像 C.

的图像关于点

对称 D.

的最小正周期为，且在

上为增函数

9.已知函数，则函数

的图像只可能是（）

10. 已知数列，若点均在直线上，则的前15项和等于（）

A. 42

B. 45

C. 48

D. 51

11. 已知函数的图像在处的切线斜率为，且当时，此切线过点，则的值

为（）

A.8

B. 16

C. 32

D. 64

12.已知奇函数满足，且时，，则关于x的方程

在区间上的所有根之和是（）

A. 10

B. 8

C. 6

D. 4

二.填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知

cos()

-=-，则cos cos()

x x

+-的值是 .

14.设向量分别为单位向量，且夹角为，若，则 .

15.已知向量，若与共线，则 .

16.已知数列与满足,，且，设数列的前项和为，

则 .

三.解答题：共70分

17.（本小题12分）

在中，角的对边分别是，已知.

（1）求证：成等比数列；

（2）若，试判断的形状.

18.（本小题12分）

设向量，角分别为的三个内角，若在处取得极值. （1）试求与的值；

（2）当1，求的最小外接圆半径.

19.（本小题12分）

已知数列的前n项和.

（1）求数列的通项公式；

（2）若等比数列满足，求数列的前项和.

20.（本小题12分）

在数列中，，若函数在点处的切线过点.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式与前项和公式.

21.（本小题12分）

已知. 对于函数、，若存在常数.，使得

，不等式都成立，则称直线是函数与的分界线.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在说明理由.

22.（本小题10分）

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴

的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线和的直角坐标方程；

（2）若点为上任意一点，求点到的距离的取值范围.

试题解答

一.选择题（5分） DCBA BDAB CBDC

二.填空题（5分），，，

三.解答题：

17.解：（1）由已知应用正弦定理得

即，由于，则

成等比数列.

（2）若，则

由（1）知，则，即

所以，故为等边三角形.

18.解：（1）由得

则

由于在处取得极值，那么

解得或，又，则，.

（2）若，即，则

所以，即

则，故的最小外接圆半径为.

19.解：（1）由得；

且时，

显然满足

故（）.

（2）若等比数列满足

则由（1）得，解得，或

所以或.

20.解：（1）由得，，

则在点处的切线方程为,即

又此切线过点，则，即

故是公比为3的等比数列.

（2）又，由（1）知，

则，.

21.解：（1）由得，

若时，有，则在上单调递增；

若时，由解得

若时，对于，有；，有，则在上单调递减，在上单调递增；

若时，对于，有；，有，则在上单调递增，在上单调递减.

（2）当时，，

若对都成立，

即对都成立

则时，有；且，对都成立

即；对都成立

所以

此时，令

则2，从而有时，；时，，

所以在上递减、在上递增，

因此，即

故时，与存在“分界线”.

22.解：（1）由消去参数，得

则曲线的普通方程为.

由，得，即

则曲线的直角坐标方程为；

（2）曲线上的任意一点到曲线的距离为

故点到曲线的距离的取值范围为

模拟试卷三

第Ⅰ卷 (选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的. 1、已知集合

，则中元素的个数为

A ．9

B ．8

C ．5

D ．4 2、已知复数满足:i i z +=-1)1(2

（i 为虚数单位），则

为（）

A ．

B ．22

C ．2

D ．1

3、下列叙述中正确的是( )

A ．若a ，b ，c ∈R ，且a ＞c ，则“ab 2＞cb 2

”

B ．命题“对任意x ∈R，有x 2

≥0”的否定是“存在x ∈R，有x 2

≤0” C ．“φ＝π

”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件

D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β

4、已知函数()()()

210cos 0x x f x x x ?+>?=?≤??，则下列结论正确的是（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在(),-∞+∞上是增函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 的值域为[1,)-+∞ 5、能够把圆：

的周长和面积同时分为相等的两部分的函数

称为圆的“等分函数”，下列函

数不是圆的“等分函数”的是 A ．f (x )＝3x B ． C ．

D ．

6、如果双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线3x －y ＋3＝0平行，则双曲线的离心率为

A ．3

B ．2

C ． 3

D ． 2

7、已知函数f (x )＝23sin(π－x )·cos x ＋2cos 2

x －1，其中x ∈R，则下列结论中正确的是

A ．f (x )是最小正周期为π的奇函数;

B ．f (x )的一条对称轴是x ＝

π2

C ．f (x )在????

??－π3，π6上单调递增 D ．将函数y ＝2sin 2x 的图象左移π

个单位得到函数f (x )的图象

8、已知x ，y 满足约束条件?

???

?x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值

25时，a 2＋b 2

的最小值为

A ．4

B ．3

C ． 5

D ．2

9、在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线A 1O ，下列说法正确的是

A ．A 1O ∥D 1C

B ．A 1O ⊥BC

C ．A 1O ∥平面B 1C

D 1

D ．A 1O ⊥平面AB 1D 1

10、2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通

过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：

①a 1＋c 1＝a 2＋c 2； ②a 1－c 1＝a 2－c 2； ③c 1a 2>a 1c 2. ④c 1a 1

a 2

其中正确式子的序号是 A ．①③ B ．②③

C ．①④

D ．②④

11、已知直三棱柱

的6个顶点都在球的球面上,若

,,则球的半径为

A ．

B ．

C ．

D ．

12、设 ()ln f x x =，若函数 ()()g x f x ax =-在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是

A ．10,e ?? ???

B ．ln 2,2e ??

??? C ．ln 20,2?? ??? D ．ln 21,2e ??

? 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分.

13、已知函数f (x )＝log a (x －2)＋4(a >0且a ≠1)，其图象过定点P ，角α的始边与x 轴的正半轴重合，

顶点与坐标原点重合，终边过点P ，则sin α＋2cos α

sin α－cos α＝________.

14、等差数列{}n a 中，3a ，7a 是函数f （x ）=x 2

﹣4x+3的两个零点，则{}n a 的前9项和等于 .

15、已知向量a ＝(x ，-1)，b ＝(y ，x 2

+4)且a ⊥b ，，则实数y 的取值范围是 .

16、已知椭圆

252

2=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2内切圆的半径为 .

三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.

17、(本题满分12分)已知锐角ABC ?中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2cos cos a b B

c C

-=. （1）求角C 的大小；

（2）求函数sin sin y A B =+的值域.

18.（本小题满分12分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且532a =, 63

7S S a -=，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T .

19.（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2

∠BA =

，C 1AB =B =，

D 2A =，

E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将?ABE 沿BE 折起到1?A BE 的位置，如

图2．

（1）证明：CD ⊥平面A 1OC ；

（2）若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．

20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2

，短轴的一个端点到右焦点的

距离为2. （1）求椭圆C 的方程；

（2）过点()01G ,作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点A 关于原点O 的对称点为D ，求ABD △ 的面

积S 的最大值．

21．（本小题满分12分）已知函数

()1ln ()f x ax x a R =--∈.

（1）讨论函数()f x 的极值点的个数；