金融数学-第一章

复利（compound interest）
定义： 若有这样一种累积计算方式：1 个单位的投 资经过任何一个单位的计息期产生的利率为常数， 则称对应的利息计算方式为复合利息计算方式，简 称复利方式；对应的利息称为复利。
复利的基本思想：利息收入被再次记入下一期的本金，即 通常所说的 “利滚利”
对于一般的整数时刻t≥ 0 有 a(t) = (1+i)t , t ≥ 0为整数
➢注：单贴现模式并不对应单利的贴现模式 而复贴现模 式对应复利的贴现模式
定 义： ( 实) 利率和( 实) 贴现率被称为等价的（ equivalent ），若它们满足：相同的原始本金初值 经过相同的计息期，产生相同的终值。
对于等价的利率 i 和贴现率d 有如下关系式：
1） i d
1 d
2） d i i
[t1,t2 ] 上的实利率
= [t1,t2 ] 内总量函数A(t)的变化量与期初货币量的比 值，记为 it1,t2 ，即
it1 ,t2
A(t2 ) A(t1) A(t1 )
I t1,t2 A(t1 )
特别地 当t1= n -1，t 2= t1 +1时，记in表示第n 个时 段的实利率，即
in
A(n) A(n 1) A(n 1)
利息金额为 I t1,t2 ，
则有
I t1,t2 A(t2 ) A(t1 ) 0
其中 t2 t1 0
利率 (interest rate)
思考： 假设两个储户分别在银行存入了1 万元和 1千元的一年期定期储蓄，如果到期后银行都付给他 们同样的利息金额20 元，你认为合理吗？
注： 假设所有的在期初投资的 1个单位的本金都具有着同样 的产生利息的能力，则上述现象不合理
✓ 定义 ：一个计息期 [t1,t2 ] 内的利息收入与期末 货币量的比值称为时间区间 [t1,t2 ] 内的实贴现率 （effective rate of discount），记为 d t1,t2 ，即：
d t1 ,t2
Leabharlann Baidu
A(t2 ) A(t1) A(t2 )
I t1,t2 A(t2 )
[tn1,tn ] 时间段（长度为1）内的贴现率 dn 的计算公式
➢单贴现（simple discount） 贴现函数为
a1(t) 1 dt, 0 t 1 d
其中d 为单贴现率 ➢复贴现（compound discount） 贴现函数为
a 1 (t) (1 d )t , 0 t
其中d 为复贴现率
除特殊说明，我们后面所讨论的都是针对复贴现模式计算
复利的累积函数的等价形式为
a(t) et ln(1i)
注: 上面对于整数时间 t 给出的相应复利的累积函数的表达 式适用于一般的时间t > 0
复利的直观表述: 相同长短的不同时期的实利率相等.
复利是由满足如下条件的（非零）连续函数 a(t) 所相 应的累积函数所给出的
a(s t) a(s) a(t) (s 0, t 0) 即
这种类型的利息产生方式被称为单利，i 被称为 是单利率
➢ 相应单利的累积函数为时间的线性函数 ➢ 常数的单利率并不意味着常数的实利率
因为相应于单利的第 n 个时期的实利率in为
in
a(n) a(n 1) a(n 1)
1
i i(n
1)
,
n 1
是一个关于 n 的单调递减的函数,并且当n 的取值较 大时实利率 in 将变得较小.
✓注：利率通常以百分数来表示，即 利率 = 利息 / 期初本金×100%
✓注：这里定义的利率被称为实利率(effective rate of interest)， 注意与后面定义的名义利率(nominal rate of interest)相区别。
✓注：通常计息期为标准时间单位，如年、季、月等，若无 特别说明实利率一般指年实利率。
期的长短有关系，而与该时期的具体位置无关。
单利是由满足如下条件的连续函数a(t)所相应的累积 函数所给出的
a(s t) a(s) a(t) 1 (s 0,t 0)
或等价地
a(s t) a(s) a(t) 1 (s 0, t 0) 注： 上式意味着经过时间t + s所产生的利息等于经过时间t 产生的利息与经过时间s 产生的利息之和。
➢ 离散型 ——利息是跳跃产生的 ➢ 连续型 ——利息是连续产生的
注： 一般的利息被认为是连续产生的
例考虑以下3 类特殊的累积函数a(t)
1 ）常数(系列1) a(t) = 1
2） 线性(系列2) a(t) = 1 + 2.5% t
3） 指数(系列3) a(t) = (1 + 2.5%)t
总量函数（amount function）
，再由2） 可得。
例 ：假设期初借款人从贷款人处借入10000 元，并约定 一年到期时还10500 元，即利率i=5% 。如果借款人希望 期初时即付给贷款人利息，1 年到期时偿还本金10000 元， 问期初借款人实际可得金额是多少？
解：贴现因子
v (1 i)1 0.9524
d = iv = 0.04762 从而借款人在期初实际可得
当原始投资不是1 个单位的本金而是P 个单位金 额的本金时，则把P 个单位金额本金的原始投资在时 刻 t 的累积值记为A(t) ，称为总量函数
总量函数 A(t)具有如下的性质： 1) A(0) = P 2) A(t) = P a(t) ， P > 0 ，t 0
注： 总量函数 A(t)的计算可以借助于累积函数a(t) 的计算 注： 从总量函数可得累积函数为
把v = (1+i)-1 称为是贴现因子,即
期初本金 = 期末累积值× 贴现因子
定义：称 (1 i)t 为1个货币单位的本金在第 t 个计息期末
的终值（简称AV）；称 v t 为第 t 个计息期末 1 个货币单位
在 0 时刻的现值（简称PV）。
定义 时刻 t 的1 个货币单位在时刻0 的价值称为贴 现函数（ discount function ），用a-1 (t)表示。
1 i
证明： 1）设期末货币量为 1， 则由贴现率定义可知利息量
恰为贴现率d ，从而期初货币量应为1- d ，所以由利息率
的定义可得
i d 1 d
2）设期初货币量为 1 ，由利率定义可知利息量恰为利率
i ，从而期末货币量应为1+ i ，所以由贴现率的定义可得
d i i 1 i
3） d = iv 因为贴现因子 v (1 i)1
10000(1- d ) =10000v = 9524(元)
4） d =1- v
注 ：时间t 为从投资之日算起的时间，可以用不同的单位来度量
1 单位的本金
累积值 a(t)
0
t
时间 t
累积函数 a(t) 是关于时间的函数 ，满足： 1) a(0) = 1 2) 一般的 ，a(t)关于时间严格单调递增 即 当 t1 < t2 时有 a(t1) < a(t2)
如果在 t = 0 ，1， 2， … 等时刻观察累积函数 a(t)，得到一系列累积值a(0)=1 ，a(1)， a(2)， … 那么在时刻0 ，1， 2 ，… 之间累积函数a(t)的取值 是如何变化的？
金融数学（引论）
主讲人：那日萨 2009年9月
第一章 利息基本计算
1.1 利息基本函数
➢ 利息是借贷关系中借款人(borrower)为取得 资金使用权而支付给贷款人(lender)的报酬。 ➢ 从投资的角度看利息是一定量的资本经过一 段时间的投资后产生的价值增值
例 在银行开立储蓄帐户把平时积累下来的多余钱 存入银行可视为投资一定数量的钱款以产生投资收 益— — 利息 例 购买国库券
注： 贴现函数为累积函数的倒数函数 ➢ 单利情形
a 1 (t) (1 it)1
其中i 为单利率。
➢复利情形
a 1 (t) (1 i)t
其中i 为复利率。
累积与贴现是一对相反的过程，相应于期初1个
单位本金的 t 时期期末值为a(t) ，而相应于 t 时期
期末 1 个单位金额的期初值则为a -1(t)。
a(s t) a(s) a(t) 1 a(s)
上式说明，经过相同长度 t 的计息期所产生的利率相 同。
单利计算与复利计算的区别 1 、若单利率=复利率，则当0<t<1 时，单利>
复利；而当t>1 时，单利<复利。 2、 短期两者差异不大,长期两者有显著差距 3、 复利几乎用于所有的金融业务，单利只是
a(t)= A(t) / A(0) ， t 0
利息（interest）
将从投资之日算起的第 n 个时期内所获得的利息
金额记为In 则有
I n A(n) A(n 1)
对于整数 n 1
注: 利息金额In 看作是在整个时期内所产生的，在最后时刻 实现的（支付的、得到的）
注： 更一般的，记总量函数A(t)在时间段[t1,t2 ]内所获得的
用于短期计算或复利的不足期近似计算。
注： 今后我们除特别声明， 一般考虑复利计 算方式。
例：以年利率5%为例，比较单利与复利计算方法 的异同效果。
解： （1 ）在第1年内，复利累积小于单利累积；在 第一年底，两者相同；从第2年开始复利累积超过 单利累积，而且前者的上升速度远远超过后者。 （2） 单利情形下实利率水平逐年递减，而复 利情形下实利率水平保持为5%
单利（simple interest）
在实际金融活动中，通常用到的两种计息方式， 分别为单利和复利。
假设在期初投资 1 个单位的本金，在每一个 时期中都得到完全相同的利息金额，即利息为常 数
由此可知 a(0) = 1， a(1) = 1+ i ，a(2)= 1+ 2i 等
等，即 a(t) = 1+ i t 对整数 t 0
dn
A(n) A(n 1) A(n)
In A(n)
a(n) a(n 1）, a(n)
nN
➢设 i 为单利率，计算相应单利各期的实贴现率
a(n) a(n 1） i
dn
a(n)
1 in
大小发生变化
➢设 i 为复利率，计算相应复利各期的实贴现率
dn
a(n) a(n 1） i
a(n)
1 i
大小不发生变化
累积函数(accumulation function)
❖ 本金(principal) ——初始投资的资本金额 ❖ 累积值(accumulated value) ——过一定时期后收到的
总金额 ❖ 利息(interest) ——累积值与本金之间的金额差值
假设在初始时刻 0 投资了1 个单位的本金则在时 刻t 的累积值记为a(t) ，称为累积函数
例：试确定按单利或复利计算，年息11% ，问开始时应 投资多少元，使得在第5 年末本金和利息总和能积累至 1000 元。
解： 由
A(5)= A(0)a(5) 可得
A(0)= A(5) / a(5) 单利
a(5)=1+11%×5=1.55 A(0)= 1000/1.55 = 645.16(元) 复利
思考 为什么在每一个时期中所获的利息金额相等 可实利率却越来越小呢?
➢注 上面的讨论虽然只是在整点时刻上进行的观察， 但由于所产生的利息被认为是在该期间的各个小区 间上按比例产生的，从而上面给出的关于整数t 的单 利的生成方式可以认为是对于所有的t>= 0 都成立的 利息产生方式。
单利的直观表述 不同的时期所获利息金额的大小只与所历经的时
In A(n 1)
n 1
结论1.1 由利率地定义，有
it1 ,t2
a(t2 ) a(t1 ) a(t1 )
证明 ：设初始投资为A(0), 则
A(t) = A(0) a(t)
从而有
it1 ,t2
A(t2 ) A(t1 ) A(t1 )
a(t2 ) a(t1 ) a(t1 )
注: 利率计算的根本是累积函数的计算
为了表示单位货币价值的相对变化幅度，度量利 息的常用方法是计算所谓的“利率”，定义为：
利 率 等于一定的货币量在一段时间（计息期 measurement period）内的变化量（利息）与期初货 币量的比值。
➢利率的计算公式 利率 = 利息 / 期初本金
➢若利率已知，则可反求利息 利息 =利率 × 期初本金
a(5)=(1+11%)5= 1.685 A(0)= 1000/1.685 = 593.47(元)
贴现（discount）
贴现因子（ discount factor） 考虑累积的反问题：在期初开始时应投资多少，
才能使得在1 个时期结束时本金和利息总额恰好为 1 个单位的货币量？
如果在期初投资 (1+i)-1 ，则期末时恰好累积至1。