高中数学 归纳推理教案 湘教版
高中数学第6章推理与证明6.3数学归纳法(2)课堂讲义配
答 与正整数n有关的命题
[预习导引]
1．归纳法的含义由特殊到一般
完全归纳法
归纳法是一种
的推理方法，分
和
不完全归纳法 两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，
必须用数学归纳法进行严格证明．
2．数学归纳法
(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与 正整数
规律方法 应用数学归纳法证明整除性问题
时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆
项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬
提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的 项中“硬提出来”，构成n＝k的项，后面的 式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同，
从而达到利用假设的目的．
跟 踪 演 练 2 用 数 学 归 纳 法 证 明 62n － 1 ＋
6.3 数学归纳法(二)
[学习目标]
1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌 握用数学归纳法证明等式、不等式、整除 问题、几何问题等数学命题．
2．掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：
提公因式、添项、拆项、合并项、配方 等．
[知识链接]
1．数学归纳法的两个步骤有何关系？ 答 使用数学归纳法时，两个步骤缺一不 可，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)是递推 的依据．
1(n∈N*)能被7整除． 证明 (1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整
除．
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，62k－1＋1
能被7整除．
那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋
1
＝36(62k－1＋1)－35.
∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，
∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．
1.4 数学归纳法(课件)-高二数学(湘教版2019选择性必修第一册)
*1.4
数学归纳法
第一章
数列
目录/CONTENTS
学习目标
情景导入
新知探究
错因分析
随堂检测
课堂小结
学习目标
1.了解数学归纳法的原理
2.利用数学归纳法证明等式
3.归纳—猜想—证明
情景导入
如果从盒子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，
是否判断盒子里面的小球都是绿色的？
4
则当 = + 1时，左边 = 13 + 23 + 33 +⋅⋅⋅ + 3 + + 1 3
2 + 1 2
=
+ +1 3
4
2
= +1 2
++1
4
+ 1 2 2 + 4 + 4
=
所以当�� = + 1时等式也成立，
典例剖析
(拓展)题型 3
用数学归纳法证明几何问题
例 3 有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一 点，
求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．
证明：①当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所
以n＝1时命题成立．
②假设n＝k(k≥1)时命题成立．
A.1
B.1＋3
C.1＋2＋3
D.1＋2＋3＋4
C
)
当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.
4
2
n
＋n
(2)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝
，则当n＝k＋1时，等
归纳教案
归纳与推理
湘教版选修2-2第五章第一节教学目标:
知识与技能:
1）掌握推理、演绎、合情、归纳、类比之间的关系。
2）熟悉归纳的定义与步骤，会进行一些简单的归纳推理。
3）掌握由归纳得出的结论不一定正确，初步理解归纳法原理。
过程与方法：
1）体会数形结合的思想
2）通过对归纳法的学习，使学生初步掌握观察、猜想的分析能力和严密的逻辑推理能力。
3）通过具体解题，感受归纳推理探索和提供解决问题的思路和方向的作用，从而让学生对归纳推理有一个理性的认识，归纳推理不仅是一个概念，更是一个数学发现的过程.
情感态度价值观：
通过主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度. 教学重点：归纳推理的含义与作用,，以及归纳推理的解题步骤。
教学难点：归纳推理的应用，如何培养学生发现问题、解决问题的能力.
教学方法：以教师为主导，遵从学生认识规律进行启发；以学生为主
体，合作探究式进行学习.
教学手段：多媒体演示与传统板书相结合.教学过程：
根据图形完成下面表格
结论: F+V-E=2
欧拉公式
课堂总结：
归纳推理的几个特点：
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.
2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.
3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上(它是一种合情推理).
板书设计：。
2024-2025学年高中数学选择性必修第一册(湘教版)配套课件第1章-1.4数学归纳法
二步要明确证明目标，即要证明一个新命题：如果 = 时, ①式正确的，那么 = + 1时①式也是正确的.
高中数学
选择性必修第二册
湖南教育版
证明：（1）当 = 时，左边= 1 ，右边= 1 +0 × = 1 ,①式成立.
=
+2
2(+1)
=
+1
1− 9 (1-16)…(1-2)= 2 .
(+1)+1
.
2(+1)
∴当n=k+1时,等式也成立.
根据(1)和(2)知,对任意n≥2,n∈N*,等式都成立.
高中数学
选择性必修第二册
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课堂小结
1.知识清单：
数学归纳法的步骤.
2. 易错提示：
利用数学归纳法时，一定验证第一项成立.在用第项推证第 + 1项时，一定要用上第项成立的
2 −1
猜想an= −1 .下面证明猜想正确:
2
(1)当n=1时,由上面的计算可知猜想成立.
2 −1
(2)假设当n=k时猜想成立,则有ak= 2−1 ,
1
1
当n=k+1时,Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1,∴ak+1=2[2(k+1)-Sk]=k+1-2
所以,当n=k+1时,等式也成立.
那么当n=k+1时,
1
1
1
1
1
1-2 + 3 − 4+…+2−1 − 2 +
精品-2019年高中数学第5章推理与证明章末小结讲义含解析湘教版选修1_2
第5章推理与证明1．两种合情推理(1)归纳推理：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，步骤如下：①通过观察个别对象发现某些相同性质；②由相同性质猜想一般性命题．(2)类比推理：类比推理是由特殊到特殊的推理，步骤如下：①找出两类对象之间的相似性或一致性；②由一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题．2．演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，一般模式为三段论．演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得的结论就一定正确．注意错误的前提和推理形式会导致错误的结论．3．直接证明——综合法和分析法(1)综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，利用定理、定义、公理和运算法则证明结论．(2)分析法是“执果索因”，即从结论逆向转化，寻找一个已证的命题(已知条件或定义、公理、定理、公式等)．注意：①分析法是从结论出发，但不可将结论当作条件．②在证明过程中，“只要证”“即证”等词语不能省略．4．间接证明——反证法反证法证题的步骤为：反设－归谬－结论，即通过否定结论，得出矛盾来证明命题．注意：反证法的关键是将否定后的结论当条件使用．[例1]表1 1表21 34表3 …1 3 5 4 8 12其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)．[解] 表4为1 3 5 7 4 8 12 12 20 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．简单的归纳猜想问题通过观察所给的数表、数阵或等式、不等式即可得到一般性结论，较复杂的问题需将已知转换为同一形式才易于寻找规律．[例2] 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数．则f (4)＝________，f (n )＝________.[解析] 因为f (1)＝1，f (2)＝7＝1＋6，f (3)＝19＝1＋6＋12，所以f (4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f (n )＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n －1)＝3n 2－3n ＋1. [答案]373n 2－3n ＋1解答此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识．本题注意从图形中抽象出等差数列．1．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 .解析：分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…归纳可知，第n 个叠放图形中共有n 层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，所以S n ＝n ＋[n (n －1)×4]÷2＝2n 2－n ，所以S 7＝2×72－7＝91.答案：912.如图，给出了3层的六边形，图中所有点的个数S3为28，按其规律再画下去，可得n (n ∈N ＋)层六边形，试写出S n 的表达式．解：设每层除去最上面的一个点的点数为a n ， 则a n 是以5为首项，4为公差的等差数列，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋1＝n[5＋5＋－2＋1＝2n 2＋3n ＋1(n ∈N ＋).[例3] 在△ABC 求证：1AD2＝1AB2＋1AC2，那么在四面体ABCD 中，类比上述论据，你能得到怎样的猜想，并说明理由．[证明] 如右图所示，由射影定理，AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD2＝1BD·DC ＝BC2BD·BC·DC·BC ＝BC2AB2·AC2. ∵BC 2＝AB 2＋AC 2， ∴1AD2＝AB2＋AC2AB2·AC2＝1AB2＋1AC2. ∴1AD2＝1AB2＋1AC2. 猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，猜想四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.证明上述猜想成立．如右图所示，连接BE 交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE2＝1AB2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF2＝1AC2＋1AD2. ∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2. 故猜想正确．(1)类比是以旧知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能．(2)类比推理的常见情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等．3．若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则有性质“若S m ＝S n (m ，n ∈N *且m ≠n )，则S m －n ＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n }为等比数列时，写出一个正确的性质：_________________________.答案：数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n ，(m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m －n ＝14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径为r ＝12a2＋b2，把上述结论类比到空间，写出相似的结论．解：取空间中三条侧棱两两垂直的四面体A BCD 且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ， 则此四面体的外接球的半径为R ＝12a2＋b2＋c2.[例4] 设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：a ＋b ＋ab ≥8.[证明] 法一：(综合法) ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.法二：(分析法)∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab≥8，只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab ≥8， 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8， 即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4.即证b a ＋ab≥2.由基本不等式可知，当a ＞0，b ＞0时，b a ＋a b ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立成立， 所以原不等式成立．综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．5．已知函数f (x )＝log a (a x－1)(a >0，a ≠1)． (1)证明：函数f (x )的图象在y 轴一侧；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)是图象上的两点，证明直线AB 的斜率大于零． 证明：(1)由a x－1>0，得a x >1.①当a >1时，x >0，函数图象在y 轴右侧； ②当0<a <1时，x <0，函数图象在y 轴左侧． 故函数图象总在y 轴一侧． (2)由于k AB ＝y1－y2x1－x2，又由x 1<x 2，故只需证y 2－y 1>0即可．因为y 2－y 1＝log a (a x2－1)－log a (a x1－1) ＝log a a x2－1a x1－1.①当a >1时，由0<x 1<x 2，得a 0<a x 1<a x 2，即0<a x 1－1<a x2－1.故有a x2－1a x1－1>1，log a a x2－1a x1－1>0，即y 2－y 1>0. ②当0<a <1时， 由x 1<x 2<0， 得a 0>a x 1>a x2>1. 即a x 1－1>a x2－1>0. 故有0<a x2－1a x1－1<1，∴y 2－y 1＝log a a x2－1a x1－1>0，即y 2－y 1>0.综上，直线AB 的斜率总大于零．[例5] 已知a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.[证明] 假设a ，b ，c 都不大于0， 即a ≤0，b ≤0，c ≤0，得a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3>0， 与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故假设不成立． ∴a ，b ，c 中至少有一个大于0.(1)用反证法证题时，先假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．(2)反证法证题的思路是：“假设—归谬—存真”．6．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．答案：A。
高中数学推理的教案
高中数学推理的教案
教学内容: 推理
教学目标:
1. 了解推理的基本概念和方法；
2. 能够运用推理方法解决实际问题；
3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点和难点: 推理的基本概念和方法
教学准备:
1. 教材: 高中数学教材
2. 工具: 黑板、彩色粉笔、教学PPT
3. 教具: 笔、纸
教学过程:
一、导入 (5分钟)
教师引导学生回顾上一讲的知识，通过提出一些问题引起学生对推理的兴趣，并引入本课
的主题。
二、讲解 (15分钟)
1. 推理的定义和分类
2. 推理的思维规律和方法
3. 推理的基本要素和过程
三、示范演练 (15分钟)
教师通过具体例题和实际问题，指导学生如何进行推理，并解答学生的疑惑。
四、练习巩固 (15分钟)
教师布置一些练习题，让学生进行独立思考和解答，并及时纠正学生的错误。
五、拓展延伸 (10分钟)
教师可以提出一些拓展问题，引导学生进一步思考，发散思维，培养学生的综合分析能力。
六、作业布置 (5分钟)
布置相关的作业，巩固学生的学习成果。
教学反思:
通过本节课的教学，学生对推理有了基本的了解和掌握，能够解决简单的推理问题，并提高了逻辑思维能力。
但仍需注意引导学生理解和应用推理方法，提高学生的自主学习能力和解决问题的能力。
高中数学 第六章 推理与证明章末归纳课件 湘教版选修2
【例1】在Rt△ABC中，若∠C＝90°，是cos2A＋cos2B＝1， 请在立体几何中给出类似的四面体性质的猜想． 解 如图所示，在 Rt△ABC 中，cos2A＋cos2B＝bc2＋ac2＝ a2＋c2 b2＝1.把此结论类比到空间四面体 P-A′B′C′中，我们 猜想：四面体 P-A′B′C′ 中，若三个侧面 PA′B′， PB′C′，PC′A′两两垂直且与底面所成的二面角分别为 α，β，γ，则 cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
专题归纳
所以 f(x)g(y)＋g(x)f(y) ＝ax＋2a－x·ay－2a－y＋ax－2a－x·ay＋2a－y ＝ax＋y－2a－x＋y ＝g(x＋y)． 点评 由归纳推理所得到的结论不一定正确，但它所具有的 特殊到一般的性质对数学的发展有着十分重要的作用，应用 时应首先分析清楚题目的条件，合理归纳．
专题归纳
点评：(1)平面图形中的线、角类比到空间中分别对应着空 间中的面和二面角．(2)Rt△ABC类比到四面体P-A′B′C′中， AB对应着底面A′B′C′，直角边对应着侧面PA′B′，PB′C′， PA′C′，直角对应着侧面两两垂直，锐角对应着侧面与底面 所成的二面角．
专题归纳
【例 2】 设 f(x)＝ax＋2a－x，g(x)＝ax－2a－x，其中 a>0 且 a≠1. (1)5＝2＋3，请你推测 g(5)能否用 f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表 示； (2)从(1)中的解能获得什么结论？能否将其推广？ 解 (1)由 f(3)g(2)＋g(3)f(2) ＝a3＋2a－3·a2－2a－2＋a3－2a－3·a2＋2a－2＝a5－2a－5， 又 g(5)＝a5－2a－5， 因此 g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．
1.4数学归纳法教学设计-2024-2025学年高二上学期数学湘教版(2019)选择性必修第一册
教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。
6.课堂小结（5分钟）
目标：回顾本节课的主要内容，强调数学归纳法的重要性和意义。
过程：
简要回顾本节课的学习内容，包括数学归纳法的基本概念、组成部分、案例分析等。
强调数学归纳法在数学证明中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用数学归纳法。
①确定归纳变量：找到命题中的变量，将其作为归纳变量。
②完成奠基步骤：证明命题在归纳变量取最小值时成立。
③完成归纳步骤：假设命题在归纳变量取某个值时成立，证明命题在归纳变量取下一个值时也成立。
4.数学归纳法的应用
①解决问题：将实际问题转化为数学归纳法的问题，应用数学归纳法进行解决。
②证明定理：运用数学归纳法证明数学定理的正确性。
（3）小组讨论法：组织学生分组讨论，促进学生之间的交流与合作，培养学生的合作交流能力和自主学习能力。
（4）问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣和主动性。
2.设计具体的教学活动
为了促进学生的参与和互动，我将设计以下教学活动：
（1）导入环节：通过引入生活中的实例，让学生感受数学归纳法的实际意义，激发学生的学习兴趣。
③探索规律：通过数学归纳法探索数学规律和性质。
5.数学归纳法的注意事项
①归纳变量的选择：确保归纳变量的选择能够涵盖所有情况。
②奠基步骤和归纳步骤的证明：确保奠基步骤和归纳步骤的证明严密且准确。
③避免过度一般化：在归纳步骤中，避免对归纳变量进行过度一般化的假设。
教学评价与反馈
1.课堂表现：
观察学生在课堂上的参与度、提问和回答问题的积极性，了解学生对数学归纳法的理解和掌握程度。
高中数学归纳推理教案
高中数学归纳推理教案
一、教学目标：使学生了解数学归纳法的基本原理和应用方法，能运用数学归纳法解决相
关问题。
二、教学重点：数学归纳法的基本原理和应用方法。
三、教学难点：对于一些较为复杂的问题，如何运用数学归纳法进行证明。
四、教学内容：
1. 数学归纳法的基本原理
2. 数学归纳法的应用方法
3. 实际问题中的数学归纳应用
五、教学过程：
1. 引入：通过一个简单的例子引入数学归纳法的概念，让学生了解数学归纳法的重要性和
应用价值。
2. 讲解：讲解数学归纳法的基本原理和应用方法，包括归纳起点的选择、归纳假设的建立、归纳步骤的进行等内容。
3. 练习：设计一些简单的练习题，让学生掌握数学归纳法的基本操作方法。
4. 拓展：引导学生思考一些实际问题，并尝试运用数学归纳法进行解决。
5. 总结：对数学归纳法的基本原理和应用方法进行总结，强化学生对此内容的理解和应用
能力。
六、作业布置：布置一些相关的练习题，要求学生独立完成，并对实际问题进行数学归纳
法的应用。
七、教学反思：及时总结教学过程中的不足之处，不断优化教学方法，提高教学效果。
以上是一份高中数学归纳推理教案范本，希望能对您有所帮助。
如果有其他需要，或者有
任何问题，请随时联系我。
高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学选修2-2 6.3 数学归纳法》
教学设计上杭一中游华秀【教学内容剖析】《数学归纳法》是湘教版选修教材2—2第六章第三节内容，本节课是第一课时。
前面学生已经学习了推理与证明的各种方法，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法。
数学归纳法亮点就在于，通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形，这也是无限与有限辨证统一的体现。
并且，本节内容是培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的很好的素材。
【教学目标确定】1、知识和技能1 了解数学归纳法的原理；2 掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论的模式；3 会用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
2、过程与方法通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生体验由实践向理论过度的过程。
在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力，学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。
3情感态度价值观通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。
进一步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。
【教学重点和难点】根据教学大纲的要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，本节课知识的重点和难点制定如下：教学重点：（1）使学生理解数学归纳法的实质。
（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用教学的难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设．如果不会运用“假设当时，命题成立”这一条件，那实际上就是不会运用数学归纳法。
为突破以上教学难点，通过问题的转化，进而把无限的验证转化为对两个命题：“（1）当时，命题成立；（2）假设时，命题成立，求证：当时命题成立”的证明，而且在第二个命题的分析中强调条件的存在与用途，从而突破数学归纳法第二步中证明命题的难点．【教学条件支持】利用视频动态地演示多米诺骨牌游戏，从中体会并理解“归纳奠基”和“归纳递推”，知道只有把“归纳奠基”与“归纳递推”结合起来，才能完成数学归纳法的证明过程，理解数学归纳法的证明步骤．【教学过程设计】一、问题导入在多米诺骨牌游戏过程中，体会所有骨牌都倒下，第1块骨牌必须倒下，这是基础，也是前提条件在多米诺骨牌游戏过程中，第块骨牌倒下，是后一块骨牌倒下的保证，这就是多米诺骨牌游戏的连续性和传递性．问题：数学归纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢？探究一：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？（1）使第一张牌能倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。
6.3数学归纳法_课件-湘教版数学选修2-2
∵3k1＋2＋3k1＋4＝9k26＋k1＋8k1＋ 8>3k2＋1，
∴3k1＋2＋3k1＋4－3k2＋1>0.
∴k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋3k＋11＋1>2254.
n＝1， n≥2.
(2)证明：①当 n＝2 时，a2＝5×22－2＝5，猜想 成立．
②假设 n＝k 时成立，即 ak＝5×2k－2(k≥2，k∈ N＋)，
当 n＝k＋1 时，由已知条件和假设有
ak＋ 1＝ Sk＝ a1＋ a2＋ … ＋ak＝5＋ 5＋ 10＋ …＋ 5×2k－2
＝ 5＋5 11－－22k－ 1＝ 5× 2k－1.
3n1＋1>2a4对一切正整数 n 都成立，求正整数 a 的
最大值，并证明你的结论． 证明：取 n＝1，1＋1 1＋1＋1 2＋3×11＋1＝2264，
令2264>2a4⇒a<26，而 a∈N＋，∴取 a＝25.
下
面
用
数
学
归
纳
法
证
明
：
1 n＋
1
＋
1 n＋
2
＋
…
＋
1 25 3n＋1>24.
(1)n＝1 时，已证结论正确． (2)假设 n＝k(k∈N＋)时，k＋1 1＋k＋1 2＋…＋3k1＋1>2254 成立，则当 n＝k＋1 时， 有k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋3k1＋1＋3k1＋2＋3k1＋3
当 n＝k＋1 时，
1 2×4
＋
1 4×6
2020学年高中数学第6章推理与证明6.1.1合情推理(一)——归纳课件湘教版选修2_2
1．给出下列推理： ①由 A，B 为两个不同的定点，动点 P 满足||PA|－|PB||＝2a<|AB|， 得点 P 的轨迹为双曲线； ②由 a1＝1，an＝3n－1，求出 S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前 n 项和 Sn 的表达式；
③由圆 x2＋y2＝r2 的面积为 πr2，猜想出椭圆xa22＋by22＝1 的面积为 S
A．28
B．76
C．123
D．199
解析：选 C.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从 第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值 的和，照此规律，则 a10＋b10＝123.
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观察下列不等式： 1＋212<32， 1＋212＋312<53， 1＋212＋312＋412<74， … 照此规律，第五个不等式为________________________．
解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数 的分母的算术平方根与右端值的分母相等，且每行右端分数的 分子构成等差数列． 所以第五个不等式为 1＋212＋312＋412＋512＋612＜161.
解：由左、右两边各项幂的底数之间的关系： 1＝1， 1＋2＝3， 1＋2＋3＝6， 1＋2＋3＋4＝10， 可得一般结论：13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2， 即 13＋23＋33＋…＋n3＝n（n2＋1）2.
归纳在几何图形中的应用 如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边 (包括两个端点)有 n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为 an，则 a6＝________，an＝________(n>1，n∈N*)．
解析：观察规律可知，左边为 n 项的积，最小项和最大项依次 为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以 2n，则第 n 个等式 为：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
高中数学新湘教版精品学案《数学归纳法》
数学归纳法【学习目标】（1）了解数学推理的常用方法（归纳法）。
（2）了解数学归纳法的原理及使用范围。
（3）初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。
（4）会用数学归纳法证明一些简单的等式问题。
【学习重点】理解数学归纳法的实质。
【学习难点】掌握数学归纳法证题步骤，尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用。
【学习过程】一、情景设置（知识导入）探索研究【知识点总结与归纳】（1）理解数学归纳法的原理。
（2）数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推依据，最终给出结论。
（3）数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题。
基本知识概要：1．数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当_______________________时命题成立；然后假设当___________________时命题成立，证明当__________________时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法。
2．数学归纳法的基本思想：_____________________________________________。
3．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：（1）证明：_________________________________________________。
（2）假设__________________________________________________________。
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。
二、课堂练习例1．证明：基础反馈2462(1)n n n+++=+()n N+∈）当时，左边=1，右边）假设当时等式成立即时代入时等式成立1(2k k ++∈2n n ++=2(1)(2k k k +++=221n n +++=][2(2)(23)61)12(6k k k k +++++++1+C ．”（”时，左边应增添的式子是（ ）． D ．1(2n n ++∈21+n )1(2+-+n 2)()213(21)n n n n +=⋅⋅⋅⋅-n 112++k k 122++k k )(∈=N k k。
高中数学新湘教版精品学案《归纳》
归纳【学习目标】1．了解归纳法的意义，培养观察、归纳、发现的能力。
2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作为指导，理解数学归纳法的操作步骤，进一步培养思考能力。
3．通过观察，锻炼自己的抽象思维能力和概括能力，提高解题能力。
【学习重难点】重点：掌握归纳法的意义以及解题方法。
难点：理解并掌握数学归纳法的思想本质，会用递推思想做解题，理解并掌握数学归纳法的操作步骤。
【学习过程】一、新课学习。
知识点一：归纳法的概念。
由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫作归纳。
根据前面的知识做一做：练习：1．由三角形内角和180度，凸四边形内角和360度，凸五边形内角和540度，凸n边形内角和是多少度？2．第一个数是2，第二个数是4，第三个数是6，第n个数是什么？知识点二：归纳法的意义。
尽管由归纳推理所得的结论未必是可靠的，还需进一步检验。
但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的。
观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出猜想，乃是科学研究的最基本的方法之一。
根据前面的知识做一做：练习：1．设()211f x x x=++，当1,2,3,4,,9x=⋅⋅⋅时，你会得到什么结论？二、课程总结。
1．这节课我们主要学习了哪些知识？2．它们在解题中具体怎么应用？三、习题检测。
1．设()()241N f x x x n +=++∈，计算()()()()1,2,3,,10f f f f ⋅⋅⋅的值，同时作出归纳推理，并用40n =验证你的猜想是否正确。
2．根据图6-2中数所构成的规律，请问a 所表示的数是多少？。
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湘教版
教学目标：
1、了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理。
2、归纳推理是科学的数学思维方法，让学生在学习中有意识地使用它。
重点：学会并逐渐熟练用归纳法进行简单的推理。
难点：用归纳进行推理，做出猜想。
教学过程：
一、引入
以数学史上著名的哥德巴赫猜想为背景引入归纳推理，分析猜想的提出过程，分析其中的思维方法，并从这个过程中提炼出归纳推理的含义。
再看以下例子：
【引例1】
观察下列算式：
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52
你能得出怎样的结论？
【引例2】已知数列 { a n } , a1 = 1 ,且猜测数列的通项公式。
由引例1、2体会归纳猜想的一般过程，并得到归纳推理的概念：
【归纳推理】从特殊到一般；结论只是猜测。
归纳推理的流程是：
【思考下列问题】
1、设 a n 表示 n 条直线交点的最多个数，则 a n =________
4、用半径相同的小球，堆在一起，成一个“正三棱锥” 型，第一层 1 个，第二层 3 个，则第三层有______个，第 n 层有_______个。
（设 n > 1 ，小球不滚动）利用以上思考题充分展现学生归纳推理的各个层次水平，肯定其合理部分，引导不会归纳推理或思维不够科学的学生学会归纳推理或促使其思维科学化、合理化。
二、例题
【例1】比较 2005 2006与 2006 2005 的大小。
【分析】 n = 1 , 12 < 21
n = 2 , 23 < 32
n = 3 , 34 > 43
n = 4 , 45 > 54
n = 5 , 56 > 65
【猜测】 n n+1 > (n+1) n ( n ≥ 3 )
体会归纳推理的一般过程：先搜集个别性的、特殊性的事实作为前提，再进行推理。
三、【练习】
1、观察
由上述事实你能得出怎样的结论？
3、有n枚正面向上的硬币，每次任意翻转 n – 1 枚，问能否把 n枚硬币全部翻转为
反面向上？
四、小结
1、归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；
2、归纳推理的结论不一定正确；
3、体会归纳推理的一般过程：先搜集个别性的、特殊性的事实作为前提，再进行推理。
归纳推理是在观察和实验的基础上进行的。
4、归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段。