从历史到课堂—汪晓勤教授讲座(6)
历史相似性及其教学启示
[600 B.C.]
修 辞 代数 之 萌 芽
实 验 几何
( 归纳的与近似的—— 经 验 性的 与 直 观的 证 据 ） ， 如
53 4
算 术 （ 更 简 练的 符 号 ）
组 合 数的 加 法 原理 与记号， 如 埃 及 记数 法
中小学 童年
人类与个体数学经验的发展h （Benchara Branford,1908） 7
皮亚杰、加西亚 科学在历史跨越过程中所做出的各种进步，不是 以随意的形式呈现的，而是按一定顺序排列的。 与心理发生一样，是以一系列连续的“阶段”呈 现。促成历史时期跨越的转化机制与那些促成心 理阶段跨越的转化机制是相似的。
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22
研究之一：符号代数
E. Harper (1987) 研究问题：学生对符号代数的认知过程是否与符 号代数的历史发展过程相似？ 研究方法：测试。丟番图《算术》：“已知两数 的和与差，证明这两个数总能求出。” 被 试：英国两所文法学校1-6年级各12名学生， 共144人。
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13
历史相似性及其教学启示
庞加莱（H. Poincaré, 1854-1912）
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历史相似性及其教学启示
波利亚
只有理解人类如何获得某些事
实或概念的知识，我們才能对
人类的孩子应该如何获得这样
的知识作出更好的判断。
G. Pólya （1887-1985）
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15
历史相似性及其教学启示
弗赖登塔尔 年轻的学习者重蹈人类的 学习过程，尽管方式改变 了。
heredity and adaptation…
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3
历史相似性及其教学启示
Herbert Spenser (1894) 对孩子的教育在方式和顺序上都必须符合历史上 人类的教育，换言之，个体知识的发生必须遵循 人类知识的发生过程。
对数概念：从历史到课堂
名言 、 用《 数理精蕴 》 中的一段关于对数起源与用 途的 话 起 合 转 承 ， 这 些 均 属 于 附 加 式． 再 次， 利用
［ ］ ３ 古巴比伦泥板上的利息问题 ， 属于复制式 ．
２ 教学设计与实施
２． １ 课堂引入 在课堂开始师生共同观看视频《 宇宙 》 片段 ， 用 别开生面的视频带给学生强烈视觉冲击的同时 ， 教
［ ２］
： 上一列数之间的乘 、 除运算结
果对应于下一列数之间的加 、 减 运 算 结 果， 如 ８× 对应于 ３＋６＝９． ６ ４＝５ １ ２， １ ６世纪德国数学家斯 蒂菲尔 （ ， 更明确地提出了 Ｍ． Ｓ ｔ ｉ ｆ ｅ ｌ１ ４ ８ ７－１ ５ ６ ７） 上一 列 数 的 乘 、 除、 乘 方 和 开 方 四 种 运 算 法 则． 但 当时指数概念尚未诞生 ， 上一列数的间隔太大 ， 面 对６ ８×４０ ９ １， １０ ２ ６÷４ ５这样的情况便束手无 策， 因 而 这 样 的 对 应 关 系 并 不 实 用． 与 此 同 时， 人 类地理探险 、 海洋贸易和天文学等都在迅速发展 ， 这些对计算速度 、 准确度的需求与日俱增 ．
苏格 兰 数 学 家 纳 皮 尔 （ ，１ Ｊ ． Ｎ ａ ｉ ｅ ｒ ５ ５ ０－ ｐ ） 最终找到了简化大数运算的 １ ６ １ ７ ２ ０ 年如 一 日 ， 有效 工 具 ， 于１ 奇妙的对数定理说明 ６ １ ４年出版《 书》 ， 这标志着对数的诞生 ． 不久 ， 伦敦数学家布里 ， 建议对纳皮尔的对 格斯 （ Ｈ． Ｂ ｒ ｉ ｓ １ ５ ６ １－１ ６ ３ ０） ｇ ｇ 数进行改 进 ， 使 １ 的 对 数 为 ０， １ ０ 的 对 数 为 １ 等， 最后出版了 更 简 便 的 常 用 对 数 表 ． 笛卡 １ ７ 世 纪， 儿（ ， 发 明 了 幂 的 记 号， Ｒ． Ｄ ｅ ｓ ｃ ａ ｒ ｔ ｅ ｓ １ ５ ９ ６－１ ６ ５ ０） 指数 概 念 才 应 运 而 生 ． 直到１ 才有人认 ７ 世 纪 末， 识到对数可以定 义 为 幂 指 数 ． 之 后， 欧拉（ Ｌ． Ｅ ｕ ｌ ， ） 深刻揭示了指数 与对 数之 间的 密 ｅ ｒ １ ７ ０ ７－１ ７ ８ ３ 切联 系 ， 并 创 用 了ｌ 对数的发明 ｏ 犖 这 一 记 号． ｇ 犪 直接引发了计算 上 的 革 命 ， 法国著名数学家和天 ， 评价 文学家拉普拉斯 （ Ｐ． Ｓ． Ｌ ａ ｌ ａ ｃ ｅ １ ７ ４ ９－１ ８ ２ ７） ｐ 道： “ 因 为 省 时 省 力， 对数倍增了天文学家的寿 命． ” １． ２ 数学史料的运用 我们采用多种方式融入数学史 ． 首先 ， 整体设 即借鉴对数的历史 ， 追溯对数的 计上采用重构式 ， 思想起源 ， 呈现知识自然发生过程 ， 激发学生的学 促进学生对对数概念本质的理解和应用 ， 习动机 ， 教学流程如图 １ 所示 ． 其 次， 在教 讲述 学过 程 中 ， 纳皮尔发明对 数的曲折经历 以及他和布里 格斯那次旷世
全等三角形的应用：从历史到课堂
内容之 一 ， 课 程 的要 求 是 “ 索 并 掌握 两 个 三 角 形 新 探
全 等 的条 件 ” 华 东 师 大 版 讨 论 了 “ 角 边 ‘ 边 ． 边 角 角 角 角 边 ” “ 边 边 ” 和 边 四种 判 别 法 ， 并 没 有 涉 但 及 知 识 的历 史 背 景 和实 际 应 用 ， 与 同一 教 材 对 “ 这 相 似三 角形 ” 的处 理 并 不 一 致 ， 照发 生 教 学 法 ， 材 对 教 在 体 现 “ 题 之必 要 性 ” ， 得 远 远 不 够． 文 的 目 主 上 做 本 的是 将有 关 知 识 的历 史 背 景融 人 该 知 识点 的教 学 设
比伦 和古 埃及 ， 用 的长 度 单 位 常
为 肘 尺 ” ｃ ｂｔ— —从 肘 到 中 （ｕ ｉ ） 图１
指端 的长度 （ ５ ｍ） 在 古 希 腊 和 罗 马 ， 约 ３ｃ ． 常用 的 长
蛋难 过 的关 卡” （ ） 欧几里 得 的图 ２下 半部 分很 像 ；２ 是
一
度单位 是“ （ｏ ｔ—— 脚 掌 的 长度 （ ２ ５ｍｍ 到 尺” ｆｏ ） 从 ７ ３ ０ｍｍ不 等 ） “ ” ｐ ｌ —— 四指 宽 （ ３ 和 掌 （ ａｍ） １肘 尺 一６ 掌） 在 中世纪 的英 国 ， 说“ （ ａｄ 是 根 据亨 利一 ． 据 码” ｙ ｒ ）
又译 菲 隆 ） 出新 证法 ： 动其 中一个 三 角形 ， 其 一 给 移 使
条边 与另 一个 三 角形 的对应 边 重合 ， 而该 边所 对 顶 点 与另 一三 角形 的对 应顶 点位 于 它 的两 侧 ， 结 这 两个 谴
顶点 ， 到两个 等 腰 三 角 形 ， 知 重 合 边所 对 的角 相 得 故 等． 于是 ， 根据 边 角 边 定 理 ， 个 三 角 形 全 等． 东 师 两 华
一元二次方程:从历史到课堂
一元二次方程：从历史到课堂
皇甫华;汪晓勤
【期刊名称】《湖南教育（下旬刊）》
【年(卷),期】2007(000)012
【摘要】数学史对于数学教育的价值早在19世纪就已经引起西方数学家、数学史家和数学教育家们的关注[1].1972年,数学史与数学教学关系国际研究小组(简称HPM)成立,使得数学史与数学教育关系成为数学教育中的一个研究领域.自此,人们
对于数学史的作用进行了更为广泛的探讨.
【总页数】3页(P42-44)
【作者】皇甫华;汪晓勤
【作者单位】华东师范大学数学系,上海,200062;华东师范大学数学系,上
海,200062
【正文语种】中文
【中图分类】G623.5
【相关文献】
1."一元二次方程的配方法":用历史体现联系 [J], 沈志兴;洪燕君
2.一元二次方程的求根公式──历史上著名的探讨 [J], 王学功
3.问题引领下的初中数学课堂教学模式构建策略探讨--以初中数学“一元二次方程”教学为例 [J], 蒋飞
4.以学定教,先学后教,打造高效课堂——以一元二次方程整数根为例 [J], 何敬房
5.以学定教,先学后教,打造高效课堂
——以一元二次方程整数根为例 [J], 何敬房
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数学史走进小学数学课堂案例与剖析
数学史走进小学数学课堂案例与剖析在2018年10月，我有幸聆听了江苏省启东市教研员、小学数学特级教师蔡宏圣老师的一节公开课，课后感触颇深。
蔡老师的公开课并不是一节“表演课”，不流于形式，也不浮于表面；没有华丽的辞藻，也没有凸显自我的“表演”。
蔡老师整节课的“教学抓手”在于引导学生实实在在探索和发现新知的活动过程，在于培养学生发现问题、提出问题、分析与解决问题的能力。
反复品味这节数学课，让人发现它真正地深入到了“新课标”当中，它透彻地体现出了“四基”与“四能”的培养。
对蔡老师的钦佩言不由衷，所以假期我便拜读了他的《数学史走进小学数学课堂：案例与剖析》一书。
数学承载了公元前4世纪至今成千上万数学家以及数学爱好者的心血，博大且渊远的数学史为今天孩子们能更好地了解和学习数学知识创设了条件。
作为一名小学数学教师，我们读数学史不是为了教数学史，而是为了更好地教数学。
读数学史，犹如品茶，需要慢慢回味，宜多些追问、比较和挖掘。
首先要梳理出人类知识提升的各个时期，然后要细究从一个时期到另一个时期以什么为标志，其中突破的是什么，是什么形成了突破，这才叫把握了知识形成的过程。
独到的，才是值得放大的同样的数学知识，却有不同的教学预设。
不同的预设，不是授予知识的不同客观意义，而是授予知识所能带来的不同的价值。
作为数学教师，我们所要思考的是应如何选择更有价值的教学视角。
就如“圆的面积”这一课，若教师品读了数学史，便会发现课堂的逻辑主线不在于圆面积的计算方法，而在于曲边图形向直边图形的转化，教学重点应放在体会“随着分割次数的增加，由‘面’变‘线’、曲自然成直”的数学过程。
就一个知识来说，它承载着育人的价值是多元的，回到历史中，你才能把握什么是符合历史主流的前进方向，什么是促进历史进步的关键节点。
也就是说，历史的选择更应成为一个教师的教学的选择！我们需要结合不同知识的独到价值，把它挖掘并放大呈现，这样才能丰满学生的数学思想和数学经验。
超级画板支持圆的面积：从历史到课堂
超级画板支持圆的面积：从历史到课堂徐章韬;张景中【期刊名称】《湖南教育（下旬刊）》【年(卷),期】2014(000)006【总页数】2页(P22-23)【作者】徐章韬;张景中【作者单位】华中师范大学数学与统计学学院华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心;华中师范大学数学与统计学学院华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心【正文语种】中文教育取向的数学史对数学教学有着十分重要的意义。
新近，华东师大汪晓勤教授指出了教育取向的数学史与三维目标之间的关系。
从知识与技能目标来说，教育取向的数学史能帮助学生很好地理解数学；从过程与方法目标来说，教育取向的数学史提供了丰富的问题与求解问题的方法，可以拓宽学生的思维；从情感、态度和价值观来说，教育取向的数学史可以激发学生的学习兴趣，让学生体会到数学发生、发展过程中的种种挫折和艰辛，从情意上塑造学生的数学观，磨砺学生的情意。
这是非常有见地的主张，使教育取向的数学史的教育价值更加彰显。
为了使教育取向的数学史更好地融入到数学教学中去，更好地推动三维目标的落实，我们可以考虑运用新的手段和工具。
工欲善其事，必先利其器。
文[1]中论述了基于数学史的圆的面积的教学设计。
在超级画板的支持下，基于数学史的圆的面积可以更好地进入课堂教学，更有助于三维教学目标的达成。
根据文[1]中的叙述，历史上求解圆面积的方法大致有：古代的求解方法——有限次分割得到圆的面积；近代的求解方法——无限次分割得到圆的面积；现代求解方法——微积分的方法，这使得卡瓦利里原理降格成了定理。
还有一种求圆的面积的另类方法——蒙特卡罗算法。
根据认知的历史发生原理，在教学中要尽可能地拟合上述发展过程，使学生获得关于圆的面积求法的一个完整的图式，同时也要尽可能地从方法论、情意等角度启发学生感悟知识，落实三维教学目标。
文[1]中认为，小学数学知识虽然简单，但是教师不能仅当知识的传播者，而应向学生提出一个个问题，让他们尝试解决，在解决问题的过程中引入所需要的概念，建立一套理论和方法。
第9课 秦统一中国(课件)七年级历史上册(统编版2024)
付款时尺裁寸缝不又拒统收一她的圆形货币而要她付刀币。最后她不愿意要这 条裙子了，打算退货，裁缝让她填一份文书。结果货她币突不然发统现一自己
变成‘文盲’了，因为文书上的文字她一个都不认识。
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时代特征
时空观念
社会形态：
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概念解析
统一：是指疆域统一，整个国家由一个中央政府统辖。 多民族国家：国家内部的居民，由不同民族组成。 封建社会:以封建地主阶级占有土地等主要生产资料,剥削农民剩 余劳动为基础的社会。历史上的第二个阶级社会。其基本对立的 阶级是农民阶级和地主阶级。
秦
咸阳
燕
赵 齐
韩魏
楚
前223年灭楚
秦始皇像
前222年灭燕 前221年灭齐
策略：远交近攻
壹 秦灭六国
3.秦朝的建立
根据课本，自主归纳秦朝建立的概况
时 间：公元前221年
建立者： 秦王嬴政 秦朝
都 城：咸阳
历史地位：
是我国历史上第一个统一的 中央集权的封建国家
春秋战国时期的诸侯国
秦国统一六国之后建立的我国历史上第一 个统一的中央集权的封建国家
封建社会
秦统一 陈胜、吴 秦朝 中国 广起义 灭亡
西汉 张骞第一次 东汉 建立 出使西域 建立
黄巾起义 爆发
公元前 公元前 公元前 公元前 公元前 25年 184年 221年 209年 207年 202年 138年
2024版新教材
单元导读
单元导言
基于数学史的数学文化课例研究
ʌ课堂研究·特设专栏：ＨＰＭ课例研究（之二十四）ɔ编者按：随着新一轮数学课程改革的发展，数学文化逐渐融入数学教育教学，日益受到师生的关注㊂为推动基于数学史的数学文化课例教学的实证研究，２０２１年，本刊将继续特邀华东师范大学汪晓勤教授及其ＨＰＭ研究团队分享基础教育阶段数学文化课例教学的实证研究，旨在让大家更好地认识数学本质㊁洞见数学价值㊁品味数学文化，促进教师专业发展，落实数学学科立德树人的教育任务㊂基于数学史的数学文化课例研究余庆纯１，汪晓勤２（１ 华东师范大学数学科学学院，上海㊀２００２４１；２ 华东师范大学教师教育学院，上海㊀２０００６２）ʌ摘㊀要ɔ基于数学史的数学文化课例研究聚焦数学的知识源流㊁学科联系㊁社会角色㊁审美娱乐与多元文化五个维度，彰显数学四大价值㊂数学文化课例研究强调数学史内容㊁实证方法与技术融合㊂ 互联网＋教育 时代，数学文化课例研究要不断深挖数学史素材，扎根实证教学，融合信息技术，促进文化育师，落实立德树人的根本任务㊂ʌ关键词ɔ数学史；数学文化；课例研究；实证方法；技术融合ʌ作者简介ɔ余庆纯，华东师范大学数学科学学院在读博士研究生，主要从事数学史与数学教育研究；汪晓勤，华东师范大学教师教育学院教授㊁博士生导师，主要从事数学史与数学教育研究㊂ʌ基金项目ɔ上海高校 立德树人 人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地研究项目 数学课程与教学中落实立德树人根本任务的研究（Ａ８）什么是数学文化？有研究者基于国内数学文化研究，分别从数学学科㊁文化㊁数学共同体㊁数学活动等多元角度阐释数学文化的内涵，即数学文化是指一群人（数学家），当他们从事数学活动时，遵循共同的数学规则，经过长期的㊁历史的沉淀，形成了关于数学知识㊁精神㊁思想方法㊁思维方式等的共同约定的总和［１］㊂‘普通高中数学课程标准（２０１７年版）“（以下简称‘标准“）提出，数学文化不仅是指数学的思想㊁精神㊁语言㊁方法㊁观点以及它们的形成和发展，还包括数学在人类生活㊁科学技术㊁社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动［２］㊂其中，数学史是数学文化的有机组成部分，不仅展现了数学概念公式㊁定理命题㊁问题解决㊁思想方法等的演进过程，而且展现了多元文化背景下数学的学科联系㊁社会角色与人文活动㊂课程改革以来，我国全面深化新时代教师队伍改革，强调教师要树立正确的历史观㊁民族观㊁国家观㊁文化观，开展中小学教师活动，促进教师终身学习与专业发展［３］㊂因此，如何在数学课程中提升数学教师的专业发展，促进数学文化的教学实践，已然成为新时代数学教师队伍改革普遍关注的热点问题之一㊂有研究表明，学科教学是教师专业发展的核心，课例研究是教师专业发展的有效抓手㊂早在２１世纪初，顾泠沅教授便开展了基于数学学科的课例教学研究，依据行动研究的实证范式，总结数学教师教学特征与实践智慧，推进新世纪数学教师队伍的专业发展［４］㊂ＨＰＭ（数学史与数学教育之间的关系）是数学教育的重要研究领域之一，其以喜闻乐见的形式呈现数学知识的来龙去脉，在科学严谨的数学逻辑体系中渗透丰富多彩的数学文化㊂从２１世纪初至今，在ＨＰＭ与教师专业发展研究中，课例研究不仅提升了数学教师个体的专业知识㊁教学能力与人文情怀，而且帮助一线数学教师㊁教研员与高校数学教育研究者共同组建教师专业学习共同体（ｐｒｏ⁃ｆｅｓｓｉｏｎａｌｌｅａｒｎｉｎｇｃｏｍｍｕｎｉｔｙ，简称ＰＬＣ）㊂其中，在课例教学环节里，已有实证研究表明，教育取向的数学史在不同程度上彰显知识之谐㊁方法之美㊁探究之乐㊁能力之助㊁文化之魅㊁德育之效等教育价值［５］㊂然而，在ＨＰＭ教学实践中依旧存在 高评价㊁低运用 的现象㊂为了突破这一教学实践困境，教师专业学习共同体基于‘标准“中数学文化的概念内涵与数学四类价值，提出基于数学史的数学文化理论框架［６－７］，借鉴该理论框架，在基础教育阶段开展一系列的数学文化课例实践，旨在推动数学文化走进课堂㊁助教学㊁促成长㊂鉴于此，本研究主要阐述基于数学史的数学文化内涵与理论框架，介绍基于数学史的数学文化课例研究的基本要素㊁实证方法㊁技术融合等内容，为促进文化育师，落实立德树人的根本任务提供理论支撑与实践参考㊂一㊁数学文化内涵扎根于西方学者总结的数学史教育价值，结合‘标准“提出的课程目标㊁教学建议等内容，构建基于数学史的数学文化的概念内涵与理论框架，将其分成知识源流㊁学科联系㊁社会角色㊁审美娱乐与多元文化五个维度（见表１），指向数学的科学价值㊁应用价值㊁文化价值㊁审美价值四类价值（见表２），进一步基于德尔菲法㊁文本分析法对该理论框架进行修正与论证，且以初中和高中ＨＰＭ课例实证该理论框架的普适性（如图１）［８］㊂表１㊀基于数学史的数学文化内涵的五个维度五个维度具体内涵知识源流在某个知识点的历史演进过程中，涉及的人物与事件㊁概念与术语㊁问题与求解㊁命题与证明等学科联系数学与其他学科之间的密切联系社会角色数学在人类生活㊁科学技术㊁社会发展中的价值㊁贡献与意义审美娱乐数学美（包括对称美㊁奇异美㊁简洁美㊁统一美等）与趣味数学，展现出人类对美学标准㊁智力好奇㊁趣味娱乐的追求多元文化不同时期㊁不同地域的数学家在同一数学课题上的贡献，以及与数学相关的人文活动表２㊀数学的四类价值四类价值价值内涵科学价值数学是自然科学的基础，不仅是运算和推理的工具，而且是表达和交流的语言，帮助人们理解和表达现实世界中事物的本质㊁关系与规律应用价值数学与人类社会生活紧密关联，数学应用渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面；数学助力现代科学技术的发展，推动社会生产力的发展，为社会创造价值文化价值数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分㊂数学相关的人文活动展现科学主义与人文主义的丰富底蕴，彰显数学的人文内涵审美价值数学能陶冶情操，让人从感性走向理性，提升审美情趣和审美能力；数学改善思维品质，在形象思维的基础上增强理性思维能力图１㊀基于数学史的数学文化理论框架随着新一轮基础教育改革的不断推进，基于数学史的数学文化理论逐渐走进一线教学实践，分别在基础教育阶段开展实证性的课例研究，旨在探寻数学学科文化育人的本质内涵，更加深刻地揭示数学文化的核心教育价值，促进数学学科立德树人的有效落实㊂二㊁数学文化课例研究（一）研究内容基于数学史的数学文化课例研究，是指教师专业学习共同体（ＰＬＣ）围绕某一特定的数学概念术语㊁公式定理㊁问题解决等内容，借助线上线下融合式研修的形式，携手开展主题课例的系列研修活动，如资料习得㊁教学设计㊁交流研讨㊁实践教学㊁反馈评价㊁反思整理㊁课例记录等㊂基于数学史的数学文化课例研究，其主要流程有五个基本环节（如图２）㊂图２㊀基于数学史的数学文化课例研究流程（１）确定课例主题㊂数学文化课例研究强调数学史内容，聚焦某一特定的数学概念术语㊁公式定理㊁问题解决等内容，进行教育取向的数学史料研究，且基于数学史的数学文化五个维度展开分析㊂（２）规划教学设计㊂聚焦该主题的数学文化㊁课标要求㊁教材比较㊁教学实况㊁学情基础等相关内容，综合考虑 历史发生序 数理逻辑序 心理认知序 三个序列的有机统一，经历数学文化课例主题的教学设计㊁共同研讨㊁优化设计等过程㊂现以 锐角三角比的意义 课例主题为例，进行阐述说明㊂①知识源流：借鉴２０世纪上㊁中叶英美教科书中的锐角三角函数的引入方式，选择性地进行教学重构，以校园生活为背景，引导学生基于不同实际情境，探究系列 不可测问题 的解决方法，在分析问题㊁解决问题的过程中掌握锐角三角比的概念定义，学会根据直角三角形中两边的长求解锐角三角比的值，揭示学习锐角三角比的重要性㊁必要性，为学生在高中学习三角函数奠定基础㊂②学科联系：在跨学科联系中，锐角三角比是天文学㊁航海学的重要内容之一㊂③社会角色： 日晷 作为古代计时工具，凝结着锐角三角比在社会生活中的实际运用，展现出数学源于生活㊁服务于生活的重要角色㊂④审美娱乐：正切和余切等锐角三角比有着密切关系，体现了数学的简洁美㊁统一美㊂⑤多元文化：基于２０世纪早期英美教科书，将数学家们探索 锐角三角比的意义 的过程转化为校园生活中 不可测问题 的活动探究㊂通过古今对照，表现出不同时期㊁不同文化下数学家们对 锐角三角比 研究的贡献，展现多元的数学文化㊂（３）实施课堂教研㊂开展数学文化课例教学与研究，要聚焦课堂教学的自然生成㊁数理人文的和谐统一；同时要注意收集学生反馈㊁同行评议等实证数据㊂（４）反思课例教学㊂反思主题课例教学中数学史文化素材的运用与教育价值的达成㊁教师自身专业知能的发展㊁教师专业学习共同体的合作等，有助于进一步优化课例㊂（５）撰写课例记录㊂基于数学史的数学文化课例研究流程，记录课例研究过程的实践智慧㊁心得体会与专业成长，进一步聚焦数学文化课例的教学与评价，为今后开展主题的数学文化课例提供参考㊂（二）研究主体数学文化课例研究的主体是由一线数学教师㊁教研员与高校ＨＰＭ研究者共同组成，形成教师专业学习共同体（ＰＬＣ）㊂近年来，其从个体化学习转向合作式学习，聚焦特定的课例主题，开展自主学习＋合作学习的行动研究，在设计 教学 观察 反思中螺旋式地优化数学文化课例研究㊂教师学习（ｔｅａｃｈｅｒｌｅａｒｎｉｎｇ）是教师专业发展的必经之路［９］，教师主体角色从教学者向学习者转变㊂对于数学文化课例研究的教师专业学习共同体来说，需要树立共享学习的价值观，充分发挥各自的专业优势，如一线数学教师㊁教研员扎根于基础教育实践，提供本土化的教学智慧；高校ＨＰＭ研究者立足数学文化课例研究等教育理论，聚焦国际化的教育洞见㊂这将打通基础教育阶段与高等教育阶段之间的教育鸿沟，形成 中小学 大学 合作机制（ｓｃｈｏｏｌａｎｄｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙｐａｒｔｎｅｒｓｈｉｐｍｅｃｈａｎｉｓｍ，简称ＳＵＰＭ）㊂（三）研究形式数学文化课例研究主要有以下四种形式㊂（１）专家引导㊂采用专家讲座的方式，自上而下对数学史㊁数学文化㊁课例研究等相关内容进行专业性的引导㊂（２）自主学习㊂学习基于数学史的数学文化等ＨＰＭ相关理论，阅读相关主题的数学史素材，分析数学文化内涵不同维度的分布情况，比较不同版本的课标㊁教材之间的异同等㊂（３）合作学习㊂聚焦某一课例主题，以线上线下融合的方式进行小组合作学习，开展基于数学史的数学文化课例主题汇报㊂同时，教师专业学习共同体基于理论或实践视角，对该课例汇报内容进行反馈与评价㊂（４）实践应用㊂融合数学文化素材，开展课例教学，收集学生反馈㊁同行评价等数据，不断优化数学文化课例实践㊂（四）实证方法一般而言，教育研究分为思辨研究和实证研究两类㊂思辨研究主要解决 应然 问题，注重概念㊁理论与观点等内容的构建，通过逻辑推理来回答概念性㊁规范性的问题，而实证研究主要关注 实然 问题，基于收集与分析数据信息得出研究结果㊂实证研究又分为质性研究㊁量化研究与混合研究㊂长期以来，在传统的思辨研究范式主导下，理论研究常常具有较大的争议性㊁不确定性㊂近年来，随着对科学化㊁规范化研究方法的不断探索，数学教育研究逐渐摆脱思辨研究的束缚，开展了实证研究新范式㊂在数学文化课例研究中，教师专业学习共同体主要基于行动研究范式，开展课例设计 教学 观察 反思，这与２１世纪初顾泠沅教授开展的课例研究有相似之处㊂在数学文化课例研究的不同环节，呈现出不同的教育实证研究方法，其中较具有代表性的为以下几个方面㊂（１）在教育取向的数学史研究中，高校研究者往往采用历史研究法，按照历史演进的时间顺序㊁数学文化内涵的分类维度等，对不同主题的数学史料进行解析㊂（２）在数学文化课例教学中，教师经常采用问卷调查㊁深度访谈㊁视频分析等方法，对学生反馈㊁同行评议㊁教师反思等方面的实证数据进行收集，基于理论与实践的角度，共同评价数学文化课例的教学质量㊂其中，问卷调查聚焦课例教学前后学生认知水平的变化情况㊁数学文化的感知异同与情感信念的转变发展；深度访谈关注学生在教学前后转变的深层动因；视频分析常运用于课例教学，通过分析教学片段中的师生互动㊁生生互动，深度解析数学文化融入教学的分布状况与价值彰显，助力教师改进教学，促进其专业化发展㊂（五）技术融合在 互联网＋教育 时代，技术在数学文化课例的研究过程中扮演着重要的角色，线上线下融合式的课例研究成为主流㊂基于在线网络平台开展数学文化课例研究，常采用线上形式进行资料共享㊁主题汇报㊁交流研讨，线下形式进行自主学习㊁教学设计㊁实践教学㊁观察反思等，助力教师专业学习共同体的多元发展㊂其中，线上课例研讨可借助腾讯会议㊁钉钉㊁Ｃｌａｓｓｉｎ㊁微信等在线网络平台搭建网络学习社区，运用腾讯文档㊁思维导图等技术工具呈现教学设计，开展在线编辑；在课例教学中，教师可结合几何画板㊁ＧｅｏＧｅｂｒａ㊁希沃白板㊁流转笔记等信息化工具，再现数学家探寻概念公式㊁命题定理等过程，揭示化曲为直㊁以直代曲㊁数形结合等方法的本质；基于ＰＰＴ㊁数位板㊁白板等演示工具制作的ＨＰＭ微视频㊁微课，生动地展示数学知识的来龙去脉㊁数学思想的古今传承，彰显不同时期㊁不同国家数学文化的历史性㊁人文性㊂三㊁结语基于数学史的数学文化课例研究聚焦数学的知识源流㊁学科联系㊁社会角色㊁审美娱乐与多元文化五个维度，彰显数学四大价值㊂数学文化课例研究强调数学史内容㊁实证方法与技术融合㊂在 互联网＋教育 时代，为进一步提升数学文化课例研究的数理人文，教师专业学习共同体需做好以下三个方面的工作㊂（１）深挖数学史素材㊂数学文化课例扎根于数学史研究，为数学教学提供丰富的教学素材与思想养料，然而在教学实证研究中，笔者发现数学文化内涵的五个维度运用却不均衡，因此教师专业学习共同体需要进一步深挖数学史素材，梳理数学知识的来龙去脉与文化维度的分布情况，寻找数学与其他学科之间的密切联系，发现数学在社会生活中的重要运用，品味数学奇趣之美，揭示东西方数学文化的互融互通㊂（２）扎根实证教学㊂基于数学史的数学文化课例研究，承载了发展学生数学学科核心素养的理性知能与人文情怀，支撑了教师专业学习共同体的合作学习与专业发展㊂可见，数学文化课例教学不仅要聚焦教学实践，而且要注重教育实证方法㊂基于问卷调查㊁深度访谈㊁视频分析等实证方法，还原数学文化课堂的自然生成，揭示数学的教育价值㊂（３）融合信息技术㊂信息技术为数学文化课例研究插上腾飞的翅膀，优化教学内容，提高教学效率，提升教学水平，推动信息化课例研修的历史性嬗变㊂数学教师借助信息技术开展基于数学文化的章节起始课㊁基于问题解决的探究重构课㊁基于历史命题的单元复习课，巧妙地融入翻转课堂㊁同步课堂㊁云课堂等多元教学形式，借助电子学习单㊁流转笔记㊁电子档案袋等形式，开展以学生为本的数学阅读㊁数学写作等活动，助力 互联网＋教育 时代数学文化课例的实践㊂参考文献：［１］杨豫晖，吴姣，宋乃庆．中国数学文化研究述评［Ｊ］．数学教育学报，２０１５（１）：８７－９０．［２］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（２０１７年版）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１８．［３］张侨平，陈敏．课例研究的缘起和流变：回顾与前瞻［Ｊ］．全球教育展望，２０２０（８）：７５－９１．［４］顾泠沅，王洁．教师在教育行动中成长：以课例为载体的教师教育模式研究［Ｊ］．全球教育展望，２００３（１）：４４－４９．［５］ＷＡＮＧＸＱ，ＷＡＮＧＫ．Ａｃａｔｅｇｏｒｉｚａｔｉｏｎｍｏｄｅｌｆｏｒｅｄｕｃａ⁃ｔｉｏｎａｌｖａｌｕｅｓｏｆｈｉｓｔｏｒｙｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ：ａｎｅｍｐｉｒｉｃａｌｓｔｕｄｙ［Ｊ］．Ｓｃｉ⁃ｅｎｃｅ＆Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，２０１７（２６）：１０２９－１０５２．［６］汪晓勤．基于数学史的数学文化内涵课例分析［Ｊ］．上海课程教学研究，２０１９（２）：３７－４３．［７］余庆纯，汪晓勤．基于数学史的数学文化内涵实证研究［Ｊ］．数学教育学报，２０２０（３）：６８－７４．［８］林庄燕，汪晓勤．初中ＨＰＭ课例中的数学文化内涵分析［Ｊ］．教育研究与评论（中学教育教学），２０１９（１）：５７－６３．［９］桑国元．教师作为学习者：教师学习研究的进展与趋势［Ｊ］．首都师范大学学报（社会科学版），２０１７（１）：１４２－１４８．（责任编辑：陆顺演）（上接第４页）本技能和基础性核心素养的落实㊂在此前提下，教学还要关注学生学习的差异性㊂不同区域㊁不同家庭背景㊁不同学生的个性特征，对教学目标的设立㊁教学内容的选择㊁教学方法的运用㊁教学评价的指标都有所不同㊂当然，教学的差异应该统一在一个课程标准㊁一本语文教材中，即无论何时何地的教学，都应该努力实现课程标准和语文教材所设立的基准，以基准为轴心并在基准上，向左右拓展㊁向纵深发展，形成丰富多彩的差异化㊁风格化教学㊂（三）高标期求与底线坚守语文教材为学生的语文知识学习和能力获得提供了基本资源，也提出了基本的达标要求㊂但是，作为 语文要素 和 人文主题 双线并进的语文教材，没有明确的人文达标的标准和具体要求，这一问题不仅表现在教材中，也表现在‘课程标准（２０１１）“中，或许正是‘课程标准（２０１１）“对人文素养语焉不详以致语文教材无从做实做细㊂这就给语文教育中的人文教育带来了难题㊂在语文教学中，人文教育时常 天马行空 ，不仅内容上空疏高远而不切实际，而且在目标与程度上也混乱模糊㊂有些语文教学热衷于在人文主题教育上往高处飘㊁往大处行㊁往空里谈㊂况且，语文教材中涉及人文教育的内容，一般是宏大叙事㊁英雄典范㊁道德楷模㊁君子圣贤，有些教学更是喜欢对此拔高渲染，要求学生与之看齐，自以为这样做可以收到感动㊁震动的效果㊂殊不知，这样过高过大的道德教育不仅没有实效，反而适得其反，会导致学生道德的低能感和挫败感㊂因为，我们的孩子往往终归平凡㊂事实上，基础教育阶段就是平凡的教学教平凡的人㊂语文教学中关于人文教育的着力点主要是底线教育㊁准则教育，引导学生坚守道德底线，在日常生活中恪守准则，这便是基础教育基础性的人文要义，也是基础教育阶段人文教育的重心所在㊂如何处理好人文理想教育与道德底线教育关系，是当代语文教育迫切需要解决的重大课题㊂参考文献：［１］叶圣陶．叶圣陶语文教育论集［Ｍ］．北京：教育科学出版社，２０１５．（责任编辑：罗小荧）。
创设有效教学情境的几种策略
2013.01赖家明教学情境的设置，不应只起到“敲门砖”的作用，不仅仅有益于调动学生的学习积极性，还应当在课程的进一步开展中自始至终发挥一定的导向作用。
如何将知识教活？如何使得学生将知识学活？这就需要教师精心设计问题情境了。
一.创设游戏情境我们教师结合教学内容创设游戏活动或模拟游戏活动情境，让学生在游戏活动中学习新知识、运用新知识。
譬如：在讲解概率时，我就拿出学生经常接触的纸牌，利用纸牌的游戏分出几种情况与学生共同讨论不同情况的概率。
这种情境创设策略保证了学习积极性的发挥，激发学生学习的兴趣，做到了寓教于乐，寓乐于教。
教师创设适当的游戏情境，符合有效情境的趣味性原则，从而提高学生的课堂参与度。
二.创设悬念情境悬念是一种引起人们对事物关注的情境，课堂教学中若能巧妙设置悬念，则可诱发学生强烈的求知欲望。
例如：在讲解四边形的不稳定性质时，先让学生回忆三角形的具有稳定性的性质，然后向学生提问：三角形的三条边具有稳定性，而四边形有四条边，因此它比三角形更稳定吗？（然而事实却不是）。
这样让学生带着问题进行学习，从而达到增强记忆，发展智力，提高能力的教学目的。
三.创设过程式情境就规律性知识的教学而言，创设数学情境应注重展示知识的发展过程，不能只给出结论和精练化的论证，而要尽可能地指出其来龙去脉，不但要回答为什么这样，而且要揭示是怎样发现它们的，以合乎学生的认知心理。
同时，要求叙述通俗易懂，饶有趣味。
从学生的实际情况出发，创设数学情境，引导学生观察、分析、调整、证明，最后形成定理或公式等，突出了定理、公式等的探索过程，在整个问题解决的过程中，学生发现定理等，获得知识、形成技能、发展能力。
四.创设现实情境古代科学家伽利略说，大自然的书是数学写成的。
同样数学也起源于社会生活，所以数学和我们社会生活息息相关，学好数学能使我们更好地服务于实践活动和社会发展。
比如学了利息公式和百分数可以让学生算出家里的积蓄可以赚回多少利息？需要交纳多少税款？哪一种储蓄最合算？五.创设史料情境华东师范大学教授汪晓勤把数学史的教育价值总结为8条：激发学生的学习兴趣、改变学生的数学观、使数学人性化、让学生从原始文献汲取数学家的原始思想和社会文化信息、帮助学生更好地理解和欣赏数学、增强学生的自信心、通过历史可以了解学生学习数学的困难和认知过程、为教材编写提供借鉴等等。
运用数学史进行“重构式”教学——正负数,从历史到课堂
一
、
般来讲， “ 重构式” 是数 学史材料 出现于新概
念 的引入 中， 或 隐含于某个知识 点的整个脉 络 中， 体现数学知识 的历史形成过程【 ２ Ｊ ．
庞 加莱 指 出： “ 教育 工作者 的任 务就 是让 孩子 的思维经 历其祖 先之所经历， 迅速 通过某 些 阶段而不跳 过任 何阶段．” 【 ５ 】 波利 亚在 《 数 学 的发现 》 中也指 出： “ 只有 理解人 类如 何获
数． …
作减 法运 算， 必须 引进 一种新 的数， 那是 一种 什么数呢 ？
生： （ 齐回答） 负数． 师： 现在 你们 明 白为什么要引入 负数 吗？ 生 ：不 够 减 ． 生：引入负数后都可以作减法运算． 师： 刚才 同学 们 从 生产 生活 和 数 学 内部 两个 方 面 举例 说 明每 次数 系 扩充 的原 因， 回 答 得 很 好．引入 负数 后，数 学 的研 究 范 围扩 大， 从 数 学 内部 来 讲 减 法 运 算 畅 通 无 阻，方 程 ＋１ ５ ＝１ ０ 无解变为有解． 二 、体 现 不 同时 空数 学家对 同一 问题 的
２ ６ １—２ ６ ２ ．
得某些事 实或 概念的知识， 我们 才能对 人类 的 孩子应该如何 获得这样 的知识， 作 出更好 的判 断” ［ ６ 】 ． 数 学史是人类数学思想 的发展史， 蕴含 了丰 富的思想 方法， 沉寂的史实依然对学生 的 思维有着 积极的启发意义， 需要我们认真地思 考 、整理并将其再现于课堂， 发挥蕴含于数 学 知识内的深刻的教育价值．
２ ０ １ ３ 年第４ 期
数 学教学
４ － ３ ３
生： 比如说： 某个人 当天收入 １ ２ ０ 元， 各项
例谈变式教学在数学课堂教学设计中的融入——以“圆的标准方程”为例
２０ ｌ２年 ８月
成
宁
学
院
学
． ． ． ． ． ． ．
报
． ． ．
—
Ｖｏ ． ２， １３ Ｎｏ． ８ ＡＵｔ ２ ２ ｌ ０１ ．
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｎｎ ｉｅｒｓｉ ｏ ｒ ａ ｆＸｉｎ ｉ ｇ Ｕｎ ｖ ２ １ ） ８— １６一 ３ １０ ５ ４ （ ０ ２ Ｏ ０ ７ Ｏ
第 ８期
洪燕君， 谋举， 熊 穆永芳， 例谈变式教学 等 在数学澡堂教学 设计中 的融入 一 以“ 圆的标准方程， 例 ， 为
１７ ７
二 、 式 教 学 融 入 “ 的标 准 方 程 ” 堂 教 学 设 计 变 圆 课
如在处理第一个问题 的时 候 ， 分析不 同建 系方法 的利与 要
１ 准确定位 教学 目标 ， ． 为变 式教学立稳标杆 变式教学融 入数学教学 设计 ， 先要考 虑 的就是 课堂 首 教 学 目标的设计 问题 。变式教学 中教师会有意识变换 问题 的角度 和形式 ， 学生在变化 中积极思考 、 让 归纳 、 比较 ， 而 从
问 的 解 答 对 应 达 成 了 三 个 教 学 目标 ， 可谓 不 是 精 心 酿 制 。 不
３ 深度拓展例题再变式 ， ． 使知识系统化板块化 在学习 了“ 的标 准方 程 ” 圆 以后 ， 紧接 着下 面 会学 到 “ 椭圆” “ 曲线 ” “ 、双 、 抛物线 ” 的知识 ， 因为这些知识之间有 着本质 的联 系 ， 所以我们可 以对 “ 赵州 桥” 的例题进行 深度 拓展再变式 ， 将其 继续 改编 以适应 新 的 内容 ， 他 条件 不 其 变， 只需把“ 圆形拱桥” 条件改成 “ 圆、 曲线 或抛物线 的 椭 双
换 问题 的角度和形式 ， 有一点 宗 旨不能变 ， 就是 ： 切 总 那 一
数学史与初中数学教学(汪晓勤)
结论：找不到一个有限小数或无限循环小数表示x。
案例2 实数的概念
• 概念形成
➢ 2 的引入，几何意义 ➢ 根号的历史 问题4：面积为3和5的正方形边长分别为多少？ ➢ 无理数的定义 视频：无理数的历史（无理数的发现；无理数理论 的发展；无理数的辞源）
数学史的教育价值与数学课程目标
数学课程目标
四基
四能
核心素养
情感与信念
知识之谐
方法之美
探究之乐
能力之助
文化之魅
德育之效
数学融入数学教学
背景
选题与准备 确定课题 查阅历史 搜集素材
研讨与设计 教学设计 交流研讨 改进设计
实施与评价 实施教学 学生反馈 同行评议
整理与写作 教学实录 资料分析 撰写课例
HPM教学设计、实施、评价与案例写作
案例2 实数的概念
问题2：已知正方形边长为1，如何求它的对角线呢？ 思考：我们知道，已知正方形的面积，可以求相应的 边长。那么，能否构造以正方形对角线为边长的正方 形呢？
案例2 实数的概念
拼图方案之一
拼图方案之二
案例2 实数的概念
拼图方案之三
案例2 实数的概念
问题3：所得到的正方形的面积为2，其边长为多少呢？
• 无理数和有理数的定义是如何产生的？
背景
HPM：Relationship between History and Pedagogy of Mathematics
ICME-2 ： 历史与教学 之关系国际 研究小组 （HPM）
ICME-3 ： HPM 正 式 隶属于国际 市教育委员 会 （ ICMI ）
2016年高考数学讲座：历史脉络中的教学知识与教学设计——习水一中
脚者。一脚偶坏，主人命仆往山
中觅取。仆持斧出，竟日空回， 主人责之，答曰：‘丫叉尽有， 都是朝上生，没有向下生的。’‛
历史脉络中的教学知识与教学设计
12 10 8 6 4 2 0 2 1 1 0 18世纪 1800-1819 0 1820-1839 1840-1855 4 2 1 7 7 10 10
9454254955488
案例 1 对数的概念
x
11
12
13
14
15
16
17
18
262144
2 x 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072
31536
x 25 26 27
299792458
28 29
2x
33554432
67108864
134217728
268435456
2 256 4096
3 4096 32768
案例 1 对数的概念 x 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64 7 128 8 256 9 512 10 1024
2x
x
11
12
13
8192 20
14
16384 21 2097152
15
32768 22
16
65536
29
536870912 33 8589934592
2x
x
2x
案例 1 对数的概念
m M
n N
m+n
=
MN
案例 1 对数的概念
计算： 299792.458 光在真空中的速度 （千米/秒)
三角形内角和定理：从历史到课堂
这 里 的“ 人 ”指 的应 该 就 是 泰 勒斯 和他 的 古 同代人 ，两 直 角 定 理 ”就 是 三 角形 内 角 和定 理 ． “ 英 国数 学史 学 家 希思 （ Ｔ．Ｌ Ｈｅ ｔ ，１ ６ ． ａｈ ８ １～ １４ ９ ０年 ）曾作 过 这样 的推测 ： 图 ２ 泰 勒斯 作 等 如 ， 边三 角形 或等腰 三 角形 顶 角 的平 分 线 ， 正 三 角 将 形或 等腰 三角形 分 成两 个 同样 的直 角 三 角形 ， 将 它们 拼成 矩形 ． 由于矩 形 的 四个 内角均 为直 角 ， 故
那样 ， 他要 用定 理 的最 初 发 现 者 的方 法 来 引入 几 何 定理．
Ｂ
Ａ
Ｂ
图 １ 克 莱罗 豹 方案 １
法 国数 学家 帕斯 卡（ 。Ｐ ｓａ， ６ ３ １ ６ Ｂ ａｃ ｌ １ ２ ～ ６ ２ 年 ） ２岁 时 ， 立发 现 了三 角形 内角 和定 理 ， 所 １ 独 他 用 的方法 即是 今天 课本上 所 给 出的折纸法 ．
三种正 多边 形 （ 三角形 、 方形 和 正六 边 形 ）能 正 正
三角形 性质 定理 ） 和其 他 许 多 几何 定 理一 样 ， ． 它
有着 十分悠 久 的历史 ． 古希 腊七 贤之 一 、 学家 泰勒 斯 （ ｈ ｌｓ 哲 Ｔ ａｅ ，公 元 前 ６ 纪 ） 可能 已经 知道这 个定理 ． 世 很 公元 ３ 世
Ｄ
～
１０ ８ ９年 ， 国数 学家 提 波 特 （ ｈｂ ｕ ，１ ７ 德 Ｔ ｉａｔ ７ ５ １ ３ 年 ） 用旋 转 的方 法证 明 了三角形 内角 和 ８２ 利 定 理［ ． 图 １ ， Ａ １ 如 ］ ２ 将 Ｂ所 在 的直线 ＸＹ绕 Ａ 沿逆
时针 方 向旋 转角 度 Ａ， Ａ 所 在 直线 Ｘ 将 到 Ｃ ｙ；
数学史与小学数学教学
数学史就是数学产生和发展的历史，记录了数学的发展脉络，包括数学概念、数学思想、数学方法等的产生和发展的过程。
著名物理学家和哲学家马赫曾经说过：“没有任何科学教育可以不重视科学的历史与哲学。
”数学教育同样如此。
华东师范大学汪晓勤教授领衔数学史融入数学教学研究十余年，总结出数学史在数学教学中的四种运用方式：附加式、重构式、顺应式和复制式。
附加式即在课堂上讲述数学故事、历史背景等，没有直接改变教学内容的实质；重构式是借鉴或重构知识的发生、发展历史；顺应式即顺应教学实际，根据历史材料编制数学问题，或对历史上的思想方法进行适当改编；复制式是直接采用历史上的数学问题、解法等。
基于此，笔者尝试在课堂教学的导入、新授、应用、拓展环节中融合数学史，旨在丰富、润泽学习过程，提升课堂教学品质，促进学生数学素养的发展。
一、导入——附加式呈现数学史，激趣启思，意趣交融导入环节是课堂的开端。
教师要充分利用好这一环节，将教学内容与相关的数学史资料进行创造性加工，或编辑成妙趣横生的故事，激发学生学习兴趣；或设计成问题，引发数学思考；或整理成纪录片，拓宽学生视野。
如学习时、分、秒时，播放时间发展史的资料：在古代，祖先们白天外出，晚上回到山洞，昼夜交替，一个轮回就是一天。
后来人们发现，太阳照射下物体的影子在不同时刻的变化是有规律的，就发明了日晷来确定时间。
人们还发现容器中的水或沙子，从一个小孔中流出的时间是固定的，就想到了用水钟或沙漏来计量一天的时间。
再后来钟表出现了，时间的计量越来越精确。
通过附加呈现的时间史，让学生了解到钟表是先人在历史长河中，通过不懈努力才发明创造出来的，体会到人类探索的艰辛与曲折和人类执着的探索精神。
数学史激发学生学习数学的积极态度，让学生快速进入最佳学习状态。
教师再提出问题：钟表又是如何计时的呢？引发学生思考，启迪学生心智，促进高效数学课堂的开展。
二、新授——重构式演绎数学史，探索本质，积累经验美国数学家、教育家乔治·波利亚曾经说过“: 学习数学只有当看到数学的产生、按照数学发展的历史顺序或亲自从事数学发现时,才能最好地理解数学。
一次方程组的应用：从历史到课堂
作者： 顾海萍[1] 汪晓勤[2]
作者机构： [1]上海师范大学附属经纬实验学校,200444 [2]华东师范大学数学系,200241出版物刊名： 教育研究与评论：中学教育教学
页码： 30-34页
年卷期： 2014年 第6期
主题词： HPM 一次方程组 教学设计 反馈
摘要：根据数学史融入数学教学的一般过程,在确定了课题＂一次方程组的应用＂之后,首先考察二元一次方程组的历史;然后,在五项原则的指导下,从古代不同文明的数学文献中,对4类最典型的二元一次方程组问题各选取1个问题,进行教学设计,并将其实施于课堂;最后,通过问卷调查和访谈,获取学生的反馈信息,通过评课交流,获取教师的反馈信息,并据此对教学进行评价和反思。
发生教学法:从历史到课堂
发生教学法：从历史到课堂徐章韬;汪晓勤;梅全雄【期刊名称】《数学教育学报》【年(卷),期】2010(019)001【摘要】发生教学法的基础是数学史,是数学史融入数学教育的一种方式.发生教学法要求教师了解所教主题的历史;理解该主题历史进化的关键步骤;在现代情境下重构推动进化的关键思想或问题,使之在教学上适合介绍新的概念、方法或理论;按从易到难的顺序给出系列问题,后面的问题建立在前面问题的基础上,采取有序的问题驱动模式,揭示知识产生的动机,借以促进学生的学习.发生教学法在理念和具体实施方略上或能保证数学新课程的顺利推进.【总页数】3页(P10-12)【作者】徐章韬;汪晓勤;梅全雄【作者单位】江西师范大学,数学与信息科学学院,江西,南昌,330022;华东师范大学,数学系,上海,200241;华中师范大学,数学与统计学院,湖北,武汉,430079【正文语种】中文【中图分类】G424.1【相关文献】1.改变教学观念突出学生的主体作用以新课标为理念探索与实施语文教学高中历史新课改之我见历史教学中如何培养学生的创新能力在英语教学中提高学生的阅读能力新课讲授中如何渗透物理方法教育关于提高初中生英语口语交际能力的探索改变教学模式使学生成为活动的主体如何在英语教学中渗透素质教育学案教学的实践总结新形势下如何搞好初中语文课堂教学浅谈如何培养学生学习化学的兴趣激励教学法在初中体育教学中的应用在英语教学中如何培养学生学习的兴趣思想品德课教学中如何激发学生的学习兴趣浅析如何在数学课堂上培养学生的创新意识改变教学观念突出学生的主体作用 [J], 郭仁娟2.创设鲜活的历史课堂——故事教学法在历史课堂教学中的应用 [J], 吴继存3.以生为本,营造律动,让音乐课堂焕发生命活力——达尔克罗兹体态律动教学法在小学音乐课堂中的运用 [J], 陈丽芳4.历史课堂“三步教学法”初探——谈谈“1234”教学理念在历史课堂教学中的运用 [J], 欧阳林贞5.听故事,学历史——谈故事化教学法在初中历史课堂中的应用 [J], 李平因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
历史数学问题札记
历史数学问题札记
汪晓勤;苏英俊
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2004(000)002
【摘要】无疑，一部数学史，实际上就是一部问题求解的历史：多少数学概念、数学思想、数学方法、数学分支，因为问题的求解而源源不绝地诞生；多少数学家因为问题的求解而在数学历史的星空演绎着成功与失败的故事；又有多少莘莘学子在问题求解过程中登堂入室，学会了数学．那么，历史上的数学问题对
【总页数】3页(P44-46)
【作者】汪晓勤;苏英俊
【作者单位】上海华东师范大学数学系200062;新疆农六师103团农广校831304
【正文语种】中文
【中图分类】O1-09
【相关文献】
1.对话历史时空绽放生态异彩——一节省级历史优质课指导札记 [J], 王洪华
2.历史教学的几个基本问题——读20世纪初美国约翰生·亨利《历史教学法》札记[J], 朱煜
3.顺应历史趋势推动历史前进——学习《论个人在历史上的作用问题》札记 [J], 黄葵
4.对话历史时空绽放生态异彩——一节省级历史优质课指导札记 [J], 王洪华;
5.正确认识杰出历史人物的作用及方法——读《论个人在历史上的作用问题》札记[J], 李梦楠;毛宽海
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案例1 三角形内角和
小组合作，探究一般三角形的内角和
案例1 三角形内角和
等腰三角形拼图方案
32
13
1
2 31
2
2
1 32
1
31
23
2
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1
3
1
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31
3
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3
1
2
2
案例1 三角形内角和
不等边三角形拼图方案
13
21
2
31 2
3
HPM与 教师专
业发展
教学实 践与案 例开发
引言
教师专业发展
学科内容知识
教学内容知识
一信知 般念内 识容
（CCK）
水平内容 知识
（HCK）
内容与学生
知识（知 KC识S）
专门内容 知识
（SCK）
内容与教学 知识
（KCT）
能力
内容与课程 知识
（KCC）
教学取向的数学知识（MKT）的构成
案例1 三角形内角和
3
213
2
12
31
3
1
3
2
2
1
21
33
2
12
1
2
3
1
3
案例1 三角形内角和
案例1 三角形内角和
三角形内角和的说理
在拼图方案1中，锁定某个三角形，通过添加辅助 线来说理。
13
21
2
31 2
3
3
213
2
12
31
案例1 三角形内角和
第 1 组的方案：锁定下中三角形。[与毕达哥拉斯的 证明相同]
案例4 用字母表示数
问题3：搭5个正方形，需要几根火柴棍？搭任意多个 正方形呢？
4
4+13
4+23
4+33
生：任意多个正方形所需火柴棍数：4+(正方形个数-1)3
案例5 棱柱的概念
《几何原本》卷11之棱柱定义
一个棱柱是一个立体图形，它 是由一些平面构成的，其中 有两个面是相对的、相等的、 相似且平行的，其他各面都 是平行四边形。
缩略代数： 用字母表示未 知数
符号代数 用字母表示任 意数
古巴比伦人 公元前1700年
丢番图 公元3世纪
韦达 16世纪
案例4 用字母表示数
问题1：一个量，加上它的2/3， 它的1/2和它的1/7，等于33。求 该量。
x 2 x 1 x 1 x 33 327
案例4 用字母表示数
问题2：已知两数的和与差，你能 求出这两个数吗？
属性 底面特征 底面、侧面特征
底面、侧棱特征
底面、侧棱特征
底面、侧面、侧棱特 征
动态生成
动态生成
案例5 棱柱的概念
棱柱定义的不断完善 D2的反例 [D2：两个底面是平行且相等的多边形，侧面是平行 四边形。]
学生用斜棱柱拼接形成D2 的一个反例
案例5 棱柱的概念
D2的历史相似性
[PPT展示欧几里得的画像与《几何原本》中的棱柱定义。
D
A
E
1
2
3
B
C
案例1 三角形内角和
第2组的方案：锁定下中三角形。[与19世纪末美国 教科书上的证明相同]
N
M
D
A
E
1
2
3
B
C
案例1 三角形内角和
第 3 组的方案：锁定下中三角形。[与克莱罗的证明 相同]
A
E
1
2
3
B
C
案例1 三角形内角和
第 4 组的方案：锁定下中三角形。[与欧几里得的证明 相同]
从历史到课堂
——数学教师专业发展的一个视角
从历史到课堂
引 言 • HPM
• MKT
专门内容知 识
• 案例1：三角形内角和 • 案例2：均值不等式 • 案例3：点到直线的距离公式
内容与学生 • 案例4：用字母表示数
知识
• 案例5：棱柱的概念
内容与教 学知识
• 案例6：三角形中位线 • 案例7：函数的概念 • 案例8：和角公式
A
D
1
2
3
B
C
E
案例2 均值不等式
问题1：如图，设AC = a，CB = b，CD AB，证明 CD 是 AC 和 CB 的几何中项。（《几何原本》第6卷命题13） 问题2：根据该图，你能给出正数a和b的算术中项与几 何中项之间的大小关系吗？
案例2 均值不等式
问题3：若1/a，1/c，1/b构成等差数列，则称 c 为 a 和 b 的调和中项。如图，过点 C 作 CE OD，证明 DE 是 AC 和 CB 的调和中项。（帕普斯作图法） 问题4：根据该图，你能给出a和b的算术中项、几何中 项和调和中项之间的大小关系吗？
案例7 函数的概念
问题1：初中数学中的函数是怎么定义的？
总之有自变量、因 变量且一个 x 有且 仅有一个 y 的值与 其对应的式8)：
一个变量的函数是由该变量 和一些数或常量以任何方式 组成的解析式。
——《无穷分析引论》 L. Euler (1707 – 1783)
B A2 B2
Ax0 By0 C A2 B2
最值法
案例3 点到直线的距离公式
A x x0 B y y0 Ax0 By0 C A x x0 B y y0 A2 B2 x x0 2 y y0 2 x x0 2 y y0 2 A x x0 B y y0
…………………………
否 40%
是 60%
案例7 函数的概念
狄利克雷的现代定义（1837）：
设 a、b 是两个确定的值，x 是可取 a、b 之间一切值的
2
AB
案例3 点到直线的距离公式
三角法
y
P x0, y0
φ
l
QM
α
x
O
R
N
S
Ax By C 0
yQ
Ax0 C B
,
cos
B A2 B2
PM PQ cos y0 yQ cos
y0
Ax0 B
C
cos
d
y0
Ax0 C B
——《微分学基础》 L. Euler (1707 – 1783)
案例7 函数的概念
问题2：y = 0 ( x R ) 是不是一个函数？说明理由。
课前的问卷调查表明：161人中有 65 人 认 为 它 不 是 函 数 关 系 ， 占 比 40.37%。理由是： y 不随 x 的变化而变化； 没有 y 与 x 的关系式； x 与 y 之间没有关系； y没有依赖 x 的变化而改变，
A
GD F
B
E
H
S4的证法
C
案例6 三角形中位线定理
视频：三角形中位线定理的历史 欧几里得与中位线定理
A
D
E
B
C
案例6 三角形中位线定理
问题4：为什么分割方案3中的四个三角形两两全等？
分割方案之三
案例6 三角形中位线定理
问题5：你觉得哪一种分割方案最好？
分割方案之一
分割方案之二
分割方案之三
案例6 三角形中位线定理
案例2 均值不等式
问题5：以O为圆心，OC为半径作半圆，过点O作OD的 垂线，交半圆于F，证明 DF 是 AC 和 CB 的均方根 （平方平均）。（帕普斯作图法） 问题6：根据上述作图法，你能给出正数a和b的算术中 项、几何中项、调和中项和均方根之间的大小关系吗？
案例2 均值不等式
问题5：一根垂直悬挂的杆子，从地面上哪点看上去它 最长（雷格蒙塔努斯最大视角问题）？
案例7 函数的概念
德摩根《代数学》的定义(1837)： Any expression which contains x in any way is called a function of x.
A. de Morgan (1806-1871)
案例7 函数的概念
李善兰的译文：“凡式中含天， 为天之函数。”这便是中文 “函数”名称的由来。
A2 B2 Ax0 By0 C
A2 B2
案例4 用字母表示数
教学设计
引入 • 古埃及一元一次方程问题 探究 • 古希腊丢番图问题的求解
形成 • 用字母表示任意数或一类数 巩固 • 字母表示数的应用 小结 • 字母表示数的意义
修辞代数： 用文字来表达 一个方程
案例4 用字母表示数
分割方案之一
分割方案之二
分割方案之三
案例6 三角形中位线定理
中位线定义 问题2：将方案三中的四个三角形剪下来放到一起，发 现它们是重合的。据此，你能发现中位线与底边有怎样 的大小关系和位置关系？
分割方案之三
案例6 三角形中位线定理
问题3：如何证明三角形中位线与底边的大小关系和位 置关系？
A
D B
• 中位线定理的 发现
• 中位线定理的 证明
专门内 容知识
• 基于数学史，重 构三角形中位线 定理的探究过程
内容与 教学知
识
内容与 学生知
识
• 转化思想的历史 相似性
• 学生可以超越古 人
水平内 容知识
• 中位线与三角形 面积公式
• 中位线定理与平 行线分线段成比 例定理
函数概念的历史