从历史到课堂—汪晓勤教授讲座(6)

案例5 棱柱的概念
多面体的分类，引出棱柱
案例5 棱柱的概念
棱柱定义的初步构建
任务：用自己的语言，以小组为单位尝试给棱柱 下一个定义。
经过5分钟的讨论，学生逐渐提交成果，笔者将学
生的定义分成7类，分别用D1、D2、…、D7表来示，
见下表。
案例5 棱柱的概念
类别
定义
D1 上下面相同且平行的多面体叫棱柱。 两个底面是平行且相等的多边形，侧面是平行四
…………………………
否 40%
是 60%
案例7 函数的概念
狄利克雷的现代定义（1837）：
设 a、b 是两个确定的值，x 是可取 a、b 之间一切值的
1829-1848 1849-1868 1869-1888 1889-1908 1909-1929
棱柱定义的演进
欧氏定义 改进的欧氏定义 棱柱面定义 棱锥定义 棱柱空间定义
案例5 棱柱的概念
Schuyler(1876)最早对欧 氏定义进行改进。 棱柱是一个多面体，它有 两个面为全等、平行的多 边形且对应边平行，其余 各面均为以全等多边形对 应边为底的平行四边形。
分割方案之一
分割方案之二
分割方案之三
案例6 三角形中位线定理
中位线定义 问题2：将方案三中的四个三角形剪下来放到一起，发 现它们是重合的。据此，你能发现中位线与底边有怎样 的大小关系和位置关系？
分割方案之三
案例6 三角形中位线定理
问题3：如何证明三角形中位线与底边的大小关系和位 置关系？
A
D B
HPM与 教师专
业发展
教学实 践与案 例开发
引言
教师专业发展
学科内容知识
教学内容知识
一信知 般念内 识容
（CCK）
水平内容 知识
（HCK）
内容与学生
知识（知 KC识S）
专门内容 知识
（SCK）
内容与教学 知识
（KCT）
能力
内容与课程 知识
（KCC）
教学取向的数学知识（MKT）的构成
案例1 三角形内角和
D2 边形。
侧面的棱要平行且长度相等，上底和下底一样的 D3 多面体。
有互相平行的两个面，且两个面之间的连线相互 D4 平行的几何体叫棱柱。
至少有两个面互相平行，由多个四边形组成，且 D5 相邻的边互相平行。
上下有两个平行并相等的多边形，并由相对不平 D6 行的线段将上下各点平行相连的柱体。
由一个多边形向一个固定的方向，扫过所形成的 D7 空间几何立体图形。
缩略代数： 用字母表示未 知数
符号代数 用字母表示任 意数
古巴比伦人 公元前1700年
丢番图 公元3世纪
韦达 16世纪
案例4 用字母表示数
问题1：一个量，加上它的2/3， 它的1/2和它的1/7，等于33。求 该量。
x 2 x 1 x 1 x 33 327
案例4 用字母表示数
问题2：已知两数的和与差，你能 求出这两个数吗？
《几何原本》卷11之棱柱定义
一个棱柱是一个立体图形，它 是有一些平面构成的，其中有 两个面是相对的、相等的、相 似且平行的，其他各面都是平 行四边形。
案例5 棱柱的概念 [教师用8个菱形、4个正方形磁力片现场拼出这个反例，如图4。]
案例5 棱柱的概念
案例6 三角形中位线定理
问题1：如何将三角形土地四等分？（背景故事：古代 巴比伦四兄弟分土地问题。）
属性 底面特征 底面、侧面特征
底面、侧棱特征
底面、侧棱特征
底面、侧面、侧棱特 征
动态生成
动态生成
案例5 棱柱的概念
棱柱定义的不断完善 D2的反例 [D2：两个底面是平行且相等的多边形，侧面是平行 四边形。]
学生用斜棱柱拼接形成D2 的一个反例
案例5 棱柱的概念
D2的历史相似性
[PPT展示欧几里得的画像与《几何原本》中的棱柱定义。
面积法
案例3 点到直线的距离公式
l : Ax By Ax0 By0

T

Ax0
A
By0
,
0

MT Ax0 By0 C A
1

SPMN

STMN

MT ON 2
1 Ax0 By0 C C
2
A
B
1 C Ax0 By0 C
A
GD F
B
E
Baidu Nhomakorabea
H
S4的证法
C
案例6 三角形中位线定理
视频：三角形中位线定理的历史 欧几里得与中位线定理
A
D
E
B
C
案例6 三角形中位线定理
问题4：为什么分割方案3中的四个三角形两两全等？
分割方案之三
案例6 三角形中位线定理
问题5：你觉得哪一种分割方案最好？
分割方案之一
分割方案之二
分割方案之三
案例6 三角形中位线定理
A2 B2 Ax0 By0 C
A2 B2
案例4 用字母表示数
教学设计
引入 • 古埃及一元一次方程问题 探究 • 古希腊丢番图问题的求解
形成 • 用字母表示任意数或一类数 巩固 • 字母表示数的应用 小结 • 字母表示数的意义
修辞代数： 用文字来表达 一个方程
案例4 用字母表示数
• 中位线定理的 发现
• 中位线定理的 证明
专门内 容知识
• 基于数学史，重 构三角形中位线 定理的探究过程
内容与 教学知
识
内容与 学生知
识
• 转化思想的历史 相似性
• 学生可以超越古 人
水平内 容知识
• 中位线与三角形 面积公式
• 中位线定理与平 行线分线段成比 例定理
函数概念的历史
案例7 函数的概念
结语
引言
一门科学的历史就是这门 科学本身。
——歌德《颜色理论》序
歌德 J. W. von Goethe (1749-1832)
引言
自1972年开始HPM 成为数学教育的富 有特色的研究领域
HPM与 大学数
学教育
为何与 如何之
探讨
教育取 向之历 史研究
技术与 HPM
HPM
历史相 似性实 证研究
数学史 融入教 材研究
从历史到课堂
——数学教师专业发展的一个视角
从历史到课堂
引 言 • HPM
• MKT
专门内容知 识
• 案例1：三角形内角和 • 案例2：均值不等式 • 案例3：点到直线的距离公式
内容与学生 • 案例4：用字母表示数
知识
• 案例5：棱柱的概念
内容与教 学知识
• 案例6：三角形中位线 • 案例7：函数的概念 • 案例8：和角公式
2
AB
案例3 点到直线的距离公式
三角法
y
P x0, y0
φ
l
QM
α
x
O
R
N
S
Ax By C 0

yQ


Ax0 C B
,
cos

B A2 B2
PM PQ cos y0 yQ cos

y0

Ax0 B
C
cos
d
y0

Ax0 C B

三角形内角和的发现 从泰勒斯的故事引入泰勒斯的发现
案例1 三角形内角和
小组合作，探究一般三角形的内角和
案例1 三角形内角和
等腰三角形拼图方案
32
13
1
2 31
2
2
1 32
1
31
23
2
2
1
3
1
3
13
22
31
3
1
3
1
2
2
案例1 三角形内角和
不等边三角形拼图方案
13
21
2
31 2
3
案例2 均值不等式
问题5：以O为圆心，OC为半径作半圆，过点O作OD的 垂线，交半圆于F，证明 DF 是 AC 和 CB 的均方根 （平方平均）。（帕普斯作图法） 问题6：根据上述作图法，你能给出正数a和b的算术中 项、几何中项、调和中项和均方根之间的大小关系吗？
案例2 均值不等式
问题5：一根垂直悬挂的杆子，从地面上哪点看上去它 最长（雷格蒙塔努斯最大视角问题）？
E C
F
S1的证法
案例6 三角形中位线定理
问题3：如何证明三角形中位线与底边的大小关系和位 置关系？
A
G
D
B
EH F
C
S2的证法
案例6 三角形中位线定理
问题3：如何证明三角形中位线与底边的大小关系和位 置关系？
A
G
D
F
B
E
H
C
S3的证法
案例6 三角形中位线定理
问题3：如何证明三角形中位线与底边的大小关系和位 置关系？
案例7 函数的概念
德摩根《代数学》的定义(1837)： Any expression which contains x in any way is called a function of x.
A. de Morgan (1806-1871)
案例7 函数的概念
李善兰的译文：“凡式中含天， 为天之函数。”这便是中文 “函数”名称的由来。
案例7 函数的概念
问题1：初中数学中的函数是怎么定义的？
总之有自变量、因 变量且一个 x 有且 仅有一个 y 的值与 其对应的式子
案例7 函数的概念
欧拉的函数定义(1748)：
一个变量的函数是由该变量 和一些数或常量以任何方式 组成的解析式。
——《无穷分析引论》 L. Euler (1707 – 1783)
A
D
1
2
3
B
C
E
案例2 均值不等式
问题1：如图，设AC = a，CB = b，CD AB，证明 CD 是 AC 和 CB 的几何中项。（《几何原本》第6卷命题13） 问题2：根据该图，你能给出正数a和b的算术中项与几 何中项之间的大小关系吗？
案例2 均值不等式
问题3：若1/a，1/c，1/b构成等差数列，则称 c 为 a 和 b 的调和中项。如图，过点 C 作 CE OD，证明 DE 是 AC 和 CB 的调和中项。（帕普斯作图法） 问题4：根据该图，你能给出a和b的算术中项、几何中 项和调和中项之间的大小关系吗？
D
A
E
1
2
3
B
C
案例1 三角形内角和
第2组的方案：锁定下中三角形。[与19世纪末美国 教科书上的证明相同]
N
M
D
A
E
1
2
3
B
C
案例1 三角形内角和
第 3 组的方案：锁定下中三角形。[与克莱罗的证明 相同]
A
E
1
2
3
B
C
案例1 三角形内角和
第 4 组的方案：锁定下中三角形。[与欧几里得的证明 相同]
案例5 棱柱的概念
Wentworth & Smith(1913)之棱柱 定义：
有两个面为平行平面上的全等 多边形、其他面均为平行四边 形的多面体叫棱柱。
45
42
40
35
30
25
20
15 10
10
5
0
案例5 棱柱的概念
12
4
2
1
历史上的棱柱定义分布
案例5 棱柱的概念
18 16 14 12 10
8 6 4 2 0
案例4 用字母表示数
问题3：搭5个正方形，需要几根火柴棍？搭任意多个 正方形呢？
4
4+13
4+23
4+33
生：任意多个正方形所需火柴棍数：4+(正方形个数-1)3
案例5 棱柱的概念
《几何原本》卷11之棱柱定义
一个棱柱是一个立体图形，它 是由一些平面构成的，其中 有两个面是相对的、相等的、 相似且平行的，其他各面都 是平行四边形。
案例5 棱柱的概念
Stone & Millis (1916)的定义： 棱柱是这样的多面体，它的两 个面为平行平面上的全等多边 形，其余各面均为平行四边形、 且有一组对边分别为这两个全 等多边形的对应边。
案例5 棱柱的概念
尝试对空间几何体进行归类
案例5 棱柱的概念
几何体的分类，引出多面体
——《微分学基础》 L. Euler (1707 – 1783)
案例7 函数的概念
问题2：y = 0 ( x R ) 是不是一个函数？说明理由。
课前的问卷调查表明：161人中有 65 人 认 为 它 不 是 函 数 关 系 ， 占 比 40.37%。理由是： y 不随 x 的变化而变化； 没有 y 与 x 的关系式； x 与 y 之间没有关系； y没有依赖 x 的变化而改变，
B A2 B2
Ax0 By0 C A2 B2
最值法
案例3 点到直线的距离公式
A x x0 B y y0 Ax0 By0 C A x x0 B y y0 A2 B2 x x0 2 y y0 2 x x0 2 y y0 2 A x x0 B y y0
3
213
2
12
31
3
1
3
2
2
1
21
33
2
12
1
2
3
1
3
案例1 三角形内角和
案例1 三角形内角和
三角形内角和的说理
在拼图方案1中，锁定某个三角形，通过添加辅助 线来说理。
13
21
2
31 2
3
3
213
2
12
31
案例1 三角形内角和
第 1 组的方案：锁定下中三角形。[与毕达哥拉斯的 证明相同]
案例7 函数的概念
问题2：下图为某天沪深300指数随时刻变化的图像。该 图像体现了指数和时刻之间的关系，那么这两个变量之 间的关系能否用一个解析式来刻画呢？
案例7 函数的概念
欧拉的新定义（1755）：
如果某个量依赖于另一个量， 当后面这个量变化时，前面这 个量也随之变化，则前面这个 量称为后面这个量的函数。