函数的最值与导数ppt课件

大值，在区间上的函数的最大值是__f_(b_)__，最小值
是__f_(_x_3)__。
思考2
问题在于如果在没有给出函 数图象的情况下，怎样才能
判断出f(x3)是最小值，而f(b) 是最大值呢？
方法总结
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：
(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)； (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)
y
y y=f(x)
y
y=f(x)
y=f(x)
x
oa
b
y y=f(x)
x
oa
b
x
x
oa
b
oa
b
结论
在开区间内的连续函数 不一定有最大值与最小值。 若有最值，一定在极值点 处取得。
性质探究 探究问题2：闭区间上的最值问题
如图，观察[a，b]上的函数y=f(x)的图像，它们在[a，b]上有 最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？
（2）若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的 函数值都小,满足f '(a)=0且在点x=a附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0, 则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值。
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问题二：一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是什么？
解方程f '(x) =0。当f '(x0) =0时： （1）如果在x0附近 的左侧 f '(x) >0 ，右侧 f '(x)<0 ,那么f (x0)是极大值； （2）如果在x0附近 的左侧 f '(x)<0，右侧 f '(x) >0 ,那么f (x0)是极小值；
讲授新课
观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象，你能找出它的极大值和极 小值吗？你能找出它的最大值，最小值吗？
函数的最值与导数
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1．函数的最大值 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满 足：①对于任意的 x∈I，都有__f_(x_)_≤_M__；②存在 x0 ∈I，使得 __f_(_x_0)_＝__M__．那么称 M 是函数 y＝f(x)的最大值．
2．函数的最小值 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满 足：①对于任意的 x∈I，都有__f(_x_)≥__M__；②存在 x0 ∈I，使得 __f(_x_0_)＝__M___．那么称 M 是函数 y＝f(x)的最小值．
y=f(x) y
y
y=f(x)
a o
结论
bx
o a x1 x2 x3
x4 bx
一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y=f(x) 的图像是一条连续不ຫໍສະໝຸດ 的曲线，那么它必定有 最大值和最小值。
特别地，若函数y=f(x)在区间[a，b]上是单 调函数，则最值则在端点处取得。
思考1
y
观察下列图形,
图1
找出函数的最
极大值：f (x2)，f (x4)，f (x6)
y
极小值：f (x1)，f (x3)，f (x5)
最大值：f (a)
a x1 x2
o
x3 x4 x5
x6 b
最小值：f (x3)
x
性质探究 探究问题1：开区间上的最值问题
如图，观察（a，b）上的函数y=f(x)的图像，它们在（a，b）上 有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值在什么位置取到？
所以函数在区间[-3, 5] 上最大值为 128，最小值为 117.
巩固练习 求函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在区间[-2, 1]上的最值
解：
f'(x)=6x2-6x-12=6（x2-x-2）=6(x-2)(x+1)， 令 f'(x)=0，得 x=-1或 x=2（舍）
当-2< x < -1时，f'(x)>0，函数单调递增； 当-1< x <1时，f'(x)<0，函数单调递减；
3
3
又f (0) 4，f (3) 1
函数f (x) 1 x3-4x 4在0，3上的最大值为4，最小值为- 4 .
3
3
典例精讲 例 2.求函数f(x)=48x-x3在区间[-3, 5]上的最值。
解：f'(x)=48-3x2= -3(x2-16)= -3(x-4)(x+4) 令 f'(x)=0，得 x=4或 x= -4（舍） 当-3< x < 4时，f'(x) >0，函数单调递增； 当4< x <5时，f'(x)<0，函数单调递减； 所以当x=4 时，函数取得极大值，且极大值 f (4)=128； 又 f (-3)= -117, f (5)=115
比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值.
注意: 在定义域内, 最值唯一;极值不唯一
牛刀小试
例1 .给出下列说法：
（1）函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大 值便是最大值，极小值便是最小值。 （2）在闭区间上的函数一定有最大值和最小值。 （3）若函数在其定义域上有最值，则一定有极值； 反之，若有极值，则一定有最值。 （4）若函数在给定的区间上有最值，则最多有一个 最大值，一个最小值；若函数有极值，则可有多个极 值。
其中说法正确的有（ (4) ）
例1.已知函数 f (x) 1 x3 4x 4,求f(x)在区间[0,3]上的
3
最大值和最小值．
解：f ' x x2 4 x 0,3
令f ' x 0,解得：x 2或x 2(舍),列表
x
(0.2)
2 (2,3)
y′
-
0
+
y
递减 4 递增
3
函数f (x) 1 x3-4x 4在0，3上的极小值为- 4 .
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问题一：函数极值相关概念
y
f(b)
（1）若函数y=f(x)在点x=b的函数
值f(b)比它在点x=b附近其他点的函
a
数值都小大，满足f '(b)=0且在点
b0
x
x=b附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0,
则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，
f(a)
f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。
值连并续总结函规数律在[aa,bx1]O上x2必有x3 最值b ；x 并y 且在图极2值点或端y点处取到.图3
a O x1 x2
x1
bx
aO
x2 x3 b x
追踪练习
y
y=f(x)
观察右边一个定义在区
间[a,b]上的函数y=f(x)
的图象：
a x1 o X2
X3
bx
发现图中__f(_x_1)_、__f(_x_3_) __是极小值，___f(_x_2)____是极