第6讲分形几何学

实用标准文案

第6讲分形几何学

主要内容：

一、概述

二、分维的测定方法（重点内容）

三、分维应用实例（重点内容）

四、问题讨论

一、概述

分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，被誉为大自然的几何学，它是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。分形理论与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。分形理论是用来研究自然界中没有特征长度但又具有自相似性的图形和现象。自然界的许多事物和现象均表现出极为复杂的形态，并非是一种严格的数学分形，而是具有统计意义上的自相似性。分形几何学是应用数学的一个重要组成部分，在数学、物理、化学、生物、医学、地质、材料、工程技术等学科中得到广泛的应用。近年来，对分形几何的研究发展很快，在—些前沿课题上取得了较大的进展。

1、基本概念

（1）整数维与分数维

“维”(dimension)是几何学及空间理论的基本概念，是能有效度量几何物体的标准体所需要的独立坐标的数目，是表示几何体形状与分布特征的重要参数。

在拓朴学和欧几里得几何学中，维数只能是整数。如直线是一维的，平面是二维的，普通空间是三维的。如果在三维空间中引入直角坐标，就可用三个实数(x，y，Z)代表空间的一点：n维空间的一点一般可用n个实数(x1，x2,…，xn)来表示。在相对论中，所讨论的时空是四维空间，时空的点，可用坐标(x，y，z,t)来表示，其中t表示时间。可见时空空间的维数也是整数。

然而，欧氏空间只是对现实空间的一个最简单的近似描述。正如B．B．Mandelbrot在其1982年出版的《自然分形几何学》一书中所说：“山峰并不是圆锥形，海岸线不是圆弧形，闪电的传播也不是直线的”。为了更确切地描述自然界的无规则现象，法国数学家Benoit B．Mandelbrot于1977年首次提出了不是整数的维数——分数维(fractal dimension)的新概念。

例如,英国海岸线的维数D为1.25，宇宙中物质分布的D为1.2。研究表明，凡是可用分

数维描述的几何对象，都具有自相似性。

（2）自相似性与无标度区

所谓自相似性(self-similarity)，是指事物或现象中局部与整体在形态、功能和信息等方面具有统计意义上的相似性。自然界中的许多客体，如云朵、山脉、海岸线、树、肺脏，甚至描述经济现象的图形，都具有“自相似性”，即局部与整体的形状相似，局部的局部也与整体相似。例如，一段用放大的比例尺画出来的海岸线与整条海岸线形状是相似的；一棵树干分为二支，每支又分为二支——这棵树的局部与整体的形状相似。事实上，地质体大多具有自相似性，一条断层可能以不同比例尺存在，而其外表却十分相像。因此，地质学家长期以来凭直觉认识到了这一基本事实，从而形成了一个不言而喻却是不可改变的原则，即任何地质体的照片必须附上一个比例尺参照物，在野外拍摄的地质照片中通常附上已知尺寸的某种普通物品，例如铅笔、地质锤或人体。

自然界事物自相似性只在一定尺度范围内才能出现，这个具有自相似性的范围叫做无标度区。在无标度区内，放大或缩小几何对象的尺寸，整个结构并不改变，即其形状与标度无关。在无标度区外，自相似现象不存在。

（3）分形与分形几何学

分形是指具有自相似性或自相似结构的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉、粗糙不平的断面、变化无常的浮云、九曲回肠的河流、纵横交错的血管，令人眼花燎乱的满天繁星……，它们的共同特点是极不规则或极不光滑，然而放大或缩小若干倍后其结构与功能又具相似性，因此，这些现象都是分形。同样，地质现象中的自相似现象也十分普遍。例如地壳的变形是一自相似过程，变形过程中构造事件的空间分布以及变形后构造带中不均匀体的分布常常是分形的；岩石的破坏也是一自相似过程，破坏过程中的微破裂事件的空间分布以及破坏后断裂带中不均匀体的分布也常常是分形。

因为分形都具有极不规则的复杂形状，因而用整数维的概念很难对它们进行定量描述。然而，根据分形的观点，却可以从中找到自相似结构，并用分维对其形状进行描述。1982年由B.B.Mandelbret创立的分形几何学就是研究无规则现象或分形的数学方法。它既是数学的最新研究领域之一，又是国内外地学研究的前沿课题。

2、分维的定义和分类

对于D维规则图形，把图形的每一个界面分成b份，则图形被分成N=b D份，自相似维数为：

以上定义只适用于具有严格自相似性的图形。为了能够适用于包括随机图形在内的任意图形，人们给分维引入了多种定义。在地学研究中，一般用下列3种定义：（1）容量维(D

k

)

若N(d)是能够覆盖住一个点集的直径为d的小球的最小数目，则该点集的容量维定义为：

（2）信息维(D

i

)

在容量维的定义中，只考虑了直径为d的小球数目与d之间的关系，而未考虑研究对象。因此，对于非确定性的研究对象，这种定义仍不实用。于是，引入了信息维的定义：

其中，p

i (d)为研究对象落在第i个球中的概率。若概率分布均匀，则p

i

(d)=1/N，D

i

=D

k

。一

般情况下，D

i ≤D

k

,可见信息维是容量维的一种推广。

(3)相似维(D

s

)

相似维是应用最多的一种分维。对于某一具有自相似性的研究对象，若其可以被分为N 个单元(N随相似比r变化)，且每一单元按相似比r与整体相似，则定义：

分维的上述定义在数学上都是很严密的。但在实际问题及实验测定中。长度是有界限的。通常，如果N(r)随r的变化存在以下关系：

则D就是该图形的分维。

3、分维在地质学上的应用

作为表征研究对象几何复杂程度和几何分布关系的参数。分维在地学，尤其是工程地质、环境地质领域得到广泛应用，在处理过去难以解释或难以解决的复杂问题方面显示了具大威力，得到了一系列准确的解释和定量结果。