幂级数应用举例

合集下载

幂级数的应用

二、幂级数展开式在近似计算上的应用
(4)根据精确度的要求，适当选定n，按计算A的近似值.这里，A与Pn(t1)相差余项
|rn+1|称为用Pn(t1)表示A的截断误差.在计算A的值时，还有因四舍五入而产生的舍入误差.因此，求A的近似值时，应使这两种误差之和满足精确度的要求.
二、幂级数展开式在近似计算上的应用
这两个公式也称为欧拉公式.
二、幂级数展开式在近似计算上的应用
如果函数f(x)有展开式
则在区间(x0-R,x0+R)上，有 f(x)≈Pn(x)=a0+a1(x－x0)+…+an(x－xo)n. 求得多项式Pn(x)的函数值，即为f(x)函数值的近似值. 我们可以采取下列步骤来计算某数A的近似值：
【例45】
二、幂级数展开式在近似计算上的应用
【例46】
谢谢聆听
幂级数的应用
一、欧拉公式
之前我们讨论过级数
当x为任何实数时，级数的和函数为ex，即收敛域为 ∞<x<+∞.那么当x为复
i=－1 .
一、欧拉公式
一、欧拉公式
因此有 eyi=cos y+isin y
这就是欧拉(Euler)公式. 同理可得
e－yi=cosy－isin y. 将两式分别相加，相减可推出

10-5幂级数在近似计算中的应用

1 2 1 n ∵ e = 1 + x + x + ⋯ + x + ⋯, 2! n!
x
令 x = 1,
1 1 得 e ≈ 1+ 1+ +⋯+ , 2! n!
余和: 余和
1 1 1 1 rn ≈ + +⋯ = (1 + + ⋯) ( n + 1)! ( n + 2)! ( n + 1)! n+ 2 1 1 1 1 (1 + ≤ + + ⋯) = ( n + 1)! n + 1 ( n + 1) 2 n ⋅ n!
练习题答案
1.0986；一、 1 、 1.0986 ；二、 0.487.
∞
2、 2 、 0.9994.
π
nπ x n 三、 e x cos x = ∑ 2 2 cos ⋅ 4 n! n= 0
( −∞ ,+∞ ) .
2 (cos + i sin ) x 4 4
提示: ( 提示 : e x cos x = Re e (1+ i ) x = Re e
一、近似计算
∵ A = a1 + a2 + ⋯ + an + ⋯, ∴ A ≈ a1 + a2 + ⋯ + an ,
误差 rn = an+1 + an+ 2 + ⋯.
两类问题: 两类问题: 1.给定项数求近似值并估计精度给定项数,求近似值并估计精度给定项数求近似值并估计精度; 2.给出精度确定项数给出精度,确定项数给出精度确定项数. 关健:通过估计余项,确定精度或项数关健: 通过估计余项确定精度或项数确定精度或项数.

数学物理方法复变函数第三章幂级数

阿贝尔判别法是通过对幂级数的部分和进行估计来确定收敛半径的方法，适用于幂级数的系数随幂次增加而趋于零的情况。
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂次之间的关系来确定收敛半径的方法，适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的系数来确定收敛半径的方法，适用于已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。

函数的幂级数展开式的应用

1133113
321111 9(1 9)2
2 311
1
1
1 9

4
1 39
1 0.21 04 78732
ln 22 1 3 1 33 1 31 53 1 57 13 1 7 0.6931
说明: 在展开式
2 12ex2dx
0
1 122 1 3241 52!261 73 !
欲使截断误差 rn 1n!(2n11)22n104
则 n 应满足 n!(2 n 1 )22n140 n4
取n4,则所求积分近似值为
2
1x
2x1x31x5 (1x1)
35
令 1 x 2 得 x 1 , 于是有
1 x
3
ln 22 1 31 33 1 31 53 1 57 13 1 7
在上述展开式中取前四项,

r4
2
19319

1 11

1 311
i y 3 1 !y3 5 1 !y5 ((2 n 1 ) n 1 ) 1 !y2 n 1
coy si siny
eixcox sisixn
（欧拉公式）
eixcox sisixn
coxseixeix
2
则
sinxeix eix
2 !
n !
易证它在整个复平面上绝对收敛 .
当 y = 0 时, 它与实指数函数 e x 的幂级数展式一致.
当 x = 0 时,
e iy 1 iy 1 (iy )2 1 (iy )3 1 (iy )n
2 ! 3 !
n !
12 1 !y24 1 !y4 (( 2 1 n ))n !y2n

幂级数的应用

幂级数的应用将函数展开成幂级数，从形式上看，好像把问题复杂化了，但是由于幂级数的前n 项部分和是x 的多项式，而多项式是最简单的函数之一，因此用幂级数代替某个函数，实际上为函数的多项式逼近创造了条件。

正是由于这个原因，函数的幂级数展开式有着应泛的应用。

一、函数值的近似计算利用函数的幂级数展开式可以近似计算函数值，即在展开式的收敛敬意上，函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来．例１计算常数e ，精确到小数第四位．解利用∑∞==0!n nxn x e ，令1=x ，有++++==∑∞=!31!2111!10n n e ．为达到这个精确度，可观察余项)!1)(1(1111!1111!1)2)(1(1111!1)!1(1!12--=-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=+++=n n nn n n n n n n n n n r n ．若取8=n ，则48101!771<⋅=r ，故计算出 7183.2!81!31!2111≈+++++= e ．例2 计算5245精确到小数第四位．解因为51555555532133213232243245⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+=．令532=x ，51=α，得出 ⎪⎭⎫⎝⎛+⨯-⨯+= 10255345!24325113245由于这是一个交错级数，故其误差可利用1||+<n n u r 确定．取2=n ，这时，41023210213523||⨯<⨯⨯<r ，故得出0049.332511324555≈⎪⎭⎫⎝⎛⨯+≈．例3 计算2ln 的值，精确到小数第四位．解如果利用)1ln(x +的展开式：+-+-=+=4131211)11ln(2ln ，理论上可计算2ln ，但这是一种“内耗”很大的交错级数，其误差不超过第1+n 项的值11+n ．欲使410111||=+<n r n ，n 至少要取9999项，这太麻烦了，需要去掉带负号的项，故寻找收敛速度较快的级数来代替．用 +-+-=+432)1l n (432x x x x x减去 -----=-432)1l n(432x x x x x 其差是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=-+ 53211ln 53x x x x x ．令211=+-x x ，解出31=x 代入上式，得 ⎪⎭⎫⎝⎛+⨯-++⨯+⨯+=- 125331121315131313122ln n n ，其误差12212421232123)12(4131113)12(2313113)12(231321311212)(-+++-+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛++++<⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=n n n n n n n n n n n x r ．取4=n ，这时4741017873213941||<=⨯⨯<r故得出6931.03171315131313122ln 753≈⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯+⨯+=．二、定积分的近似计算利用幂级数不仅可以计算一些函数的近似值，而且还可以计算一些定积分的近似值，具体地说，如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，那么把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数就可计算出定积分的近似值．例4 计算dx x x⎰1sin ，精确到小数第四位．解由于1sin lim0=→x x x ，因此所给积分不是广义积分，如果定义xxsin 在0=x 处的值为1，那么它在积分区间]1,0[上连续．由于xxsin 的原函数不能用初等函数表示，因此需要通过幂级数展开式来计算．利用正弦函数的展开式 -+-=!53sin 53x x x x ！，两边同除以x ，得到-+-=!531sin 42x x x x ！再逐项积分+⋅-⋅+⋅-=-+-=⎰⎰⎰⎰!771!551!3311!5!3sin 141031010dx x dx x dx dx x x 这是收敛的交错级数，其误差1||+<n n u r ，取3=n ，有43101!771<⋅<r ，故 9461.0!551!3311sin 1≈⋅+⋅-≈⎰dx x x ．例5 计算dx ex ⎰-12221π，精确到小数第三位．解易见22x e -的原函数不能用初等函数表示，因此考虑用幂级数展开式计算．利用展开式∑∞==0!n n xn x e ，得∑∞=--=0222!)1(2n nn n x n x e 故有+⋅⋅-⋅⋅+⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎰⎰-72!3152!2132112!32!2213210362421022dx x x x dx e x 取前四项的和作为近似值，误差为3410192!4121||<⋅⋅≤πn r 故得出3412.033614016112121122≈⎪⎭⎫⎝⎛-+-≈⎰-ππdx ex ．以上例题说明，幂级数在函数值及定积分的近似计算中有着广泛应用．对于用幂级数近似计算函数值，其思路和以前学过的用微分近似公式或泰勒公式近似求值的思路相似．对于用幂级数近似计算定积分，特别是在某些被积函数的原函数不能用初等函数表示时，便显示出幂级数方法的优越性．利用幂级数进行近似计算的重要一步是根据精确度要求确定展开式的项数n ．这可通过估计余项n r 的误差得到：一种方法是将余项式子的各项放大，使之成为几何级数，从而利用几何级数的和来确定n 值（如例1，例3），另一种方法是利用收敛的交错级数的特点：1||+<n n u r ，由此来确定n 值（如例2，例4，例5）．三、欧拉公式最后应用复变量的指数函数的幂级数展开式，说明数学中重要的欧拉公式的形成与推导过程．在复变量的理论中，我们定义指数函数z e （z 为复变量）为++++++=!!3!2!1132n z z z z e nz（+∞<||z ，即z 属于整个复平面）当xi z =时，上式成为++++++=!)(!3)(!2)(!1132n xi xi xi xi e nxi注意到 ,,1,,15432i i i i i i ==-=-=，从而xi x x x x x i x x x e xisin cos !7!5!3!6!4!21753642+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-= 即有 x i x e xi sin cos +=． (1) 把上式x 换成x -，又有x i x e xi sin cos -=-． (2)将(1)(2)两式两边相加且同除以2，得2cos xixi e e x -+=(3) 将(1)(2)两式两边相减且同除以i 2，得ie e x xixi 2sin --=(4) 上述的(1)—(4)都称为欧拉公式，它们建立了实三角函数和复指函数之间的联系．在(1)中，取π=x ，可得01=+πi e (5)克莱茵（Klein,1849-1925,德国）认为，这是数学中最漂亮的公式之一．有人把(5)列为10个最优美的数学定理之首，它把数学中最重要的5个数0，１，i ，π，e用一个等式联系起来，显示了数学中的统一美，(5)显示了数学各领域之间很强的联系且通过等式联结起来，它可以从几种得到解释，如：0：正负数的分界；1：任一自然数与它的后继数之差；i ：012=+x 的根，属于代数；π：圆周长与直径之比，属于几何；e ：nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11 )(∞→n 时的极限，属于分析．等等．。

12.6幂级数的应用

取前三项作为积分的近似值,得
sin x 1 1 0 x dx 1 3 3! 5 5! 0.9461
1
例5 计算定积分
2
差不超过 0.0001 ( 取1 / 0.56419 ). 解利用指数函数的幂级数展开式得:

1/ 2 0
e
x2
dx 的近似值, 要求误
e
n n x x x 2 ( ) x x 2 (e x 1) xe x n1 n! n 0 n!
e x ( x 1) x ,
1 n2 1 1 1 3 2 s ( ) e. e ( 1) n 2 2 2 4 n 1 n!2

这个公式被认为是数学领域中最优美的结果之一, 很多人认为它具有不亚于神的力量, 因为它在一个简单的方程中, 把算术基本常数(0和1)、几何基本常数 ( )、分析常数(e ) 和复数( i )联系在一起.
sin 9 sin 20 ( ) , 20 6 20
1 5 1 1 5 105 , r2 ( ) (0.2) 5! 20 120 300000
sin 9 0 0.157079 0.000646 0.156433
其误差不超过 10
5
.
例3. 计算 5 240 的近似值, 精确到 10 4. 1 解: 5 240 5 243 3 3 (1 14 ) 5
四、欧拉公式
当 x 为实数时, 有
x
2 3 4 n x x x x e 1 x , 2! 3! 4! n! 推广到纯虚数情形: 定义 e ix 的意义如下 (其中x为实数). 2 3 4 n ( ix ) ( ix ) ( ix ) ( ix ) ix e 1 ix 2! 3! 4! n! 2 4 3 5 x x x x 1 i x , 2! 4! 3! 5! ix e cos x i sin x , 即有 (1)

幂级数的应用

幂级数的应用
幂级数在许多领域中具有广泛的应用，以下列举几个常见的应用：
1. 函数逼近：幂级数可以用来逼近许多函数，从而简化函数的计算和分析。

例如，泰勒级数可以逼近任意光滑函数，因此可以用于求解微积分和微分方程。

2. 数值计算：幂级数可以用于计算各种复杂函数的数值解，如三角函数、指数函数、自然对数等等。

这些函数的计算可以通过幂级数展开进行近似计算，从而减少计算的复杂度。

3. 物理应用：幂级数在物理学中也有诸多应用，例如量子力学中描述物质波动的薛定谔方程等均可以转化为幂级数的形式进行计算。

4. 建模：幂级数也可以用来建立数学模型，并对模型的参数进行优化。

例如，广泛应用于机器学习和深度学习中的神经网络模型就可以使用幂级数作为关键数学工具。

5. 统计学：幂级数还可以用于建立的概率模型，如泊松分布、正态分布等。

这些模型可以拟合真实世界中的数据，并用于预测和决策。

幂级数应用于物理竞赛中的近似计算

幂级数应用于物理竞赛中的近似计算幂级数是一种重要的数学工具，它在物理竞赛中被广泛应用于近似
计算。

以下是幂级数在物理学竞赛中的几个应用：
一、光学求解
幂级数在光学中的应用非常广泛。

一些复杂的光学问题可以通过幂级
数的展开来近似解决。

例如，波导光纤的色散可以用幂级数展开来求解，获得更准确的数据和计算结果。

此外，幂级数还可以用于计算光
线的传播路径、折射和反射等问题。

二、热力学计算
幂级数也被广泛应用于热力学中的计算，例如计算气体的热容和内能。

这些计算通常需要通过幂级数展开来进行近似计算。

通过计算幂级数
的前几项，可以获得可靠的近似值。

三、量子力学计算
在量子力学中，幂级数也被广泛应用。

例如，在量子力学的微扰理论中，幂级数可以用于计算微扰对量子态的影响。

此外，在矩阵力学中，幂级数也可以用于计算能量的预测值。

四、电学计算
在电学中，幂级数主要用于电磁场的计算。

通过幂级数展开，我们可以计算电磁场的位势和磁势。

此外，幂级数也可以用于电容、电感和电阻等电学元件的计算。

五、粒子物理计算
幂级数在粒子物理中也有重要应用。

例如，幂级数可以用于计算质子的磁矩和电矩。

此外，幂级数还可以用于计算原子核的结构和性质。

总结
幂级数是物理学竞赛中重要的数学工具，它可以用于解决各种物理学问题。

通过幂级数的展开和计算，我们可以获得更准确的数据和计算结果。

在物理学竞赛中，熟练掌握幂级数的应用和计算方法，可以有效地提高竞赛成绩。

例说幂级数在高等数学中的应用

ｎ＝ｏ
ｖ０．５Ｎｏ．２
可得：（ｎ＋２）（ｎ＋１） Ⅱ ｎ＋２－（ｎ＋ｌａｎ＝０，
即 Ⅱ ｎ＋２＝ａｎｎ＝Ｏ，Ｉ，２ …
，
妲翻翩希
…
教育教学２
故
∞
３＋１６ａ２ｘ４＋＋１６ｘ２Ａ（ｘ）＝１６ Ⅱ ０ｘ２＋１６Ｑ１６ Ⅱ ｎｘｎ＋ｌｘ
以上三式相加得：
＾
埘Ｘ
＝
：
＝
争争， … ＝
Ａ（ｘ）一一８ｘＡ（ｘ）＋１６ｘＡ（ｘ）＝ａｏ＋ａ１ｘ一８ Ⅱ ０ｘ＝一１＋８ｘ所以Ａ（ｘ）＝一ｌ＋８ｘ一－ｌ＋８ｘ一一２
ｎ＝０
二、利用幂皲数证明不等式
利用幂级数证明一些不等式的问题，常常在各类数学竞赛
中出现。
￡
∑ａｎｘｎ的级数，称为ｘ的幂级数。
Ｈ０
幂级数是高等数学中的一个非常重要的内容．通常大部分的教材中只介绍幂级数的收敛半径收敛域、函数的幂级数展开等问题，较少涉及到幂级数的应用。事实上，作为一类最简单的函数项级数，幂级数无论在理论还是在实际上都有很多应用。
利用函数的幂级数展开式及幂级数的分析性质（和函数的连续性、逐项可积、逐项可导等）可以比较容易地解决一些较为复杂

幂级数及其应用

1 ． L ak +1x k +1 ak x k
（2）当 L = 0 时，对于任何 x ≠ 0 ，都有
k →∞
∞
lim
= L x = 0⋅ x = 0 < 1，
于是，幂级数 ∑ ak x 对于任何 x 都收敛．所以，其收敛半径 R = +∞ ．
k =0
k
（3）当 L = +∞ 时，对于任何 x ≠ 0 ，都有
∑x
k =0
∞
k
= 1 + x + x2 + L + xn + L
（13.1.3）
它的部分和函数列为
S n ( x) = ∑ x k =
k =0
n
1 − x n +1 ， n = 0,1, 2,L 1− x
容易知道，当且仅当 −1 < x < 1 时，部分和函数列 {S n ( x)} 收敛，极限值为 S ( x) =
k =0
特别令 x0 = 0 ，（13.1.1）式变为
k 2 k ∑ ak x = a0 + a1 x +a2 x + L + ak x + L ∞
k =0
（13.1.2）
…，ak ， …都是实常数，称之为幂级数的系数．通过简单的变换 x − x0 = t ，其中 a0 ，a1 ，a2 ，可以将幂级数的一般形式（13.1.1）化为形如（13.1.2）的幂级数．因此，下面只就形式（13.1.2）的幂级数进行讨论．例 1 在（13.1.2）中，如果令所有系数都为 1，则得到下面的几何级数（等比级数）
-|b|
-R - |a|

幂级数的简单应用

x
n
，
x

[1,
1]
．
由于
s(x)

n2
(1)n1 n 1
xn1
，
s(x)

(1)n1 xn2
n2

1
1
x
，
且 s(0) s(0) 0 ，所以
s(x)
x s(t)dt
0

x 0
1
1
t
dt

ln(1
x) ，
s(x) x s(t)dt x ln(1 t)dt x (1 x) ln(1 x) ．

1 3
．
二、求高阶导数值
例 2 设 f (x) x arctan x ，求 f (100) (0) ．
解因为
an x

x
x1 0 1 t2
dt

x
x[ (1)n (t2 )n ]dt
0 n0

x
n0
x (1)n (t2 )n dt
0

n0
(1)n 2n 1
x2n2
，
由 x100 的系数可知
f
(100) (0) 100!

1 99
．所以
f
(100) (0)

100! 99
．
三、求数项级数的和
例 3
求级数 (1)n1 的和． n2 n(n 1)
解
考虑
s(
x)

n2
(1)n1 n(n 1)
0
0

§6.3.6幂级数应用举例

6.3.6幂级数应用举例 6.3.6幂级数应用举例
一、微分方程的级数解法
y ′ = 1+ xy, 例 1．求解初值问题 y x=0 = 1.
解：设方程的幂级数解为
， y=a0 +a x+a2x +L anx +L ① + 1
2 n
其中 a 0 , a1 , a 2 ,L+ a n ,L 为待定常数。
把 y x =0 =1 代入①得： a0 = 1 ，即有
y = 1+ a1 x + a 2 x +L+ a n x +L
2 n
②
对②逐项求导，得
′ = a1 + 2a 2 x +L+ na n x n −1 +L y
把②和③代入方程 y ′ = 1+ xy ，得
n− 1
③
a +2a2x+3a3x +L nanx + 1 =1+x+a x +L an−2x + 1
z 2 n x
2
n
⑤
当 x = 0 ， z为虚数 iy ，⑤成为
(iy ) 2 (iy ) 3 (iy ) n iy e =1+ iy + + +L + +L 2! 3! n! y2 y3 y 4 y5 =1+ iy − −i⋅ + + i ⋅ +L 2! 3! 4! 5! y y y y = (1− + −L) + i ( y − + −L) 2! 4! 3! 5! = cos y + i sin y .

幂级数的应用

降低感染率手段引流的时间：1周内,最长≤2周。引流管引出口：不能在原切口处直接引出,因在头皮下潜行约1～2cm后在原切口旁引出,防止细菌逆行感染。引流瓶放置高度：适当,避免脑脊液倒流回脑内增加感染可能。引流管冲洗：适时可用庆大霉素稀释液冲洗引流管, 不冲洗脑内段。操作要得当。拔管时关闭引流管阀门,拔除后及时缝合拔管处头皮。
降低感染率手段为减少切口脑脊液漏。术中应尽可能修补硬脑膜,关闭死腔,术中尽可能减少头皮止血。为减少耳漏和鼻漏。术中发现打开额窦和乳突后立即用消毒液浸泡的棉球消毒窦璧黏膜并向内推开黏膜层,随后用骨蜡完全封闭窦口或乳突气房,更换与窦璧接触的手术器械。
是否污染手术？手术时间>4h？应用手术显微镜？二次手术？是则明显增加颅内感染率。
是否为后颅窝手术？手术体位复杂。开颅时间长。手术显微镜辅助。术区蛛网膜易粘连,后颅窝手术一般不缝合硬脑膜。肌肉和头皮间缝合不严,易形成储液囊腔,致脑脊液循环障碍,为细菌繁殖提供机会。可能打开乳突气房。故而术后颅内感染几率显著较高。
降低感染率手段后颅窝关颅时肌层和头皮要求严格缝合,肌层紧贴硬膜,引流管保持通畅。当切口脑脊液漏时,应在无菌条件下严密缝合。
降低感染率手段开放性颅脑损伤需早期彻底清除坏死脑组织,清除脑组织内的碎骨片和异物,关闭硬脑膜和头皮伤口,将开放性的污染伤口变为清洁的闭合伤。术中受污染部位的手术区域需彻底消毒;接触污染区域后的手术器械与清洁区域的器械需分开。关颅前常规用大量生理盐水冲洗。尽量缩短手术时间。严格按照规范使用显微镜。二次手术打开硬脑膜前可用稀释的聚维酮碘冲洗术野。
是否存在脑脊液漏？可分为切口的脑脊液漏和脑脊液鼻漏、耳漏。
颅脑损伤常见的并发症, 据文献报道, 其发病率在2 %～9 % , 需手术治疗者占2.4 %。颅脑损伤后, 颅底骨折伴有硬脑膜及蛛网膜同时破裂,脑脊液通过损伤的鼻窦或岩骨经鼻或耳流出, 即形成脑脊液鼻漏及耳漏。漏的时间越长, 感染机会越大。

函数的幂级数展开式的应用

学数
(2)在f(x)的幂级数∑anxn中使|x|越小越好. 现在我们采用变形的方法,使|x|变小
高等数学电子教案
x x
x2 x3 x4 ln( 1 + x ) = x + + 2 3 4 x n +1 + ( 1) n + n +1 ( 1 < x ≤ 1)
x2 x3 x4 ln( 1 x ) = x 2 3 4
1 2 ∴ 245 ≈ 3(1 + 5 ) = 3.0049 5 3
5
高等数学电子教案
x = 1, 1 1 1 n 1 1 ln 2 = 1 + + .. + ( 1) + .. 2 3 4 n
解: 例13 计算ln2的近似值,要求误差不超过0.0001
x2 x3 x4 x n +1 ln( 1 + x ) = x + + .. + ( 1) n + .. 2 3 4 n +1
在sinx的展开式(6)中,令x=0.174533,并取前面三项,估计误差
1 π 7 1 7 6 r3 ( ) ≤ ( ) = × (0.174533) < 10 18 7! 18 5040
学数
π
1 1 3 ∴ sin 10 ≈ 0.174533 × (0.174533) + (0.174533) 5 6 120
dx
4
的近似值,精确到10-4
∵e
学数
x
2
x = 1 x + 2!
2
x 2n + ( 1) n + (x ∈ R) n!

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

此幂级数的收敛半径R .
3 欧拉公式
在复变函数中可以证明 : 对复数 z x iy 仍有
ez 1 z z2 zn ,
2!
n!
令x0, 即 ziy, 便有
z .
eiy 1iy (iy)2 (iy)3 (iy)n
2! 3!
n!
1 iy y2 i y3 y4 i y5 y6 i y7 2! 3! 4! 5! 6! 7!
两个幂级数相等，它们的同次幂的系数必须相等，即
a11 ，
2a2 1 ， 3a3 a1 ，
a11 ，
a2
1 2
，
11 a3 3a1 13
，
当
n
2k
时，有
an
a2k
24
1 (2k
2)2k
，
当
n
2k
1
时，有
an
a2k1
13
(2k
1 3)(
2k
1)
；
∴微分方程满足初始条件的解为
y1 x 1 x2 1 x3 1 x4 1 x5 1 x6 ， 2 13 24 135 246
定积分的近似值逐项积分
例 2. 计算 1 sin x dx 的近似值, 精确到104. 0x
解 sinx 1 1 x 2 1 x4 1 x6 , x( , ),
x
3! 5! 7!
1 sin x
dx 1
1
1
1
. 收敛的交错级数
0x
3 3! 5 5! 7 7!
由于第四项 1 7 7!
sinx 1 (e i x e i x ). 2i
作业
习题 4.3（P76） 9.
把 y x0 1 代入①得：a0 1 ，即有
y1a1 xa2 x2 an xn
②
对②逐项求导，得 ya1 2a2 x nan xn1 ③
把②和③代入方程 y1 xy ，得
a1 2a2 x 3a3 x 2 nan x n1 1 x a1 x 2 an2 x n1 an1 x n1 ，
)
2( 0.33333 0.01235 0.00082 0.00007 )
0.693140.6931.
当被积函数为e x2 , sinx , 1 等函数时,它们的 x lnx
原函数不能用初等函数表示, 难以计算其定积分.
解法被积函数展开成幂级数
4.7 幂级数应用举例
1 近似计算
例1. 利用ln 1 x 的幂级数展开式计算ln 2的近似值, 1 x
解：
ln 1 x 2 ( x x 3 x5 x 2n1 ), x(1, 1).
1 x
35
2n1
令 1 x 2, 得 x 1 , 于是
1 x
3
1 11 11 11 11 ln2 2( )
1 3000
104 ,
故取前三项作为积分的近似值, 得
1 sin x dx 1 1 1 0.9461.
0x
3 3! 5 5!
2 微分方程的级数解法
例
3．求解初值问题
y1 xy, y x0 1.
解：设方程的幂级数解为
ya0 a1xa2 x2 an xn ，①
其中 a0 ,a1 ,a2 , an , 为待定常数.
y2 y4 y6
y3 y5 y7
(1 ) i( y )
2! 4! 6!
3! 5! 7!
cos yisiny.
把 y 换写成 x , 得欧拉公式：
e ix cos x isinx.
以 ( x) 代替 x ，得
e ix cos x isinx.
于是
cosx 1 (e i x e i x ), 2
3 3 33 5 35 7 37 9 39
若取前4项之和作为ln2的近似值, 则其截断误差为
11 1 1 1 1
r4
2(
9
39
11
311
13
313
)
2 311
(1
1 9
1 92
)

1 104. 70000
9
故
ln2 2(
1 3
1 3
1 33
1 5
1 35
1 7
1 37

幂级数应用举例

幂级数的应用

10-5幂级数在近似计算中的应用

数学物理方法复变函数第三章幂级数

函数的幂级数展开式的应用

最新06第六节幂级数的应用

幂级数的应用

12.6幂级数的应用

幂级数的应用

幂级数应用于物理竞赛中的近似计算

例说幂级数在高等数学中的应用

幂级数及其应用

幂级数的简单应用

§6.3.6幂级数应用举例

幂级数的应用

函数的幂级数展开式的应用