第四章 稳定性分析——Nyquist 稳定性判据(4-3)B
第四章 稳定性分析——Nyquist 稳定性判据(4-3)B
复习
第四章
控制系统的稳定性分析
Im
P 0
0
Im
P 1
0
0
R
Re
R
K
0
Re
16
四、伯德图上的奈氏判据 极坐标图 伯德图 单位圆 0db线（幅频特性图） 单位圆以内区域 0db线以下区域 单位圆以外区域 0db线以上区域 负实轴 -1800线（相频特性图） 因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0） 点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L(ω)>0db时相频特性 曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。
第四节 Nyquist 稳定性判据
基本思想：利用系统的开环频率特性判别闭 环系统的稳定性。
1
一、预备知识——幅角定理 幅角定理：
F(s) 是 s 的单值有理函数，在 s 平面上任一闭合路 径包围了F(s)的Z个零点和P个极点，并且不经过F(s) 的任一零点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向旋 转一圈时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线顺时针绕原 点（Z – P）圈。即 N=Z-P （或逆时针绕原点N= P - Z圈） 其中：N为圈数 逆时针为正， 顺时针为负。
G ( j c ) H ( j c ) 1
在控制系统的增益剪切频率ωc上，使闭环系统 达到临界稳定状态所需附加的相移（超前或迟后相 移）量，称为系统的相位裕量，记作γ。
用Nyquist判据判断系统稳定性
用Nyquist判据判断系统稳定性Nyquist判据是一种经典的判断系统稳定性的方法，被广泛应用于控制工程和通信工程中。
该方法通过绘制系统的Nyquist图，判断系统的极点和零点在复平面上所处的位置，从而判断系统的稳定性。
本文将介绍Nyquist判据的基本原理、具体操作步骤以及注意事项，以帮助读者更好地理解和应用这一方法。
一、Nyquist判据的基本原理在控制系统中，我们通常将系统的传递函数写成如下形式：G(s) = N(s) / D(s)其中，N(s)和D(s)分别为系统的分子和分母多项式，s为复变量。
我们知道，当系统传递函数G(s)的阶数为n时，该函数在复平面上有n个极点和/或零点。
Nyquist判据的基本思想是：绘制系统的Nyquist图，即将系统的G(s)函数沿着复平面上的一个可变的圈线进行连续变形，并记录圈线变形前和变形后所经过的原点和极点个数及情况。
通过比较圈线变形前后绕圆点的圈数，就可以判断系统的稳定性。
具体地说，Nyquist判据有以下两个重要的结论：1.当系统的Nyquist图绕复平面上的所有极点时，如果围绕极点的圈数全都是负数，则该系统是稳定的；相反，如果存在围绕极点的圈数为正数，则该系统是不稳定的。
这两个结论形象地表现了系统稳定性与Nyquist图绕复平面上点的情况之间的关系，为我们判断系统稳定性提供了有力的理论支持。
在具体应用Nyquist判据时，我们可以按照以下步骤进行：1.绘制系统的G(s)函数的Nyquist图。
2.确定系统的极点和零点在复平面上的位置，并标记在Nyquist图中。
3.确定绘制Nyquist图时的路径，通常采用右半平面或左半平面的路径。
对于一些特殊系统，比如共轭复极点或共轭复零点，我们需要构造一些特殊路径。
4.通过沿着路径将Nyquist图绘制出来，并标记绕圆点的圈数。
一般情况下，我们可以按照路径的方向来计算围绕圆点的圈数。
5.根据Nyquist图绕极点和零点的情况，结合Nyquist判据的两个结论，判断系统的稳定性。
自动控制原理题海与考研指导
自动控制原理题海与考研指导自动控制原理是控制工程学科中的一门基础课程，涉及到系统建模、传递函数、稳定性分析、根轨迹、频率响应等内容。
以下是一些与自动控制原理相关的题目以及考研指导：1. 系统建模题：a) 请说明什么是系统的输入、输出和状态？b) 请简述开环系统和闭环系统的区别？2. 传递函数题：a) 给定一个系统的传递函数 G(s) = (s+1)/(s^2+2s+1)，请计算该系统的阶数和极点。
b) 如果一个系统的传递函数为 G(s) = 1/(s+1)，请绘制该系统的零极点图。
3. 稳定性分析题：a) 对于一个系统的传递函数 G(s) = 1/(s+2)，请判断该系统的稳定性。
b) 什么是Nyquist稳定性判据？请简要说明其原理。
4. 根轨迹题：a) 给定一个系统的传递函数 G(s) = K/(s+1)(s+2)，请绘制该系统的根轨迹。
b) 根轨迹的形状与系统的稳定性有何关系？5. 频率响应题：a) 对于一个系统的传递函数 G(s) = 1/(s^2+s+1)，请绘制该系统的频率响应曲线。
b) 请解释什么是截止频率和增益裕度。
对于考研指导，以下是一些建议：系统地学习教材和课堂笔记，理解基本概念和原理。
多做习题和练习题，加深对知识点的理解和应用能力。
阅读相关的参考书籍和论文，扩展知识面和深入理解。
参加考前辅导班或自习室，与其他考生交流学习经验和解题技巧。
制定合理的学习计划，合理安排时间，保持良好的学习状态。
考前进行模拟考试，熟悉考试形式和时间管理，找出自己的薄弱环节并加以改进。
希望以上回答能够对您有所帮助。
如有需要，请继续提问。
10 系统的稳定性分析Nyquist稳定判据
根据米哈伊洛夫定理推论： arg DK ( j ) n 若闭环也稳定，当由0变化到时：
arg DB ( j ) n
2
2
从而：
argF ( j) argDB ( j) argDK ( j) 0
上式表明，若系统开环稳定，则当由0变化到时， F(j) 的相角变化量等于0 时，系统闭环也稳定。
注意到： F ( j) 1 G( j) H ( j) 即：
G( j ) H ( j ) F ( j ) 1
上式表明，在复平面上将F(j)的轨迹向左移动一 个单位，便得到G(j)H(j) 的轨迹。
Im
=
-1 0
=0
Re
1
G(j)H(j)
F(j)
7.4 乃奎斯特稳定性判据
7.4 乃奎斯特稳定性判据 Im
D(j)
Im
-p
j 0
'
-p
Re
由图易知，当由0变化到时， D(j)逆时针旋转 90°，即相角变化了 /2。 arg D ( j )
2
若特征根为正实根，则当由0变化到时：
arg D ( j )
2
7.4 乃奎斯特稳定性判据
代数稳定性判据判别系统的稳定性，要求必须知 道闭环系统的特征方程，而实际系统的特征方程是 难以写出来的，另外它很难判别系统稳定或不稳定 的程度，也很难知道系统中的各个参数对系统性能 的影响。
两种常用的频域稳定判据：Nyquist稳定判据（简称
乃氏判据）和对数频率稳定判据。
Nyquist判据根据开环幅相曲线判别闭环系统稳定性；
7.4 乃奎斯特稳定性判据
第四章稳定性分析——Nyquist稳定性判据(4-3)B.
Im
Im
(－1，j0)
+
(－1，j0)
0
Re
_
0
Re
正穿越
负穿越
11
Im
G ( j ) H ( j )
＋
＋ － ( 1, j 0)
0
Re
N ＝2
N ＝ 1
12
若G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于 (-1, j0) 以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同 样有+ 1/2 次穿越和-1/2次穿越。
Im
P 0
0
Im
P 1
0
0
R
Re
R
K
0
Re
16
四、伯德图上的奈氏判据 极坐标图 伯德图 单位圆 0db线（幅频特性图） 单位圆以内区域 0db线以下区域 单位圆以外区域 0db线以上区域 负实轴 -1800线（相频特性图） 因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0） 点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L(ω)>0db时相频特性 曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。
特征方程
系统传递函数
a nsn a n 1sn 1 a1s a 0＝0
C(s) b ms m b m1s m1 b1s b0 R(s) a n s n a n 1s n 1 a1s a 0
R( s ) +
B(s)
系统结构为：
E ( s)
9
当 1 时， s从- j0转到+j0， G(jω)H(jω) 曲线以半径为无 穷大，顺时针转过π角（图中 虚线）。并可求得， = 1时， G(j)H(j)与实轴交 K1 。 从图可见，G(s)H(s)的奈氏曲 线顺时针绕 ( -1, j0 ) 点一圈， N = -1，又因为P =0，所以 Z = P - N=1， 说明为不稳定系统，有一个闭 环极点在s的右半平面。
机械工程控制基础课件第四节 Nyquist稳定判据
第六章 系统的稳定性
第四节 Nyquist稳定判据
主讲人 ：王 辉
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
一、Nyquist稳定判据优点： (1) 作图分析，计算量小，信息量大。
(2) 不但判稳定，也能给出稳定裕量。
(3) 可以用实验手段得到频率特性。
二、柯西复角定理：
对于复变函数
F ( s ) k( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
Gk ( j) 幅频特性
Gk
(
j
相频特性
)
D形围线在Gk(s)平面上的映射就是系统在Gk(s)平面上的 Nyquist图，也就是系统的开环幅相频率特性曲线。
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
F(s)平面上的原点即Gk(s)平面上的(－1，j0)点
S平面
j
j
D形围线
F(s)=1+Gk (s)
F平面 Im' Im GK 平面
（n>m） （n=m）
多数情况n>m，当s从0 ± j∞ 时，Gk(s) 0， F(s) = 1+Gk(s) 1
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
(3)开环频率特性Gk(jω )和Nyuist图
开环传递函数Gk(s)，令s = jω ，即开环频率特性Gk(jω )
当ω 由0 ∞ (负频部分无物理意义)
利用柯西复角原理判稳定的思路：
(1)使F(s)与系统传递函数相联系 (2)封闭曲线域为右半平面（或左半平面） (3)使封闭曲线为虚轴，与频率特性相联系
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
04第四章稳定性分析2资料
G(s)H (s) K (s 1)
s 2 (Ts 1)
试分析 T 和T时系 统 的稳定性，并画出它们所对应
的乃氏图。
解：系统开环频率特性为
环系统稳定的充要条件是Nyquist图不包围 (1, j0) 点。 P 0 ，若闭环系统稳定，即：Z 0 则有：N Z P 0
2. 闭环系统稳定的充要条件是：
Nyquist图包围 (1, j0)周数为：N P
P 0, N P 0
认为Nyquist图逆时针包围 (1, j0)点P圈。
m
(s zi )
F(s)
i 1 n
(s pj)
j 1
由复变函数理论知道，在 s 平面上任选一条闭合曲线Γ，
且不穿过 F的(s任) 一零点和极点，s从闭合曲线Γ上任一
点 A 起，顺时针沿Γ运动一周，再回到 A 点，则对应的
平面上F (亦s)从
点起F，( A到)
点止F形( A成) 一条闭合曲线ΓF 。
F(s) s 1 s2
(Z 1, P 1)
[S]
[S]
[S]
[S]
N=0-0=0
[F(S)]
N=1-0=1
[F(S)]
N=1-1=0
[F(S)]
N=0-1= - 1
[F(S)]
假设S平面中有一条围线包含了F(s)的所有零极点，且已知极点 个数为P＝1，根据F(s)平面中映射围线的位置，判断F(s)中零点 的个数。
j2 )
j5(1 j )(1 j2 ) (1 2 )(1 4 2 )
15
(1 2 )(1 42 )
5(1 22 ) j (1 2 )(1 42 )
G( j0) 90
G( j) 0 270
电力电子技术中的电力电子系统的稳定性分析方法有哪些
电力电子技术中的电力电子系统的稳定性分析方法有哪些在电力电子领域中，电力电子系统的稳定性分析是非常重要的，它关乎到电力系统的可靠性和安全性。
电力电子系统的稳定性分析方法涉及到系统的动态特性和稳态特性分析，下面将介绍几种常用的稳定性分析方法。
一、频域法频域法是一种常见的稳定性分析方法，它通过对系统进行频率响应分析，来评估系统的稳定性。
频域法主要使用频率响应函数和Bode图进行分析。
通过绘制系统的频率响应曲线，可以得到系统的幅频特性和相频特性，从而判断系统的稳定性。
二、时域法时域法是另一种常用的稳定性分析方法，它是通过分析系统的时间响应来评估系统的稳定性。
时域法可以采用传递函数法、状态空间法或者直接采用微分方程法进行分析。
通过求解系统的微分方程，可以得到系统的时间响应曲线，从而判断系统的稳定性。
三、根轨迹法根轨迹法是一种图解法，它通过绘制系统传递函数的根轨迹图来判断系统的稳定性。
根轨迹图可以直观地展示系统极点的变化规律，通过观察根轨迹的形状和位置，可以评估系统的稳定性和动态特性。
四、Nyquist稳定性判据Nyquist稳定性判据是通过绘制系统的Nyquist图进行判断的一种方法。
通过绘制系统的频率响应曲线，可以得到Nyquist图。
根据Nyquist图的形状和位置，可以判断系统的稳定性。
对于闭环系统，如果Nyquist图的曲线不经过-1点，则系统是稳定的。
五、Lyapunov稳定性分析法Lyapunov稳定性分析法是一种通过构造Lyapunov函数来判断系统稳定性的方法。
通过构造适当的Lyapunov函数，可以证明系统是否稳定。
这种方法通常适用于非线性系统的稳定性分析。
综上所述，电力电子技术中的电力电子系统的稳定性分析方法包括频域法、时域法、根轨迹法、Nyquist稳定性判据和Lyapunov稳定性分析法等。
这些方法可以互相补充，通过不同的角度和方法来对电力电子系统的稳定性进行评估，从而确保电力系统的可靠性和安全性。
线性系统的稳定性分析与判据
线性系统的稳定性分析与判据稳定性是线性系统分析中的重要概念，它描述了系统在输入和干扰下的响应是否趋于有界。
稳定性分析和判据在控制工程、通信工程等领域具有广泛的应用。
本文将介绍线性系统稳定性的基本概念、分析方法和判据。
一、线性系统稳定性的基本概念线性系统由一组线性方程表示，可用状态空间模型描述。
在进行稳定性分析之前，我们先来了解一些基本概念。
1. 输入与输出：线性系统接收一个或多个输入信号，并产生相应的输出信号。
输入和输出可以是连续的信号或离散的序列。
2. 状态：系统的状态是指能够完全描述系统行为的一组变量。
状态可以是连续的或离散的，通常用向量表示。
3. 零状态响应与完全响应：零状态响应是指系统在无外部输入的情况下的输出。
完全响应是指系统在有外部输入的情况下的输出。
4. 稳定性：一个线性系统是稳定的，当且仅当其任何有界的输入所产生的响应也是有界的。
如果系统输出在有界输入下有界，我们称系统是BIBO（Bounded-Input, Bounded-Output）稳定的。
二、系统稳定性的分析方法稳定性分析主要通过判定系统的特征值来实现。
系统的特征值决定着系统的响应特性，在稳定性分析中起着关键作用。
1. 特征值分析：特征值是描述系统动态特性的重要指标。
对于连续系统，特征值是状态方程的解的指数项；对于离散系统，特征值是状态方程的解的系数。
通过计算特征值，可以判断系统的稳定性。
2. 极点分析：极点是特征值的实部和虚部共同确定的。
稳定系统的特征值的实部都小于零，不稳定系统至少有一个特征值的实部大于零。
3. 频域分析：稳定性分析还可以通过频域方法进行。
常见的频域分析方法包括幅频响应法和相频响应法。
通过分析系统的频率特性，我们可以得到系统的稳定性信息。
三、线性系统稳定性的判据除了特征值分析和频域分析，我们还可以利用一些判据来判断系统的稳定性。
1. Nyquist准则：Nyquist准则是常用的稳定性判据之一。
通过计算系统的传递函数在复平面上的闭合轨迹，可以判断系统的稳定性。
控制工程基础考卷带答案复习资料
1．对控制系统的基本要求一般可归结为_________稳定性，准确性，快速性____、____________、___________。
2．自动控制系统对输入信号的响应，一般都包含两个分量，即一个是瞬态响应分量，另一个是____________响应分量。
3．在闭环控制系统中，通过检测元件将输出量转变成与给定信号进行比较的信号，这个信号称为_________________。
4．若前向通道的传递函数为G(s)，反馈通道的传递函数为H(s)，则闭环传递函数为__________________。
5 函数f(t)=的拉氏变换式是_________________ 。
6 开环对数频率特性的低频段﹑中频段﹑高频段分别表征了系统的稳定性，动态特性，抗干扰能力﹑﹑。
7．Bode 图中对数相频特性图上的－180°线对应于奈奎斯特图中的___________。
8．已知单位反馈系统的开环传递函数为：20()(0.51)(0.041)G s s s =++求出系统在单位阶跃输入时的稳态误差为。
9．闭环系统稳定的充要条件是所有的闭环极点均位于s 平面的______半平面。
10．设单位反馈控制系统的开环传递函数为10()1G s s =+，当系统作用有x i (t ) = 2cos(2t - 45︒)输入信号时，求系统的稳态输出为_____________________。
11．已知传递函数为2()kG s s=，则其对数幅频特性L （ω）在零分贝点处的频率数值为_________ 。
12 在系统开环对数频率特性曲线上，低频段部分主要由环节和决定。
13．惯性环节的传递函数11+Ts ，它的幅频特性的数学式是__________,它的相频特性的数学式是____________________。
14．已知系统的单位阶跃响应为()1t to x t te e --=+-，则系统的脉冲脉冲响应为__________。
Nyquist 稳定判据
K 习题5-7 已知开环传递函数为 ：s 2 s 5 s 1
试画出系统极坐标图,并确定闭环稳定条件。 分析：
系统为开环不稳定系统，有一个不稳定开环极点，如果系
统闭环稳定，开环频率特性必须逆时针绕(－1,j0)点一次。
K G ( j H ( j ) j 2 j 5 j 1 K K [ (6 2 10) j ( 3 3 )] 2 3 (6 10) j ( 3 ) (6 2 10) 2 ( 3 3 ) 2
F ( s) 1 G( s)H ( s)
开环传递函数G(s)H(s)的一般形式为：
bm s m bm 1 s m 1 ... b1 s b0 G( s)H ( s) a n s n a n 1 s n 1 ... a1 s a0 bm s m n bm 1 s m 1 n ... b1 s 1 n b0 s n a n a n 1 s 1 ... a1 s 1 n a 0 s n
( s 1.5 j 2.44)( s 1.5 j 2.44) ( s 1)( s 2)
[s]
﹣j0.577
[F(s)] 1.12
零点：-1.5±j2.44 极点：-1，-2
[s]
× ×
j
K ( s s1 )( s s2 ) ( s s z ) 0 F ( s) 1 G( s)H ( s) ( s p1 )( s p2 ) ( s p p )
0 G ( s ) H ( s ) bm 当s 趋向无穷大时，有 lim s an nm 1 lim F ( s ) 1 lim G ( s ) H ( s ) bm s s nm 1 a n nm nm
奈奎斯特稳定性判据课件
03
判据的数学模型
模型建立
01
02
03
确定系统传递函数
首先需要确定控制系统的 传递函数，包括开环和闭 环传递函数。
绘制极坐标图
将传递函数转换为极坐标 形式，以便于分析系统的 频率响应特性。
确定临界频率
根据系统的开环和闭环传 递函数，确定系统的临界 频率。
。
在生物医学工程、环境 工程等领域，利用奈奎 斯特稳定性判据研究复 杂系统的动态行为和稳
定性问题。
TH 据的未来发展
研究方向
深入研究奈奎斯特稳定性判据 的数学原理，探索其在控制系
统中的更广泛应用。
结合现代控制理论和算法， 发展新的稳定性分析方法。
研究奈奎斯特稳定性判据与其 他稳定性判据的关系，完善稳
定性理论体系。
技术发展
1
利用计算机技术和数值计算方法，提高奈奎斯特 稳定性判据的运算效率和精度。
它提供了一种有效的数学方法来分析系统的动态行为，帮助工程师预测系 统的性能和行为。
判据的应用场景
控制系统设计
在控制系统设计中，奈奎斯特稳 定性判据用于分析控制系统的稳 定性和性能。
通信系统分析
在通信系统中，奈奎斯特稳定性 判据用于分析信号传输的稳定性 和可靠性。
信号处理
在信号处理中，奈奎斯特稳定性 判据用于分析信号的频域特征和 系统的稳定性。
2
开发适用于不同控制系统的奈奎斯特稳定性判据 分析工具。
3
探索将奈奎斯特稳定性判据应用于非线性控制系 统的方法。
应用前景
01
02
03
在航空航天、电力、化 工等领域，利用奈奎斯 特稳定性判据优化控制 系统的设计和性能。
上海交大815考研控制理论基础控制理论基础(I)第4章__控制系统的稳定性分析
设系统 特征根为p1、p2、…、pn-1、pn
D ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 . .a n . 1 s a n 0
a1
a0
n
(1)1 pi
i1
各根之和
a2
a0
n
(1)2 pipj
i2
每次取两根乘积之和
全部根具
a3
a0
n
(1)3 pipjpk
i3
每次取三根乘积之和
控制理论基础 (I)
第四章 控制系统的稳定性分析
➢稳定性的定义
控制系统在外部拢动作用下偏离其原来的平衡状 态，当拢动作用消失后，系统仍能自动恢复到原 来的初始平衡状态。 注意：以上定义只适
用于线形定常系统。
(a)外加扰动
School of Mechanical & Power Engineering, SJTU
d1
c1 c2 c1
|a0 a4 |
b2
a1 a5 a1
| a1 a5 |
c1
b1 b3 b1
| b1 b3 |
d2
c1 c3 c1
性质：第一列符号改变次数== 系统特征方程含有
正实部根的个数。
School of Mechanical & Power Engineering, SJTU
B(s) D(s)
K
B(s)
k
a0 (spi) [s(j jj)][s(j jj)]
i1
j1
理想脉冲函数作用下 R(s)=1。 对于稳定系统,t 时,输出量 c(t)=0。
School of Mechanical & Power Engineering, SJTU
奈奎斯特稳定性判据
一、奈奎斯特稳定性判据 【4 Nyquist相曲线的绘制】
开环幅相曲线的绘制 精确曲线 ——由表达式取点，计算，描点。 概略曲线 ——工程方法。 概略幅相曲线的三要素：
0 1）起点： A( ), ( ) 终点：
2) 与实轴交点及交点处的频率，称为穿越频率ωx； 3) 曲线变化范围：象限，单调性。
三、例题详解
【解答】 首先将各点的坐标改写成
0.05 K 20 K 50 K , , 500 500 500
闭环系统渐近稳定的条件：
K K 20 1 0.05 500 500
或
1 50
K 500
由 20
K K 1 0.05 500 500
得 25 K 10000 得 0 K 10
【解答】 (2)
系统稳定性
Z P 2( N N_ ) 0
P 1, v 1
系统为渐近稳定系统。
三、例题详解
【例5】 某负反馈非最小相位系统，其开环传递函数为
10 G(s) H (s) s(0.2s 2 0.8s 1)
试:（1）画出半奈奎斯特曲线； （2）判定系统的稳定性。
二、对数频率特性稳定性判据
由式（3）可知：系统渐近稳定的充分必要条件是 (4)
由式（3）还可知：渐近稳定的必要条件是 N N； 发散不稳定的充分条件是 N N 。
在 c g 的条件下，当系统参数有微小变化使 c g 时，会使系统由渐近稳定变成不稳定或相反，在这 种条件下，称系统为临界稳定。
三、例题详解
【解答】 (1)
半奈奎斯特曲线
10 G( s) H ( s) s(0.2s 1)( s 1)
控制工程基础第四章控制系统的稳定性分析
此阵列称为劳斯阵列（劳斯表）。其中，各未知元素 b1,b2,b3,b4,，
c1 , c2 , c3 , c4 , ，
e1,e2 ,
f
,
1
g 1
根据下列公式计算：
b1
a1
a2 a0 a1
a3
,b2
a1
a4 a0 a1
a5
,b3
a1
a6 a0 a1
a7
,
c1
b1
a3 a1b2 b1
,
c2
b1
X
0
(s)
s
A1 p
A2 s p
Aj s p
An s p
1
2
j
n
式中，A1，A2，…，Aj，…，An为待定系数。对其进行拉氏反变换，
得单位脉冲响应函数为
x A e A e A e A e (t)
pt 1
pt 2
pjt
pt n
0
1
2
j
n
A e n
j 1
pt j
j
根据稳定性的定义，若系统稳定，应有
a a a a 0
0
0
0
ao (s
p )(s 1
p )(s 2
p) n
0
式中，p1，p2，…，pn为系统的特征根。
由根与系数的关系可知，若使全部特征根p1，p2，…，pn均具有 负实部，系统必须满足以下条件： （1）特征方程的各项系数a0，a1，a2，…，an都不等于零。 （2）特征方程的各项系数a0，a1，a2，…，an的符号都相同。 在控制工程中，一般取a0为正值，则系统稳定的必要条件为：特征方 程的各项系数a0，a1，a2，…，an均必须为正值。若a0为负值，可在特 征方程的两边同乘以-1使其变为正值。
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第四章
控制系统的稳定性分析
第四节 Nyquist 稳定性判据
基本思想：利用系统的开环频率特性判别闭 环系统的稳定性。
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一、预备知识——幅角定理 幅角定理：
F(s) 是 s 的单值有理函数，在 s 平面上任一闭合路 径包围了F(s)的Z个零点和P个极点，并且不经过F(s) 的任一零点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向旋 转一圈时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线顺时针绕原 点（Z – P）圈。即 N=Z-P （或逆时针绕原点N= P - Z圈） 其中：N为圈数 逆时针为正， 顺时针为负。
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（2）G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析--奈氏判据 因为1+ G(s)H(s) 与G(s)H(s) 之间相差1，所以系统的稳定性可表 达成： 奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件：s沿着奈氏路径绕一 圈，G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点的P圈（N= P ）。 P——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。 a.若P=0，且 N=0，即曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系 统稳定； b.若P≠0，且N=P，即曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则闭 环系统稳定，否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取： Z=PN c.若曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极点 分布在s平面的虚轴上。
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例：某系统有两个开环极点在S右半平面（P=2）
L( )
P2
0 ( )
N+- N-=1-2= -1 不等于P/2（=1） 所以，系统不稳定。
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第四节 稳定裕量
人们常用系统开环频率特性G(jω)H(jω)与GH平面 上与（-1，j0）点的靠近程度来表征闭环系统的稳定 程度。一般来说，G(jω)H(jω)离开（-1，j0）点越远， 则稳定程度越高；反之，稳定程度越低。 一、相位裕量 增益剪切频率 c ：是指开环频率特性(jω)H(jω） 的幅值等于1时的频率，即
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当 1 时， s从- j0转到+j0， G(jω)H(jω) 曲线以半径为无 穷大，顺时针转过π角（图中 虚线）。并可求得， = 1时， G(j)H(j)与实轴交 K1 。 从图可见，G(s)H(s)的奈氏曲 线顺时针绕 ( -1, j0 ) 点一圈， N = -1，又因为P =0，所以 Z = P - N=1， 说明为不稳定系统，有一个闭 环极点在s的右半平面。
Im
P 0
0
Im
P 1
0
0
R
Re
R
K
0
Re
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四、伯德图上的奈氏判据 极坐标图 伯德图 单位圆 0db线（幅频特性图） 单位圆以内区域 0db线以下区域 单位圆以外区域 0db线以上区域 负实轴 -1800线（相频特性图） 因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0） 点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L(ω)>0db时相频特性 曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。
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二、奈魁斯特稳定性判据
1、线性系统的特征方程
运动方程一般形式： r(t)——输入
n n -1
c(t)——输出
m m-1
d r(t) d r(t) d c(t) d c(t) dr(t) dc(t) b 0 r(t) a n n n a n -1 n -1 n -1 a 1 a 0 c(t) b m m m b m-1 m-1 m-1 b1 dt dt dt dt dt dt
1
j
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3. 奈氏判据 设： F S 1 Gs H s ——闭环系统特征多项式 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。 (1) 1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平 面上绘制的F(s)曲线ΓF 逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差： N= P - Z 当Z=0 即（N= P ）时，说明系统闭环传递函数无极 点在 s 右半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不 稳定的。
Im
Im
(－1，j0)
+
(－1，j0)
0
Re
_
0
Re
正穿越
负穿越
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Im
G ( j ) H ( j )
＋
＋ － ( 1, j 0)
0
Re
N ＝2
N ＝ 1
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若G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于 (-1, j0) 以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同 样有+ 1/2 次穿越和-1/2次穿越。
Im
L ( )
dB
(1, j 0)
G( j ) H ( j )
c
0
0
Re
( )
0
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参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈 判据可表述如下： 闭环系统稳定的充要条件是：当 由0变到 时， 在开环对数幅频特性 L( ) 0 的频段内，相频特性 ( ) 穿越的次数（正穿越 N 与负穿越 N 次数之差） 为 P2 。 P为开环传递函数在s右半平面的极点数。 若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即 P 0 ， 则闭环系统稳定的充要条件是：在 L( ) 0 的频段内， 相频特性 ( ) 在 线上正负穿越次数代数和为零。或 者不穿越 线 。
Kg大于1，则增益裕量为正值，系统稳定。 Kg小于1，则增益裕量为负值。系统不稳定。图中（a）、 (b)分别表示正的增益裕量和负的增益裕量。 一般说来为了得到满意的性能，相位裕量应当在 30° 60°之间，而增益裕量应当大于6dB。
23
24
25
26
27
G( j )
负增益裕量
（a） 相位裕量：
γ ωc 1800 = 180 (c )
（b）
当γ>0时，相位裕量为正，系统稳定； 当γ<0时，相位裕量为负，系统不稳定。
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L( )
.
c
Kg 0
L( )
dB 0
dB
负增益裕量 Kg 0
0
c
( )
Im
P2
0
(1, j0)
0
G ( j ) H ( j )
Re
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例: 两系统取一半奈氏曲线，试分析系统稳定性。 解: (a) : N= N+ - N –=（0-1）= -1，且已知P =0，所以 Z=P-2N=2 系统不稳定。 (b) ：K>1时，N= N+ - N - =1-1/2= -1/2，且已知P=1，所以 Z= P-2N=0，闭环系统稳定； K<1时， N = N+ - N - =0-1/2= -1/2，且已知P =1，所以 Z= P-2N=2，闭环系统不稳定； K=1时，奈氏曲线穿过 (-1,j0) 点两次，说明有两个根在虚 轴上，所以系统不稳定。
Im
Im
0
＋
( 1, j 0)
0
( 1, j 0)
Re
_
0
0
Re
G ( j ) H ( j )
G ( j ) H ( j )
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如果G(jω)H(jω)按逆时针方向铙(-1, j0) 一周，则 必正穿越一次。反之，若按顺时针方向包围点(-1, j0) 一周，则必负穿越一次。这种正负穿越之和即为 G(jω)H(jω)包围的圈数。故奈氏判据又可表述为： 闭环系统稳定的充要条件是：当 由0变化到 时， G(jω)H(jω)曲线在（-1，j0）点以左的负实轴 上的正负穿越之和为 P/2 圈。 P为开环传递函数在s右半平面的极点数。此时 Z=P-2N 若开环传递函数无极点分布在S右半平面， 即 P 0 ，则闭环系统稳定的充要条件应该是N=0： 注意：这里对应的ω变化范围是 0 。
G ( j c ) H ( j c ) 1
在控制系统的增益剪切频率ωc上，使闭环系统 达到临界稳定状态所需附加的相移（超前或迟后相 移）量，称为系统的相位裕量，记作γ。
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正增益裕量
Im[GH ]负源自位裕量Im[GH ]
1 Kg
B
1 正相位裕量
B
1
Re
1
1
Re
1 Kg
G ( j )
90 180 270 正相位裕量
( )
90
0
g
180 270
g
0
负相位裕量
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二、增益裕量
在系统的相位剪切频率ωg（ωg>0）上，开环频率特 性的倒数，称为控制系统的增量裕量，记作Kg，即
Kg G jωg H jωg
1
以分贝表示时
K g dB 20lgK g 20lg G jωg H jωg dB
特征方程
系统传递函数
a nsn a n 1sn 1 a1s a 0＝0
C(s) b ms m b m1s m1 b1s b0 R(s) a n s n a n 1s n 1 a1s a 0
R( s ) +
B(s)
系统结构为：
E ( s)
_
G( s )
C (s)
H ( s)
C(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)