约束最优化方法
拉格朗日乘数法求极值原理
拉格朗日乘数法求极值原理
格朗日乘数法，即Lagrange Multiplier方法，又称约束最优化方法,一种从满足某种条件的函数的局部最优解或全局最优解中寻找变量的方法。
它是1773年由意大利数学家罗杰拉格朗日提出的，是求解非线性最优化问题的一大利器。
拉格朗日乘数法可以用来求解约束和非约束多元函数极值问题，它利用一种被称作拉格朗日乘数的概念来解决约束最优化问题，该概念是一种把约束和目标函数化简为一个单目标函数的方法，这样就可以使用标准的最优化算法求解该函数的极值。
拉格朗日乘数法的具体原理及步骤：
首先，给定一个函数及对应的约束条件；
其次，将约束条件表示为拉格朗日函数，即将原函数及其约束条件约束到拉格朗日函数中；
第三，求这个拉格朗日函数的极值，并从极值中求出原函数的极值；
最后，得出原函数的极值以及约束条件的结果，即可求出满足约束条件的函数的最优解。
拉格朗日乘数法的实践中，可以通过求和项乘以拉格朗日乘数来形成新的函数即拉格朗日函数，其中，拉格朗日乘数代表了原函数及其约束条件之间的相互影响，其值为新函数的极值点，即求出拉格朗日乘数，就可以得到原函数的极值点。
拉格朗日乘数法在优化计算领域中有着广泛应用，它可以用来求
解解析最优化问题，也可以用来求解数值最优化问题，从而得到全局最优解或局部最优解，具有广泛的应用之用。
总之，拉格朗日乘数法是一种用于求解约束及非约束多元函数极值问题的有效算法，所得结果能够更好的满足约束条件，这正是它所独特的优势所在。
它也是经典的非线性最优化方法之一，具有广泛的应用前景。
第四章约束问题的最优化方法
当limr(k) 0 k
则(x, r(k) ) f (x) , xk * x *
例： 用内点法求
min
f
(x)
x2 1
x2 2
s.t. g( x) 1 x1 0 的约束最优解。
解:
首先构造内点惩罚函数: (
x,
r)
x2 1
x2 2
rk
ln(x1
1)
用解析法求函数的极小值，运用极值条件：
二. 直接解法：
基本思想：合理选择初始点，确定搜索方向，以迭代公式 x(k+1)= x(k)+α(k)S(k)在可行域中寻优，经过若干次迭代，收敛至最优点。 适用范围：只能求解不等式约束优化问题的最优解。
基本要点：选取初始点、确定搜索方向及适当步长。
搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。 可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足
1
u1 gu (x)
② .(x, r(k) )
m
f (x) r(k)
1
u1 gu (x)
③ .(x, r (k) )
f (x)
m
r (k) u u 1
1 gu (x)
其中：gu (x) 0,u 1,2,...m
其中：gu (x) 0,u 1,2,...m
gu(x)0, u=1,2,…,p
适用性：当前迭代点的目标函数值较前一点是下降的，即满足 F(xk+1)<F(xk)
收敛条件：
• 边界点的收敛条件应该符合 K-T 条件；
• 内点的收敛条件为： xk1 xk 1
和
最优化问题的约束条件处理方法
最优化问题的约束条件处理方法在最优化问题中，约束条件是限制优化目标的条件。
对于一个最优化问题而言，约束条件的处理是至关重要的，因为它直接影响到问题的可行解集合以及最终的优化结果。
本文将介绍几种常见的约束条件处理方法，以帮助读者更好地理解和应用最优化算法。
一、等式约束条件处理方法等式约束条件是指形如f(x) = 0的约束条件，其中f(x)是一个函数。
处理等式约束条件的常用方法是拉格朗日乘子法。
该方法通过引入拉格朗日乘子，将等式约束条件转化为目标函数的一部分，从而将原问题转化为无约束问题。
具体而言，我们可以构造拉格朗日函数：L(x,λ) = f(x) + λ·g(x)其中，g(x)表示等式约束条件f(x) = 0。
通过对拉格朗日函数求导，我们可以得到原问题的最优解。
需要注意的是，拉格朗日乘子法只能处理等式约束条件，对于不等式约束条件需要使用其他方法。
二、不等式约束条件处理方法不等式约束条件是指形如g(x) ≥ 0或g(x) ≤ 0的约束条件，其中g(x)是一个函数。
处理不等式约束条件的常用方法是罚函数法和投影法。
1. 罚函数法罚函数法通过将约束条件转化为目标函数的一部分，从而将原问题转化为无约束问题。
具体而言，我们可以构造罚函数：P(x) = f(x) + ρ·h(x)其中，h(x)表示不等式约束条件g(x) ≥ 0或g(x) ≤ 0。
通过调整罚函数中的惩罚系数ρ，可以使得罚函数逼近原问题的最优解。
罚函数法的优点是简单易实现，但需要注意选择合适的惩罚系数，以避免陷入局部最优解。
2. 投影法投影法是一种迭代算法，通过不断投影到可行域上来求解约束最优化问题。
具体而言，我们首先将原问题的可行域进行投影，得到一个近似可行解，然后利用该近似可行解来更新目标函数的取值，再次进行投影，直到收敛为止。
投影法的优点是能够处理各种类型的不等式约束条件，并且收敛性良好。
三、混合约束条件处理方法混合约束条件是指同时包含等式约束条件和不等式约束条件的问题。
最优化方法4-1第四章 约束最优化方法-KKT条件
(II) f(x)和 c i (x)（i∈I*）在 x*点可微；
（III）c i (x)（i∈I\ I*）在 x*点连续
则 S={p∈Rn | ▽f(x*)Tp<0}
与 G={ p∈Rn |▽c i(x* )Tp>0, i∈I*} 的交是空集，
（iii）▽ci(x*)(i=1,2,…,l)线性无关；
则存在一组不全为零的实数 1*… l*使得
l
▽f(x*)- i *▽c i(x*)=0 1
定义 n+l 元函数：
l
L(x, )=f(x)- Tc(x)=f(x)- ici(x) i1 为 lagrange 函数，
1
1 2
x1 x2 1 0
的 KT 点为 x* (0, 3)T,相应乘子为* (1 ,0)T。
6
例 2：验证(2,1)T 为下面约束优化问题的 K-T 点.
min
f ( x1 , x2 ) ( x1 3)2 ( x2 2)2
恰好给出等式约束问题的一阶必要条件
及 c i(x*)=0，i=1, …,l
点（X*, *）称为 lagrange 函数 L（x, ）的驻点。
几何意义是明显的：考虑一个约束的情况：
-▽f(x*)
-▽f(x ) x
▽c(x )
c(x)
▽c(x*)
这里 x* 是局部最优解，
▽f(x*)与▽c(x*) 共线，
称 为 lagrange 乘子向量。
lagrange 函数的梯度为
▽L(x, )=(▽xL,▽ L)T
非线性优化与约束优化问题的求解方法
非线性优化与约束优化问题的求解方法非线性优化问题是在目标函数和约束条件中包含非线性项的优化问题。
约束优化问题是在目标函数中加入了一些约束条件的优化问题。
解决这些问题在实际应用中具有重要意义，因此研究非线性优化和约束优化问题的求解方法具有重要的理论和实际意义。
一、非线性优化问题的求解方法非线性优化问题的求解方法有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 黄金分割法：黄金分割法是一种简单但有效的搜索方法，它通过不断缩小搜索范围来逼近最优解。
该方法适用于目标函数单峰且连续的情况。
2. 牛顿法：牛顿法利用目标函数的一阶和二阶导数信息来逼近最优解。
该方法收敛速度较快，但在计算高阶导数或者初始点选取不当时可能产生不稳定的结果。
3. 拟牛顿法：拟牛顿法是对牛顿法的改进，它通过逼近目标函数的Hessian矩阵来加快收敛速度。
拟牛顿法可以通过不同的更新策略来选择Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）方法或者DFP方法。
4. 全局优化方法：全局优化方法适用于非凸优化问题，它通过遍历搜索空间来寻找全局最优解。
全局优化方法包括遗传算法、粒子群优化等。
二、约束优化问题的求解方法约束优化问题的求解方法也有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 等式约束问题的拉格朗日乘子法：等式约束问题可以通过引入拉格朗日乘子来转化为无约束优化问题。
通过求解无约束优化问题的驻点，求得原始约束优化问题的解。
2. 不等式约束问题的罚函数法：不等式约束问题可以通过引入罚函数来转化为无约束优化问题。
罚函数法通过将违反约束条件的点处添加罚项，将约束优化问题转化为无约束问题。
3. 逐次二次规划法：逐次二次规划法是一种常用的求解约束优化问题的方法。
该方法通过依次处理逐个约束来逼近最优解，每次处理都会得到一个更小的问题，直至满足所有约束条件。
4. 内点法：内点法是一种有效的求解约束优化问题的方法。
该方法通过向可行域内部逼近，在整个迭代过程中都保持在可行域内部，从而避免了外点法需要不断向可行域逼近的过程。
约束条件下的最优化问题
在约束条件下的最优化问题是指在一定的限制条件下，寻找使目标函数达到最大或最小值的最优解。
这类问题可以通过数学建模和优化算法来解决。
常见的约束条件包括等式约束和不等式约束。
等式约束要求某些变量之间的关系满足特定的等式关系，而不等式约束则要求某些变量之间的关系满足特定的不等式关系。
数学上，约束条件可以表示为：
1. 等式约束：g(x) = 0，其中g(x)是一个关于变量x的函数。
2. 不等式约束：h(x) ≤0，其中h(x)是一个关于变量x的函数。
最优化问题的目标函数可以是线性的、非线性的，甚至是在某些特殊情况下可能是非凸的。
根据问题的具体形式，可以选择适合的优化算法进行求解，如线性规划、非线性规划、整数规划等。
常见的优化算法包括：
1. 梯度下降法：用于求解无约束或有约束的凸优化问题，在连续可导的情况下通过迭代调整参数来逐步接近最优解。
2. KKT条件法：用于求解有约束的凸优化问题，通过构建拉格朗日函数和KKT条件来确定最优解。
3. 内点法：用于求解线性规划和凸优化问题，通过在可行域内寻找目标函数的最优解。
4. 遗传算法：用于求解复杂的非线性优化问题，通过模拟自然进化过程中的选择、交叉和变异操作来搜索最优解。
5. 模拟退火算法：用于求解非线性优化问题，通过模拟固体退火的过程来逐步降低温度并接近最优解。
在实际应用中，约束条件下的最优化问题广泛应用于工程、经济、运筹学、物流等领域。
通过合理地建立数学模型，并选择合适的优化算法，可以有效地解决这类问题，并得到最优解或接近最优解的结果。
约束问题的最优化方法
m
⑤ .Φ ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln[− g u ( x)]
(k )
其中：惩罚（加权）因子 降低系数 c：
r ( 0 ) > r (1) > ....r ( k )
0< c <1
r ( k −1) ⋅ c = r ( k )
xk * → x *
当lim r ( k ) → 0
x ∈ D ⊂ Rn s.t. g u ( x ) ≥ 0, u = 1,2,..., p hv ( x ) = 0, v = 1,2,..., q min F ( x )
一. 约束优化问题解法分类： 约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。
直接解法：随机方向搜索法、复合形法、可行方向法
其中：g u ( x) ≥ 0, u = 1,2,...m
③ .Φ ( x, r ) = f ( x) − ∑ ru ( k )
(k ) u =1
m
1 g u ( x)
④ .Φ ( x, r ) = f ( x) + r
(k )
(k )
(k )
1 ∑ 2 u =1 [ g u ( x )]
m u =1
k →∞
则Φ ( x, r ( k ) ) → f ( x) ,
) x12 + x22 例： 用内点法求 min f ( x=
s.t. g ( x ) = 1 − x1 ≤ 0
的约束最优解。
2 解: 首先构造内点惩罚函数:φ ( x , r ) = x12 + x2 − r k ln( x1 − 1)
(k ) u =1 m
lim r2 H [hv ( x ( k ) )] = 0
约束最优化方法
约束最优化方法
约束最优化方法是指通过给定约束条件，寻找目标函数的最优解。
以下是一些常用的约束最优化方法：
1. 拉格朗日乘子法：将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，通过求解无约束最优化问题得到原问题的最优解。
2. 罚函数法：将约束条件转化为罚函数项，通过不断增加罚函数的权重，使目标函数逐渐逼近最优解。
3. 梯度下降法：通过迭代计算目标函数的梯度，沿着梯度的负方向搜索目标函数的最优解。
4. 牛顿法：通过迭代计算目标函数的Hessian矩阵，使用Hessian矩阵的逆矩阵乘以梯度向量来逼近最优解。
5. 遗传算法：模拟自然界的遗传机制，通过种群迭代的方式搜索最优解。
6. 模拟退火算法：模拟物理退火过程，通过随机搜索的方式搜索最优解。
7. 蚁群算法：模拟蚂蚁觅食行为，通过模拟蚂蚁的信息素传递过程来搜索最优解。
8. 粒子群算法：模拟鸟群、鱼群等群集行为，通过模拟粒子间的相互作用来搜索最优解。
这些方法各有优缺点，应根据具体问题选择合适的方法进行求解。
约束条件下的最优化问题
约束条件下的最优化问题约束条件下的最优化问题是数学和工程领域中的常见问题之一。
在这类问题中，我们需要找到一个满足一系列给定约束条件的最优解。
这类问题可以在多个领域中找到应用，包括经济学、物理学、工程学和计算机科学。
在解决约束条件下的最优化问题时，我们需要首先定义目标函数。
目标函数可以是一个需要最小化或最大化的数值指标。
我们需要确定约束条件，这些约束条件可能是等式或不等式。
约束条件反映了问题的实际限制，我们需要在满足这些限制的情况下找到最优解。
在解决这类问题时，一个常用的方法是使用拉格朗日乘子法。
这种方法基于拉格朗日函数的最优性条件，通过引入拉格朗日乘子来将约束条件融入目标函数中。
通过对拉格朗日函数进行求导，并解方程组可以找到满足约束条件的最优解。
在实践中，约束条件下的最优化问题可能会面临多个挑战。
问题的约束条件可能会很复杂，涉及多个变量和多个限制。
解决这些问题需要使用不同的数学工具和技巧。
问题的目标函数可能是非线性的，这使得求解过程更加复杂。
有时候问题可能会存在多个局部最优解，而不是一个全局最优解。
这就需要使用适当的算法来寻找全局最优解。
解决约束条件下的最优化问题有着重要的理论和实际价值。
在理论上，它为我们提供了了解优化问题的深入洞察和数学分析的机会。
在应用上，它可以帮助我们在现实世界中优化资源分配、最大化利润、降低成本等。
在工程领域中，我们可以使用最优化方法来设计高效的电路、最小化材料使用或最大化系统性能。
在总结上述讨论时，约束条件下的最优化问题是在特定约束条件下寻找最优解的问题。
通过使用拉格朗日乘子法和其他数学工具，我们可以解决这些问题并找到最优解。
尽管这类问题可能会面临一些挑战，但解决这些问题具有重要的理论和实际应用。
通过深入研究和理解约束条件下的最优化问题，我们可以在不同领域中做出更优化的决策，实现更有效的资源利用和更优秀的结果。
参考文献：1. Nocedal, J., & Wright, S. J. (2006). Numerical optimization. Springer Science & Business Media.2. Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2004). Convex optimization. Cambridge university press.3. Bazaraa, M. S., Sherali, H. D., & Shetty, C. M. (2013). Nonlinear programming: theory and algorithms. John Wiley & Sons.个人观点和理解：约束条件下的最优化问题在现实生活中起着重要的作用。
不等式约束的最优化问题
不等式约束的最优化问题1. 引言不等式约束的最优化问题是数学领域中一类常见且重要的问题。
在实际生活和工程应用中，很多问题都可以转化为最优化问题，其中包含了一些约束条件，这些约束条件可以用不等式的形式表示。
本文将从理论和应用两个方面综合讨论不等式约束的最优化问题。
2. 理论基础2.1 最优化问题的定义最优化问题是指在满足一定的约束条件下，寻找使得目标函数取得最大（或最小）值的变量取值。
最优化问题可以分为有约束和无约束两种情况，本文主要讨论带有不等式约束的最优化问题。
2.2 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是解决带有等式约束的最优化问题的重要方法，然而对于带有不等式约束的问题，拉格朗日乘子法并不适用。
取而代之的是KKT条件，即Karush–Kuhn–Tucker条件。
2.3 KKT条件KKT条件是带有不等式约束的最优化问题的解的必要条件。
KKT条件包括了原问题的约束条件和原问题的一阶和二阶必要条件。
利用KKT条件，可以将不等式约束的最优化问题转化为无约束最优化问题，从而求解出问题的最优解。
3. 解决方法3.1 梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化算法，可以用于求解无约束和有约束的最优化问题。
对于带有不等式约束的问题，可以通过将约束条件变形为罚函数的形式，从而将其转化为无约束的问题。
梯度下降法的基本思想是根据目标函数的梯度信息不断迭代更新变量的取值，使得目标函数逐渐趋近于最优解。
3.2 内点法内点法是求解带有不等式约束的最优化问题的一种高效算法。
内点法的基本思想是通过不断向可行域的内部靠近，逐渐找到问题的最优解。
内点法具有较好的收敛性和稳定性，在实际应用中使用较为广泛。
3.3 割平面法割平面法是一种用于求解带有不等式约束的整数优化问题的有效方法。
割平面法的主要思想是通过逐步添加割平面，将原问题分解为一系列子问题，利用线性规划算法求解。
割平面法可以有效地提高整数规划问题的求解效率。
4. 应用领域4.1 金融领域在金融领域中，不等式约束的最优化问题被广泛应用于投资组合优化、风险管理等方面。
运筹学-约束最优化方法
若AT的各个行向量线性无 关.根据Kuhn-Tucker条件, 在该线性规划的最优点y* 处存在乘子向量x*≥0,使得
即Ax*=b 对偶规划约束条件 及(ATy*-c)T x*=0 线性规划互补松弛条件
29
5.1.3 一般约束问题的最优性条件
定理1.3.1 在上述问题中,若 (i)x*为局部最优解, 有效集I*={i|ci(x*)=0,i∈I}; (ii)f(x),ci(x)(1≤i≤m)在x*点可微; (iii)对于i∈E∪I*, 线性无关, 则存在向量l*=(l1*,· · · ,lm*)使得
解:本问题是求点(1,1)T到如图三角形区域的最短 距离.显然唯一最优解为x*=(1/2,1/2)T.
19
例题(Fritz-John条件)
min f(x)=(x1-1)2+(x2-1)2 s.t. c1(x1,x2)=(1-x1-x2)3≥0 c2(x)=x1≥0 c3(x)=x2≥0 即
35
惩罚函数法
惩罚是手段，不是目的
KT条件中li*ci(x*)=0 称为互补松弛条件. 它表明li*与ci(x*)不能 同时不为0.
28
线性规划情形
对于线性规划问题 min f(y)=-bTy s.t. -ATy≥-c 其中 y∈Rm,A∈Rm×n, b∈Rm,c∈Rn 问题有n个约束条件. 各个约束条件关于y 的梯度为-AT的行向 量(-pi).
借助于Farkas引理,可推出存在li*≥0(i∈I*), 使得
类似与Fritz-John条件的证明,可以证明KuhnTucker条件. 有效约束函数的梯度线性无关称为KuhnTucker约束规范. 如果该约束规范不满足,最优点不一定是KT点.
05运筹与优化—非线性规划约束最优化
一、约束优化最优性条件
Page 8
拉格朗日乘子法
定义 n+l 元函数：
l
L(x, )=f(x)- Th(x)=f(x)- ihi(x) i1 为 lagrange 函数，
称 为 lagrange 乘子向量。
例：求解最优化问题
min f x2 y2 xy 3
一、约束优化最优性条件
Page 9
m
f (x ) uigi (x ) 0
i 1
ui* 0 i 1, 2, , m
uigi (x ) 0 i 1, 2, , m
(互补松弛条件)
其中：i I，且满足CQ条件
x*
g2
g1
x
f
g3 g2
f
D
一、约束优化最优性条件
Page 12
3.一般约束的Khun-Tucker条件
定理3： Khun-Tucker条件（KKT条件，K-T条件）
2.不等式约束的最优化条件
考虑不等式约束最优化问题 min f(x),x∈R n s.t. gi(x)≤0
极小值取值特点
（1）极小值点落在可行 域内（不包含边界）
（2）极小值点落在可 行域外（包含边界）
一、约束优化最优性条件
Page 10
定义:若不等式约束问题的一个可行点 x使某个不等式 约束 g j (x)≥0 变成等式，即 g j ( x)=0，则该不等式约束 gj (x)≥0,称为关于 x的有效约束。
运筹与优化— 非线性规划优化方法
Page 2
某金属制品厂要加工一批长方形容器，按规格要求，上 下底的材料为25元/m2，侧面的材料为40元/m2，试确定长、 宽、高的尺寸，在容积一定的情况下（设为90 m3 ），使 这个容器的成本最低。
运筹学 第八章 约束最优化方法
第八章 约束最优化方法无约束优化方法是优化方法中最基本最核心的部分。
但是，在工程实际中，优化问题大都是属于有约束的优化问题，即其设计变量的取值要受到一定的限制，用于求解约束优化问题最优解的方法称为约束最优化方法。
由于约束最优化问题的复杂性，无论是在理论方面的研究，还是实际中的应用都有很大的难度。
目前关于一般的约束最优化问题还没有一种普遍有效的算法。
本书重点介绍几种常用的算法，力求使读者对这类问题的求解思路有一个了解。
8.1 约束优化方法概述一、约束优化问题的类型根据约束条件类型的不同可以分为三种，其数学模型分别如下： 1）等式约束优化问题 考虑问题l1,2,...,j x h t s x f j ==0)(..)(min其中，l 1,2,...,j x h x f j =),(),(为R R n→上的函数。
记为)(fh 问题。
2）不等式约束优化问题 考虑问题m1,2,...,i x g t s x f i =≤0)(..)(min其中，m 1,2,...,i x g x f i =),(),(为R R n→上的函数。
记为)(fg 问题。
3）一般约束优化问题()()()⎩⎨⎧===≤l ,1,2,j x h m ,1,2,i x g t s x f j i L L 00..min其中，l 1,2,...,j m i x h x g x f j i ==;,2,1),(),(),(L 为R R n→上的函数。
记为)(fgh 问题。
二、约束优化方法的分类约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。
1）直接法只能求解不等式约束优化问题的最优解。
其根本做法是在约束条件所限制的可行域内直接求解目标函数的最优解。
如：约束坐标轮换法、复合形法等。
其基本要点：选取初始点、确定搜索方向及适当步长。
搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。
可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足m i x g i ,...,2,1,0)(=≤适用性：当前迭代点的目标函数值较前一点的目标函数值是下降的，即满足)()()()1(k k x F x F <+2）间接法该方法可以求解不等式约束优化问题、等式约束优化问题和一般约束优化问题。
拉格朗日乘子法介绍
拉格朗日乘子法介绍在数学中，有一种被称为拉格朗日乘子法的方法被广泛用于解决约束条件下的最优化问题。
该方法由法国数学家约瑟夫·路易·拉格朗日于18世纪末提出，并在经济学、物理学、工程学等领域得到了广泛应用。
本文将介绍拉格朗日乘子法的基本原理、应用场景以及求解方法。
一、基本原理假设有一个最优化问题，其中有一个约束条件，如下：{\displaystyle \max f(x,y)}{\displaystyle g(x,y)=0}其中，f(x,y)是待优化的目标函数，x、y是变量，g(x,y)是一个约束条件。
要求f(x,y)在满足约束条件g(x,y)=0的情况下达到最大值或最小值。
为了解决这个问题，我们需要构造一个新的函数，称为拉格朗日函数，如下：{\displaystyle L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)}其中，{\displaystyle \lambda }是一个乘子，它是一个未知的系数，需要通过求解来确定。
L(x,y,λ)称为拉格朗日函数。
我们要求的是在满足g(x,y)=0的情况下，让f(x,y)达到最大或最小值。
为了实现这个目标，我们需要让拉格朗日函数对x、y的偏导数等于0，即：{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}={\frac {\partialL}{\partial y}}={\frac {\partial L}{\partial \lambda }}=0}上述方程组被称为拉格朗日方程。
拉格朗日方程的解即为原问题的最优解。
二、应用场景拉格朗日乘子法适用于有约束条件的最优化问题。
这种问题在实际生活中很常见。
例如：1、经济学中，某个公司在生产某个产品时，有一定的生产成本和时间成本。
如果想要生产出尽可能多的产品，但同时要保证总的成本和时间都不超过一定限制，就需要使用拉格朗日乘子法来解决这个问题。
第五章约束问题的最优化方法
g1 ( x) [ 1 , 1 ]T
g2 ( x) x1 ,
g2 ( x) [ 1 , 0 ]T 。
g3 ( x) x2 ,
g3 ( x) [ 0 , 1 ]T 。
18
由K T条件得
x1 3 1 1 0 x 3 1 1 2 0 3 1 0 2
第七讲 约束非线性规划
约束极值及最优性条件
等式约束 不等式约束 一般约束问题
约束极值问题的算法
外点法 内点法 乘子法
1
一 、约束极值问题的最优性条件
1、约束极值问题的表示 min f ( x ) hi ( x ) 0 i 1 , 2 ,, m s .t . g j ( x ) 0 j 1 , 2 , , l
8
2 g3 ( x ) 0。 2
I ( x ) { 1 , 2 }。
x2 g2 ( x ) 0
g3 ( x ) 0
O
g1 ( x ) 0
x
x1
②如何判断一个方向是可行方向?
9
定理1:
给 定 点x Q , 记 点 x 的 积 极 约 束 指 标 集 为 I ( x )。 给 定 向 量 d ， 如果对任意的 i I ( x ) 有 gi ( x )T d 0 , 则 d 是 点 x 的 可 行 方 向 。
则 向 量d 是 点 x 处 的 可 行 下 降 方 向 。
证略
③极值点的必要条件: 定理3:
设 x* Q， I ( x*)是其积极约束指标集。
f ( x) 和 gi ( x) (i I ( x*)) 在点x * 处可微，
python 最优化 约束条件
python 最优化约束条件
在Python中进行优化时，可以使用多种库和方法来处理约束条件。
以下是几个常用的方法：
1. Scipy库：Scipy是一个科学计算库，提供了多个优化算法，包括处理约束条件的算法。
其中，scipy.optimize.minimize函数是一个用于无约束或有约束最小化的通用接口。
可以通过设置约束条件参数来处理不等式约束和等式约束。
2. Pyomo库：Pyomo是一个建模和优化库，用于数学优化问题的建模和求解。
它支持线性规划、混合整数规划、非线性规划等多种优化问题，并且可以方便地处理约束条件。
通过定义变量和约束，然后使用优化器求解器，可以求解具有约束条件的最优化问题。
3. CVXPY库：CVXPY是一个用于凸优化问题的建模和求解库。
它可以处理线性规划、二次规划、半定规划等多种凸优化问题，并提供了符合凸优化的语法和接口。
通过定义目标函数和约束条件，然后使用CVXPY的求解器，可以求解具有约束条件的最优化问题。
4. PyGMO库：PyGMO是一个用于多目标优化的库，可以处理带有约束条件的优化问题。
它提供了一组优化算法，包括进化算法、差分进化算法、粒子群算法等，可以通过定义变量、目标函数和约束条件，然后使用PyGMO的求解器来求解具有约束条件的最优化问题。
无论使用哪种方法，都可以通过定义变量、目标函数和约束条件来进行优化。
具体的实现方式取决于所选择的库和方法。
约束问题的最优化方法
3. 优化方法： 选用内点惩罚法，惩罚函数形式为： 6 1 T k k x,r f x r 取 x 0 1,30 , r 0 3 , c 0.7 u 1 g x u 调用 Powell 法求序列无约束优化极值，以逐渐逼近原问 题的极值点。
k 2 x r ( 1 x ) x 1时； x, r k x 1时。 x
4
min.
s.t
f (x) = x
x ∈ R1
g (x) = 1-x ≤ 0
§5.3 外点惩罚函数法
二. 惩罚函数的形式：
①
x, r ( k ) f x r k maxg u x ,0 I u g u x 0 u 1,2,...,m,
(k ) (k ) m
1 u 1 g ( x ) u
m
其中：gu ( x) 0, u 1,2,...m
1 u 1 g ( x ) u m 1 (k ) (k ) ③ . ( x, r ) f ( x) ru u 1 g u ( x) m 1 (k ) (k ) ④ .( x, r ) f ( x) r 2 u 1 [ g ( x )] u
§5.2 内点惩罚函数法
4. 求解过程分析：
§5.3 外点惩罚函数法 (衰减函数法）
一. 基本思想： 外点法将新目标函数
Φ( x , r )
构筑在可行域 D
外，随着惩罚因子 r(k) 的不断 递增，生成一系列新目标函数
Φ(xk ,r(k))，在可行域外逐步
迭代，产生的极值点 xk*(r(k)) 序列从可行域外部趋向原目标 函数的约束最优点 x* 。 例：求下述约束优化问题的最优点。 新目标函数：
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(
x
)
2 3
g 2 ( x )
0
用K-T条件求解：
f
( x)
2( x1 2( x2
3) 2) , g1 ( x)
2 x1 2x2
, g 2 (2)
1 2
1
0
g 3 ( x)
0
, g 4
1
二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件： （续）
f ( x)
m
ui g i ( x) 0
g 3 ( x1 , x2 ) x1 0
g 4 ( x1 , x2 ) x2 0
g3=0
x2
▽g2(x*) -▽f(x*)
(3,2)T
2 1
x*
▽g1(x*)
g4=0
1 23 4
g1=0
x1 g2=0
二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件： （续）
在x *点
g1 g2
( x1 , ( x1 ,
对每一个情况求得满足(1)~(6)的点(x1,x2)T及乘子u1,u2,u3,u4,验 证当满足可得，且ui≥ 0时，即为一个K-T点。
下面举几个情况：
● g1与g2交点：x=(2,1)T∈S ,I={1,2} 则u3=u4=0 解
22( (xx2 123))22uu11xx21
u2 2u
0 2 0
在ㄡ 点使f(x)下降的方向（- ▽f(ㄡ ) 方向）指向约束集合内 部，因此ㄡ不是l.opt. 。
二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件： （续）
定理（最优性必要条件）： （K-T条件）
问题(fg), 设S={x|gi(x) ≤0},x*∈S,I为x*点处的起作用集，设f,
gi(x) ,i ∈I在x*点可微， gi(x) ,i I在x*点连续。
0
i 1,2, , m(互补松弛条件)
满足K T条件的点x*称K T点。
二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件： （续）
min
f ( x1 , x2 ) ( x1 3) 2 ( x2 2) 2
例
s.t.
g1 ( x1 , x2 ) x12 x22 5 0
g 2 ( x1 , x2 ) x1 2x2 4 0
x2 x2
) )
0 0
交点（2， 1）T
起作用集I {1,2}
g1 ( x ) (2x1 ,2x2 )T (4,2)T
g 2 ( x ) (1,2)T
f ( x* ) (2( x1* 3),2( x2* 2))T (2,2)T
计算可得
u1*
1 3
u
* 2
2使
3
f
(x* )
1 3
g1
约束最优化方法
约束最优化方法
问题 min f(x)
(fgh) s.t. g(x) ≤0
分量形式略
h(x)=0
约束集 S={x|g(x) ≤0 , h(x)=0}
1 Kuhn-Tucker 条件
一、等式约束性问题的最优性条件：
考虑 (fh)
min f(x) s.t. h(x)=0
回顾高等数学中所学的条件极值：
4)
0
(4)
u3 x1 0 (5)
6个方程6个未知量
u4 x2 0 (6)
二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件： （续）
可能的K-T点出现在下列情况：
①两约束曲线的交点：g1与g2,g1与g3,g1与g4,g2与g3,g2与g4,g3与 g4。
②目标函数与一条曲线相交的情况： g1，g2, g3, g4
考虑问题
min f(x)
(fg) s.t. gi(x) ≤0 i=1,2, …,m
设 x*∈S={x|gi(x) ≤0 i=1,2, …,m}
令
I={i| gi(x*) =0 i=1,2, …,m} 称I为 x*点处的起作用集（紧约束集）。
如果x*是l.opt. ,对每一个约束函数来说，只有当它是起作用约 束时，才产生影响，如：
向量组{▽gi(x*), i ∈I}线性无关。 如果x*----l.opt. 那么，u*i≥0, i ∈I使
f (x )
u
i
g
i
(x )
0
iI
如果在x* , gi ( x)可微，i。那么，
m
f ( x ) uig i ( x ) 0
i 1
u
* i
0
i 1,2, , m
u
i
g
i
(x )
得u1
1 3 ,u2
2 3
0
故x (2,1)T 是K T点。
问题 求z=f(x,y)极值
即
在ф(x,y)=0的条件下。
引入Lagrange乘子：λ
min f(x,y) S.t. ф(x,y)=0
Lagrange函数 L(x,y;λ)= f(x,y)+ λ ф(x,y)
一、等式约束性问题的最优性条件： (续) 若(x*,y*)是条件极值，则存在λ* ，使
fx(x*,y*)+ λ* фx (x*,y*) =0 fy(x*,y*)+ λ* фy(x*,y*) =0 Ф (x*,y*)=0 推广到多元情况，可得到对于(fh)的情况：
g2(x)=0 x*
g1(x)=0
g1(x*)=0, g1为起作用约束
Kuhn-Tucker 条件
二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件： （续）
特别 有如下特征：如图
-▽f(x*) -▽f(ㄡ ) X*
▽g(x*)
▽g(ㄡ )
在x* ： ▽f(x*)+u* ▽g(x*)=0 u*>0
要使函数值下降，必须使g(x)值变大，则
i
ui 0, i 1,2, , m
ui gi (x) 0
2( x1 3) u1 2x1 u2 u3 0 (1)
2( x2 2) u1 2x2 2u2 u4 0 (2)
u1 , u2 , u3 , u4 0
u1 ( x12
x
2 2
5)
0
(3)
u
2
(
x1
2x2
-▽f(x*)
-▽f(ㄡ ) ㄡ
▽h(ㄡ )
h(x)
▽h(x*)
这里 x* ---l.opt. ▽f(x*)与 ▽h(x*) 共线，而ㄡ非l.opt. ▽f(ㄡ )与▽h(ㄡ )不共线。
最优性条件即：
h
f (x*) *j h j (x*) j 1
二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件：
min f(x) 分量形式：
s.t. hj(x)=0
j=1,2, …,l
若x*是(fh)的l.opt. ,则存在υ*∈ Rl使
l
f ( x* )
*j h j ( x* ) 0
j 1
矩阵形式：
f ( x * ) h( x * ) * 0
x
一、等式约束性问题的最优性条件： (续) 几何意义是明显的：考虑一个约束的情况：