初中九年级 锐角三角函数正切

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九年级数学正切知识点

九年级数学正切知识点

九年级数学正切知识点正文:正切(Tangent)是三角函数中的一种,它在数学中有着重要的应用。

在九年级的数学学习中,正切函数是一个重要的知识点。

本文将介绍正切函数的定义、性质以及它在求解三角形问题中的应用。

一、正切函数的定义正切函数的定义可以通过直角三角形来解释。

在一个直角三角形中,假设角A是一个锐角,A的对边长度为a,邻边长度为b。

那么角A的正切定义为对边与邻边的比值,即tanA = a/b。

二、正切函数的性质1. 定义域和值域正切函数的定义域是所有不等于π/2 + kπ (k为整数)的实数。

值域是整个实数集。

2. 奇偶性正切函数是一个奇函数,即tan(-x) = -tan(x)。

3. 周期性正切函数的周期为π,即tan(x + π) = tan(x)。

4. 导函数正切函数的导函数为sec^2(x)。

5. 正切函数的图像正切函数的图像是由无数个周期为π的波峰和波谷组成的连续曲线。

三、正切函数的应用正切函数在解决三角形问题时具有广泛的应用,下面介绍几个常见的应用。

1. 解直角三角形问题在已知一个角和一个边的情况下,可以利用正切函数求解其他未知边的长度。

例如,已知一个锐角的正切值,可以使用反正切函数求解这个角的度数。

2. 测量高度或距离当无法直接测量高度或距离时,可以利用正切函数进行间接测量。

例如,可以利用三角仪测量地标的倾斜角度,再利用正切函数求解高度。

3. 计算机图形渲染在计算机图形渲染中,正切函数用于计算物体的旋转和投影。

通过调整正切值,可以实现物体的旋转效果。

4. 信号处理在信号处理中,正切函数用于处理周期信号的相位和频率。

正切函数可以将信号从时域转换到频域,方便进行频谱分析。

以上是正切函数的定义、性质以及应用的简要介绍,正切函数作为九年级数学的重要知识点,可以帮助我们更好地理解三角函数的概念和应用。

通过掌握正切函数的性质和运用,我们能够更好地解决各种三角形相关的问题,同时也能够应用到其他领域的数学和科学问题中。

中考数学考试知识点分析:三角函数

中考数学考试知识点分析:三角函数

中考数学考试知识点分析:三角函数中考数学考试知识点分析:三角函数以下是小编带来的中考数学考试知识点分析:三角函数,欢迎阅读。

锐角三角函数定义锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a正割(sec)等于斜边比邻边;secA=c/b余割(csc)等于斜边比对边。

cscA=c/a互余角的三角函数间的关系sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.平方关系:sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)积的关系:sinα=tanα·cosαcosα=cotα·sinαtanα=sinα·secαcotα=cosα·cscαsecα=tanα·cscαcscα=secα·cotα倒数关系:tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1锐角三角函数公式两角和与差的三角函数:sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB ?cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)三角和的'三角函数:sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)辅助角公式:Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B倍角公式:sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]三倍角公式:sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα半角公式:sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))万能公式:sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]ta nα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]积化和差公式:sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式:sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]推导公式:tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2其他:sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+c os[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0函数名正弦余弦正切余切正割余割在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点的坐标为(x,y)有正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y正弦(sin):角α的对边比上斜边余弦(cos):角α的邻边比上斜边正切(tan):角α的对边比上邻边余切(cot):角α的邻边比上对边正割(sec):角α的斜边比上邻边余割(csc):角α的斜边比上对边三角函数万能公式万能公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC万能公式为:设tan(A/2)=tsinA=2t/(1+t^2) (A≠2kπ+π,k∈Z)tanA=2t/(1-t^2) (A≠2kπ+π,k∈Z)cosA=(1-t^2)/(1+t^2) (A≠2kπ+π,且A≠kπ+(π/2) k∈Z)就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)来表示,当要求一串函数式最值的时候,就可以用万能公式,推导成只含有一个变量的函数,最值就很好求了.三角函数关系倒数关系tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1商的关系sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)同角三角函数关系六角形记忆法构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型。

初中数学沪科版九年级上册《锐角三角函数(正切)》优质课公开课课件省级比赛获奖课件

初中数学沪科版九年级上册《锐角三角函数(正切)》优质课公开课课件省级比赛获奖课件
置呢?由此你能得出什么结论?
A
C2
C1
想一想
B2
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
(2) B1C1 和 B2C2 有什么关系?
AC1 AC2
(3)如果改变B2在梯子上的位
置呢?由此你能得出什么结论?
A
C2 C1
想一想
B2
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
3) tanA不表示“tan”乘以“A ”
4)初中阶段,我们只学习直角三角形中锐角 的正切。
B
练一练: 1)在Rt△ABC中∠C=90°AC=5,
12 BC=12,tanA=( 12 )
5
A
5
C
B
练一练: 2)在Rt△ABC中∠C=90°AC=5,
13 12 AB=13,tanA=( 12 )
5
D
比眼力 比速度: 哪个梯子更陡?
A E
4m
3m
B
1.5m
F
1.3m
倾斜角越大——梯子陡
铅直高度与 水平宽度的比越大——梯子陡
想一想
B1
B2
A
C2
C1
想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
B2
A
C2
(2) B1C1 和 B2C2 有什么关系?
AC1 AC2
(3)如果改变B2在梯子上的位
置呢?由此你能得出什么结论?
C1
想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形AB2C2有什么关系?
B2
A
C2

九年级三角函数知识点整理

九年级三角函数知识点整理

九年级三角函数知识点整理三角函数是数学中一个重要的概念,特别是在处理角度、弧度、三角形和圆等方面。

以下是九年级三角函数知识点整理:1. 锐角三角函数的定义:锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦(sin):等于对边比斜边,即sinA=a/c。

余弦(cos):等于邻边比斜边,即cosA=b/c。

正切(tan):等于对边比邻边,即tanA=a/b。

余切(cot):等于邻边比对边,即cotA=b/a。

正割(sec):等于斜边比邻边,即secA=c/b。

余割(csc):等于斜边比对边,即cscA=c/a。

2. 特殊角的三角函数值:对于一些特定的角度,三角函数有特定的值。

例如,当角度为30°、45°和60°时,正弦、余弦和正切的值分别是1/2、√2/2、√3/3等。

3. 互余角的关系:sin(π-α)=cosα,cos(π-α)=sinα,tan(π-α)=cotα,cot(π-α)=tanα。

4. 平方关系:sin^2(α)+cos^2(α)=1,tan^2(α)+1=sec^2(α),cot^2(α)+1=csc^2(α)。

5. 积的关系:sinα=tanα·cosα,cosα=cotα·sinα。

6. 诱导公式:对于角度的和差、倍角等运算,可以通过诱导公式简化计算。

例如,sin(A+B)和cos(A+B)可以通过诱导公式转化为sinAcosB+cosAsinB 和cosAcosB-sinAsinB。

7. 图像与性质:正弦、余弦和正切的图像是周期函数,具有对称性。

例如,正弦函数在y轴两侧对称,余弦函数在x轴上对称。

此外,三角函数的最大值和最小值以及对应的x值也是重要的知识点。

8. 应用:三角函数在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。

例如,在测量、航海、工程、物理和数学等领域中,经常需要用到三角函数的知识。

初中数学 九年级下册 28-1 锐角三角函数(教学课件)

初中数学 九年级下册 28-1 锐角三角函数(教学课件)

∵ ∠C=90°,∠A=45°∴ BC=AC=2
由勾股定理得AB=
+ =2 ∴cos A=


=


=



变式2-2 Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=,AC=6cm,那么BC等于_____.
在 △ 中,∵ =



=





A.
B.
C.

D.
【详解】作AB⊥x轴交x轴于点B,
∵A(3,4),∴AB=4,BO=3,∴AO= AB 2 + BO2 = 42 + 32 =5,
B
AB 4
= .故选C.
AO 5
∴sinα =
变式1-2 把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦函数值()
A.不变
B.缩小为原来的
在直角三角形中,当锐角 A 的度数一定时,
不管三角形的大小如何,它的对边与斜边的比是一个固定值.
′′


′′
01
锐角三角函数-正弦
在 Rt△ABC 中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作:sinA.
即 sin A=
∠所对的边
斜边
=
B


斜边
c
a 对边
∠所邻的边
斜边
B
=


斜边
c
A
正弦和余弦的注意事项:
b
邻边
a 对边
C
1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形)。
2.sinA、cosA是一个比值(数值,无单位)。

《锐角三角函数----正切》课件

《锐角三角函数----正切》课件
九年级数学(下)第一章
直角三角形的边角关系
我们从梯子的倾斜程度来进入
锐角三角函数之正切
温馨寄语:
• 锐角三角函数是描述直角三角形中边与 角的关系,它是一个变量之间重要的函 数关系。它既新奇,又富有魅力,同学 们可要与它建立好感情哟!
有的放矢 1
看看谁的本领大
大家请看这幢高楼:
直挂云帆 济沧海
你猜一猜:这幢高楼有多高?
3.tanA是一个比值(直角边之比.注意比的顺序, 且tanA﹥0,无单位.
4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角 形的边长无关.
5.角相等,则正切值相等;两锐角的正切值相等, 则这两个锐角相等.
独立
P6 习题1.1 1,2,3题 作业
1. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=13,求tanA和tanB.
(

)(

)(
.
)
A
┌ DB
7.在上图中,若BD=6,CD=12.求tanB的值.
老师提示: 模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得?
小结 拓展
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
驶向胜利 的彼岸
1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角 (注意数形结合,构造直角三角形).
2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯 省去“∠”号;
源于生活的数学:
我们从梯子的倾斜程度 来说起吧!
梯子是我们日常生活中常 见的物体
那你能比较下这两个梯子 哪个更陡吗?你有何办法?
直挂云帆 济沧海
想一想 4
生活问题数学化
直挂云帆 济沧海
梯子AB和EF哪个 更陡?你是怎样判

九年级上第四章《锐角三角函数》4.2正切

九年级上第四章《锐角三角函数》4.2正切

2019年7月12日3时46分
6
小结
2019年7月12日3时46分
锐角的三角函数包括正弦、余弦、正切.
sin

角的对边
斜边
.
cos

角的邻边
斜边
.
tanα

角的对边 . 角的邻边
灵活运用三角函数解决实际问题.
7
A
如何描述梯子在
A′
两个不同位置的
具体的倾斜程度
呢?
B′ B
C
(1)如图,一把梯子斜靠在墙上。滑动前(图中 AB)与滑动后(图中A′B′)的位置的梯子,哪一 个更陡些?你是根据什么判断的?你能用语言 向同学描述吗?
3 2
3
2
3
23 23
(3)原式=
3 33
1 ( 3 )2 3
1 1 3
1 1 3
3
2019年7月12(日34时)46分原式=
3 3

3 1
5
3.如图,一水渠的横断面为等腰梯形,渠深为1.6m, 渠底宽为1.2m, 一腰与渠底所成的内角为140º,
练一练 求渠口宽(精确到0.1m).
练一练
7
cos 的值.
B
tan 90 5 ,
7
cos
7 7 74 . 5
74 74
α
பைடு நூலகம்
sin 5 5 5 74 , 52 72 74 74
C
7
A
2019年7月12日3时46分
4
2.求下列各式的值
练一练
1 tan 60 tan 45 ;
1 tan 60 tan 45
AB 10 10 10 10

锐角三角函数正切

锐角三角函数正切

在解直角三角形的过程中,一般要用到下面一些关系:
(1)三边之间的关系
a 2 b2 c2
(勾股定理)
A c
(2)两锐角之间的关系 ∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系
b
B的对边 b tan B B的邻边 a 你能得出互为余角的两个锐角A、B正切值的关系吗?
tan A
A的对边 a A的邻边 b
问:
B’C’ BC = A’C’ AC 有什么关系?
AC BC 所以 = B’C’ A’C’
B’C’ BC = 即 A’C’ AC
在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角 形的大小如何,∠A的对边与邻边的比是一个固定值。
如图:在Rt △ABC中,∠C=90°, 我们把锐角A的对边与邻边的比 一个角的正切 表示定值、比 叫做∠A的 正切,记作 tanA。
A
C
(2) tanB=
(AC )
BC
= CD ( BD)
中考演练
1.(东营·中考)如图,小明为了测 量其所在位置,A点到河对岸B点之间 A m C
的距离,沿着与AB垂直的方向走了m
米,到达点C,测得∠ACB=α ,那么 AB等于( B )
B
(A) m·sinα 米
(C) m·cosα 米
(B) m·tanα 米
值、正值。
定义的几点说明: 1)初中阶段,正切是在直角三角形中定义的, ∠A是 一个锐角. 2) tanA是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号 时习惯省去角的符号“∠”。但角用三个字母表示时如: ∠BAC的正切表示为:tan∠BAC. 3) tanA﹥0 没有单位,它表示一个比值,即直角三角 形中锐角∠A的对边与邻边的比(注意顺序). 4) tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形 的边长无关。

九年级正切知识点

九年级正切知识点

九年级正切知识点正切(tangent)是三角函数中的一种,它可以表示一个角的斜边与其邻边之间的比值。

在九年级的数学课程中,学生将学习正切的定义、性质以及其在实际问题中的应用。

本文将介绍九年级正切的相关知识点。

一、正切的定义及性质正切的定义如下:对于一个锐角三角形ABC,角A的正切(记作tanA)等于角A的对边BC与邻边AB之间的比值,即tanA = BC/AB。

正切函数的性质如下:1. 定义域和值域:- 正切函数的定义域是不包括90度及其整数倍的角度,即D = {x | x ≠ (2k + 1)π/2, k ∈ Z}。

- 值域是整个实数集,即R。

2. 奇偶性:- 正切函数是奇函数,即tan(-x) = -tan(x)。

3. 周期性:- 正切函数的周期为π,即tan(x + π) = tan(x),其中x ∈ D。

4. 正切函数的图像:- 在定义域内,正切函数的图像呈现周期性变化,由于存在90度时的不连续点,图像中会出现无穷多个渐近线。

二、常见角的正切值在九年级正切的学习中,一些常见角的正切值需要被熟记。

以下是一些角的正切值:1. 30度角(π/6弧度)的正切值为√3/3;2. 45度角(π/4弧度)的正切值为1;3. 60度角(π/3弧度)的正切值为√3;三、正切的简化与扩展对于除了常见角之外的角度,可以通过三角函数的性质和一些数学技巧进行简化和扩展。

1. 正切的正负性:- 在第一和第三象限,正切函数的值是正数。

- 在第二和第四象限,正切函数的值是负数。

2. 利用三角恒等式:- 通过三角函数的三角恒等式,可以将不常见角的正切表达式转化为常见角的正切表达式,从而简化计算。

3. 利用双曲函数:- 正切可以用双曲正切函数来表示,即tan(x) = sinh(x)/cosh(x)。

四、正切的应用正切是数学中一个重要的函数,在实际问题中有广泛的应用。

1. 三角测量:- 在测量中,可以利用正切函数来计算无法直接测量的距离或高度。

初中数学九年级锐角三角函数知识点总结

初中数学九年级锐角三角函数知识点总结

锐角三角函数是初中九年级数学中的一个重要内容,其中包括对正弦、余弦和正切函数的理解和应用。

下面是对锐角三角函数知识点的详细总结:1.三角函数的定义:- 正弦函数(sin):对于单位圆上的一个角,其对边的长度与斜边的长度的比值。

- 余弦函数(cos):对于单位圆上的一个角,其邻边的长度与斜边的长度的比值。

- 正切函数(tan):对于单位圆上的一个角,其对边的长度与邻边的长度的比值。

2.锐角的定义:锐角是角度在0°到90°之间的角。

3.单位圆:单位圆指半径长度为1的圆,锐角三角函数可以通过单位圆来定义和理解。

4.三角函数的图像:正弦函数、余弦函数和正切函数的图像可以通过将单位圆绕过原点旋转得到。

5. 正弦函数(sin)的特点:-定义域:[0°,90°]或[0,π/2]-值域:[-1,1]-周期:360°或2π- 特殊值:sin0° = 0, sin30° = 1/2, sin45° = √2/2, sin60° = √3/2, sin90° = 1-图像特点:关于y轴对称6. 余弦函数(cos)的特点:-定义域:[0°,90°]或[0,π/2]-值域:[-1,1]-周期:360°或2π- 特殊值:cos0° = 1, cos30° = √3/2, cos45° = √2/2,cos60° = 1/2, cos90° = 0-图像特点:关于x轴对称7. 正切函数(tan)的特点:-定义域:(0°,90°)或(0,π/2)-值域:R(实数集)-周期:180°或π- 特殊值:tan30° = 1/√3, tan45° = 1, tan60° = √3, tan90° = 不存在(无限大)-图像特点:周期性递增8.三角函数之间的关系:- 正弦函数和余弦函数的关系:sinθ = cos(90° - θ)- 正切函数与正弦、余弦函数的关系:tanθ = sinθ / cosθ9.锐角三角函数的应用:-通过正弦函数、余弦函数和正切函数可以求解三角形的边长和角度大小。

九年级数学《锐角三角函数》知识点总结归纳

九年级数学《锐角三角函数》知识点总结归纳

一、三角函数的定义1. 正弦函数sinx:对于任意实数x,将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的纵坐标就是sinx。

2. 余弦函数cosx:对于任意实数x,将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的横坐标就是cosx。

3. 正切函数tanx:对于任意实数x,将sinx除以cosx就是tanx。

4. 余切函数cotx:对于任意实数x,将cosx除以sinx就是cotx。

5. 正割函数secx:对于任意实数x,将1除以cosx就是secx。

6. 余割函数cscx:对于任意实数x,将1除以sinx就是cscx。

二、三角函数的性质1. 基本关系式:sin^2x + cos^2x = 12. 周期性:sin(x+2kπ) = sinx,cos(x+2kπ) = cosx,其中k为任意整数。

3. 奇偶性:奇函数有sinx、tanx和cotx,偶函数有cosx、secx和cscx。

4. 正函数和负函数:在单位圆上,sinx和cscx为正函数,cosx和secx为负函数。

5. 三角函数的范围:sinx、cosx和tanx的范围是[-1,1],cotx、secx和cscx的范围是(-∞,∞)。

三、特殊角的三角函数值1.0°、30°、45°、60°和90°的三角函数值。

2.30°、45°、60°和90°的三角函数值的推导。

四、角度的度量转换1.度和弧度之间的转换:π弧度=180°,1°=π/180弧度。

2.角度的换算:1°=60',1'=60''。

五、倍角、半角和三倍角公式1. 倍角公式:sin2x = 2sinxcosx,cos2x = cos^2x - sin^2x,tan2x = 2tanx / (1 - tan^2x)。

2. 半角公式:sin(x/2) = ±√[(1-cosx)/2],cos(x/2) =±√[(1+cosx)/2],tan(x/2) = ±√[(1-cosx) / (1+cosx)]。

九年级数学《锐角三角函数》知识点总结归纳

九年级数学《锐角三角函数》知识点总结归纳

《锐角三角函数》是九年级数学中的一个重要的章节,它在高中数学中也有重要的应用。

下面是对《锐角三角函数》的知识点进行总结归纳。

一、角度的度和弧度制1.角度的度制:一个圆周分为360等份,每一份称为一度,用符号°表示。

2.角度的弧度制:弧度制通过角对应的弧长与半径的比值来表示。

弧度制度数=角度的度数×π/180二、正弦、余弦、正切关系1. 正弦函数:对于任意锐角A,正弦函数表示为sinA=对边/斜边。

2. 余弦函数:对于任意锐角A,余弦函数表示为cosA=邻边/斜边。

3. 正切函数:对于任意锐角A,正切函数表示为tanA=对边/邻边。

三、特殊角的值1. 30°特殊角的正弦、余弦、正切值:sin30°=1/2,cos30°=√3/2,tan30°=1/√32. 45°特殊角的正弦、余弦、正切值:sin45°=√2/2,cos45°=√2/2,tan45°=13. 60°特殊角的正弦、余弦、正切值:sin60°=√3/2,cos60°=1/2,tan60°=√3四、三角函数的基本性质1. 同角三角函数值的关系:sinA/cosA=tanA,cosA/sinA=1/tanA,sin^2A+cos^2A=12. 三角函数的周期性:sin(A+2π)=sinA,cos(A+2π)=cosA,tan(A+π)=tanA。

3. 正负关系:在第一象限,sinA>0,cosA>0,tanA>0,在第二象限,sinA>0,cosA<0,tanA<0,在第三象限,sinA<0,cosA<0,tanA>0,在第四象限,sinA<0,cosA>0,tanA<0。

五、三角函数的应用1.解三角形:根据已知两边和夹角,用余弦定理和正弦定理求解。

初三数学三角函数知识点

初三数学三角函数知识点

初三数学三角函数知识点(经典版)编制人:__________________审核人:__________________审批人:__________________编制单位:__________________编制时间:____年____月____日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。

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1.1 锐角三角函数 第1课时 正切-初中数学北师版九年级下册课件

1.1 锐角三角函数 第1课时 正切-初中数学北师版九年级下册课件

(2)B1C1 和 B2C2 有什么关系?
AC1 AC2
B1C1 B2C2 AC1 AC2
A
B1 B2
C2
C1
(3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢?
由此你能得出什么结论?
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽ Rt△AB3C3
B1C1 B2C2 B3C3 AC1 AC2 AC3
A
82
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
乙梯中, tan 5 = 5 .
132 -52 12
∵tan α>tan β,
∴甲梯更陡.
正切也经常用来描述山坡的坡度.
如图,有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m, 那么山坡的坡度就是 tan 60 = 3 .
100 5
随堂练习
1. 如图,△ABC是等腰三角形,你能根据图中所给数据求
注意
tan
A
∠A的对边 ∠A的邻边
tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角 三角形的边长无关.
角相等,则正切值相等;两锐角的正切值 相等,则这两个锐角相等.
例题详解
例1 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
4m ┐α 8m
(甲)
13m β
5m ┌
(乙)
解:甲梯中, tan 4 = 1 .
A
B1 B2
C2
C1
注意
tan
A
∠A的对边 ∠A的邻边
tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐 角(注意数形结合,构造直角三角形).
tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯 省去“∠”号(注意tanA不表示tan乘以A).
tanA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中 ∠A的对边与邻边的比.

九年级数学锐角三角函数(二)正切知识精讲 人教实验版五四制

九年级数学锐角三角函数(二)正切知识精讲 人教实验版五四制

九年级数学锐角三角函数(二)正切知识精讲 人教实验版五四制【本讲教育信息】一. 教学内容:锐角三角函数(二)正切二. 重点、难点: 1. 难点:同角、互余角三角函数的关系。

2. 重点:正切的概念,特殊角的正切值。

三. 具体内容:1. 正切的概念:在ABC Rt ∆中,︒=∠90C ,设c AB b AC a BC ===,,A ∠的正切:baAC BC A A A ===的邻边角的对边角tan2. 特殊角的正切值360tan ,145tan ,3330tan =︒=︒=︒ 3. 正切值的变化规律(︒<<︒900α) α增大,αtan 也增大 α减小,αtan 也减小 4. 同角三角函数的关系 (1)1cos sin 22=+αα (2)αααcos sin tan =【典型例题】[例1] 计算下列各式的值。

(1)︒-︒+︒+︒-︒30sin 30cos 30tan 4345tan 60cos 222(2)130sin 30sin 45tan 2)160(cos 2-︒+︒-︒+-︒解:(1)原式21)23()33(4312122-+⋅+-=021433143121=-+⋅+-=(2)原式212122221*********+=+⋅+=-+-+=[例2] 化简下列各式(︒<<︒900α)(1)αα22sin )tan 11(⋅+ (2)ααααsin 1tan tan 1sin ++解:(1)原式1cos sin sin )sin cos 1(22222=+=⋅+=ααααα(2)原式ααααααααααααααcos cos sin cos sin sin cos sin sin 1cos sin sin cos sin 22=++=++=[例3] 已知αα,53tan =为锐角,求ααααsin 3cos 2sin 5cos 4+-的值。

解法一:∵53cos sin tan ==ααα∴ααcos 53sin =∴ 原式195cos 519cos cos 533cos 2cos 535cos 4==⋅+⋅-=αααααα 解法二:原式分子分母别同除以αcos 可得19553325354tan 32tan 54=⨯+⨯-=+-αα[例4] 已知57cos sin =+αα,求:(1)ααcos sin ⋅(2)ααtan 1tan + 解:(1)由已知2549cos cos sin 2sin )cos (sin 222=++=+αααααα又 ∵1cos sin 22=+αα∴2549cos sin 21=+αα∴2512cos sin =αα(2)1225cos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin tan 1tan 22==+=+=+αααααααααααα[例5] 在ABC ∆中,03tan 1)3sin 2(2=-+-BA ,试判断ABC ∆的形状。

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变式训练
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12,tanA= 4 ,求AB的值。
3
A
解: ∵在Rt △ABC中,∠C=900,BC=12,
∴ tan A= BC
AC
= 12 = AC
4 3
B
C
∴ AC = 9
变式训练
例2:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,AC=3,AB=5, 求∠B、∠ACD 的正切值.
1). 如图 :
B
A
C
tan A=
BC AC
2). 如图 :
B
A
Ctan A=Fra bibliotekBC AC
3). 如图 :
B 7m A 10m C
1
tan A=
AC BC
2 tan A= 0.7m
3
tan A=
7 10
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角
(注意数形结合,构造直角三角形).
正切
初中数学
苏科班九年级(下册)
Jane Doe
生活与数学
问题1: 人们在行走的过程中,自行车、汽车在行驶的过程中免不了爬坡.如 下图,哪个台阶更陡?
你是如何判断?
自主探究1
下列图中的两个台阶哪个更陡?你是怎么判断的?
归纳得出:台阶的陡缓程度与 α 的大小有关。
α
α
自主探究2
问题2:哪个台阶更陡?你是如何判断的?
B
A
C
第一\二小组
第三\四小组
自主探究3
问题3:在问题2中的①、③两个台阶,你认为哪个台阶更陡?你 有什么发现?
4 8
说明台阶的倾斜角度与其垂直高度与水平宽度的比值有关
想一想
能否说明当直角三角形的一个锐角的大小确定时,其对边与邻边 比值也是确定?
自主探究3
当直角三角形的一个锐角的大小确定时,其对边与邻边比值也是 确定的.
总结提升
问题5:锐角A的对边与它的邻边的比值与锐角A这两个变量之间 是一种什么关系?
B
A
C
直角三角形中边与角的关系: 锐角的三角函数--正切函数
锐角三角函数 7.1正切
概念形成
01脑中有“图”
B
斜边c
∠A对边a
A ∠A的邻边b C
02 心中有“式”
• 在Rt △ABC中, ∠C=900,我们把 ∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的 正切,记作tanA
即:tan
A=
∠A的对边 ∠A的邻边
自主探究4
正切的定义: 在直角三角形中,我们将∠A的对边与
它的邻边的比称为∠A的正切,记作:tanA
tan A=
∠A的对边 ∠A的邻边
=
a b
你能写出∠B的正切表达式吗?
试试看.
B
对边a A 邻边b C
tan B=
∠B的对边 ∠B的邻边
=
b a
小试牛刀
判断真假:
感谢聆听 THANKS
学校:XXXXX
老师:XXXXX
日期:20160921
C
3
B
5 DA
结论:等角的正切值相等。
7.1 正切(1)
例2:如图,在等边三角形ABC中,AB=2,求tanA.
C
拓展
A
D
B
通过计算tanA的值,你对60º的正切值有什么认识?30º呢?你
还能得到其他的吗?
学以致用


通过今天的学习你有哪些办法比较哪个楼梯更陡呢?
结束寄语
锐角三角函数描述了直角三角形中边与角的关系, 它是两个变量之间的函数关系,既新奇,又富有魅力,我 们一定要与它建立好感情!
B3 B2 B1
A
C1 C2
C3
证明:∵∠A=∠A ∠AC1B1=∠AC2B2 = ∠AC3B 3 ∴ Rt△AC1B1 ∽ Rt△AC2B2∽Rt△AC3B3 B1C1 B2C2 B3C3 AC1 AC2 AC3
总结提升
从操作、实验和演绎推理我们得出:
B
A
C
当直角三角形的一个锐角的大小确定时,其对边与邻边 比值也是确定的。
例1.如图,△ABC中,∠C=90°,AB=5, AC=4,求tanA与tanB的值
B
解: ∵在Rt △ABC中,∠C=900,
5
AB=5, AC=4,有勾股定理可知 BC=3
∴ tan B=
AC BC
=
4 3
A4
C
tan B= AC = 4
BC
3
通过上述计算,你有什么发现? 互余两角的正切值互为倒数
2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号; 3.tanA是一个比值(直角边之比.注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位. 4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则正切值相等;两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等.
小试牛刀
怎样计算一个锐角的正切值:
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