弹性力学平面应力平面应变问题

在工程和机械中，许多结构或构件属于这一类问
题。如直的堤坝和隧道；圆柱形长管受到内水
（油）压力作用；圆柱形长辊轴受到垂直于纵轴
的均匀压力等，均可近似的视为平面应变问题。
y
y
o z
y
o z
y
o
x
o
x
平面应变问题
还有一种情况，当构件的纵向尺寸不很大 但两端面被刚性光滑面固定，不能发生纵向位 移时，若其他条件与上面所述相同，也属于平 面应变问题。 通常，只要是长的等直柱体或板，受到垂直于 其纵轴而且沿长度方向无变化的载荷作用时， 都可以简化为平面应变问题。下面是这种情况 下的应力、应变以及弹性力学的基本方程式。
各个方向上具有相同特性； (4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用力的关系是线性的，
外力去除后，物体可恢复原状； (5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸。
以上基本假定将作为问题简化的出发点。
§2-2 弹性力学基本方程
回顾
b’ a’
b
zx zx
xz
a
xy
c
zy zy
c’ yz yz
xz
d
研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz 的分析方法（针对任意 变形体）
dz
dy
dx
弹性体的基本假设
回顾
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
(1) 物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述； (2) 物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性； (3) 物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在
yx
xy
yx
d’
a’
1.平衡微分方程
回顾
由力平衡条件 X 0 有


x

x
x
dx dydz
xdydz

yx

yx
y
dy dxdz yxdxdz




zx

zx
z
dz
dxdy


zx
dxdyXdxdydz Nhomakorabea0
ε tu
其中 t 为微分算子 的转置
回顾


x
0
0
0


0
y

0
t



0

z


T
0
y x
0
z

y

z
0
x
3.物理方程：应力-应变的关系
由简单的轴向拉伸试验可知，在单向应力状
变不等于零。这与平面应变的情况刚好相反。
将
z
0
代入物理方程， z

1 E
z

x
y
有
z



E
x
y
由于认为板内 zx 0 zy 0 ，将其代入物理方程
yz

1 G

yz
zx

1 G

zx
，则有
yz 0
zx 0
于是，物理方程的另外三式成为
x
y
z
xy
yz
T zx
代表应变列阵和应力列阵，则应力-应变关系
可写成矩阵形式
D
其中
1

1
1
对

D

1
E1 1

2

1

0
1
0
1 0
1 2
21
称
(在 内)
几何方程 物理方程
ε tu σ Dε
(在 内) (在 内)
边界条件
nσ t
(在 t 上)
uu
(在 u 上)
其中 t u ， 为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题
任何构件都占有三维空间，在载荷或温 度变化等的作用下，物体内产生的应力、 应变和位移必然是三向的。一般说来， 它们都是三个坐标x、y、z的函数。这样 的问题称为弹性力学空间问题。

E 2（1
) xy

E
1 2
1
2

xy

平面应变和平面应力问题物理方程比较：
x

E
1 2
( x

y )

平面
y
E
1 2
( x
y)


应力
xy

G
xy

E 2（1
)
xy

E
1 2
1
2

xy

x

x
y

1


z

z

1
E1 1

2


1


x
1
y
z

xy

E
21

xy

yz

E
21

yz
zx

E
21
zx
若令
x
y
z
xy
yz
T zx
当构件形状有某些特点，并且受到特殊的 分布外力作用或温度变化影响，某些空间 问题可以简化为弹性力学的平面问题。这 些问题中的应力、应变和位移仅为两个坐 标（如x、y）的函数。平面问题可以进而 分为平面应变问题和平面应力问题两大类。
平面应变问题
设一构件（如图），其 纵向（z）尺寸远大于 横向（x，y）尺寸，且 与纵轴垂直的各截面都 相同；受到垂直于纵轴 但不沿长度变化的外力（包括体积力X、Y， 同时有Z=0）的作用，而且约束条件也不沿 长度变化。
E(1
)(1


)
2
)


x
1

y


y

(1
E(1
)(1


)
2
)

1

x
y


xy

E 2(1
)
xy

E(1 ) (1 )(1 2)

1 2 2(1
)

xy

平面应变问题
这时，可以把构件在纵向作为无限长看待。因此， 任一横截面都可以视为对称面，其上各点就不会 产生沿z向的位移，而沿x、y方向的位移也与坐标 z无关。则有
u=u(x, y), v=v(x, y), w=0
显然，在这种条件下构件所有横截面上对应点（x、 y坐标相同）的应力、应变和位移是相同的。这样， 我们只需从构件中沿纵向截出单位厚度的薄片进 行分析，用以代替整个构件的研究 。
ny nx
0 nz
nz 0

0 0 nz 0 ny nx
5. 位移边界条件
回顾
已知位移 u 边界上弹性体的位移为 u、v、w ，
则有
u u v v w w (在 u 上)
用矩阵形式表示为：
u u (在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回顾
平衡微分方程 σ b 0
0


0
00 0 00 0
1 2
21
0


1 2

21
称为弹性矩阵，由弹性常数E和 μ决定。
4. 应力边界条件
回顾
弹性体在应力边界 t 上单位面积的面力为X 、Y 、Z 。设 边界外法线的方向余弦为 nx、ny、nz ，则边界上弹性体 的应力边界条件可表示为
§2-1 弹性力学基本概念
回顾
位移 应变 应力
物体变形后的形状 物体的变形程度 物体的受力状态
弹 性 模量量
物体的材料性能
因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：
位移（u）、应变（ε）、应力（σ）
回顾
弹性力学目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行 定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程和材料物 理方程
0
y

z

w z

0,
zx

u z

w x

0

不等于零的三个应变分量是εx、εy和γxy，而且应变仅发
生在与坐标面xoy平行的平面内。
平面应变问题
将 yz 0， zx 0 代入物理方程
得
yz 0
zx 0

yz

E
21

态下，处于弹性阶段时，应力应变呈线性关
系，即 σx = Eεx 这就是虎克定律。 应力
（Hooke‘s Law）
Y
弹塑性范围
弹性范围
斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
x

1 E
x

y
z
y

1 E
y
z
x
xy

1 G


x
0
0
y
0

z




0
y
0
x z
0

0
0

0




z
y x
式中，b是体积力向量，b [ X Y Z ]T
二维问题：平衡微分方程
x yx X 0
x y xy y Y 0 x y
yz
zx

E
21



zx
将 z 0 代入物理方程
z

1 E
z

x
y
得
z x y
在z轴方向没有应变，但其应力 σz并不为零。
平面应变问题
将 z x y 代入物理方程
x

1 E
平面应变问题
对于具有以下特征的构件，可作为平面应变问题看待：
(1) 构件纵向(如z轴方向)的尺寸远大于横向(x，y轴方 向)尺寸；
(2) 与纵向(z轴)垂直的各横截面的尺寸和形状均相同； (3) 所有外力均与纵轴(z轴)垂直，并且沿纵轴(z轴)没
有变化； (4) 物体的约束(支承)条件不随z轴变化。
X Y

nx x ny xy nx yx ny y

nz nz
xz yz

Z

nx zx
ny zy
nz z

其矩阵表达式为
t nσ
(在 t 上)
其中，面积力向量 t [ X Y Z ]T ，方向余弦矩阵为
n n0x
0 ny
0 0
回顾
2.几何方程：位移-应变的关系 回 顾
B1 θ2
θ1 A1
2.几何方程：位移-应变的关系 回 顾 六个应变分量与三个位移分量间的全部关系式：
x

u x
y

v y
z

w z

xy

v x

u y

yz

w y

v z
zx

u z

w x
几何方程式的矩阵形式为
由上面的分析可知，独立的应力分量只有 σx、σy 和xy
三个。
平面应力问题
对于具有如下特征的构件，可作为平面应力 问题处理。
(1)物体沿一个坐标方向的尺寸(如沿z轴方向)远小 于沿其它两个方向的尺寸，如图所示的等厚度薄板；
(2)外力作用在周边上，并与xoy面平行，板的侧面 没有外力，体积力垂直于z轴；
(3)由于板的厚度很小，故外载荷面积力和体积力 都可看作是沿z轴方向均匀分布，并且为常量。
体积力沿板厚不变，且沿z轴方向的分力Z=0。在板 的前后表面上没有外力作用。即
zh 时
2
z 0
y
zx 0
zy 0
y
hh
2
2
o
x
oz
h
平面应力问题
在平面应力问题中，认为 z 等于零，但沿z轴的应
化简得到
x yx zx X 0
x y z
Y 0
xy y zy Y 0
x y z
Z 0
xz yz z Z 0
x y z
平衡微分方程的矩阵形式为
回顾
σb 0
其中， 是微分算子

(1
E(1
)(1


)
2
)


x
1
y


y

(1
E(1
)(1
) 2)
1
x

y
z
y

1 E
y
z
x
得
x
1
E
1 x
y
y
1
E
1 y
x

xy

1
G
xy

21
E
xy
平面应变问题
应力：如果用应变分量来表示应力分量，则有
x

(1
平面应变问题
位移：按平面应变的定义，三个方向的位移函数是
u ux, y v v(x, y) w 0
应变：由几何方程应变-位移关系，得
x

u x
1x,
y,
y

v y
3x,
y,

xy yz

u y v z

v x w y
2 x,

x
y
yz

1 G

yz
z

1 E
z

x
y
zx

1 G

zx
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
x

1
E1 1

2



x

1


y

1


z

y

1
E1 1



2


1

x

1 E
( x

y )
y

1 E
( y

x )

xy

1 G

xy

21
E
μ
τxy

如果用应变分量来表示应力分量，上面三式变为
x

1
E

2
( x
y )