【完成】第四讲特殊函数的性质(学生版)

§4 由,e ,ln x

x x 构成的函数性质

秒杀知识点

[)e,∞+．

时，min e y =．时，0

，减区间为

)

+∞，[)

+．

e,∞

=时，

e

y

min

y，x∈

)

+∞，减区间为

秒杀思路分析

由,e ,ln x x x 构成的六类函数及其变形是高考中出现频率最高的函数，如果所给函数可转化为这六类函数，可利用函数性质来判断结论并分析解题思路．如果是客观题即可“秒杀”．

【示例1】（2014年新课标全国卷Ⅰ理21）设函数()1

ln e e x x x

x b f x a -=+，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的

切线方程为()e 12y x =-+． （1）求,a b ；

（2）求证：()1f x >．

【示例2】（2016年四川卷文21）设函数2()ln f x ax a x =--，1e ()e x g x x =-．其中a ∈R ，e 为自然对数

的底数．

（1）讨论()f x 的单调性； （2）求证：当1x >时，()0g x >；

（3）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间()1,+∞内恒成立．

方法对比

【例1】（2016年黑龙江预赛）设函数()3()e 33e (2)x x f x x x a x x =-+---．若不等式()0f x 有解，则实数a 的最小值为（ ）

A ．21e

-

B ．22e

-

C ．212e +

D ．1e 1-

333e x x x x =-+-21

)33e x

x x -=-+．

)0<，(h x 0>，()h x 1e -，故，则max ()

h x 33x -+，则1e

-．故选【例2】（2014年湖南卷文9）若1201x x <<<，则（ ） A ．2121l e e n ln x x x x ->- B ．2121l e e n ln x x x x -<-

C ．1221e e x x x x >

D ．1221e e x x x x <

()u x u <

【例3】（2016年甘肃预赛）已知函数n (l )f x x x =﹒

（1）设实数k 使得()f x kx <恒成立，求k 的取值范围；

（2）设()()()g x f x kx k =-∈R ，若函数()g x 在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内存在两个零点，求k 的取值范围．

这是直接考查这类函数问题，通过ln y x

x =的图像与性质可求解．

12e <，故

12e <时，函数秒杀训练

【试题1】函数()22ln 2f x x x x =+-零点的个数为_________． 【试题2】设函数()e x f x x =，则（ ） A ．1x =为()f x 的极大值点 B ．1x =为()f x 的极小值点

C ．1x =-为()f x 的极大值点

D ．1x =-为()f x 的极小值点

【试题3】已知函数()e x f x x -=，求函数()f x 的单调区间与极值．

【试题4】求证当()1,x ∈+∞时，l 11n x x x -<<．

【试题5】设函数()ln f x x x =-，()ln g x x x =，求证()()f x g x >．

【试题6】若函数()()2

1e

ax x f x a =-∈R 在区间()0,16内有两个零点，求实数a 的取值范围．

真题回放

【试题1】（2018年全国Ⅱ卷理21）已知函数()2e x f x ax =-． （1）若1a =，求证：当0x 时，()1f x ； （2）若()f x 在()0,+∞上只有一个零点，求a ．

【试题2】（2018年全国Ⅰ卷文21）已知函数()e ln 1x f x a x =--． （1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间； （2）求证：当1e a 时，()0f x ．

【试题3】（2015年陕西卷文15）函数e x y x =在其极值点处的切线方程为______． 【试题4】（2018年东北三校二模理12）已知当()1,x ∈+∞时关于x 的方程

1ln (2)x k k

x x

+-=-有唯一实数

解，则k 值所在的范围是（ ）

A ．()3,4

B ．()4,5

C ．()5,6

D ．()6,7

【试题5】（2014年天津卷理20）已知函数()()e ,x f x x a a x =-∈∈R R ，若函数()f x 有两个零点12x x ,，且12x x <．

（1）求a 的取值范围； （2）求证：2

1

x x 随着a 的减小而增大．（节选）

【试题6】（2014年山东卷理20）设函数2ln e 2()x

f x x k x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭

（k 为常数，e 是自然对数的底数）． （1）当0k 时，求函数()f x 的单调区间；

（2）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围．

【试题7】（2015年陕西预赛）已知函数()ln f x x x =，()()23g x x ax a =-+-∈R ． （1）若对任意()0,x ∈+∞，恒有不等式()

()12

f x

g x ，求a 的取值范围；

（2）求证对任意()0,x ∈+∞，有e l 12e n x x

x >-．