第八章 弯曲和扭曲

E
←单轴应力状态下的胡克定律
即： E
2、 横向变形
横向Fra Baidu bibliotek会发生变形 横向应变
b1 b
F
F
l
l1
b b1 b b b
通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应 变和横向应变存在如下的比例关系



泊松比
泊松比 、弹性模量 E 都是材料的弹性常数，可以通过 实验测得。
工程实例
如何确定轴向拉伸（压缩）的内力和内力图？
m
F
截面法
F
m
q
F
q FN FN
F
外力 F F
F F
F'
A
内力 F
F F F
不计杆自身重量
F'
F
B
F'
A
F
F
B
en
F
F
F
胡克定律
E
（仅形变较小时成立）
E是弹性模量(杨氏模量),是描写材料本身弹性的物理量.

A
B
F
B
D 断裂点 弹性极限
l
C
O
P P 是塑性应变.
O
表8.3 密质骨的弹性模量/GPa
骨 股骨 胫骨 肱骨 桡骨 股骨 胫骨 马 25.5 23.8 17.8 22.8 牛 猪 人 17.6 18.4 17.5 18.9
0 Ep
1 G 2 2
F
§8.3弯曲和扭转
§8.3.1梁的弯曲 §8.3.2杆的扭转
13.1
工程中的弯曲变形问题
一、梁的变形
梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的 弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊， 若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格； 如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。
弹性力是保守力. 弹性力所做的功等于弹性体弹性势能的减少. 设形变量 ，直杆形变前=0；发生形变l , = l 胡克定律 外力做功 A 0
Δl
Fn SE
ES Fnd l0

l0
0
Δl
d
1 Δl 2 E ( ) Sl 0 2 l0
设未形变时势能为零， 则
弹性势能
3.剪切应变描述
剪切形变特征:
bb cc
b

b
c d
c
切应变 : 平行截面间相对滑 移与截面垂直距离之比. 即
bb tan ab
a
形变小时，
tan
bb ab
又称切变角.
§8.2.2剪切形变的胡克定律
1. 剪切形变的胡克定律 剪切形变的胡克定律——若形变在一定限度内，切 应力与切应变成正比.
二、工程实例
实例一：起重机大梁
实例二、机床摇臂
2.火车轮轴
二、 纯弯曲时的正应力
(1) 几何关系━━变形与应变
观察在竖直平面内发生纯弯曲的梁，研究其表面变形情况
弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线 段aa和bb，在梁弯曲后成为弧线，靠近梁的顶面的线段aa 缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；
1 Ep E 2V 2
弹性势能密度
0 Ep
1 E 2 2
[例题]本段标题为杆的拉伸压缩，但并非仅直杆内存在拉
伸压缩应力.如图表示装高压气体的薄壁圆柱形容器的横 断面。壁厚为d 且圆柱的半径为R. 气体压强为p ，求壁内 沿圆周切向的应力.不计容器自重且不计大气压. [解] 受力如图所示 令l为圆柱形容器的长度 按平衡条件得
d R
2 pRl 2dl 0
则，
Rp / d
2pR d d
即器壁沿圆周切向受拉应力.
§8.2 弹性体的剪切形变
§8.2.1剪切形变· 切应力与切应变 §8.2.2剪切形变的胡克定律
剪切的概念
受力特征：作用在构件两侧面上的横向外力的合力 大小相等，方向相反，作用线相距很近。 变形特征：两力间的横截面发生错动。这种变形形 式叫做剪切。
这样的例子在鸟类的骨骼和各种芦苇中可以看到， 它们既轻巧而又对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力。“
合理截面 合理截面要求上下危险点同时达到各自的许用应力。 对于塑性材料 宜设计成关于中性轴对称的截面
对于脆性材料
宜设计成关于中性轴不对称的截面
且使中性轴靠近受拉一侧。
2、合理放置截面
WZ 左
bh2 6 hb 6
2
WZ 右
竖放比横放更合理。
为降低重量，可在中性轴附近开孔。
扭转 实例1 汽车传动轴
实例2
汽车方向盘轴
§8.3.2杆的扭转
圆柱体受到作用在与其轴线垂直的两个平面上 大小相等方向相反的两个力偶矩，发生扭转形变.
M

A
r

M
A
l


扭转形变
体元剪切形变
l 、 r、 和 物理意义
是扭转角, r 表示体元所在半径，l 表示柱长.
材料名称
牌号
许用应力 /MPa 轴向拉伸 轴向压缩 170 230 160－200 7 10.3 10
低碳钢 低合金钢 灰口铸铁 混凝土 混凝土 红松（顺纹）
Q235 16Mn C20 C30
170 230 34－54 0.44 0.6 6.4
等直杆受轴向拉伸或压缩时，在离开外力作用
处较远的横截面上的正应力是均匀分布的。但是，
拉伸弹性模量 25.0 14.9 24.5 17.2 18.3 14.6 25.9 15.8
压缩弹性模量 8.7 4.9 9.4±0.4 7 8.5 5.1
肱骨 桡骨
9.0 8.4
5.0 5.3
三、部分常用材料的主要力学性能
常用材料的许用应力约值
(适用于常温、静荷载和一般工作条件下的拉杆和压杆）
§8.1 弹性体的拉伸和压缩
§8.1.1外力· 内力与应力
作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件 轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长 或缩短。
杆的受力简图为
拉伸
F F F
压缩
F
工程中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的直杆，例如：
由汽缸、活塞、连杆 所组成的机构中，带动 活塞运动的连杆由于两 端都是铰链约束，因而 也是承受轴向载荷的杆 件。
F F
F F
en
F
应力

Fn S
单位：帕, N/m2 S是横截面积
Fn是内力在外法线方向的投影,
1、纵向变形（轴向变形） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
杆件在轴线方向的伸长 纵向应变
l l1 l
l l
F
F
l
l1
Fl l S
引进比例常数E，且注意到F = FN，有
第八章 弹性体的应力和应变
§8.1 弹性体的拉伸和压缩
§8.1.1外力· 内力与应力 §8.1.2直杆的线应变
§8.1.3胡克定律
§8.1.4拉伸和压缩的形变势能
前面，我们讨论的对象是从质点到刚体，都
是理想模型，质点不考虑物体的形状、大小，刚
体有形状大小但无形变。实际上，任何物体在力 的作用下，都会发生或多或少形状大小的变（叫 做形变），有些物理现象，从本质上就是由形变 引起的，如声音在弹性媒质中的传播就和媒质内
扭转形变实质上是由剪切形变组成的. 微小形变时，狭长体元的切应变为

r l
内外层切应变不同，根据胡克定律，内外层 切应力也不同，靠外层切应力较大.
可以证明，扭转力偶矩M和扭转角 的关系为
πGR 4 M c 2l
R和 l 分别表示圆柱体的半径与长度，G为切变模量， 圆柱体扭转系数
梁的弯曲和杆的扭转都可以看成是由拉伸压缩
和剪切形变两种基本形变的组合.
§8.3.1梁的弯曲
FN1 FN 2 Fp1 Fp 2 FN1和Fp1 FN 2和Fp 2形成二力偶使梁在 p 2和Fp 2之间弯曲 F Fp 2 Fp1 M2 FN1 FN 2 M1 A A´ A A C C´ C C´
G 即 G称切变模量，由材料弹性决定. G反映材料抵抗剪
切形变的能力， 单位与弹性模量相同.
弹性模量E、切变模量G和泊松系数 之间的关系为
G E 2(1 )
2. E、G和 之间关系的定性说明 设杆所受外界拉力一定.
F
一定时，E与G成正比.
E一定时， 大G小， 小G大 单位体积剪切形变的弹性势能为
2.剪切应力互等
力偶矩
M ( F , F ) M ( F , F )
F
F
b
F
c
F a
和’分别表示上下底面和左右侧面的切应力 ( a c ) b ( b c ) a

剪切应力互等定律：作用于互相垂直的假想截面上并 垂直于该两平面交线的切应力相等.
πGR 4 c 2l
如果杆截面尺寸有突然变化，比如杆上有孔洞、沟
槽或者制成阶梯时，截面突变处局部区域的应力将 急剧增大，这种现象称为应力集中。
温度变化较大时，温度应力的数值便非常可观。为了避免过 高的温度应力，在管道中有时增加伸缩节，在钢轨各段之间留 有伸缩缝，这样就可以削弱对膨胀的约束，降低温度应力
§8.1.4拉伸和压缩的形变势能
FNl l 胡克定律(Hooke’s law),适用于拉(压)杆。 ES
式中：E 称为弹性模量(modulus of elasticity)（杨氏模量），由 实验测定，其量纲为ML-1T-2，单位为Pa；ES—— 杆的拉伸(压
缩)刚度。
FN l l ES
F F
l
l1
FN l E S l0
发生的形变密切相关，而在工程技术的许多实际
问题中，形变常常起着重要的作用。
弹性形变——在外力作用下物体变形，当外力不
超过某一限度时，当外力撤除后，在外力作用下
所发生的形状和体积的变化完全消失，而恢复原 状的形变. 弹性体——弹性形变的物体，是一种理想模型。 物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就 把它当作弹性体处理。 弹性的形变有拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲. 拉伸压缩和剪切形变是最基本的形变.
工程实例
铆钉连接
销轴连接
工 程 实 例
剪切形变· 切应力与切应变
1.切应力 剪切形变——物体受到力偶作用使物体两个平行 截面间发生相对平行移动.
物体受到力偶 F F 发生剪切变形
切应力
F S
F
A
D C
S是截面ABCD的面积，
F
B
切应力具有与正应力相同的量纲和单位.
矩形横截面梁 ，不计自重 ,如图 Fp1 Fp 2
B
B´
B
B´
弯曲形变特点: 弯曲后，靠近上缘各层发生压缩形变；靠近下
缘各层，发生拉伸形变. 处于中间的的CC´ 层(中性 层)既不伸长也不压缩.
M
A
h
A´
b
12M K Ebh3
中性层曲率
M是加于梁的力偶矩，E为材料的杨氏模量，b为梁 宽度，h为梁的高度.
提高弯曲强度和刚度的措施
——1、合理布置支座
——2、合理布置载荷
F
L/6 5FL/36
安装齿轮
靠近轴承一侧；
——3、集中力分散 F
二、梁的合理截面
1、合理设计截面
合理截面
Wz A
来衡量截面的经济性与合理性 截面越合理。
抗弯截面系数WZ越大、横截面面积A越小，
合理截面
伽利略1638年《关于两种新科学的对话和证明》 “空心梁能大大提高强度，而无须增加重量， 所以在技术上得到广泛应用。 在自然界就更为普遍了，
公式的适用条件 1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律
E
2）在计算杆件的伸长时，l 长度内其FN、A、l 均应 为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计 算或积分计算。
低碳钢(Q235)：
E 2.00 1011 Pa ~ 2.10 1011 Pa 200 GPa ~ 210 GPa