反函数和反三角函数(最新)

22
2
a
F
x4
x3
-2 2
O
E1
x=?
2x1
2
x2
y sin x, x [ , ] 22
-2
arcsina
例1：判断下列各式是否正确？并简述理由。
(1) arcsin 3
23 (2) arcsin 3
32
对
错 1
3
(3) arcsin1 2k (k Z )
2
错
arcsin 1
2
(4) arcsin( ) arcsin
错
3
3
总结 y arcsin x, x [1,1]
1
3
y [ , ]
22
余弦函数
y 有c反o函s数x吗(？x R)
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应 许多角。
y
1
· · -2
-
o
-1
· · · ·x
2 3
4
余弦函数 y co有s反x函(数x吗？[0, ])
有,因为它是一一对应函数， 同一个三角函数值只对应一个角。
2.反余弦函数
（1）定义：余弦函数 叫反余弦函数，记作 习惯记作
y 的c反o函s数x(x [0, ])
x(本义反ar函c数c)os y
y (矫a正r反c函c数o) s x
x [1,1], y [0, ]
若x a [1,1],有y arccos a,
y arctan x 习惯记作
y 有si反n函x数(吗x？ R)
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应 许多角。
y
·-2
1
·2
-
o
-1
· · ·
2 3
2
·x
4
正弦函数 y sin x有(反x函数吗[？ , ])
有,因为它是一一对应函数，
22
同一个三角函数值只对应一个角。
1.反正弦函数
（1）定义：正弦函数 叫反正弦函数，记作
2
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应 许多角。
2
2
正切函数
y tan x, x有反函(数吗？, )
有,因为它是一一对应函数，
22
同一个三角函数值只对应一个角。
3.反正切函数
（1）定义：正切函数 叫反正切函数，记作
y 的ta反n函x数(x ( , ) 22
x(本义反a函rc数ta) n y
y sin x, x [ , ], y [1,1] 22
-3
-2
-1
o
-0.5
1
1
2 2
x 3
-1
-1.5
y x -2
2
（3）熟记特殊值的反正弦函数值
(1)
arcsin1
__2____(2)
arcsin(1)
___2___
(3)
arcsin
0
__0____(4)
arcsin
1 2
___6___
y 的si反n函x数(x [ , ])
22
x arcsin y
习惯记作 y arcsin x
x [1,1], y [ , ]
22 若x a [1,1],有y arcsin a,
这里的“arcsina ”是一个角的符号.
理解和掌握 arcsi符n号a( a 1)
① arcs表i示n一a个角
对
23
(2) arccos 1
32
错 1
3
(3) arccos 0 2k (k Z ) 错
2
(4) arccos( ) arccos 错 1
3
3
3
总结 y arccos x, x [1,1]
y [0，π]。
正切函数
y tan x(x k 有反函, 数k 吗？z)
反函数和反三角函数 一、反函数 二、反三角函数
一、反函数
二、反三角函数
1.反正弦函数 arcsin x 2.反余弦函数 arccos x 3.反正切函数 arctan x 4.反余切函数 arc cot x
(1)什么样的函数有反函数? 一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
(3)
arccos
0
___2___(4)
arccos
1 2
__3____
2 (5) arccos( 1) __3____(6) arccos
2
2 2
__4______
(7) arccos(
2 2
)
3 __4______(8)
arccos
3 2
_6_____
(9) arccos(
3 2
)ห้องสมุดไป่ตู้
5 __6______
②这个角的范围是
2
,
2
即arcsin
a
2
,
2
.
（2）反正弦函数 与性质：
y ar的c图s象in x, x [1,1]
①定义域:[-1，1]。
②值域:
[ , ]
22
③单调性:
是增函数。
y
y arcsin x, x [1,1], y [ , ]
2
22
1.5
④奇函数 ⑤有界函数
21
0.5
2 -1
[0，π]。
-4
y
5 y=arccosx,x∈[-1，1]
4.5
4 y∈[0，π]
3.5 3
2.5
2
1.5
1
0.5
π
-3
-2
-1
-1
o 11
-0.5
2
3
x 4
-1
y=cosx,x∈[0，π]
yx
y∈[-1，1]
（3）熟记特殊值的反正弦函数值
(1) arccos1 __0____(2) arccos(1) ______
这里的“ arccos a ”是一个角的符号.
理解和掌握 arcc符o号s( a 1)
① arcc表o示s一个a角
②这个角的范围是
0,
即arccos 0, .
（2）反余弦函数
y ar的c图c象o与s性x质, x [1,1]
①定义域： ②值域: ③单调性:
是减函数。
④有界函数
[-1，1]。
(5)
arcsin(
1
)
___6___(6)
arcsin
2
2 2
__4______
(7) arcsin(
2 2
)
___4_____(8)
arcsin
3 2
__3____
(9) arcsin(
3 2
)
___3_____
（4）已知三角函数值求角
只有正弦函数主值区间
[ , 上的角才能用 ]
反正弦表示
关于直线y=x对称 (3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx, 正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?
没有,因为他不是一一对应函数
(4)正弦函数y=sinx在
上有[反函数, 吗？]
22
余弦函数y=cosx在[0，π] 上有反函数吗？
正切函数y=tanx在
上(有反函,数吗)？
22
正弦函数
（4）已知三角函数值求角
只有余弦函数主值区间[0， π]上的角才能用反余弦表示
2
y cos x, x [0, ]
a
F
π
-2
x x O
E1
1
2
x2
x3
-arccosa -2 arccosa
2π-arccosa 2π+arccosa
例题：判断下列各式是否正确？并简述理由。
(1) arccos 1