数值分析思考题6
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数值分析思考题 6
1、 数值计算中迭代法与直接法的区别是什么
（1）直接法是指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算求得方程
组的精确解的方法。直接法又称为精确法。
（2）迭代法是采取逐次逼近的方法，即从一个初始向量出发，按照
一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是方程组的精
x*的某邻域内具有二阶连续导数，
且
，则
二阶收敛，极限是 x*。
（3）牛顿迭代法：收敛
4、举例说明解线性方程组的 SOR 方法的最佳松弛因子与何种因素有
关
解线性方程组的 SOR 方法的最佳松弛因子与迭代矩阵的谱半径有
关，是单峰关系。经实验，当谱半径是时，松弛因子是。
Baidu Nhomakorabea
5、指出解非线性方程组的 Newton 法的主要工作量所在。分别用
2
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3
迭代公式
，收敛。
Gauss-Seidel
迭
代
公
式
，收敛。
3、 详述你所知道的非线性方程（组）的迭代法以及收敛性结果。
（ 1 ） 不 动 点 迭 代 法 ： 不 一 定 收 敛 ， 若 存 在 常 数 L<1 ， 使 得
,则收敛于 x*。
（2）斯蒂芬森迭代法：若不动点迭代公式的迭代函数 在不动点
1
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Newton 法和 Broyden 秩 1 校正方法求解如下方程组在 1, 1, 1T 点附
近的根：
12
x12
x1
x22 10 x2
4x3 7 x3 11
0, 0,
x23 10x3 8 0.
解非线性方程组的 Newton 法的主要工作量在于求解
。
牛顿解：
，
，
Broyden 秩 1 校正方法： ， ，
确解，只经过有限次运算得不得精确解。迭代法是一种逐次逼近的方
法,与直接法比较, 具有程序简单,存储量小的优点。
2、详述你所知道的线性方程组的迭代法的收敛性定理。
迭代公式
收敛的充分必要条件是
假设矩阵 M 的谱半径 ，可知 的充分必要条件是
。
迭代公式
和
,收敛。
严格对角占优线性方程组 Ax=b（其中
，
）的 Jacobi
数值分析思考题 6
1、 数值计算中迭代法与直接法的区别是什么
（1）直接法是指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算求得方程
组的精确解的方法。直接法又称为精确法。
（2）迭代法是采取逐次逼近的方法，即从一个初始向量出发，按照
一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是方程组的精
x*的某邻域内具有二阶连续导数，
且
，则
二阶收敛，极限是 x*。
（3）牛顿迭代法：收敛
4、举例说明解线性方程组的 SOR 方法的最佳松弛因子与何种因素有
关
解线性方程组的 SOR 方法的最佳松弛因子与迭代矩阵的谱半径有
关，是单峰关系。经实验，当谱半径是时，松弛因子是。
Baidu Nhomakorabea
5、指出解非线性方程组的 Newton 法的主要工作量所在。分别用
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迭代公式
，收敛。
Gauss-Seidel
迭
代
公
式
，收敛。
3、 详述你所知道的非线性方程（组）的迭代法以及收敛性结果。
（ 1 ） 不 动 点 迭 代 法 ： 不 一 定 收 敛 ， 若 存 在 常 数 L<1 ， 使 得
,则收敛于 x*。
（2）斯蒂芬森迭代法：若不动点迭代公式的迭代函数 在不动点
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v1.0 可编辑可修改
Newton 法和 Broyden 秩 1 校正方法求解如下方程组在 1, 1, 1T 点附
近的根：
12
x12
x1
x22 10 x2
4x3 7 x3 11
0, 0,
x23 10x3 8 0.
解非线性方程组的 Newton 法的主要工作量在于求解
。
牛顿解：
，
，
Broyden 秩 1 校正方法： ， ，
确解，只经过有限次运算得不得精确解。迭代法是一种逐次逼近的方
法,与直接法比较, 具有程序简单,存储量小的优点。
2、详述你所知道的线性方程组的迭代法的收敛性定理。
迭代公式
收敛的充分必要条件是
假设矩阵 M 的谱半径 ，可知 的充分必要条件是
。
迭代公式
和
,收敛。
严格对角占优线性方程组 Ax=b（其中
，
）的 Jacobi