武大12-13第1学期高数B1试卷及解答

的一组值，使
ຫໍສະໝຸດ Baidu
f
(x)
在
x
=
0
1 , x = 0.
处连续。
八、（5 分）求微分方程 y′′ + 3y′ = cos 2x 的通解。
三、（6 分）设 f (x) 在 x = a 处二阶可导，且 = f (a) f= '(a) 0, f= ''(a) 1, 求极限 lim f (x) sin(x − a) . x→a (ex − ea )3
九、（5 分）若在 x0 的某去心邻域内|
f
(x) |≤ α (x) ，且 lim α (x) = 0 ，试证明： lim
x → x0
x → x0
f
(x)
=
0
!
1
!
十、（5 分）= 设y y(x)由方= 程y f [2x + ϕ( y)]所确定,其中f 与ϕ 都是可导函数,求y′．
十一、（6分）设= f (x) lim x(1+ 1)4xt ，求 f ''(x).
t→∞
t
十四、（8 分）设 f (x) 在[0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f (0) = 0 ，对任意 x ∈ (0,1) 有 f (x) ≠ 0 ， 证明存在 c ∈ (0,1) 使 nf ′(c) = f ′(1− c) （ n 为自然数）。
f (c) f (1− c)
∫ ∫ 十五、（8 分）设 f (x) 在[0, +∞) 上连续，0 < a < b.若 +∞ f (x)dx 收敛，证明： +∞ f (ax) − f (bx)dx = f (0) ln b .
且线段 PQ 被 x 轴平分。 1)求曲线 y = f (x) 的方程。2)已知曲线 y = sin x 在[0,π ]上的弧长为 l ，试用 l 表示曲线 y = f (x) 的弧长。
!
2
!
g
(
x)
≠
0
，
lim
x → x0
f (x) g(x)
=
A ，则 lim x → x0
f (x) 必等于 0，为什
么？
−1 dx
∫ 七、（5 分）求
．
−2 x x2 −1
二、（8
分）设
f
(x)
=
aex
+ be−x sin2 x
−c
, x ∈ (− π 2
π , ),且x 2
≠
0,
试确定常数 a, b, c
!
写的答题无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 77
!
4.保持卷面清洁，不要折叠、不要弄破。
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 88
!
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 99
一、（5 分）若 lim x → x0
g
(
x)
=
0
，且在
x0
的某去心邻域内
!
武汉大学 2012-2013 学年第一学期期末考试
高等数学 B1（A 卷答题卡）
四、（5 分）指出 f (x) =
1
1 的间断点及其类型。
1+ ex
考生学号
五、（5 分）设 u, v 均是 x 的可微函数，= y(x) ln u2 + v2 ，求 dy
!
姓名
班级
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00
!
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11
!
2 1.答题前，考生先将自己的姓名、学号填写清楚，并填涂相应的 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
!
考号信息点。
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33
!
4 2.解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠笔 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
0x
0
x
a
十二、（6 分） 求函数y= (x −1) 3 x2的极值 十三、（8分） 求由不等式sin3 x ≤ y ≤ cos3 x, 0 ≤ x ≤ π 所确定的区域的面积.
4
十六、（10 分）设位于第一象限的曲线 y = f (x) 过点 ( 2 , 1 ) ，其上任一点 P(x, y) 处的法线与 y 轴的交点为 Q ， 22
! !
注意事项
作解答题：字体工整、笔迹清楚。
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 55
6 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
∫ 六、（5 分） 求函数I ( x) =
x ln t dt在区间[e, e2 ]上的最大值． e t2 − 2t +1