计算机图形学 第四章 二维图形生成和变化技术
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(1) 偏差计算 下面我们以第一象限为例来说明偏差计算的方法
1)偏差判断公式
计算机图形学
设要画线段OA，当前的位置为M，因为偏差角度很 小，所以我们用OA和OM的斜率之差来计算偏差δ。
由下图可知：
δ=tgβ－tgα=
y M
x
y A
x
y x yx
MA
AM
xx
M
A
MA
αβ
计算机图形学
当δ＜0时，表示笔在OA线段下方，应该向+Y方向走一步
Y
绘图仪 画线段
O
X
计算机图形学
三、曲线
曲线包括圆、椭圆、弧线和由许多类型的方程所确定的 图形。在计算机图形程序设计中最好将曲线定义成不能构 成直线的点的集合。曲线被认为是图形学的基础。
三次参数 曲线
计算机图形学
四、区域填充
区域填充是一个彩色区域，可以是均匀的也可以是不 均匀的，区域边界可以是直线也可以是曲线。
偏差FK≥0
FK＋1= FK－YA FK＋1= FK+XA FK＋1= FK＋YA FK＋1= FK-XA
走步方向 偏差FK< 0
＋Y -X －Y
＋X
FK＋1= FK＋XA FK＋1= FK+YA FK＋1= FK－XA
x xs x xe y ys y ye
计算机图形学
图形显示器是由一个个排列有序的像素所构成，画 一条直线实际上是根据一系列计算出来并与该线靠近的 像素而绘制。
由象素组 成的线段
因此，显示器划分的像素点越多分辨率越高
计算机图形学
绘图仪绘制线段是笔在X,Y方向移动，画线时单方向的一 次移动距离称为步矩，设备的步矩越小，绘出的图形越精确。
阴影填充 元素图
计算机图形学
4.2 直线段的生成
直线段是最基本的图形，因此，直线段生成的质量好
坏与速度快慢将直接影响整个图形生成的质量和速度。
直线生成算法在图形软件设计中起着关键的作用。
下面介绍几种直线生成算法：
①逐点比较法
②③数Br值ese微nh分第am法四法（章DDA二法维） 图形生成和变换技术
第四章 二维图形生成和变换技术
4.1 基本绘图元素
4.2 直线段的生成
4.3 曲线的生成
4.4 区域填充
4.5 二维图形变换
4.6 二维图像裁剪
4.7 反走样技术
计算机图形学
一、点
点是图形中最基本的图素，直线、曲线以及其他的图元
都是点的集合。在计算机图形学中，点是用数值坐标来表
示的。
在三维坐标系中点
可提供不同的内部填充类型用以充满区域内部，填充 的类型可能是不同的颜色，不同的灰度或者不同的填充图 案。还可以用方程生成的梯度变化曲线完成填充过程。阴 影填充可以通过来自一个光源的投影直线计算出，因而在 填充区域中的像素相应地发生变化。用户可根据系统硬件 和软件，用一种或几种色彩进行填充，也可使用多种颜色 填充区域。
计算工作量大， 为了简化计算，可设法用前一点的偏差来推算后一 点的走步方向以及走步后的偏差，这种方法称为递推法。递推公式 很容易用计算机实现。
计算机图形学
递推公式可根据下图用偏差函数判断笔进方向的图例得出
设笔当前位置为 M1(X1，Y1)，此时F1＝ Y1XA－ YAX1＜0，应走+Y一步到M2即X2 ＝X1，Y2=Y1＋1，＋1表示走一步M2处 的偏差为：F2=Y2XA－YAX2=F1＋XA（用 X2＝X1，Y2=Y1＋1代入得到）
在直角坐标系中 Y 点由（x，y）两 Y
个数值组成的坐
是由（x，y，z） 三个数值组成的坐 标表示
标表示
X
XZ
图 4.2 点在二维、三维坐标系统中的表示
计算机图形学
二、直线
一条直线是指所有在它上面的点的集合，在图形学 中研究的对象是直线段。
已知线段的起点坐标(Xs, Ys)。终点坐标(Xe, Ye)这 两点就确定了这条线段，并用线段上的任意一点(x, y)均 满足：
……n）。
偏差Fi的推算，只用到终点坐标值XA ，YA而与中间点的坐标值无
关，且只需进行加减运算。
计算机图形学
3）任意象限偏差计算 对于第二、三、四象限的直线，也可类似推出。当直 线段处于第二、三、四象限时，偏差值的计算及走步 方向如下表所示：
直线段位 置
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
走步方向 ＋X +Y -X －Y
计算机图形学
Computer Graphics
第四章 二维图形生成和变化技术
4.1
基本绘图元素
4.2
直线段的生成
4.3
曲线的生成
4.4
区域填充
4.5
二维图形变换
4.6
二维图形剪裁
4.7
反走样技术
计算机图形学
第四章 二维图形生成和变化技术
又称立体三图图维形形图，形即最图终 片还 、是 屏用 幕二 、维 纸 张等的形式来表示。
图形设备显示
曲线段时，最
终还是将曲线
段转化成一系
列直线段逼近
又称平面
表示
图形因图此形，所有无图论什形么我复们杂都图可形以，看它成们是无由直线段组成。
对二非维是图由形直的线处段理和是曲计线算段机组图成形学的基础
（三wenku.baidu.com图形经投影后最终变
成了二维图形）
计算机图形学
4.1 基本绘图元素
在第二章我们已讨论过坐标系统的世界坐标系、规 范坐标系和设备坐标系三种坐标系。坐标系统确定之后 ，需要使用不同的绘图元素来描述图形，它们是点、直 线、曲线和其他基本的图形元素。
当δ＞0时，表示笔在OA线段上方，应该向+X方向走一步
由于分母XMXA＞0，因此只需判断分子 YMXA－YAXM的正负
即可，得偏差公式：
FM＝YMXA－YAXM
对任意点，偏差函数的一般形式为：
Fi＝XAYi－YAXi
其中，XA，YA是终点A坐标。
αβ
2）递推公式 由公式可以看出，由于每次要计算两次乘法和一次减法，所以
4.1 基本绘图元素
4.2 直线段的生成
4.3 曲线的生成
4.4 区域填充
4.5 二维图形变换
4.6 二维图像裁剪
4.7 反走样技术
计算机图形学
一、逐点比较法
1. 定义 在绘图过程中绘图笔每走一步就与规定的图形进行
比较，然后决定下一步走向，用步步逼近的方法画出规 定的图形（对于显示器原理相同） 2. 逐点比较法执行过程
若F2≥0，应走＋X一步到M3，则X3=X2
＋1，Y3=Y2，M3处的偏差为：F3=Y3XA
－YAX3=Y2XA－YAX2－YA=F2－YA
这样依次进行下去，就得到第i步的递推公式 ：
当Fi≥0时，向+X方向走一步，此时偏差Fi＋1＝Fi－YA（i=1，2， ……n）。
当Fi≤0时，向+Y方向走一步，此时偏差Fi＋1＝Fi＋XA（i=1，2，
1)偏差判断公式
计算机图形学
设要画线段OA，当前的位置为M，因为偏差角度很 小，所以我们用OA和OM的斜率之差来计算偏差δ。
由下图可知：
δ=tgβ－tgα=
y M
x
y A
x
y x yx
MA
AM
xx
M
A
MA
αβ
计算机图形学
当δ＜0时，表示笔在OA线段下方，应该向+Y方向走一步
Y
绘图仪 画线段
O
X
计算机图形学
三、曲线
曲线包括圆、椭圆、弧线和由许多类型的方程所确定的 图形。在计算机图形程序设计中最好将曲线定义成不能构 成直线的点的集合。曲线被认为是图形学的基础。
三次参数 曲线
计算机图形学
四、区域填充
区域填充是一个彩色区域，可以是均匀的也可以是不 均匀的，区域边界可以是直线也可以是曲线。
偏差FK≥0
FK＋1= FK－YA FK＋1= FK+XA FK＋1= FK＋YA FK＋1= FK-XA
走步方向 偏差FK< 0
＋Y -X －Y
＋X
FK＋1= FK＋XA FK＋1= FK+YA FK＋1= FK－XA
x xs x xe y ys y ye
计算机图形学
图形显示器是由一个个排列有序的像素所构成，画 一条直线实际上是根据一系列计算出来并与该线靠近的 像素而绘制。
由象素组 成的线段
因此，显示器划分的像素点越多分辨率越高
计算机图形学
绘图仪绘制线段是笔在X,Y方向移动，画线时单方向的一 次移动距离称为步矩，设备的步矩越小，绘出的图形越精确。
阴影填充 元素图
计算机图形学
4.2 直线段的生成
直线段是最基本的图形，因此，直线段生成的质量好
坏与速度快慢将直接影响整个图形生成的质量和速度。
直线生成算法在图形软件设计中起着关键的作用。
下面介绍几种直线生成算法：
①逐点比较法
②③数Br值ese微nh分第am法四法（章DDA二法维） 图形生成和变换技术
第四章 二维图形生成和变换技术
4.1 基本绘图元素
4.2 直线段的生成
4.3 曲线的生成
4.4 区域填充
4.5 二维图形变换
4.6 二维图像裁剪
4.7 反走样技术
计算机图形学
一、点
点是图形中最基本的图素，直线、曲线以及其他的图元
都是点的集合。在计算机图形学中，点是用数值坐标来表
示的。
在三维坐标系中点
可提供不同的内部填充类型用以充满区域内部，填充 的类型可能是不同的颜色，不同的灰度或者不同的填充图 案。还可以用方程生成的梯度变化曲线完成填充过程。阴 影填充可以通过来自一个光源的投影直线计算出，因而在 填充区域中的像素相应地发生变化。用户可根据系统硬件 和软件，用一种或几种色彩进行填充，也可使用多种颜色 填充区域。
计算工作量大， 为了简化计算，可设法用前一点的偏差来推算后一 点的走步方向以及走步后的偏差，这种方法称为递推法。递推公式 很容易用计算机实现。
计算机图形学
递推公式可根据下图用偏差函数判断笔进方向的图例得出
设笔当前位置为 M1(X1，Y1)，此时F1＝ Y1XA－ YAX1＜0，应走+Y一步到M2即X2 ＝X1，Y2=Y1＋1，＋1表示走一步M2处 的偏差为：F2=Y2XA－YAX2=F1＋XA（用 X2＝X1，Y2=Y1＋1代入得到）
在直角坐标系中 Y 点由（x，y）两 Y
个数值组成的坐
是由（x，y，z） 三个数值组成的坐 标表示
标表示
X
XZ
图 4.2 点在二维、三维坐标系统中的表示
计算机图形学
二、直线
一条直线是指所有在它上面的点的集合，在图形学 中研究的对象是直线段。
已知线段的起点坐标(Xs, Ys)。终点坐标(Xe, Ye)这 两点就确定了这条线段，并用线段上的任意一点(x, y)均 满足：
……n）。
偏差Fi的推算，只用到终点坐标值XA ，YA而与中间点的坐标值无
关，且只需进行加减运算。
计算机图形学
3）任意象限偏差计算 对于第二、三、四象限的直线，也可类似推出。当直 线段处于第二、三、四象限时，偏差值的计算及走步 方向如下表所示：
直线段位 置
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
走步方向 ＋X +Y -X －Y
计算机图形学
Computer Graphics
第四章 二维图形生成和变化技术
4.1
基本绘图元素
4.2
直线段的生成
4.3
曲线的生成
4.4
区域填充
4.5
二维图形变换
4.6
二维图形剪裁
4.7
反走样技术
计算机图形学
第四章 二维图形生成和变化技术
又称立体三图图维形形图，形即最图终 片还 、是 屏用 幕二 、维 纸 张等的形式来表示。
图形设备显示
曲线段时，最
终还是将曲线
段转化成一系
列直线段逼近
又称平面
表示
图形因图此形，所有无图论什形么我复们杂都图可形以，看它成们是无由直线段组成。
对二非维是图由形直的线处段理和是曲计线算段机组图成形学的基础
（三wenku.baidu.com图形经投影后最终变
成了二维图形）
计算机图形学
4.1 基本绘图元素
在第二章我们已讨论过坐标系统的世界坐标系、规 范坐标系和设备坐标系三种坐标系。坐标系统确定之后 ，需要使用不同的绘图元素来描述图形，它们是点、直 线、曲线和其他基本的图形元素。
当δ＞0时，表示笔在OA线段上方，应该向+X方向走一步
由于分母XMXA＞0，因此只需判断分子 YMXA－YAXM的正负
即可，得偏差公式：
FM＝YMXA－YAXM
对任意点，偏差函数的一般形式为：
Fi＝XAYi－YAXi
其中，XA，YA是终点A坐标。
αβ
2）递推公式 由公式可以看出，由于每次要计算两次乘法和一次减法，所以
4.1 基本绘图元素
4.2 直线段的生成
4.3 曲线的生成
4.4 区域填充
4.5 二维图形变换
4.6 二维图像裁剪
4.7 反走样技术
计算机图形学
一、逐点比较法
1. 定义 在绘图过程中绘图笔每走一步就与规定的图形进行
比较，然后决定下一步走向，用步步逼近的方法画出规 定的图形（对于显示器原理相同） 2. 逐点比较法执行过程
若F2≥0，应走＋X一步到M3，则X3=X2
＋1，Y3=Y2，M3处的偏差为：F3=Y3XA
－YAX3=Y2XA－YAX2－YA=F2－YA
这样依次进行下去，就得到第i步的递推公式 ：
当Fi≥0时，向+X方向走一步，此时偏差Fi＋1＝Fi－YA（i=1，2， ……n）。
当Fi≤0时，向+Y方向走一步，此时偏差Fi＋1＝Fi＋XA（i=1，2，