电气自动化专升本电路复习 8章 相量法

8－1 将下列复数化为极坐标形式：
（1） F1 = −5 − j5 ；（2） F2
= −4 + j3 ；（3） F3
= 20 + j 40 ；
（4） F4 = j10 ；（5） F5 = −3 ；（6） F6 = 2.78 + j9.20 。
解：（1） F1 = −5 − j5 = a ∠θ
a = (−5)2 + (−5)2 = 5 2
第八章 相量法
求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。引用相量 法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳 态响应的数学运算。
所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC 元件用阻抗或导纳表示，画 出电路的相量模型，利用 KCL,KVL 和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电 流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握 ：（1）正弦信号的 相量表示；（2）KCL,KVL 的相量表示；（3）RLC 元件伏安关系式的相量形式；（4） 复数的运算。这就是用相量分析电路的理论根据。
F1
10∠ − 73o F5 = 5∠ −180o
= 2∠ − 73o + 180o = 2∠107o
8－6 若已知。 i1 = −5 cos(314t + 60o )A,i2 = 10 sin(314t + 60o ) A, i3 = 4 cos(314t + 60o )A
（1） 写出上述电流的相量，并绘出它们的相量图； （2） i1与 i2 和 i1与 i3 的相位差； （3） 绘出 i1的波形图； （4） 若将 i1表达式中的负号去掉将意味着什么？ （5） 求 i1的周期 T 和频率 f。 解：（1） i1 = −5 cos(314t + 60o ) = 5cos(314t + 60o − 180o ) = 5cos(314t −120o )
ω 314 f1 = f2 = 2π = 2π = 50Hz
周期
11
T1 = T2
=
f
= = 0.02s 50
（2） u1 和 u2 的相量形式为
U&1 = 220∠ −120oV
U& 2 = 220∠30oV
故相位差为 ϕ = ϕ1 − ϕ2 = −120o − 30o = −150o
相量图见题解图（b）所示。
θ
=
arctan
Байду номын сангаас
−5 −5
=
−135o (因 F1在第三象限)
故 F1的极坐标形式为 F1 = 5 2∠ −135o
（2） F2 = −4 + j3 = (−4)2 + 32 ∠ arctan(3 − 4) = 5∠143.13o （ F2 在第二
象限）
（3） F3 = 20 + j40 = 202 + 402 ∠ arctan(40 20) = 44.72∠63.43o （4） F4 = 10 j = 10∠90o （5） F5 = −3 = 3∠180o
（6） F6 = 2.78 + j9.20 = 2.782 + 9.202 ∠ arctan(9.20 2.78) = 9.61∠73.19o
注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即 F = a1 + ja 2 = a∠θ = ae jθ ,它们相互转换的关系为：
a=
a12
+
题 8－11 图 解法一： （a） 图：设回路中电流 I& = I∠0o ，根据元件的电压、电流相量关系，可得
则总电压
题 8－11 图 U& R = RI& = RI∠0o = 30∠0oV U& L = jX L I& = X L I∠90o = 60∠90oV U& S = U& R + U& L = 30 + j60V
有效值关系 相位关系
U R = RI R
θu = θi
相量图
所以总电压
U&C = − jX C I& = X C I∠ − 90o = 100∠ − 90oV U& S = U& R + U& L + U& C = 15 + j80 − 100 j = 15 − j20V
Asin 60o = 175sin ϕ
把以上两式相加，得等式
A2 + 100A − 20625 = 0
解得
A = −100 ±
1002 + 4 × 20625 ⎧ 102.07
2
= ⎩⎨− 202.069
sinϕ =
Asin 60 102.07 × =
3 2
= 0.505
所以
175
175
ϕ = 30.34o
（1） 画出它们的波形图，求出它们的有效值、频率 f 和周期 T； （2） 写出它们的相量和画出其相量图，求出它们的相位差； （3） 如果把电压 u2 的参考方向反向，重新回答（1），（2）。 解：（1）波形如题解 8－8 图（a）所示。
题解 8－8 图
有效值为 u1 = u2 = 220V u2
频率
（2）因为U&1 = 50∠30oV ,U& 2 = −100∠ −150oV = 100∠30oV 故相位差为ϕ = 30o − 30o = 0o ，即 u1与 u2 同相位。
8－8 已知： u1 (t) = 220 2 cos(314t −120o )V u2 (t) = 220 2 cos(314t + 30o )V
（3） u2 的参考方向反向， u2 （t）变为－ u2 （t），有效值、频率和周期均 不变，－ u2 （t）的相量为U& 2 = 220∠30 −180o = 200∠ −150oV
故 u1 和 u2 的相位差为 ϕ = ϕ1 − ϕ 2 = −120o − (−150o ) = 30o
波形图和向量图见题解图（a）和（b）。
ϕ13 = ϕ1 − ϕ3 = −120o − 60o = −180o （3） i1（t）的波形图见题解图（b）所示。 （4）若将 i1（t）中的负号去掉，意味着 i1的初相位超前了 180 o 。即 i1的 参考方向反向。 （5） i1（t）的周期和频率分别为
T = 2π = 2π = 0.02s = 20ms ω 314
=
5∠143.13o 9.61∠73.19o
= 0.52∠69.94o
8－5 求 8－2 题中的 F1 + F5 和 F1 F5 。
解： F1 + F 5 = 10 ∠ − 73 o + 5∠ − 180 o
= 10 cos( −73o ) + j10sin(−73o ) − 5
= −2.08 − j9.56 = 9.78∠ −102.27o
（1）写出 u1， u2 的时域形式；（2） u1与 u2 的相位差。 （1） u1 (t) = 50 2 cos(2πft + 30o ) = 50 2 cos(628t + 30o )V
u2 (t) = −100 2 cos(2πft −150o ) = 100 2 cos(628t −150o = 180o )V = 100 2 cos(628t + 30o )V
U& = 10 ∠ −110oV 2
I& = 2 ∠ − 50o A 2
其波形和相量图见题解图(a)和图（b）所示。
题解 8－9 图 （2）相位差 ϕ = ϕu − ϕi = −110o − (−50o ) = −60o ，说明电压落后于电流 60o 。
8－10 已知图示三个电压源的电压分别为：
ua = 220 2 cos(ωt + 10o )V ， ub = 220 2 cos(ωt −110o )V ， uc = 220 2 cos(ωt + 130o )V ， 求：（1）3 个电压的和；（2） uab ,ubc ；（3）画出它们的相量图。
所以 us 的有效值为 U S = 302 + 602 = 67.08V （b） 图：设回路中电流相量 I& = I∠0o A，因为 U& R = RI& = RI∠0o = 15∠0oV U& L = jX L I& = X L I∠90o = 80∠90oV
元件 电阻 R
相量关系 U& R = RI&R
8－4 求 8－1 题中的 F2 • F 6 和 F2 F 6 。
解： F2 × F 6 = (−4 + j3) × (2.78 + j9.20) = 5∠143.13o × 9.61∠73.19o
= 48.05∠216.32o = 48.05∠ −143.68o
F2
F6
=
−4+ j3 2.78 + j9.20
i2 = 10 sin(314t + 60o ) = 10 cos(314t − 30o )
故 i1 ， i2 和 i3 的相量表达式为
I&1 =
5 2
∠ −120o
A, I&2
=
10 2
∠ − 30o A, I&3
=
4 ∠60o A 2
其相量图如题解图（a）所示。
题解 8－6 图 （2）ϕ12 = ϕ1 − ϕ2 = −120o − (−30o ) = −90o
题解 8－10 图 解： ua ， ub ， uc 的相量为
U& a = 220 ∠ 10 o V
U&b = 220∠ − 110oV U& c = 220∠130oV （1）应用相量法有 U& a + U& b + U& c = 220∠10o + 220∠ −110o + 220∠130o
=0 即三个电压的和 ua (t) + ub (t) + uc (t) = 0
（2）U& ab = U& a − U& b = 220∠10o − 220∠ −110o = 220 3∠40oV
U&bc = U& b − U& c = 220∠ − 110o − 220∠130o = 220 3∠ − 80oV
（3）相量图如题解 8－10 图所示。
题解 8－10 图
8－11 已知图（a）中电压表读数为V1 : 30V ； V2 : 60V ；图（b）中的V1 :15V ； V2 : 80V ； V3 :100V 。（电压表的读数为正弦电压的有效值。）求图中电压U s 。
f = 1 = ω = 1 = 50Hz T 2π 0.02
注：定义两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差，因此在 比较相位差时，两个正弦量必须满足（1）同频率；（2）同函数，即都是正 弦或都是余弦；（3）同符合，即都为正号或都为负号，才能进行比较。
8－7 若已知两个同频正弦电压的相量分别为 U&1 = 50∠30oV ,U& 2 = −100∠ −150oV ，其频率 f = 100Hz 。求：
8－3 若100 ∠ 0 o + A ∠ 60 o = 175 ∠ ϕ 。求 A 和ϕ 。
解：原式=100 + Acos 60o + ja sin 60o = 175cos ϕ + j175sin ϕ 根据复数相等的
定义，应有实部和实部相等，即
Acos 60o +100 = 175cos ϕ
虚部和虚部相等
8－9 已知一段电路的电压、电流为：
u = 10 sin(103 t − 20o )V
i = 2 cos(103 t − 50o ) A
（1） 画出它们的波形图和向量图；（2）求出它们的相量差。
解：（1） u = 10sin(103 t − 20o ) = 10 cos(103 t −110o )V ，故 u 和 i 的相量分别为
a
2 2
θ = arctan a2 a1
和
a1 = a cosθ a2 = a sinθ
需要指出的，在转换过程中要注意 F 在复平面上所在的象限，它关系到θ 的取值
及实部 a1 和虚部 a2 的正负。
8－2 将下列复数化为代数形式： （1） F1 = 10∠ − 73o ；（2） F2 = 15∠112.6o ；（3） F3 = 1.2∠152o ； （4） F4 = 10∠ − 90o ；（5） F1 = 5∠ −180o ；（6） F1 = 10∠ −135o 。 解：（1） F1 = 10∠ − 73o = 10 × cos(−73o ) + j10 × sin( −73o ) = 2.92 − j9.56 （2） F2 = 15∠112.6o = 15cos112.6o + 15sin 112.6o = −5.76 + j13.85 （3） F3 = 1.2∠152o = 1.2 cos152o + 1.2 sin 152o = −1.06 + j0.56 （4） F4 = 10∠ − 90o = − j10 （5） F1 = 5∠ −180o = −5 （6） F1 = 10∠ − 135o = 10 cos( −135o ) +10 sin(−135o ) = −7.07 − j7.07